Lineaire Algebra voor ST
|
|
- Erika van Doorn
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. studiewijzer: Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8
2 Inhoud Overgangsmatrices Inproductruimten Orthonormale bases 4 Projectie Gram-Schmidt J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8
3 Overgangsmatrices Laat S = {v, v,..., v n } en T = {w, w,..., w n } twee geordende bases zijn van een vectorruimte V. Dan is voor v V : c v = c w + c w + + c n w n, ofwel [v] T =. c c n [v] S = [c w + c w + + c n w n ] S = [c w ] S + [c w ] S + + [c n w n ] S = c [w ] S + c [w ] S + + c n [w n ] S Definitie De overgangsmatrix of transitiematrix van de basis T naar de basis S is de matrix P S T met als j-de kolom de vector [w j ] S. NB: dan dus [v] S = P S T [v] T J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8
4 Voorbeeld S = {e, e } en T = {w, w } met e = [ ] [, e = ] [, w = ] [, w = ] dan P S T = [[w ] S [w ] S ] = [ ] J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 4 / 8
5 Voorbeeld [vervolg] Laat nu [v] T = [ ] Dan is [v] S = P S T [v] T dus Inderdaad geldt [v] S = [ [ ] [ + ] [ ] [ = 7 ] = [ 7 ] ] [ + ] J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8
6 Voorbeeld S = {e, e } en T = {w, w } met e = [ ] [, e = ] [, w = ] [, w = dan Q T S de overgangsmatrix voor de overgang van S naar T : [ ] [ Q T S = [[e ] T [e ] T ] =, P S T = [[w ] S [w ] S ] = ] ] zodat P S T Q T S = [ ] [ ] = [ ] = I dus P en Q zijn elkaars inverse. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 6 / 8
7 Stelling Laat V een vectorruimte zijn, met bases S = {s, s,..., s n } en T. De overgangsmatrix P S T van T naar S is inverteerbaar, en de inverse is gelijk aan de overgangsmatrix Q T S van S naar T : Bewijs: er geldt voor v V dat P S T = Q T S [v] S = P[v] T en [v] T = Q[v] S dus [v] S = PQ[v] S Door v resp. gelijk te nemen aan s, s,..., s n volgt PQ = I n. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 7 / 8
8 Voorbeeld Bepaal P S T voor S = {v, v, v } en T = {w, w, w } met v = w = 6, v =, w = 4 de j-de kolom van P is [w j ] S, dus los op:, v =, w =, a v + a v + a v = w b v + b v + b v = w c v + c v + c v = w J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 8 / 8
9 Voorbeeld Dit geeft drie stelsels met dezelfde coëfficiëntenmatrix. Los tegelijk op: 6 4 [S T ] = Conclusie: P S T = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 9 / 8
10 Voorbeeld De matrix Q T S kan op twee manieren bepaald worden: Q = P dus veeg [P I ] = j-de kolom van Q T S is [v j ] T dus veeg [T S] = 6 4 We vinden op beide manieren: Q T S = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8
11 Voorbeeld Bepaal nu de coördinaatvectoren van de vector v = ten opzichte van de bases S en T. [S v] = 4 dus [v] S = 4 Dan is [v] T = Q T S [v] S = 4 = 7 9 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8
12 Voorbeeld Of andersom (eerst [v] T bepalen): [T v] = dus [v] T = 7 9 En dan [v] S = P S T [v] T = 7 9 = 4 Controle van [v] T : Op dezelfde manier controleer je [v] S. + 9 = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8
13 Inproductruimten Stelling Het standaard inproduct voor vectoren u, v in R is gedefinieerd als u v = u T v = [ ] [ ] v u u = u v v + u v en voldoet aan de volgende eigenschappen (a) u u voor alle u R en u u = dan en slechts dan als u = (b) u v = v u voor alle u, v R (c) (u + v) w = u w + v w voor alle u, v, w R (d) cu v = c(u v), voor alle c R en u, v R. Het standaard inproduct in R en algemener in R n voldoet aan dezelfde eigenschappen. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8
14 Definitie Laat V een reële vectorruimte zijn. Een inproduct op V is een functie die aan elk geordend paar vectoren u, v V een reëel getal (u, v) toekent, en die voldoet aan de volgende eigenschappen (a) (u, u) voor alle u V en (u, u) = dan en slechts dan als u = (b) (u, v) = (v, u) voor alle u, v V (c) ((u + v), w) = (u, w) + (v, w) voor alle u, v, w V (d) (cu, v) = c(u, v), voor alle c R en u, v V. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 4 / 8
15 Voorbeeld Voor elke eindig-dimensionale vectorruimte V van dimensie n kunnen we een inproduct definiëren in termen van het standaard inproduct in R n : laat S = {u, u,..., u n } een geordende basis zijn voor V. Twee vectoren v en w kunnen we schrijven op deze basis. Als a b a [v] S =. en [w] b S =. a n b n de coördinaatvectoren in R n zijn, dan kunnen we definiëren: (v, w) = [v] S [w] S = a b + a b + + a n b n J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8
16 Voorbeeld Laat V de (oneindig-dimensionale) vectorruimte zijn van alle continue reëelwaardige functies op het interval [, ]. Definieer op deze vectorruimte het inproduct voor functies f, g : [, ] R als volgt: (f, g) = f (t)g(t)dt J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 6 / 8
17 Definitie Een vectorruimte met daarop gedefinieerd een inproduct heet een inproductruimte. Een eindig-dimensionale inproductruimte heet een Euclidische ruimte. Definitie De lengte van een vector u in een inproductruimte wordt gedefinieerd als u = (u, u) Definitie De afstand tussen twee vectoren u, v in een inproductruimte wordt gedefinieerd als d(u, v) = u v J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 7 / 8
18 Definitie We definiëren de hoek tussen twee niet-nul vectoren u en v in een inproductruimte V als die hoek θ waarvoor cos θ = (u, v) u v en θ π NB: deze definitie is correct wegens de stelling van Cauchy-Schwarz die zegt dat (u, v) u v voor elk tweetal vectoren u en v in een inproductruimte V. Anders gezegd, als u, v : (u, v) u v Gevolg: er is precies één hoek θ met θ π zodat cos θ = NB: θ = π dan en slechts dan als (u, v) =. (u,v) u v. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 8 / 8
19 Definitie Twee vectoren u en v in een inproductruimte V heten orthogonaal als (u, v) =. Voorbeeld De twee functies f, g : [, ] R met f (t) = t en g(t) = t zijn orthogonale vectoren in de eerder gedefinieerde inproductruimte van continue functies op [, ], want (f, g) = t(t )dt = (t t)dt = [ t t ] = Definitie Een verzameling S van vectoren in een inproductruimte heet orthogonaal als elk tweetal vectoren uit S orthogonaal is. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 9 / 8
20 Orthonormale bases Definitie Een verzameling S van vectoren in een inproductruimte heet orthonormaal als S orthogonaal is en bovendien elke vector in S lengte heeft. Definitie Een vector van lengte in een inproductruimte heet een eenheidsvector Voor elke vector x in een inproductruimte kunnen we een eenheidsvector u vinden met dezelfde richting als x door x op te normeren: u = x x Zo vorm je een orthogonale verzameling gemakkelijk om tot een orthonormale verzameling J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8
21 Voorbeeld x = u =, x =, x = De verzameling {x, x, x } is orthogonaal. Er geldt dat x = x = en x =. De vectoren, u = zijn eenheidsvectoren in de richting van x respectievelijk x. De verzameling {u, u, x } is dus orthonormaal. NB: de orthogonale verzameling {x, x, x } is lineair onafhankelijk. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8
22 Stelling Als S = {u, u,..., u n } een eindige verzameling orthogonale niet-nul vectoren is in een inproductruimte V, dan is S lineair onafhankelijk. Bewijs: stel a u + a u + + a n u n = en neem aan beide kanten het inproduct met u i : dit geeft a i (u i, u i ) = dus a i = (want u i ). Gevolg: als je een orthogonale of orthonormale verzameling van n vectoren kunt vinden in een inproductruimte V van dimensie n, dan vormt deze verzameling een basis van V. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8
23 Definitie Een geordende basis S voor een Euclidische ruimte V die bestaat uit een orthonormale verzameling vectoren heet een orthonormale basis. Voorbeeld De standaardbasis in R n is een orthonormale basis. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8
24 Het gebruik van een orthonormale basis vermindert het rekenwerk: Stelling Laat S = {u, u,..., u n } een orthonormale basis voor een Euclidische ruimte V zijn. En laat v een willekeurige vector in V zijn. Dan v = c u + c u + + c n u n, met c i = (v, u i ), i =... n. Om de coördinaatvector [v] S = c c. te bepalen hoeft dus geen stelsel van n lineaire vergelijkingen in n onbekenden opgelost te worden, maar moeten slechts n inproducten uitgerekend worden. c n J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 4 / 8
25 Voorbeeld De verzameling S = {u, u, u } met u =, u = 4, u = 4 is een orthonormale basis voor R. Laat v =, dan heeft v t.o.v. de basis S de volgende coördinaten: Er geldt dus (v, u ) =, (v, u ) =, (v, u ) = 7. v = u u + 7 u J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8
26 Ook inproducten zijn erg makkelijk te bepalen voor vectoren geschreven op een orthonormale basis: Stelling Laat V een Euclidische ruimte zijn en S = {u, u,..., u n } een orthonormale basis voor V. Dan geldt voor vectoren v = a u + a u + + a n u n en w = b u + b u + + b n u n dat (v, w) = a b + a b + + a n b n ofwel het inproduct is gelijk aan het standaard inproduct van de coördinaatvectoren in R n : (v, w) = ([v] S, [w] S ). Bewijs: (u i, u j ) = { als i = j als i j J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 6 / 8
27 Tenslotte zijn ook lengtes van vectoren t.o.v. alle orthonormale bases gelijk. En dus ook afstanden tussen vectoren. Stelling Laat S een orthonormale basis zijn voor een inproductruimte V, zodat voor de vector v in V geldt dat a a [v] S =. Dan geldt voor de lengte van v: v = a + a + + a n Bewijs: v = (v, v) = ([v] S, [v] S ) = [v] S a n J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 7 / 8
28 Voorbeeld Neem v = [ ] een vector in R, met lengte v = + + =. Neem nu S gelijk aan de orthonormale basis { [ ], [ 4 ] }, [ 4 + ( ) + ( 7 ) = ] } Dan is [v]s = 7 = = v 7 en Echter, voor de basis T = { [ ], [ ] }, [ ] } is [v] T = en geeft + + = niet de lengte van v. De basis T is niet orthonormaal. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 8 / 8
29 Projectie Stelling Als V een inproductruimte is, en W is een lineaire deelruimte van V, dan kan elke vector u in V op eenduidige wijze geschreven worden als met w in W en v loodrecht op W. u = v + w Definitie de vector w in bovenstaande ontbinding heet de loodrechte projectie proj W u van u op W. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 9 / 8
30 Projectie op een deelruimte W is eenvoudig als je een orthogonale of orthonormale basis van W hebt: Stelling Als {w, w,..., w m } een orthogonale basis is van W, dan Stelling proj W u = (u, w ) (w, w ) w + (u, w ) (w, w ) w + + (u, w m) (w m, w m ) w m Als {w, w,..., w m } een orthonormale basis is van W, dan proj W u = (u, w )w + (u, w )w + + (u, w m )w m J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8
31 Stelling proj W u is de vector in W met minimale afstand tot u. NB: in de ontbinding u = v + w is de vector v die loodrecht staat op elke vector in W gelijk aan v = u proj W u De minimale afstand van u tot W is gelijk aan de lengte van deze vector v: afstand(u, W ) = u proj W u J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8
32 Gram-Schmidt procedure Stelling Laat V een inproductruimte zijn, en W {} een m-dimensionale deelruimte van V. Dan bestaat er een orthonormale basis T = {w, w,..., w m } voor W. Deze basis kan gevonden worden m.b.v. de zogenaamde Gram-Schmidt procedure uitgaande van een willekeurige basis S = {u, u,..., u m } voor W. Gevolg: elke Euclidische ruimte heeft een orthonormale basis J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8
33 Gram-Schmidt procedure Laat S = {u, u,..., u m } een basis van W zijn.. Kies v = u. {v } is een (orthogonale) basis voor W =span {u }.. Zoek een vector v loodrecht op v in de deelruimte W = span {u, u } = span {v, u }. v = u proj W u = u (u, v ) (v, v ) v. Nu is {v, v } een orthogonale basis van W J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8
34 . Zoek nu v in W = span {u, u, u } =span {v, v, u } loodrecht op v en v. v = u proj W u = u (u, v ) (v, v ) v (u, v ) (v, v ) v. Nu is {v, v, v } een orthogonale basis van W 4. Zoek nu v 4 in W 4 =span {u, u, u, u 4 } = span {v, v, v, u 4 } loodrecht op W. v 4 = u 4 proj W u 4 = u 4 (u 4, v ) (v, v ) v (u 4, v ) (v, v ) v (u 4, v ) (v, v ) v. Nu is {v, v, v, v 4 } een orthogonale basis van W 4 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 4 / 8
35 . Zo doorgaand vinden we een orthogonale basis (want m orthogonale dus lineair onafhankelijke vectoren) van W. T = {v, v,..., v m } 6. Een orthonormale basis T van W vinden we door elke vector in T te normeren: T = {w, w,..., w m }, met w i = v i v i J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 8
36 Voorbeeld Laat S = {u, u, u } met u =. Neem v = u =., u = v = u (u, v ) (v, v ) v =, u = = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 6 / 8
37 Voorbeeld. = v = u (u, v ) (v, v ) v (u, v ) (v, v ) v = 6. Een orthonormale basis voor R is {w, w, w } met w = v =, w = v = , w = v = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 7 / 8
38 Voorbeeld Laat W het vlak met vergelijking x + y z = in R zijn. Een basis van W is {u, u } =, Een orthonormale basis vinden we met Gram-Schmidt: v = v = u (u, v ) (v, v ) v = w = 6, w = 7 = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 8 / 8 6 6
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: opspansel De vectoren v 1,..., v k V spannen
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 93 email: JCMKeijsper@tuenl studiewijzer: http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 JKeijsper (TUE) Lineaire
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 7 J.Keijsper
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra B
Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een
Nadere informatieCoördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V :
Coördinatiseringen Het rekenen met vectoren in R n gaat erg gemakkelijk De coördinaten bieden de mogelijkheid om handig te rekenen (vegen Het is nu ook mogelijk om coördinaten in te voeren voor vectoren
Nadere informatieLineaire Algebra Een Samenvatting
Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op -4-, 4.-7. uur. Opgave Gegeven is het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met parameters
Nadere informatieVectorruimten met inproduct
Hoofdstuk 3 Vectorruimten met inproduct 3. Inleiding In R 2 en R 3 hebben we behalve de optelling en scalairvermenigvuldiging nog meer structuur ; bij een vector kun je spreken over zijn lengte en bij
Nadere informatieMatrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen
Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatieONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
Nadere informatieInwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper
Nadere informatieExamen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)
Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,
Nadere informatieUnitaire en Hermitese transformaties
Hoofdstuk 11 Unitaire en Hermitese transformaties We beschouwen vervolgens lineaire transformaties van reële en complexe inproductruimten die aan extra eigenschappen voldoen die betrekking hebben op het
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra maandag 3--27, 3.3-6.3 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken. Schrijf op elk
Nadere informatieUITWERKINGEN 1 2 C : 2 =
UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen
Nadere informatieInwendig product, lengte en orthogonaliteit
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Nadere informatieLineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte
Nadere informatieKies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra
Tentamen Lineaire Algebra 3 januari 214, 8:3-11:3 uur - Bij dit tentamen mogen dictaten en boeken niet gebruikt worden - Een eenvoudige rekenmachine, hoewel niet nodig, is toegestaan, maar geen grafische
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar
Nadere informatieMore points, lines, and planes
More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)
Nadere informatieLineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen
Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Dit tentamen bestaat uit 4 open vragen, en kort-antwoord vragen. De uitwerkingen van de open vragen dienen volledig, duidelijk geformuleerd
Nadere informatieLineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op 6--,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops
Nadere informatieDimensie van een deelruimte en rang van een matrix
Dimensie van een deelruimte en rang van een matrix Definitie (Herinnering) Een basis voor een deelruimte H van R n is een lineair onafhankelijke verzameling vectoren die H opspant. Notatie Een basis van
Nadere informatieLineaire Algebra (2DD12)
Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 1 8 september 2016 1 Even voorstellen Theresia van Essen Universitair docent bij Technische Wiskunde j.t.vanessen@tudelft.nl Slides op http://homepage.tudelft.nl/v9r7r/
Nadere informatieTentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)
Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N
Nadere informatieUitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00
Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus
Nadere informatieStudiewijzer Lineaire Algebra voor ST (2DS06), blok D, januari 2009
Studiewijzer Lineaire Algebra voor ST (2DS06), blok D, januari 2009 1 Algemeen 1.1 Docenten De cursus wordt gegeven door Judith Keijsper (Dr. J.C.M. Keijsper, HG 9.31, tel 5583, email J.C.M.Keijsper(AT)tue(DOT)nl).
Nadere informatieSamenvatting Lineaire Algebra, periode 4
Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax
Nadere informatieTweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen
Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 en opmerkingen November 10, 2009 Opgave 1 Gegeven een vectorruimte V met deelruimtes U 1 en U 2. Als er geldt dim U 1 = 7, dimu 2 = 9, en dim(u 1 U 2 ) = 4, wat
Nadere informatieExamenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode
Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode 2008-2009 Een rechte conoïde met als richtrechte de X-as, en als richtoppervlak de sfeer met middelpunt in (0, 16, 0) en straal 9. (1) Stel
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 1: Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht colleges 1. College 1 1. Goniometrie 2. Vectoren 2. College
Nadere informatieHoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen
Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen
Nadere informatiewordt de stelling van Pythagoras toegepast, in dit geval twee keer: eerst in de x y-vlakte en vervolgens in de vlakte loodrecht op de vector y.
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 2 Les 5 Inproduct Als we het in de meetkunde (of elders) over afstanden en hoeken hebben, dan hebben we daar intuïtief wel een idee van. Maar wat is eigenlijk de
Nadere informatieAntwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding
Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie
Nadere informatieVectormeetkunde in R 3
Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie
Nadere informatieKwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.
Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op maandag juni Dit tentamen bestaat uit 6 open vragen, en 4 kort-antwoord vragen. De
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie Utrecht Les : Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist verzicht colleges. College. Goniometrie 2. Vectoren 2. College 2. Matrixen
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Nadere informatieVectorruimten en deelruimten
Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN
Tentamen Lineaire Algebra 29 januari 29, 3:3-6:3 uur UITWERKINGEN Gegeven een drietal lijnen in R 3 in parametervoorstelling, l : 2, m : n : ν (a (/2 pt Laat zien dat l en m elkaar kruisen (dat wil zeggen
Nadere informatieUitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra 1, najaar y y = 2x. P x. L(P ) y = x. 2/3 1/3 en L wordt t.o.v de standaardbasis gegeven door
Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra, najaar 007. Gegeven is de lineaire afbeelding L : R R, die een punt P = (x, y) langs de lijn y = x projecteert op de lijn y = x: y y = x P x L(P ) y = x Bepaal
Nadere informatieOpgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Uitwerkingen worden beschikbaar gesteld op de dinsdagavond voorafgaande aan het volgende college
Nadere informatieTRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER
TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES
Nadere informatieUitwerking 1 Uitwerkingen eerste deeltentamen Lineaire Algebra (WISB121) 3 november 2009
Departement Wiskunde, Faculteit Bètawetenschappen, UU. In elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TBC van A Eskwadraat. Het college WISB werd in 9- gegeven door Prof. Dr. F. Beukers. Uitwerking
Nadere informatieLineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014
Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.
Nadere informatieHet orthogonaliseringsproces van Gram-Schmidt
Het orthogonaliseringsproces an Gram-Schmidt Voor het berekenen an een orthogonale projectie an een ector y op een deelruimte W an R n is een orthogonale basis {u,, u p } zeer gewenst De orthogonale projectie
Nadere informatieDefinities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2
Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)
Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren
Nadere informatieOptelling en scalaire vermenigvuldiging zijn weer plaatsgewijs gedefinieerd, bijvoorbeeld: 7 (x 1, x 2, x 3,...)
5. Lineaire ruimten Tot nu toe hebben we ons uitsluitend met de R n bezig gehouden. We gaan de behandelde theorie nu uitbreiden tot verzamelingen die een sterke overeenkomst met een R n vertonen. Een dergelijke
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieGeadjungeerde en normaliteit
Hoofdstuk 12 Geadjungeerde en normaliteit In het vorige hoofdstuk werd bewezen dat het voor het bestaan van een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren voldoende is dat T Hermites is (11.17) of
Nadere informatieRuimtewiskunde. college. Het inwendig- en het uitwendig product. Vandaag. Hoeken Orthogonaliteit en projecties. Toepassing: magnetische velden
college 2 - en het uitwendig collegejaar college build slides Vandaag : : : : 6-7 2 30 mei 207 30 2 3 4 5 Hoeken Orthogonaliteit en projecties Toepassing: magnetische velden.6-7[2] vandaag meetkundig Section
Nadere informatiea) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.
. Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn
Nadere informatieEerste deeltentamen Lineaire Algebra A. De opgaven
Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 3 november 9, 3-6 uur Bij dit tentamen mogen dictaat en/of rekenmachine niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, collegekaartnummer en naam van de practicumleider
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 2015 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatieUITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,
UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht
Nadere informatieVoortgezette Lineaire Algebra. Prof. dr. J. van Mill Dr. F. van Schagen
Voortgezette Lineaire Algebra Prof. dr. J. van Mill Dr. F. van Schagen Inhoud Hoofdstuk I. Complexe vectorruimten en inwendige producten 5 I.1. Vectorruimten 5 I.2. Hermitische producten 8 I.3. Inwendig-productruimten
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT (2DM20) op vrijdag 12 juni 2009, 9.00 Dit tentamen bestaat uit 5 open vragen, en 4 kort-antwoord vragen.
Nadere informatieKwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat.
1 Kwantummechanica Donderdag, 1 oktober 016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4 VECTOREN OVER DE REËLE RUIMTE DUS DE ELEMENTEN ZIJN REËLE GETALLEN Bestudeer Appendix A, bladzijden 110-114 van het dictaat. Opgave 1:
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op dinsdag 9 april 8, 9.. uur. Dit tentamen bestaat uit 6 open vragen, en 4 kort-antwoord
Nadere informatieEindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)
Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale
Nadere informatieEerste deeltentamen Lineaire Algebra A
Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 8 november 2011, 13u30-16u30 Bij dit tentamen mag het dictaat niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, studnr en naam practicumleider (Victor Blasjo, Esther
Nadere informatieOefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december A =
Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december 2012 Opg 1 De schaakbordmatrix A is de 8 bij 8 matrix 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 A = 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van
Nadere informatieLineaire afbeeldingen
Hoofdstuk 4 Lineaire afbeeldingen In de algebra spelen naast algebraïsche structuren zelf ook de afbeeldingen ertussen die (een deel van de structuur bewaren, een belangrijke rol Voor vectorruimten zijn
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A.
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A maandag 16 december 2002, 1000-1200 Coördinaten zijn gegeven tov een standaardbasis in R n 1 De matrix A en de vector b R 4 zijn gegeven door 1 0 1 2 0 1 1 4 3 2 A =, b = 0
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra 2
Lineaire algebra (NP010B) januari 013 Tentamen Lineaire Algebra Vermeld op ieder blad je naam en studentnummer. Lees eerst de opgaven voordat je aan de slag gaat. Schrijf leesbaar en geef uitleg over je
Nadere informatie1 Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 6
Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W
Nadere informatieExamenvragen Meetkunde en lineaire algebra Eerste examenperiode
Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Eerste examenperiode 2008-2009 Door rotatie van de rechte r die bepaald wordt door de punten P(3, 1, 2) en Q(1, 1, 2) omheen de rechte s die gaat door het punt
Nadere informatieLineaire Algebra C 2WF09
Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H.A. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.
Nadere informatieStelsels Vergelijkingen
Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y65 Docent: L Habets HG 89, Tel: 4-247423, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y65 1 Herhaling: bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het
Nadere informatiex cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α
Lineaire afbeeldingen Rotatie in dimensie 2 Beschouw het platte vlak dat we identificeren met R 2 Kies een punt P in dit vlak met coördinaten (, y) Stel dat we het vlak roteren met de oorsprong (0, 0)
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra donderdag 29 januari 205, 9.00-2.00 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken.
Nadere informatie