Lineaire Algebra voor ST

Transcriptie

1 Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG studiewijzer: Technische Universiteit Eindhoven college J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college / 27

2 Inhoud Lineaire transformaties 2 Matrix van een lineaire operator 3 Gelijksoortigheid (similarity) J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 / 27

3 Lineaire transformaties Definitie Laten V en W vectorruimten zijn. Een functie L : V W heet een lineaire transformatie van V naar W als (a) L(u + v) = L(u) + L(v) voor alle u en v in V. (b) L(cu) = cl(u) voor alle u in V en c in R. Als V = W dan heet een lineaire transformatie van V naar W ook wel een lineaire operator op V. Stelling L : V W is een lineaire transformatie dan en slechts dan als voor alle u, v V en a, b R. L(au + bv) = al(u) + bl(v) J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 3 / 27

4 Dit is een lineaire transformatie, want een matrixtransformatie. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 / 27 Voorbeeld Laat A een m n matrix zijn. Dan kunnen we m.b.v. A een functie van R n naar R m definiëren (een matrix transformatie ): L(u) = Au Dit is een lineaire transformatie L : R n R m vanwege de matrix-rekenregels A(u + v) = Au + Av Voorbeeld A(cu) = c(au) Rotatie (tegen de klok in) over een hoek φ van een vector in R 2 is de functie L : R 2 R 2 die gedefinieerd is door [ ] cos φ sin φ L(u) = u sin φ cos φ

5 Voorbeeld Laat L : R 3 R 3 gedefinieerd zijn door u L u 2 = u 3 3u u + u 2 2u 2 u 3 Dit is een lineaire transformatie, want een matrixtransformatie: 3 L(u) = Au voor de matrix A = 2 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 5 / 27

6 Voorbeeld De identiteits transformatie I R n op R n gegeven door I R n(u) = u is een lineaire operator want een matrixtransformatie met matrix I n. Voorbeeld Definieer L : P 3 P 2 door L(p(t)) = p (t). Dan is L lineair, want L(ap(t)+bq(t)) = (ap(t)+bq(t)) = ap (t)+bq (t) = al(p(t))+bl(q(t)) Voorbeeld Definieer L : P P 2 door L(p(t)) = (p(t)) 2. Dan is L niet lineair, want L(t + t) = (2t) 2 = 4t 2 t 2 + t 2 = L(t) + L(t) J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 / 27

7 Voorbeeld Laat L : R 3 R 3 gedefinieerd zijn door L Is L lineair? Voor u = L(u + v) = L L(u) + L(v) = u u 2 u 3 3u + 4 u + u 2 2u 2 u 3 en v = u + v u 2 + v 2 u 3 + v 3 = + v v 2 v 3 3v + 4 v + v 2 2v 2 v 3 u u 2 u 3 geldt = 3u + 4 u + u 2 2u 2 u 3 3(u + v ) + 4 (u + v ) + (u 2 + v 2 ) 2(u 2 + v 2 ) (u 3 + v 3 ) =. 3u + 3v + 8 u + u 2 + v + v 2 2u 2 u 3 + 2v 2 v 3 Deze uitdrukkingen zijn niet (altijd) gelijk: als u = en v = bijvoorbeeld niet. L( + ) L() + L(), dus niet lineair. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 7 / 27

8 Stelling Laat L : V W een lineaire transformatie zijn. Laat S = {v, v 2,..., v n } een basis zijn voor V. Dan is L(v) volledig bepaald door {L(v ), L(v 2 ),..., L(v n )} voor elke v in V. Bewijs: Schrijf v op de basis S: v = a v + a 2 v 2 + a n v n Dan geldt: L(v) = L(a v + a 2 v 2 + a n v n ) = L(a v ) + L(a 2 v 2 ) + L(a n v n ) = a L(v ) + a 2 L(v 2 ) + a n L(v n ) J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 8 / 27

9 Voorbeeld Neem de standaard basis S = {e, e 2, e 3 } voor R 3, met e =, v 2 =, v 3 = Laat L : R 3 R 2 een lineaire transformatie zijn met [ ] [ ] [ 2 2 L(e ) =, L(v 3 2 ) =, L(v 3 ) = 4 Dan kunnen we L(v) met v = v = 2e 3e 2 + 5e 3 als volgt berekenen: [ 9 L(v) = L(2e 3e 2 + 5e 3 ) = 2L(e ) 3L(e 2 ) + 5L(e 3 ) = 29 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 27 ]. ].

10 Voorbeeld Neem de basis S = {v, v 2, v 3 } voor R 3, met v =, v 2 =, v 3 = Laat L : R 3 R 2 een lineaire transformatie zijn met [ ] [ ] [ 2 4 L(v ) =, L(v 2 ) =, L(v 3 ) = 3 Dan kunnen we L(v) met v = v = 5v 8v 2 + 5v 3 als volgt berekenen: [ 9 L(v) = 5L(v ) 8L(v 2 ) + 5L(v 3 ) = 23 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college / 27 ]. ].

11 Stelling Laat L : R n R m een lineaire transformatie zijn en {e, e 2,..., e n } de standaardbasis voor R n. Laat A de m n matrix zijn waarvan de j-de kolom gelijk is aan L(e j ), voor j =,..., n. Dan geldt voor elke x in R n dat L(x) = Ax. A is de enige matrix met deze eigenschap, en wordt de standaard matrix representatie van L genoemd. Bewijs: schrijf x = x e + x 2 e x n e n. Dan geldt L(x) = x L(e ) + x 2 L(e 2 ) + + x n L(e n ) ofwel in matrixnotatie: L(x) = Ax. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college / 27

12 Voorbeeld Laat L : R 3 R 2 de lineaire transformatie zijn gedefinieerd door: x [ ] L x 2 x + 2x = 2 3x x 2 2x 3 3 De standaard matrixrepresentatie van L vinden we als volgt: [ ] [ ] [ L =, L 2 =, L = 3 2 ] Dus L(x) = Ax met A = [ ] J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 / 27

13 Stelling Laten L : U V en L 2 : V W lineaire transformaties zijn. Dan is de samenstelling L 2 L : U W gedefinieerd door ook een lineaire transformatie. Bewijs: L 2 L (u) = L 2 (L (u)) L 2 (L (au + bv)) = L 2 (al (u) + bl (v)) = al 2 (L (u)) + bl 2 (L (v)) Voorbeeld een rotatie over een hoek φ gevolgd door een spiegeling in de x-as is een lineaire operator op R 2 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 3 / 27

14 Stelling voor L : R n R k met standaard matrixrepresentatie A en L 2 : R k R m met standaard matrixrepresentatie B heeft de samenstelling standaard matrixrepresentatie BA Bewijs: L 2 L (x) = L 2 (Ax) = B(Ax) = (BA)x Voorbeeld een rotatie over een hoek φ gevolgd door een spiegeling in de x-as is een lineaire operator op R 2 met standaard matrixrepresentatie [ ] [ ] [ ] cos φ sin φ cos φ sin φ = sin φ cos φ sin φ cos φ J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 4 / 27

15 Matrix van een lineaire operator Stelling Laat L : V V een lineaire operator zijn op een n-dimensionale vectorruimte V en laat S = {v,..., v n } een geordende basis zijn voor V. Dan geldt voor de n n matrix A met j-de kolom gelijk aan [L(v j )] S dat [L(x)] S = A[x] S voor elke x in V en A is de enige matrix met deze eigenschap. Definitie A heet de representatie van L ten opzichte van de geordende basis S. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 5 / 27

16 Voorbeeld Definieer L : P 3 P 3 door L(p(t)) = p (t). Neem de (standaard)basis S = {t 3, t 2, t, } van P 3. L(t 3 ) = 3t 2 L(t 2 ) = 2t L(t) = L() = De representatie van L ten opzichte van S is de matrix A = 3 2 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 6 / 27

17 Voorbeeld [vervolg] Kies een vector x in P 3 [x] S = a b c d x = p(t) = at 3 + bt 2 + ct + d dus A[x] S = 3 2 a b c d = 3a 2b c dus inderdaad geldt L(x) = p (t) = 3at 2 + 2bt + c [L(x)] S = 3a 2b c [L(x)] S = A[x] S J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 7 / 27

18 Dus: elke lineaire operator op een vectorruimte van dimensie n kan beschouwd worden als een matrixtransformatie R n R n. Analoog kan een lineaire afbeelding V W met dim V = n en dim W = m opgevat worden als matrixtranformatie R n R m. NB: de eerder gedefinieerde standaardrepresentatie van een lineaire afbeelding L : R n R n is de representatie van L ten opzichte van de standaardbasis voor R n. NB2: Als L gelijk is aan de identiteits-operator I V, dan is de matrixrepresentatie van L ten opzichte van elke basis S gelijk aan de eenheidsmatrix I. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 8 / 27

19 Voorbeeld Definieer L : R 3 R 3 door L([ u u 2 u 3 ]) = [ 2u u 3 u + u 2 u 3 u 3 ]. Dit is een lineaire operator, en er geldt: L([ ]) = [ 2 ] L([ ]) = [ ] L([ ] = [ ]. De representatie van L ten opzichte van de standaardbasis S = {[ ], [ ], [ ]} van R 3 is dus de matrix A = 2 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 9 / 27

20 Voorbeeld [vervolg] Definieer weer L : R 3 R 3 door L([ u u 2 u 3 ]) = [ 2u u 3 u + u 2 u 3 u 3 ]. Laat T = {[ ], [ ], [ ]} een andere basis voor R 3 zijn. Er geldt: L([ ]) = [ ] L([ ]) = [ ] L([ ] = [ 2 2 ] = 2[ ] De representatie van L ten opzichte van de basis T is de diagonaalmatrix. 2 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 / 27

21 Gelijksoortigheid (similarity) Stelling Laat L : V V een lineaire operator zijn op een n-dimensionale vectorruimte V met geordende bases S = {v,..., v n } en T = {w,..., w n } en laat P de overgangsmatrix zijn van T naar S. Als A de representatie van L is ten opzichte van S, dan is P AP de representatie van L ten opzichte van T. Bewijs: A representeert L ten opzichte van S dus [L(x)] S = A[x] S. P is de overgangsmatrix van T naar S dus P is de overgangsmatrix van S naar T : [x] S = P[x] T en [y] T = P [y] S Kortom: [L(x)] T = P [L(x)] S = P A[x] S = P AP[x] T J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 2 / 27

22 Definitie Als A en B n n matrices zijn, dan heten A en B gelijksoortig niet-singuliere matrix P bestaat zodat als er een Stelling B = P AP Laat V een n-dimensionale vectorruimte zijn, en A en B twee n n matrices. A en B zijn gelijksoortig dan en slechts dan als ze dezelfde lineaire transformatie L : V V representeren ten opzichte van twee verschillende geordende bases voor V. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 22 / 27

23 Voorbeeld Definieer L : R 3 R 3 door L([ u u 2 u 3 ]) = [ 2u u 3 u + u 2 u 3 u 3 ]. Dit is een lineaire operator, en de representatie ten opzichte van de standaardbasis S = {[ ], [ ], [ ]} in R 3 is de matrix 2 A = Laat T = {[ ], [ ], [ ]} een andere basis voor R 3 zijn. De overgangsmatrix van T naar S is P = zodat P = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 23 / 27

24 Voorbeeld [vervolg] De representatie van L ten opzichte van de basis T is de diagonaalmatrix 2 B = P AP = A en B zijn gelijksoortig. = 2. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 24 / 27

25 Opgave De functie L : R 3 R 3 is gedefinieerd door x x x 2 L x 2 x 3 = 4x 3x 2 4x + 4x 3 (a) Laat zien dat L een lineaire transformatie is. (b) Geef de matrixrepresentatie A van L ten opzichte van de standaard basis S van R 3. (c) Geef de matrixrepresentatie B van L ten opzichte van de onderstaande basis T van R 3. T =,, (d) Geef een inverteerbare matrix P waarvoor geldt dat B = P AP. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 25 / 27

26 L x x 2 x 3 = x x 2 4x 3x 2 4x + 4x 3 (b) Geef de matrixrepresentatie A van L ten opzichte van de standaard basis S van R 3. A = (c) Geef de matrixrepresentatie B van L ten opzichte van de onderstaande basis T van R 3. T =,, B = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 26 / 27

27 S =,, T =,, (d) Geef een inverteerbare matrix P waarvoor geldt dat B = P AP. P = P S T = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra voor ST college 27 / 27