Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Eerste examenperiode

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Eerste examenperiode"

Transcriptie

1 Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Eerste examenperiode Door rotatie van de rechte r die bepaald wordt door de punten P(3, 1, 2) en Q(1, 1, 2) omheen de rechte s die gaat door het punt R(0, 2, 0) en richtingsvector u(1, 1, 2) heeft, ontstaat een omwentelingsoppervlak. (1) Bepaal een affiene transformatie (bestaande uit een opeenvolging van translaties en rotaties) of een coördinatentransformatie, die het vlak bepaald door r en s, alsook de rechte s zelf, een voorkeurpositie laat innemen t.o.v. het coordinatenstelsel. (2) Gebruik deze transformatie om een parametervoorstelling en de cartesiaanse vergelijking van dit omwentelingsoppervlak op te stellen. (3) Bepaal de cartesiaanse vergelijking ook door een beschrijving als meetkundige plaats; leg uit. Door rotatie van de rechte r die bepaald wordt door de punten P(0, 2, 0) en Q(1, 1, 1) omheen de rechte s die gaat door het punt R(2, 0, 0) en richtingsvector u(1, 1, 1) heeft, ontstaat een omwentelingsoppervlak. (1) Bepaal een affiene transformatie (bestaande uit een opeenvolging van translaties en rotaties) of een coördinatentransformatie, die het vlak bepaald door r en s, alsook de rechte s zelf, een voorkeurpositie laat innemen t.o.v. het coördinatenstelsel. (2) Gebruik deze transformatie om een parametervoorstelling en de cartesiaanse vergelijking van dit omwentelingsoppervlak op te stellen. (3) Bepaal de cartesiaanse vergelijking ook door een beschrijving als meetkundige plaats; leg uit. De kwadriek met vergelijking 56x 2 +56y 2 +56z 2 32xy 32xz 32yz 44x+40y+124z 117 = 0.

2 (1) Bepaal de eigenwaarden en bijhorende eigenruimten van de kwadratische vorm van deze kwadriek met de hand en controleer met Maple. (2) Reduceer deze kwadriek tot standaardvorm en bepaal op die manier een parametervoorstelling ervan. (3) Is dit een omwentelingskwadriek? Geef desgevallend de omwentelingsas en de brandpunten. De kwadriek met vergelijking 576xy + 576yz 576xz 48 3x 48y 48z 41 = 0. (1) Bepaal de eigenwaarden en bijhorende eigenruimten van de kwadratische vorm van deze kwadriek met de hand en controleer met Maple. (2) Reduceer deze kwadriek tot standaardvorm en bepaal op die manier een parametervoorstelling ervan. (3) Is dit een omwentelingskwadriek? Geef desgevallend de omwentelingsas en de brandpunten. Een rechte conoïde met als richtrechte de rechte evenwijdig met de Z-as die door het punt (12,0,0) gaat, en als richtoppervlak de sfeer met middelpunt in de oorsprong en straal 4. (1) Stel een parametervoorstelling van dit oppervlak op; besteed hierbij aandacht aan de keuze van de parameter en geef voldoende uitleg bij de berekeningen. (2) Voorspel welke de singuliere punten van dit oppervlak zijn, en controleer door expliciete berekening. (3) Is dit oppervlak afwikkelbaar? Leg uit. Een rechte conoïde met als richtrechte de rechte evenwijdig met de Z-as die door het punt (0,15,0) gaat, en als richtoppervlak de sfeer met middelpunt in de oorsprong en straal 5.

3 (1) Stel een parametervoorstelling van dit oppervlak op; besteed hierbij aandacht aan de keuze van de parameter en geef voldoende uitleg bij de berekeningen. (2) Voorspel welke de singuliere punten van dit oppervlak zijn, en controleer door expliciete berekening. (3) Is dit oppervlak afwikkelbaar? Leg uit. Het vlak met vergelijking 2x + 2y + z + 2 = 0. (1) Bepaal een affiene transformatie (bestaande uit een opeenvolging van translaties en rotaties) die die vlak een voorkeurpositie laat innemen t.o.v. het coördinatenstelsel. (2) Bepaal een coördinatentransformatie die hetzelfde effect heeft als de affiene transformatie. (3) Gebruik de affiene transformatie of de coördinatentransformatie om de transformatieformules op te stellen, corresponderend met de orthogonale spiegeling t.o.v. het gegeven vlak. (4) Geef een meetkundige manier om de correctheid van de gevonden transformatieformules te controleren. Het vlak met vergelijking x y 2z 1 = 0. (1) Bepaal een affiene transformatie (bestaande uit een opeenvolging van translaties en rotaties) die die vlak een voorkeurpositie laat innemen t.o.v. het coördinatenstelsel. (2) Bepaal een coördinatentransformatie die hetzelfde effect heeft als de affiene transformatie. (3) Gebruik de affiene transformatie of de coördinatentransformatie om de transformatieformules op te stellen, corresponderend met de orthogonale spiegeling t.o.v. het gegeven vlak. (4) Geef een meetkundige manier om de correctheid van de gevonden transformatieformules te controleren.

4 1. Het raaklijnenoppervlak aan een niet-vlakke gladde boog heeft geen singuliere punten. 2. Als O de 3 3 matrix is corresponderend met een orthogonale projectie op een rechte en S de 3 3 matrix corresponderend met een orthogonale spiegeling t.o.v. dezelfde rechte, dan geldt er dat 2O S = I, waarbij I de eenheidsmatrix van orde 3 voorstelt. 3. Een niet-reduciebele kwadriek met twee tegengestelde eigenwaarden en derde eigenwaarde 0, is een hyperbolische paraboloïde of een hyperbolische cilinder. 4. Onder orthogonale projectie blijft een rechte hoek tussen twee niet-projecterende vectoren bewaard als en slechts dan als beide evenwijdig zijn met het projectievlak. 1. Zij V de directe som van de lineaire ruimten V 1 en V 2 en zij W een deelruimte van V ; dan is W de directe som van W V 1 en W V Zijn A en B twee niet-singuliere vierkante matrices die anticommuteren, dan zijn ze beide spoorvrij. 3. Equivalente matrices hebben dezelfde kolommenruimte. 4. De eigenwaarden van een unitaire matrix liggen op de eenheidscirkel in het complexe vlak. 1. Elk raaklijnenoppervlak heeft oneindig veel singuliere punten. 2. Als O de 3 3 matrix is corresponderend met een orthogonale projectie op een rechte en S de 3 3 matrix corresponderend met een orthogonale spiegeling t.o.v. dezelfde rechte, dan geldt er dat 2S O = I, waarbij I de eenheidsmatrix van orde 3 voorstelt. 3. Een kwadriek met twee tegengestelde eigenwaarden en derde eigenwaarde 0, is steeds een hyperbolische paraboloïde of een hyperbolische cilinder. 4. Onder orthogonale projectie blijft een rechte hoek tussen twee niet-projecterende vectoren bewaard zodra één van beide evenwijdig is met het projectievlak. 1. Opdat de unie van twee deelruimten van een gegeven lineaire ruimte opnieuw een lineaire ruimte zou zijn, is het nodig en voldoende dat een van beide een deelverzameling is van de andere.

5 2. Zijn A en B twee niet-singuliere vierkante matrices die anticommuteren, dan zijn ze van even orde. 3. Equivalente matrices hebben dezelfde rijenruimte. 4. De eigenvectoren van een normale matrix en van zijn hermitisch toegevoegde zijn gelijk. 1. Het oppervlak met vergelijking xy = z heeft twee stellen beschrijvenden, die elk hun eigen richtvlak hebben. 2. Een isometrie wordt in genormaliseerde homogene coördinaten voorgesteld door een orthogonale matrix. 3. De kromme met parametervoorstelling (cos(t) cos(αt), cos(t) sin(αt), sin(t)), t R, zal enkel dan gesloten zijn als α Q. 4. Voor vier willekeurige vectoren a, b, c en d geldt er steeds dat (a b) (c d) = a ((d c) b). 1. Zij A F 2 2, en noteer door I de eenheidsmatrix van orde 2, dan bestaan er scalairen b,c F zodanig dat A 3 = ba + ci. 2. De som van de deelruimten der even en der oneven reëelwaardige functies is direct, en spant de volledige ruimte der reëelwaardige functies op. 3. Er bestaan vectoren u F n 1 (n 3), waarvoor uu T F n n inverteerbaar is. 4. De determinant van een n n matrix A is gelijk aan het product van de eigenwaarden van A, hun algebraïsche multipliciteit in acht genomen. 1. Het oppervlak met vergelijking xy = z is een rechte conoïde. 2. Een orthogonale transformatie in de ruimte der vrije vectoren, wordt voorgesteld door een orthogonale matrix.

6 3. De kromme met parametervoorstelling (cos(t) cos(αt), cos(t) sin(αt), sin(t)), t R, is altijd gesloten, voor elke α R. 4. Er geldt dat a (b c) = (a b) c als en slechts dan als a en c evenwijdig zijn. 1. Zij A F 2 2 inverteerbaar en noteer door I de eenheidsmatrix van orde 2, dan bestaan er scalairen b,c F zodanig dat A 1 = ba + ci. 2. De som van de deelruimten der symmetrische en der antisymmetrische reële n n matrices is direct, en spant de volledige ruimte der reële n n matrices op. 3. De reële n n matrix met elementen a ij = sin((i + j 1)θ) is nooit inverteerbaar. 4. Het spoor van een n n matrix A is, op het teken na, gelijk aan de som van de eigenwaarden van A. 1. Een omwentelingsoppervlak dat de rotatie-as niet snijdt, heeft geen singuliere punten. 2. Er bestaan oneindig veel 3 3 matrices waarvan elke even macht gelijk is aan de eenheidsmatrix. 3. Als een kwadriek twee gelijke eigenwaarden heeft, is het een omwentelingskwadriek. 4. Het dubbel vectorieel product (a b) (c d) kan zowel als lineaire combinatie van a en b, als als lineaire combinatie van c en d worden geschreven. 1. Er bestaat een lineaire transformatie T : R 5 R 2 waarvoor ker(t) = {(a,a + b,a b, 2a,b); a,b R} 2. Als A idempotent is, dan is e A = I n + (e 1)A. 3. Gelijksoortige matrices hebben hetzelfde spoor. 4. Zij A een reëel-symmetrische matrix; twee eigenvectoren van A, behorend bij verschillende eigenwaarden, zijn steeds onderling orthogonaal.

7 1. Een omwentelingsoppervlak gegenereerd door een gladde boog heeft geen singuliere punten. 2. Er bestaan oneindig veel 3 3 matrices waarvan elke oneven macht gelijk is aan de matrix zelf. 3. Een omwentelingskwadriek heeft steeds minstens twee gelijke eigenwaarden. 4. Het dubbel vectorieel product (a b) (c d) kan enkel dan als lineaire combinatie van b en c worden geschreven, als het gelijk is aan de nulvector. 1. Er bestaat een lineaire transformatie T : R 6 R 4 waarvoor ker(t) = {(a,a, a, a,a,a); a R} 2. Als A diagonaliseerbaar is, dan is det(e A ) = e tr(a). 3. Gelijksoortige matrices hebben dezelfde spectra. 4. Zij A een reëel-symmetrische matrix; eigenvectoren van A, behorend bij verschillende eigenwaarden, zijn steeds lineair onafhankelijk. 1. De eenbladige hyperboloïde is een regeloppervlak met twee stellen beschrijvenden. 2. Zij A de matrix die correspondeert met een orthogonale projectie op een vlak, in genormaliseerde homogene coördinaten. Dan is A I (met I de eenheidsmatrix) altijd een nuldeler. 3. De kromme met parametervoorstelling (cos(t) cos(αt), cos(t) sin(αt), sin(t)), met α = k l, k,l N, wordt volledig doorlopen als t een interval met lengte 2kπ doorloopt. 4. Een vector waarvan de richtingshoeken voldoen aan α = β en γ = 2α, is steeds evenwijdig met het XY -vlak. 1. De ruimte der reëel-symmetrische n n matrices is n(n+1) 2 dimensionaal. 2. De determinant van een hermitische matrix is reëel. 3. Het karakteristiek polynoom en het minimaalpolynoom van eenzelfde matrix hebben dezelfde nulpunten.

8 4. Zij V een inproductruimte met inproduct.,. en W een eindigdimensionale deelruimte van V met orthonormale basis {e 1,...,e n }; dan wordt de orthogonale projectie van v V op W gegeven door n k=1 v,e k e k. 1. Door een willekeurig punt van een eenbladige hyperboloïde gaan steeds twee rechten die volledig op het oppervlak gelegen zijn. 2. Zij A de matrix die correspondeert met een orthogonale projectie op een vlak, in genormaliseerde homogene coördinaten. Dan is A + I (met I de eenheidsmatrix) nooit een nuldeler. 3. De kromme met parametervoorstelling (cos(t) cos(αt), cos(t) sin(αt), sin(t)), met α = k l, k,l N, wordt volledig doorlopen als t een interval met lengte 2lπ doorloopt. 4. Een vector waarvan de richtingshoeken voldoen aan α = γ en β = 2α, is steeds evenwijdig met het XZ-vlak. 1. De ruimte der reële antisymmetrische n n matrices is n(n 1) 2 dimensionaal. 2. Het spoor van een hermitische matrix is reëel. 3. De meetkundige multipliciteit van een eigenwaarde is steeds kleiner dan of gelijk aan de algebraïsche multipliciteit. 4. Zij V een inproductruimte met inproduct.,. en W een deelruimte van V ; geldt er dat v w 0 W, met v V en w 0 W, dan is w 0 de beste approximatie van v in W. Het endomorfisme T : R 3 [x] R 3 [x], bepaald door T(ax 3 + bx 2 + cx + d) = dx 3 + cx 2 + bx + a (1) Geef de matrixvoorstelling van T t.o.v. de basis B = {x 3 + x,x 3 x,x 2 + 1,x 2 1}. (2) Ga na of T diagonaliseerbaar is over R. (3) Geef desgevallend de diagonaalvorm, de diagonaliserende matrix en de basis van R 3 [x] t.o.v. dewelke de diagonaalvorm wordt aangenomen.

9 (4) Bepaal det(t) en tr(t) en controleer deze waarden a.d.h.v. een theoretisch resultaat. Het endomorfisme T : R 3 [x] R 3 [x], bepaald door T(ax 3 + bx 2 + cx + d) = bx 3 + ax 2 + dx + c (1) Geef de matrixvoorstelling van T t.o.v. de basis B = {x 3 + x,x 3 x,x 2 + 1,x 2 1}. (2) Ga na of T diagonaliseerbaar is over R. (3) Geef desgevallend de diagonaalvorm, de diagonaliserende matrix en de basis van R 3 [x] t.o.v. dewelke de diagonaalvorm wordt aangenomen. (4) Bepaal det(t) en tr(t) en controleer deze waarden a.d.h.v. een theoretisch resultaat. De vectorruimte W der reële veeltermfuncties van graad kleiner dan of gelijk aan 3, gerestringeerd tot het interval [ π, +π]. Deze ruimte wordt voorzien van het inproduct p,q = π π p(x)q(x) dx (1) Bepaal een orthonormale basis voor de gegeven vectorruimte, m.b.t. het gegeven inproduct; leg uw constructie uit. (2) Bepaal de beste benadering p 3 (x) in W van de functie sin(x); leg uw constructie uit. (3) Bepaal de gemaakte fout wanneer men sin(x) door p 3 (x) vervangt, binnen de beschouwde inproductruimte. (4) Wat zou er gebeuren indien men met veeltermfuncties van graad kleiner dan of gelijk aan 4 zou werken? De vectorruimte W der reële veeltermfuncties van graad kleiner dan of gelijk aan 4, gerestringeerd tot het interval [ π, +π]. Deze ruimte wordt voorzien van het inproduct p,q = π π p(x)q(x) dx

10 (1) Bepaal een orthonormale basis voor de gegeven vectorruimte, m.b.t. het gegeven inproduct; leg uw constructie uit. (2) Bepaal de beste benadering p 4 (x) in W van de functie cos(x); leg uw constructie uit. (3) Bepaal de gemaakte fout wanneer men cos(x) door p 4 (x) vervangt, binnen de beschouwde inproductruimte. (4) Wat zou er gebeuren indien men met veeltermfuncties van graad kleiner dan of gelijk aan 5 zou werken? Het endomorfisme T 2 : R 2 2 R 2 2, bepaald door T 2 (A) = A T (1) Geef de matrixvoorstelling van T 2 t.o.v. de standaardbasis van R 2 2. (2) Ga na of T 2 diagonaliseerbaar is over R en geef desgevallend de diagonaalvorm en de basis t.o.v. dewelke deze wordt aangenomen. (3) Bepaal det(t 2 ) en tr(t 2 ) en controleer deze waarden a.d.h.v. een theoretisch resultaat. (4) Veralgemeen de in (2) en (3) gevonden resultaten naar het endomorfisme T n dat op dezelfde manier gedefinieerd wordt op R n n. De matrix A = Op de vectorruimte V der symmetrische en spoorvrije matrices in C 3 3 wordt het endomorfisme T bepaald door T(X) = AX XA (1) Ga na dat T inderdaad een endomorfisme van V is. (2) Geef een matrixvoorstelling van T t.o.v. een basis van V naar keuze. (3) Ga na of T diagonaliseerbaar is over C en geef desgevallend de diagonaalvorm en de basis t.o.v. dewelke deze wordt aangenomen. (4) Bepaal det(t) en tr(t) en controleer deze waarden a.d.h.v. een theoretisch resultaat.

11 Het endomorfisme T : R 3 [x] R 3 [x], bepaald door T(ax 3 + bx 2 + cx + d) = d2 dx 2((x2 1)(ax 3 + bx 2 + cx + d)) (1) Geef de matrixvoorstelling van T t.o.v. de basis B = {x 3 + 1,x 3 1,x 2 + x,x 2 x}. (2) Ga na of T diagonaliseerbaar is over R. (3) Geef desgevallend de diagonaalvorm, de diagonaliserende matrix en de basis t.o.v. dewelke de diagonaalvorm wordt aangenomen. (4) Bepaal det(t) en tr(t) en controleer deze waarden a.d.h.v. een theoretisch resultaat. Het endomorfisme T : R 3 [x] R 3 [x], bepaald door T(ax 3 + bx 2 + cx + d) = d2 dx 2((x2 + x)(ax 3 + bx 2 + cx + d)) (1) Geef de matrixvoorstelling van T t.o.v. de basis B = {x 3 + 1,x 3 1,x 2 + x,x 2 x}. (2) Ga na of T diagonaliseerbaar is over R. (3) Geef desgevallend de diagonaalvorm, de diagonaliserende matrix en de basis t.o.v. dewelke de diagonaalvorm wordt aangenomen. (4) Bepaal det(t) en tr(t) en controleer deze waarden a.d.h.v. een theoretisch resultaat.

Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode

Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode 2008-2009 Een rechte conoïde met als richtrechte de X-as, en als richtoppervlak de sfeer met middelpunt in (0, 16, 0) en straal 9. (1) Stel

Nadere informatie

Examenvragen eerste zittijd academiejaar Vraag 1 (op 6 punten) Gegeven:

Examenvragen eerste zittijd academiejaar Vraag 1 (op 6 punten) Gegeven: Examenvragen eerste zittijd academiejaar 2010-2011 Vraag 1 (op 6 punten) de vectorruimte V = {A R 3 3 tr(a) = 0 en a 12 = a 21, a 13 = a 32, a 23 = a 31 }; de afbeelding T : V V, A A T A. (1) Toon aan

Nadere informatie

(2) Stel een parametervoorstelling op van de doorsnijdingskromme van sfeer en cilinder in de voorkeurpositie.

(2) Stel een parametervoorstelling op van de doorsnijdingskromme van sfeer en cilinder in de voorkeurpositie. Vraag op 5 punten de sfeer met middelpunt in,, 4 en straal 6; de omwentelingscilinder met straal 6 en als as de rechte door,, met richtingsvector,, Bepaal een affiene transformatie of een coördinatentransformatie,

Nadere informatie

Examen Meetkunde, 1ste bach ir wet Academiejaar , tweede examenperiode

Examen Meetkunde, 1ste bach ir wet Academiejaar , tweede examenperiode Examen Meetkunde, 1ste bach ir wet Academiejaar 2006 2007, tweede examenperiode Vraag 1 De doorsnijdingskromme C van de volgende twee oppervlakken: het omwentelingskegeloppervlak K met de Z-as als omwentelingsas

Nadere informatie

Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)

Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30) Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,

Nadere informatie

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3. ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding

Nadere informatie

0 0 e 1 = = = = 1 2 Voor A nemen we nu de matrix 2 1 T ten opzichte van de geordende basis e 1, e 2, e 3, e 4.

0 0 e 1 = = = = 1 2 Voor A nemen we nu de matrix 2 1 T ten opzichte van de geordende basis e 1, e 2, e 3, e 4. Oude tentamenopgaven LinAlg deel II (Uitwerkingen volgen na de opgaven) 1. Beschouw de vectorruimte M 2,2 over R bestaande uit de 2 2-matrices met reële coëfficienten. Zij A een 2 2-matrix. De afbeelding

Nadere informatie

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 = UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De

Nadere informatie

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een

Nadere informatie

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax

Nadere informatie

Meetkunde en lineaire algebra

Meetkunde en lineaire algebra Meetkunde en lineaire algebra Daan Pape Universiteit Gent 7 juni 2012 1 1 Möbius transformaties De mobiustransformatie wordt gegeven door: z az + b cz + d (1) Als we weten dat het drietal (x 1, x 2, x

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B = Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Oefeningen meetkunde en lineaire algebra. Bert De Deckere

Oefeningen meetkunde en lineaire algebra. Bert De Deckere Oefeningen meetkunde en lineaire algebra Bert De Deckere Inhoudsopgave Vectoren 4. Vectorieel product................................... 4. Richtingshoeken.................................... 4.3 Spiegelen

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B = Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 2015 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt

Nadere informatie

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december A =

Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december A = Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december 2012 Opg 1 De schaakbordmatrix A is de 8 bij 8 matrix 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 A = 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1

Nadere informatie

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, 000-300 Bij elke vraag dient een berekening of mo- Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven tivering te worden opgeschreven Grafische en programmeerbare rekenmachines

Nadere informatie

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale

Nadere informatie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of

Nadere informatie

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA Vragen, samenvattingen en uitwerkingen 2013 - Lineaire algebra 1 - UvA Rocco van Vreumingen 28 juli 2016 1 Inhoudsopgave 1 Samenvattingen 3 1.1 Samenvatting stof college 1................... 3 1.2 Samenvatting

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Lineaire Algebra Een Samenvatting

Lineaire Algebra Een Samenvatting Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra

Tentamen Lineaire Algebra Tentamen Lineaire Algebra 3 januari 214, 8:3-11:3 uur - Bij dit tentamen mogen dictaten en boeken niet gebruikt worden - Een eenvoudige rekenmachine, hoewel niet nodig, is toegestaan, maar geen grafische

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: opspansel De vectoren v 1,..., v k V spannen

Nadere informatie

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 93 email: JCMKeijsper@tuenl studiewijzer: http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 JKeijsper (TUE) Lineaire

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets) Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren in R n

Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Als Ax λx voor zekere x in R n met x 0, dan is λ een eigenwaarde van A en x een eigenvector van A behorende bij λ. Een eigenvector is op een multiplicatieve constante

Nadere informatie

Ruimtemeetkunde deel 1

Ruimtemeetkunde deel 1 Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op -4-, 4.-7. uur. Opgave Gegeven is het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met parameters

Nadere informatie

Week 22: De macht van het spoor en het spoor van de macht

Week 22: De macht van het spoor en het spoor van de macht Week 22: De macht van het spoor en het spoor van de macht Een belangrijke invariant van een lineaire afbeelding is het spoor. Als we een basis kiezen dan is het spoor simpelweg de som van de elementen

Nadere informatie

Vectorruimten met inproduct

Vectorruimten met inproduct Hoofdstuk 3 Vectorruimten met inproduct 3. Inleiding In R 2 en R 3 hebben we behalve de optelling en scalairvermenigvuldiging nog meer structuur ; bij een vector kun je spreken over zijn lengte en bij

Nadere informatie

Unitaire en Hermitese transformaties

Unitaire en Hermitese transformaties Hoofdstuk 11 Unitaire en Hermitese transformaties We beschouwen vervolgens lineaire transformaties van reële en complexe inproductruimten die aan extra eigenschappen voldoen die betrekking hebben op het

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.

Nadere informatie

Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2

Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00 Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A.

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A. TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A maandag 16 december 2002, 1000-1200 Coördinaten zijn gegeven tov een standaardbasis in R n 1 De matrix A en de vector b R 4 zijn gegeven door 1 0 1 2 0 1 1 4 3 2 A =, b = 0

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN

Tentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN Tentamen Lineaire Algebra 29 januari 29, 3:3-6:3 uur UITWERKINGEN Gegeven een drietal lijnen in R 3 in parametervoorstelling, l : 2, m : n : ν (a (/2 pt Laat zien dat l en m elkaar kruisen (dat wil zeggen

Nadere informatie

Relevante examenvragen , eerste examenperiode

Relevante examenvragen , eerste examenperiode Relevante examenvragen 2007 2008, eerste examenperiode WAAR/VALS Zijn de volgende uitspraken waar of vals? Geef een korte argumentatie (bewijs) of een tegenvoorbeeld, eventueel aangevuld met een figuur.

Nadere informatie

extra sommen bij Numerieke lineaire algebra

extra sommen bij Numerieke lineaire algebra extra sommen bij Numerieke lineaire algebra 31 oktober 2012 1. Stel, we willen met een rekenapparaat (dat arithmetische bewerkingen uitvoert met een relatieve nauwkeurigheid ξ, ξ ξ) voor twee getallen

Nadere informatie

Hertentamen WISN102 Wiskundige Technieken 2 Di 17 april 13:30 16:30

Hertentamen WISN102 Wiskundige Technieken 2 Di 17 april 13:30 16:30 Hertentamen WIN12 Wiskundige Technieken 2 Di 17 april 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke

Nadere informatie

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =

Nadere informatie

Wiskundigen. Tentamen Lineaire Algebra 1. Donderdag 18 december 2008, a ( )

Wiskundigen. Tentamen Lineaire Algebra 1. Donderdag 18 december 2008, a ( ) Wiskundigen Tentamen Lineaire Algebra Donderdag 8 december 8,.-3. Naam: () Bepaal voor alle reële waarden van a de rang van de matrix a C a = a. 4a () Zij n een geheel getal en laat P n de vectorruimte

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra B

Tentamen Lineaire Algebra B Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een

Nadere informatie

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 1. Zi (R, V, +) een eindigdimensionale vectorruimte en veronderstel dat U en W deelruimten van V zin. Toon aan dat 2. Waar of fout? Argumenteer e antwoord.

Nadere informatie

Affiene ruimten. Oefeningen op hoofdstuk Basistellingen

Affiene ruimten. Oefeningen op hoofdstuk Basistellingen Oefeningen op hoofdstuk Affiene ruimten. Basistellingen Oefening.. Er zijn maar een eindig aantal lineaire afbeeldingen op een eindigdimensionale vectorruimte F n q over een eindig veld F q. Tel het aantal

Nadere informatie

Geadjungeerde en normaliteit

Geadjungeerde en normaliteit Hoofdstuk 12 Geadjungeerde en normaliteit In het vorige hoofdstuk werd bewezen dat het voor het bestaan van een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren voldoende is dat T Hermites is (11.17) of

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

Symmetrische matrices

Symmetrische matrices Symmetrische matrices We beginnen met een eenvoudige definitie : Definitie Een matrix A heet symmetrisch als A T = A NB Een symmetrische matrix is dus altijd vierkant Symmetrische matrices hebben fraaie

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

Wat verstaan we onder elementaire meetkunde?

Wat verstaan we onder elementaire meetkunde? Wat verstaan we onder elementaire meetkunde? Er zijn veel boeken met de titel 'Elementaire Meetkunde'. Niet alle auteurs verstaan hieronder hetzelfde. Dit boek behandelt in de eerste 1 hoofdstukken de

Nadere informatie

Lineaire Algebra Oefeningen

Lineaire Algebra Oefeningen VRIJE UNIVERSITEIT BRUSSEL Vrije Universiteit Brussel Faculteit Toegepaste Wetenschappen SCI EN T I A V INCERE T ENE BRA S Lineaire Algebra Oefeningen S. Caenepeel 994- Reeks Oefening. Bepaal rest en quotient

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Hoofdstuk 4 Lineaire afbeeldingen In de algebra spelen naast algebraïsche structuren zelf ook de afbeeldingen ertussen die (een deel van de structuur bewaren, een belangrijke rol Voor vectorruimten zijn

Nadere informatie

Oefeningen analytische meetkunde

Oefeningen analytische meetkunde Oefeningen analytische meetkunde ) orte herhaling. Zij gegeven twee vectoren P en Q. Bewijs dat de loodrechte projectie P' van P op Q gegeven wordt door: PQQ P'. Q. De cirkel c y 4y wordt gespiegeld om

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra 2 17 januari 2014, 10:00 13:00 zalen 174, 312, 412, 401, 402

Tentamen lineaire algebra 2 17 januari 2014, 10:00 13:00 zalen 174, 312, 412, 401, 402 Tentamen lineaire algebra 2 17 januari 214, 1: 13: zalen 174, 312, 412, 41, 42 Dit zijn geen complete uitwerkingen. Er is dus geen garantie dat het overschrijven met andere getallen voldoende is voor huiswerk

Nadere informatie

Lineaire algebra en kegelsneden. Cursus voor de vrije ruimte

Lineaire algebra en kegelsneden. Cursus voor de vrije ruimte Lineaire algebra en kegelsneden Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk Reële vectorruimten. De reële vectorruimte van de reële n-tallen Definitie Een reëel

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

Vrije Ruimte WISKUNDE. Schooljaar Van Hijfte D.

Vrije Ruimte WISKUNDE. Schooljaar Van Hijfte D. Vrije Ruimte WISKUNDE Schooljaar 2007 2008 Van Hijfte D. LINEAIRE ALGEBRA H1 Reële vectorruimten 1.1 Definitie en voorbeelden Stel V is een verzameling waarvan we de elementen vectoren noemen en die we

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Projectief vlak. 1.1 Het gecompleteerd affien vlak

Hoofdstuk 1. Projectief vlak. 1.1 Het gecompleteerd affien vlak Hoofdstuk 1 Projectief vlak 1.1 Het gecompleteerd affien vlak We kiezen in R, E O, + een coördinatenstelsel met assen X, Y en Z. Het punt E(1, 1, 1) bepaalt de ijken op X-as, Y -as en Z-as. We beschouwen

Nadere informatie

Zelftest wiskunde voor Wiskunde, Fysica en Sterrenkunde

Zelftest wiskunde voor Wiskunde, Fysica en Sterrenkunde In onderstaande zelftest zijn de vragen gebundeld die als voorbeeldvragen zijn opgenomen in de bijhorende overzichten van de verwachte voorkennis wiskunde. Naast de vragen over strikt noodzakelijke voorkennis,

Nadere informatie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar

Nadere informatie

Kwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat.

Kwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat. 1 Kwantummechanica Donderdag, 1 oktober 016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4 VECTOREN OVER DE REËLE RUIMTE DUS DE ELEMENTEN ZIJN REËLE GETALLEN Bestudeer Appendix A, bladzijden 110-114 van het dictaat. Opgave 1:

Nadere informatie

Een korte beschrijving van de inhoud

Een korte beschrijving van de inhoud Een korte beschrijving van de inhoud Lineaire algebra maakt een betrekkelijk eenvoudige behandeling van de meetkunde in een vlak of de ruimte mogelijk. Omgekeerd illustreren meetkundige toepassingen op

Nadere informatie

Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra 1, najaar y y = 2x. P x. L(P ) y = x. 2/3 1/3 en L wordt t.o.v de standaardbasis gegeven door

Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra 1, najaar y y = 2x. P x. L(P ) y = x. 2/3 1/3 en L wordt t.o.v de standaardbasis gegeven door Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra, najaar 007. Gegeven is de lineaire afbeelding L : R R, die een punt P = (x, y) langs de lijn y = x projecteert op de lijn y = x: y y = x P x L(P ) y = x Bepaal

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op 6--,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De

Nadere informatie

WPO Differentiaalmeetkunde I

WPO Differentiaalmeetkunde I 1 Vrije Universiteit Brussel Academiejaar 006-007 Prof. Dr. R. Kieboom Dr. G. Sonck WPO Differentiaalmeetkunde I Krommen in R n 1. Neem R met een orthonormale basis en a R + 0. Voor elk punt p o, gelegen

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 2 Ruimte en oppervlakken collegejaar : 18-19 college : 2 build : 5 september 2018 slides : 25 Vandaag Ruimte 1 Vectoren in R 3 recap 2 Oppervlakken 3 Ruimte 4 1 intro VA Voorkennis uit Ruimtewiskunde

Nadere informatie

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts

Nadere informatie

Tentamina Lineaire Algebra Cursussen. Uitgangspunten, aanbevelingen en opmerkingen

Tentamina Lineaire Algebra Cursussen. Uitgangspunten, aanbevelingen en opmerkingen Tentamina Lineaire Algebra Cursussen Fons Daalderop, Joost de Groot, Roelof Koekoek Mei 4 Uitgangspunten, aanbevelingen en opmerkingen De inhoud van de cursus Lineaire Algebra is voor wat betreft de basisstof

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op dinsdag 9 april 8, 9.. uur. Dit tentamen bestaat uit 6 open vragen, en 4 kort-antwoord

Nadere informatie

x 1 (t) = ve rt = (a + ib) e (λ+iµ)t = (a + ib) e λt (cos µt + i sin µt) x 2 (t) = ve rt = e λt (a cos µt b sin µt) ie λt (a sin µt + b cos µt).

x 1 (t) = ve rt = (a + ib) e (λ+iµ)t = (a + ib) e λt (cos µt + i sin µt) x 2 (t) = ve rt = e λt (a cos µt b sin µt) ie λt (a sin µt + b cos µt). 76 Complexe eigenwaarden Ook dit hebben we reeds gezien bij Lineaire Algebra Zie: Lay, 57 Als xt ve rt een oplossing is van de homogene differentiaalvergelijking x t Axt, dan moet r een eigenwaarde van

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)

Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen) Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Dit tentamen bestaat uit 4 open vragen, en kort-antwoord vragen. De uitwerkingen van de open vragen dienen volledig, duidelijk geformuleerd

Nadere informatie

MEETKUNDE en LINEAIRE ALGEBRA

MEETKUNDE en LINEAIRE ALGEBRA UNIVERSITEIT GENT Faculteit Ingenieurswetenschappen Vakgroep Wiskundige Analyse MEETKUNDE en LINEAIRE ALGEBRA H. De Schepper Academiejaar 2010-2011 1ste bachelor Ingenieurswetenschappen Inhoudsopgave m1vectoren

Nadere informatie

Vincent van der Noort Scoop vult de gaten in onze kennis... Het gevoel van eigenwaarden van David J. Griffith

Vincent van der Noort Scoop vult de gaten in onze kennis... Het gevoel van eigenwaarden van David J. Griffith Scoop februari 2003 Scoop vult de gaten Vincent van der Noort Scoop vult de gaten in onze kennis... Het gevoel van eigenwaarden van David J. Griffith De wiskundigen onder jullie zal de naam waarschijnlijk

Nadere informatie

Classificatie van algebraïsche oppervlakken die invariant zijn onder S 3. door Ruben Meuwese

Classificatie van algebraïsche oppervlakken die invariant zijn onder S 3. door Ruben Meuwese Classificatie van algebraïsche oppervlakken die invariant zijn onder S 3. door Ruben Meuwese 1 Introductie van algebraïsche oppervlakken. Een algebraïsche oppervlak in R 3 wordt gegeven door een polynoom

Nadere informatie

compact weer te geven (ken ook een waarde toe aan n).

compact weer te geven (ken ook een waarde toe aan n). 1 HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK 2 - Oplossingen Opgave 1: Er geldt n 3 en we hebben de compacte uitdrukking y i a r i x r, waarbij we gebruik maken van de Einsteinsommatieconventie. a Schrijf

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper

Nadere informatie

Algebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies

Algebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies Algebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies Trainingsweek juni 2008 Kwadraat afsplitsen Een kwadratische functie oftewel tweedegraads polynoom) px) = ax 2 + bx + c a 0) kan in verschillende

Nadere informatie

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen. Tentamen Lineaire Algebra maandag 3--27, 3.3-6.3 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken. Schrijf op elk

Nadere informatie

12. Uitwerkingen van de opgaven

12. Uitwerkingen van de opgaven 12. Uitwerkingen van de opgaven 12.1. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 3 Opgave 3.1 3,87 0,152 641, 2 Bereken met behulp van Maxima: 2,13 7,29 78 0,62 45 (%i1) 3.87*0.152*641.2/(2.13*7.29*78*0.62*45);

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y65 Docent: L Habets HG 89, Tel: 4-247423, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y65 1 Herhaling: bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT (2DM20) op vrijdag 12 juni 2009, 9.00 Dit tentamen bestaat uit 5 open vragen, en 4 kort-antwoord vragen.

Nadere informatie

CTB1002-D2 Lineaire Algebra 2

CTB1002-D2 Lineaire Algebra 2 CTB00-D Lineaire Algebra Juli 03 Augustus 03 Juli 0 Augustus 0 Juli 0 Augustus 0 Juli 00 Augustus 00 Tentamenbundel Civiele Techniek Het Gezelschap "Practische Studie" Technische Universiteit Delft Faculteit

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren

Eigenwaarden en eigenvectoren Eigwaard eigvector Als A e vierkante matrix is, dan heet e vector x e eigvector van A als Ax e veelvoud van x is : Definitie Stel dat A e (n n-matrix is E vector x R n met x o heet e eigvector van A als

Nadere informatie

Lineaire Algebra SUPPLEMENT II

Lineaire Algebra SUPPLEMENT II Lineaire Algebra SUPPLEMENT II FBeukers 2012 Departement Wiskunde UU Inhoudsopgave 13 Eigenwaarden en eigenvectoren 3 131 Inleiding 3 132 Berekening van eigenwaarden en eigenvectoren 5 133 Basiseigenschappen

Nadere informatie

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen. Tentamen Lineaire Algebra donderdag 29 januari 205, 9.00-2.00 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken.

Nadere informatie

EXAMENVRAGEN RUIMTEMEETKUNDE I (niet-analytische meetkunde)

EXAMENVRAGEN RUIMTEMEETKUNDE I (niet-analytische meetkunde) EXAMENVRAGEN RUIMTEMEETKUNDE I (niet-analytische meetkunde). (4 p) Geef drie verschillende mogelijkheden waardoor in de driedimensionale ruimte een rechte bepaald is? 2. (6 p) Wanneer zijn de snijlijnen

Nadere informatie

Meetkunde en Algebra Een korte beschrijving van de inhoud

Meetkunde en Algebra Een korte beschrijving van de inhoud Meetkunde en Algebra Een korte beschrijving van de inhoud Lineaire algebra maakt een betrekkelijk eenvoudige behandeling van de meetkunde in een vlak of de ruimte mogelijk. Omgekeerd illustreren meetkundige

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra en Lineaire Analyse (Y550/Y530), op donderdag 5 november 00, 9:00 :00 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie