Lineaire Algebra (2DD12)

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Lineaire Algebra (2DD12)"

Transcriptie

1 Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper studiewijzer: ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 1 / 60

2 Inhoud 1 Motivatie 2 Stelsels lineaire vergelijkingen 3 De eliminatiemethode 4 Matrices 5 Rij-equivalentie 6 Echelon vormen (trapvormen) 7 Gauss-eliminatie 8 Gauss-Jordan reductie 9 Homogene stelsels 10 Matrixoperaties en rekenregels J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 2 / 60

3 Reactievergelijkingen kloppend maken Oxidatie van ammonia tot stikstofoxide en water: Behoud van massa (atomen): (x 1 )NH 3 + (x 2 )O 2 (x 3 )NO + (x 4 )H 2 O atoom N: x 1 = x 3, atoom H: 3x 1 = 2x 4, atoom O: 2x 2 = x 3 + x 4. Dit geeft een stelsel lineaire vergelijkingen in vier onbekenden: x 1 x 3 = 0 3x 1 2x 4 = 0 2x 2 x 3 x 4 = 0 Hoe los je zo n stelsel op? Antwoord: met de eliminatiemethode J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 3 / 60

4 x 1 x 3 = 0 3x 1 2x 4 = 0 2x 2 x 3 x 4 = 0 Trek de eerste vergelijking drie maal van de tweede af om x 1 te elimineren uit de tweede vergelijking: x 1 x 3 = 0 3x 3 2x 4 = 0 2x 2 x 3 x 4 = 0 Verwissel de tweede en derde vergelijking: x 1 x 3 = 0 2x 2 x 3 x 4 = 0 3x 3 2x 4 = 0 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 4 / 60

5 x 1 x 3 = 0 2x 2 x 3 x 4 = 0 3x 3 2x 4 = 0 Deel de tweede vergelijking door 2 en de derde door 3: x 1 x 3 = 0 x x x 4 = 0 x x 4 = 0 Tel de derde vergelijking een half maal op bij de tweede en één maal bij de eerste: x x 4 = 0 x x 4 = 0 x x 4 = 0 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 5 / 60

6 x x 4 = 0 x x 4 = 0 x x 4 = 0 Het stelsel was onderbepaald: er is geen unieke oplossing. Er zijn oneindig veel oplossingen die als volgt kunnen worden gevonden. Als x 4 vrij gekozen wordt, zeg x 4 = t R, dan liggen x 1, x 2 en x 3 vast. De algemene oplossing van dit stelsel is: x 1 = 2 3 t, x 2 = 5 6 t, x 3 = 2 3 t, x 4 = t R. Voor t = 6 krijg je gehele getallen x 1, x 2, x 3, x 4 : 4NH 3 + 5O 2 4NO + 6H 2 O J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 6 / 60

7 Definitie Een lineaire vergelijking in n onbekenden is een vergelijking van de vorm a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, met variabelen x 1,... x n, coëfficiënten a 1,..., a n R, en rechterlid b R. Een oplossing van deze vergelijking is een rij getallen s 1, s 2,... s n R zodat a 1 s 1 + a 2 s a n s n = b, Voorbeeld Een oplossing van de vergelijking in n = 3 variabelen is 1, 4, 1, ofwel x 1 = 1, x 2 = 4, x 3 = 1 3x 1 + 5x 2 8x 3 = 15 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 7 / 60

8 Definitie Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in n onbekenden x 1,..., x n (kortweg lineair stelsel) is een verzameling bestaande uit m vergelijkingen, elk in de n variabelen x 1,..., x n. Een oplossing van het stelsel is een oplossing van elk van de m vergelijkingen van het stelsel. Voorbeeld Gegeven is het volgende stelsel van twee vergelijkingen in drie onbekenden 4x 1 x 2 + 3x 3 = 1 3x 1 + x 2 + 9x 3 = 4 x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 1 is een oplossing van dit stelsel. x 1 = 1, x 2 = 8, x 3 = 1 is geen oplossing, want voldoet niet aan de tweede vergelijking. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 8 / 60

9 In het algemeen ziet een stelsel van m lineaire vergelijkingen in n onbekenden er als volgt uit: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m waarbij de a ij, 1 i m, 1 j n en de b i, 1 i m gegeven constanten (parameters) in R zijn. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 9 / 60

10 Er zijn drie mogelijkheden voor een lineair stelsel: 1. Het stelsel is strijdig of inconsistent (heeft geen oplossingen) x + y = 4 2x + 2y = 6 y y=4 x y=3 x O x J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 10 / 60

11 Een inconsistent stelsel herkent men gemakkelijk door systematisch toepassen van de eliminatiemethode. x + y = 4 2x + 2y = 6 Elimineren van x uit de tweede vergelijking geeft: x + y = 4 0 = 2 Vermenigvuldigen van de laatste vergelijking met 1 2 geeft: x + y = 4 0 = 1 Uit een inconsistent stelsel is met de eliminatiemethode altijd de onoplosbare vergelijking 0 = 1 af te leiden. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 11 / 60

12 2. Het stelsel is consistent en heeft precies één oplossing x + y = 4 x + 2y = 6 y y=4 x 2y=6 x O x J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 12 / 60

13 De eliminatiemethode vindt deze unieke oplossing als volgt. x + y = 4 x + 2y = 6 Elimineren van x uit de tweede vergelijking geeft: x + y = 4 y = 2 Elimineren van y uit de eerste vergelijking geeft: x = 2 y = 2 Dit is de unieke oplossing van het stelsel. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 13 / 60

14 3. Het stelsel is consistent en heeft oneindig veel oplossingen x + y = 4 2x + 2y = 8 y 2y=8 2x y=4 x O x J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 14 / 60

15 De eliminatiemethode geeft een manier om de oneindig vele oplossingen te beschrijven. x + y = 4 2x + 2y = 8 Elimineren van x uit de tweede vergelijking geeft: ofwel x + y = 4 0 = 0 x + y = 4 Kies y vrij in R, daarmee ligt x vast. Een parametervoorstelling (met parameter t) van de algemene oplossing van dit stelsel is dus x = 4 t y = t, t R J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 15 / 60

16 Twee stelsels lineaire vergelijkingen heten equivalent als zij precies dezelfde oplossingen hebben. Voorbeeld De enige oplossing van het stelsel x 3y = 7 2x + y = 7 is x = 2, y = 3. Dit is ook de enige oplossing van en van het stelsel 8x 3y = 7 3x 2y = 0 10x 2y = 14 x = 2 y = 3 Alledrie de stelsels zijn dus equivalent. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 16 / 60

17 De eliminatiemethode x 3y = 7 2x + y = 7 Vervang de tweede vergelijking door de tweede min 2 maal de eerste (elimineer x): x 3y = 7 7y = 21 Deel de tweede vergelijking door 7 (oftewel vermenigvuldig deze met 1 7 ): x 3y = 7 y = 3 Vervang de eerste vergelijking door de eerste plus 3 maal de tweede (elimineer y): x = 2 y = 3 Telkens gaat het stelsel over in een equivalent stelsel. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 17 / 60

18 Om een stelsel te vervangen door een equivalent stelsel dat eenvoudiger op te lossen is kunnen we de volgende drie soorten operaties toepassen 1. Verwissel twee vergelijkingen van plaats. 2. Vermenigvuldig een vergelijking met een constante ongelijk aan nul. 3. Vervang een vergelijking door de som van zichzelf en een veelvoud van een andere vergelijking. NB: Elk van deze operaties is omkeerbaar. NB: Elk van deze operaties behoudt de oplossingsverzameling van het stelsel. De eliminatiemethode past deze drie soorten operaties herhaaldelijk toe om zoveel mogelijk variabelen te elimineren (dwz verwijderen uit alle behalve één vergelijking) en zo een lineair stelsel op te lossen. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 18 / 60

19 Het stelsel x 3y = 7 2x + y = 7 kan compact worden weergegeven door de matrix [ ] of de gepartitioneerde matrix [ ] Dit is de uitgebreide matrix van het stelsel. Zonder de rechterleden krijgen we de coëfficiëntenmatrix van het stelsel: [ 1 ] J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 19 / 60

20 De drie soorten operaties op stelsels lineaire vergelijkingen corresponderen met elementaire rij-operaties op matrices 1. Verwissel twee rijen van de matrix. 2. Vermenigvuldig een rij met een constante ongelijk aan nul. 3. Vervang een rij van de matrix door de som van zichzelf en een veelvoud van een andere rij. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 20 / 60

21 [ Vervang de tweede rij door de tweede min 2 maal de eerste: [ 1 3 ] Deel de tweede rij door 7: [ Vervang de eerste rij door de eerste plus 3 maal de tweede: [ 1 0 ] Telkens gaat de matrix over in de uitgebreide matrix van een equivalent stelsel. Uit de laatste uitgebreide matrix lezen we gemakkelijk de (unieke) oplossing af: x = 2, y = 3. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 21 / 60 ] ]

22 Voorbeeld Eliminatiemethode geeft: [ [ x + 2y 3z = 4 2x + y 3z = 4 ] [ ] [ De algemene oplossing is eenvoudig af te lezen uit de laatste matrix: x = t + 4 y = t 4 z = t, t R ] ] J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 22 / 60

23 Rij-equivalentie De drie soorten elementaire rij-operaties op matrices zijn Definitie 1. Verwissel twee rijen van de matrix 2. Vermenigvuldig een rij met een constante ongelijk aan nul 3. Tel een veelvoud van een rij bij een andere rij op Een matrix A heet rij-equivalent met een matrix B (notatie: A B ) als A overgaat in B na het toepassen van een eindige reeks elementaire rij-operaties. NB: Als A en B uitgebreide matrices zijn van lineaire stelsels en A B, dan hebben de stelsels dezelfde oplossingsverzameling (de stelsels zijn equivalent). J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 23 / 60

24 Een stelsel in rij echelon vorm (trapvorm) Als de matrix in trapvorm is, kan men de oplossing van het bijbehorende stelsel direct aflezen De oplossing volgt uit zogenaamde achterwaartse substitutie: x 3 = 1 x 2 = 2 x 3 = = 3 x 1 = 3 2x 2 2x 3 = = 1 Elke matrix is rij-equivalent met een matrix in trapvorm waaruit de oplossing van het bijbehorende stelsel makkelijk kan worden afgelezen. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 24 / 60

25 Trapvorm en gereduceerde trapvorm Definitie Een matrix is in rij echelon vorm (trapvorm) als aan de volgende voorwaarden voldaan is 1. Eventuele nulrijen staan allemaal onderin de matrix 2. Als een rij geen nulrij is, dan is het eerste niet-nul element van de rij een 1 (de leidende 1 van de rij). 3. In elke niet-nul rij staat de leidende 1 rechts van en onder leidende enen in voorgaande rijen. Een matrix is in gereduceerde rij echelon vorm (gereduceerde trapvorm) als bovendien nog aan de volgende voorwaarde voldaan is 4. Als in een kolom een leidende 1 staat, dan zijn alle andere elementen in die kolom gelijk aan 0. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 25 / 60

26 Voorbeeld en zijn in trapvorm, maar niet in gereduceerde trapvorm, terwijl en in gereduceerde trapvorm zijn. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 26 / 60

27 Stelling Elke matrix is rij-equivalent met een matrix in trapvorm. Eliminatiemethode (Gauss-eliminatie) : Als A = O dan klaar. Anders: Stap 1. Vind de meest linkse kolom j die een niet-nul element bevat (de pivot kolom ) en kies een niet-nul element in deze kolom: de pivot of spil a ij Stap 2. Verwissel de rij van de pivot met de eerste rij: je krijgt matrix B met pivot b 1j J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 27 / 60

28 Stap 3. Deel de eerste rij van B door b 1j : je krijgt matrix C met pivot c 1j = Stap 4. Tel rij 1 een geschikt aantal malen bij de overige rijen op: je krijgt je een matrix D met d 1j = 1 en d hj = 0 voor alle h Stap 5. Laat de eerste rij van D weg en herhaal de procedure voor de matrix A 1 die je overhoudt J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 28 / 60

29 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 29 / 60

30 Stap 6. De matrix is nu in trapvorm. Om een gereduceerde trapvorm te krijgen (Gauss-Jordan reductie ), doen we het volgende: Vind de laatste niet-nul rij en tel deze een geschikt aantal maal op bij de rijen erboven om nullen te introduceren boven de leidende 1 van deze rij Ga nu één rij omhoog en herhaal, totdat alle kolommen met een leidende 1 erin schoongeveegd zijn J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 30 / 60

31 De Gauss-Jordan reductie methode geeft de volgende stelling: Stelling Elke matrix is rij-equivalent met een matrix in gereduceerde trapvorm. NB: de matrix in gereduceerde trapvorm is uniek (geen bewijs). MATLAB: rref(a) geeft je in één keer de unieke matrix in gereduceerde trapvorm (reduced row echelon form) die rij-equivalent is met A. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 31 / 60

32 Gauss-eliminatie: achterwaartse substitutie Voor het oplossen van een lineair stelsel Ax = b met behulp van Gauss-eliminatie transformeren we de uitgebreide matrix [A b] naar een rij-equivalente gepartitioneerde matrix [C d] in trapvorm, en lossen we het equivalente stelsel C x = d op door middel van achterwaartse substitutie : Voorbeeld [unieke oplossing] [C d] = x 3 = 3 x 2 = 2 x 3 = 2 3 = 1 x 1 = 9 2x 2 3x 3 = = 2 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 32 / 60

33 Voorbeeld [oneindig veel oplossingen] [C d] = x 5 = r x 4 = 9 2x 5 = 9 2r x 3 = 7 2x 4 = 7 2(9 x 5 ) 3x 5 = 11 + r x 2 = 7 2x 3 3x 4 + x 5 = 2 + 5r x 1 = 6 2x 2 3x 3 4x 4 5x 5 = 1 10r met r R NB: Kolommen zonder leidende 1 corresponderen met vrije variabelen. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 33 / 60

34 Voorbeeld [geen oplossing] [C d] = laatste rij: 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 = 1 ofwel 0 = 1 NB: Als een stelsel inconsistent is dan ontstaat er bij Gauss-eliminatie altijd een rij van de vorm [ ] J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 34 / 60

35 Voorbeeld [nulrijen weglaten] [C d] = het bijbehorende stelsel is equivalent met het stelsel behorend bij [ ] dus parametervoorstelling van de oplossing: x 3 = r x 2 = 2 2r x 1 = 0 3x 2 = 6 + 6r met r R J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 35 / 60

36 Voor het oplossen van een lineair stelsel Ax = b met behulp van Gauss-Jordan reductie transformeren we de uitgebreide matrix [A b] naar een rij-equivalente gepartitioneerde matrix [C d] in gereduceerde trapvorm, en lossen we het equivalente stelsel Cx = d eenvoudig op (zonder achterwaartse substitutie): Voorbeeld [C d] = x 1 = 5 x 2 = 6 x 3 = 7 x 4 = 8 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 36 / 60

37 Voorbeeld [C d] = Druk variabelen corresponderend met leidende enen (gebonden variabelen) uit in de overige (vrije) variabelen: x 1 = 2 3 x 2 2x x 5 x 4 = x 5 Dus parametervoorstelling van de algemene oplossing: x 1 = 2 3 r 2s t x 2 = r x 3 = s x 4 = t x 5 = t met r, s, t R J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 37 / 60

38 Los het volgende stelsel lineaire vergelijkingen op: x 1 + 3x 2 2x 3 + 2x 5 = 0 2x 1 + 6x 2 5x 3 2x 4 + 4x 5 3x 6 = 1 5x x 4 15x 6 = 5 2x 1 + 6x 2 + 8x 4 + 4x x 6 = 6 Breng de uitgebreide matrix in gereduceerde trapvorm met Gauss-Jordan reductie: J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 37 / 60

39 Oplossing: x 1 = 3r 4s 2t, x 2 = r, x 3 = 2s, x 4 = s, x 5 = t, x 6 = 1 3, met r, s, t R J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 38 / 60

40 Homogene stelsels Definitie Een stelsel waarvan elke vergelijking rechterlid 0 heeft heet homogeen. Een homogeen stelsel is nooit strijdig, want x 1 = 0, x 2 = 0,..., x n = 0 is een oplossing. Deze oplossing heet de triviale oplossing van het homogene stelsel. Elke andere oplossing heet een niet-triviale oplossing van het homogene stelsel. Voorbeeld Het volgende homogene stelsel in de variabelen x en y heeft alleen de triviale oplossing. x + y = 0 x + 2y = 0 geeft [ ] [ ] dus x = 0 y = 0 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 39 / 60

41 Voorbeeld x + 3y 2z = 0 4x 6y + z = 0 m = 2 < 3 = n. Dit homogene stelsel heeft niet-triviale oplossingen, want twee vlakken door de oorsprong hebben minstens een snijlijn gemeen. Stelling Laat Ax = 0 een homogeen stelsel zijn van m vergelijkingen in n onbekenden. Als m < n (er zijn meer variabelen dan vergelijkingen), dan heeft het stelsel een niet-triviale oplossing (zelfs oneindig veel). Bewijs: Trapvorm [B 0] van [A 0] heeft hoogstens m leidende enen (gebonden variabelen), dus minstens n m > 0 vrije variabelen. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 40 / 60

42 Voorbeeld in gereduceerde trapvorm gebracht: x 1 = s t x 2 = s x 3 = t x 4 = 0 x 5 = t, met s, t R J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 41 / 60

43 Een (m n) matrix A = [a ij ] is een rechthoekig getallenschema a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n..... a ij. a m1 a m2 a mn bestaande uit m rijen en n kolommen. De i-de rij (1 i m) van A = [a ij ] is de 1 n (sub)matrix [ ai1 a i2 ] a in De j-de kolom (a j n) van A = [a ij ] is de m 1 (sub)matrix a 1j a 2j a j =. a mj Het i, j-de element van A = [a ij ] is a ij. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 42 / 60

44 Definitie Als m = n dan heet A een vierkante matrix. Een n 1 matrix heet ook wel een n-vector of kortweg een vector. Een 1 n matrix heet ook wel een n-rijvector. Twee m n matrices A = [a ij ] en B = [b ij ] zijn gelijk als a ij = b ij voor alle i = 1,... m en alle j = 1,... n. Voorbeeld 2 u = 3 is een 3-vector. v = [ ] is een 3-rijvector. 1 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 43 / 60

45 Definitie De getransponeerde A T van een m n matrix A = [a ij ] is de n m matrix C = [c ij ] gedefinieerd door c ij = a ji (dus aij T = a ji, rijen en kolommen zijn verwisseld). Een reële matrix heet symmetrisch als A = A T Voorbeeld A = [ Een symmetrische matrix: B = ] NB: een symmetrische matrix is vierkant A T = = B T J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 44 / 60

46 Definitie De som A + B van twee m n matrices A = [a ij ] en B = [b ij ] is de matrix C = [c ij ] gedefinieerd door c ij = a ij + b ij, i = 1,... m, j = 1,... n. Het scalaire product ra van een reëel getal r en een m n matrix A is de m n matrix C = [c ij ] gedefinieerd door c ij = ra ij. Het verschil A B van twee m n matrices A en B is gedefiniëerd als de som van A en ( 1)B Voorbeeld [ ] [ ] A = 3A = [ ] [ ] B = A + B = [ ] A B = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 45 / 60

47 Inproduct van vectoren Definitie Het inproduct van twee n-vectoren a 2 a =. en b = a n is gedefiniëerd als a 1 b 1 b 2. b n n a i b i = a 1 b 1 + a 2 b a n b n i=1 Notatie: a b J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 46 / 60

48 Voorbeeld Het inproduct van de 4-vectoren 1 2 u = 2 3 en v = 3 2 is 4 1 u v = ( 2) ( 2) = = 6 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 47 / 60

49 Matrix-vector product Het product Au van een m n matrix A = [a ij ] en een n-vector u is de m-vector gedefinieerd door Au = a T 1 u a T 2 u a T m u, waarbij a i de i-de rij van A voorstelt. Dwz het i-de element van het product Au is gelijk aan het inproduct van de i-de rij van A (getransponeerd) met de vector u. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 48 / 60

50 Voorbeeld A = Au = u = = NB: het product Au is alleen gedefinieerd als het aantal kolommen van A hetzelfde is als de afmeting van u (A is een m n matrix en u is een n-vector) J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 49 / 60

51 Lineair stelsel als matrix-vector product Het stelsel a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m kan geschreven worden als Ax = b voor A = [a ij ] de coëfficiëntenmatrix van het stelsel, x de n-vector en b de m-vector van rechterleden b 1 b 2. b m J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 50 / 60. x 1 x 2. x n

52 Voorbeeld x 1 x 3 = 0 3x 1 2x 4 = 0 2x 2 x 3 x 4 = 0 kan geschreven worden als Ax = b met A = x = x 1 x 2 x 3 x 4 b = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 51 / 60

53 Motivatie matrixproduct: substitutie x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 0 2x 1 + 6x 2 = 0 Substitutie in Ax = 0 van x 1 y 1 + y 2 x = x 2 x 3 = y 1 y 2 y 1 + 2y 2 A = = By B = geeft het stelsel A(By) = 0 ofwel Cy = 0 in y-variabelen: [ (y 1 + y 2 ) + 2(y 1 y 2 ) + 4(y 1 + 2y 2 ) = 0 2(y 1 + y 2 ) + 6(y 1 y 2 ) + 0(y 1 + 2y 2 ) = 0 ] ofwel 7y 1 + 7y 2 = 0 8y 1 + 4y 2 = 0 C = [ ] J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 52 / 60

54 Matrixproduct Definitie Het product AB van een m p matrix A = [a ij ] en een p n matrix B = [b ij ] is de m n matrix gedefinieerd door AB = [ Ab 1 Ab 2 Ab n ], waarbij b j de j-de kolom van B voorstelt. NB: de j-de kolom van de matrix AB is het product van A en de j-de kolom van B. NB: het ij-de element van de matrix AB is dus het inproduct van de i-de rij van A (getransponeerd) en de j-de kolom van B. NB: het product AB is alleen gedefinieerd als het aantal kolommen van A hetzelfde is als het aantal rijen van B. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 53 / 60

55 Voorbeeld A = [ ] AB = B = [ ] Noem AB = [c ij ], dan bijvoorbeeld c 23 = = = 26 NB: BA is niet gedefinieerd want B is 3 4 en A is 2 3. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 54 / 60

56 Inproduct als matrixproduct Als u en v twee n-vectoren zijn, dan is hun inproduct u v gelijk aan het matrixproduct u T v. Voorbeeld u = v = u T v = [ ] = = 6 = u v J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 55 / 60

57 Definitie Een lineaire combinatie van de m n matrices A 1, A 2,..., A k is een uitdrukking van de vorm c 1 A 1 + c 2 A c k A k waarbij c 1, c 2,..., c k coëfficiënten genoemd worden. Een compactere schrijfwijze voor bovenstaande lineaire combinatie is k c i A i i=1 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 56 / 60

58 Matrix-vector product als lineaire combinatie Als A een m n matrix is en a j de j-de kolom van A (een m-vector), dan geldt voor het matrixproduct van A met de n-vector c 1 c 2 c =. dat dit de volgende lineaire combinatie is van de kolommen van A: n Ac = c 1 a 1 + c 2 a c n a n = c j a j Voorbeeld c n j= = = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 57 / 60

59 Evenzo, als A een m n matrix is en r i de i-de rij van A (een n-rijvector), dan geldt voor het matrixproduct van de m-rijvector c = [ c 1 c 2 c m ] met A dat dit de volgende lineaire combinatie is van de rijen van A: ca = c 1 r 1 + c 2 r c m r m = m c i r i i=1 Voorbeeld [ 2 1 ] = 2 [ ] 1 [ ] +3 [ ] = [ ] J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 58 / 60

60 Lineair stelsel als lineaire combinatie met onbekende coëfficiënten Het stelsel Ax = b kan geschreven worden als x 1 a 1 + x 2 a x n a n = b, waarbij a j de j-de kolom van A voorstelt. NB: er bestaat dus een oplossing x voor het stelsel Ax = b dan en slechts dan als b een lineaire combinatie is van de kolommen van A. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 59 / 60

61 Voorbeeld kan geschreven worden als 1 0 x x x 1 x 3 = 0 3x 1 2x 4 = 0 2x 2 x 3 x 4 = 0 + x x = De oplossing x 1 = 4, x 2 = 5, x 3 = 4, x 4 = 6 van het stelsel correspondeert met de lineaire combinatie die de nulvector oplevert J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 60 / 60

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014 Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 7 J.Keijsper

Nadere informatie

Stelsels lineaire vergelijkingen

Stelsels lineaire vergelijkingen Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix. 2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Matrices en Grafen (wi1110ee)

Matrices en Grafen (wi1110ee) Matrices en Grafen (wi1110ee) Electrical Engineering TUDelft September 1, 2010 September 1, 2010 Inleiding Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http:

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper

Nadere informatie

Ruimtewiskunde. college. Stelsels lineaire vergelijkingen. Vandaag UNIVERSITEIT TWENTE. Stelsels lineaire vergelijkingen.

Ruimtewiskunde. college. Stelsels lineaire vergelijkingen. Vandaag UNIVERSITEIT TWENTE. Stelsels lineaire vergelijkingen. college 4 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 16-17 4 29 maart 217 38 1 2 3.16-17[4] 1 vandaag Vectoren De notatie (x 1, x 2,..., x n ) wordt gebruikt voor het punt P met coördinaten (x 1,

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op -4-, 4.-7. uur. Opgave Gegeven is het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met parameters

Nadere informatie

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

Lineaire Algebra Een Samenvatting

Lineaire Algebra Een Samenvatting Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle

Nadere informatie

Matrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten.

Matrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Definitie Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Voorbeelden De coëfficiëntenmatrix of aangevulde matrix bij een stelsel lineaire vergelijkingen. Een rij-echelonmatrix

Nadere informatie

3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?

3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen? In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

3.2 Vectoren and matrices

3.2 Vectoren and matrices we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,

Nadere informatie

Lineair voor CT College 2a. Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul

Lineair voor CT College 2a. Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul Lineair voor CT College 2a Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul Speciale vormen van een matrix Een stelsel oplossen komt overeen met door elementaire rijopera-es bepalen van de gereduceerde echelon vorm

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 1 11 februari 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 93 email: JCMKeijsper@tuenl studiewijzer: http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 JKeijsper (TUE) Lineaire

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Basiskennis lineaire algebra

Basiskennis lineaire algebra Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal

Nadere informatie

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 CTB100 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 5 5 februari 014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we hoofdstuk 1.7 en deel van 1.8 Voor de pauze: hoofdstuk 1.7 Na de pauze: hoofdstuk 1.8 Verschillende notaties

Nadere informatie

Lineaire Algebra WI1048WbMt. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 4 september 2016

Lineaire Algebra WI1048WbMt. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 4 september 2016 Lineaire Algebra WI1048WbMt, 4 september 2016 Informatie over de docent Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper

Nadere informatie

Matrixalgebra (het rekenen met matrices)

Matrixalgebra (het rekenen met matrices) Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg

Nadere informatie

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte

Nadere informatie

Hoofdstuk 3. Matrices en stelsels. 3.1 Matrices. [[1,7]],[[12,8] ] of [ 1, 7; 12,8 ] bepaalt de matrix

Hoofdstuk 3. Matrices en stelsels. 3.1 Matrices. [[1,7]],[[12,8] ] of [ 1, 7; 12,8 ] bepaalt de matrix Hoofdstuk 3 Matrices en stelsels 3.1 Matrices Een matrix is in DERIVE gedefinieerd als een vector van vectoren. De rijen van de matrix zijn de elementen van de vector. Op de volgende manier kan je een

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Lineaire algebra (versie 15 september 2008)

Zomercursus Wiskunde. Lineaire algebra (versie 15 september 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Lineaire algebra (versie 15 september 2008) 2 Lineaire algebra Deze module wordt zowel gegeven in het A-programma als in het B-programma van de zomercursus

Nadere informatie

OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010

OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010 OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010 1. Zij V een vectorruimte en A = {v 1,..., v m } een deelverzameling van m vectoren uit V die voortbrengend is voor V, m.a.w. V = A.

Nadere informatie

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties M1 Wiskundig taalgebruik en notaties Verzamelingenleer Verzameling = aantal objecten samengebracht tot een geheel - Lege verzameling = verzameling die geen elementen bevat A = - Singleton verzameling =

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Vectoren in R n 1 2 Lineaire combinaties 2 3 Matrices 7 31 Het begrip matrix 7 32 Som

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 16 Lineaire algebra B (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 16 Lineaire algebra B (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 16 Lineaire algebra B (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Vectoren in R n en matrices 1 2 Lineaire stelsels 11 21 Formulering en interpretatie

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op 6--,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

4.0 Voorkennis [1] Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij.

4.0 Voorkennis [1] Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij. 3x4 y26 4x y3 4.0 Voorkennis [1] Voorbeeld 1 (Elimineren door substitutie): Los op: Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij. 4x y = 3 y = 4x 3 Stap 2: Vul de vrijgemaakte variabele

Nadere informatie

Vector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen

Vector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen Vector-en matrixvergelijkingen (a) Parallellogramconstructie (b) Kop aan staartmethode Figuur: Vectoren, optellen (a) Kop aan staartmethode, optellen (b) Kop aan staart methode, aftrekken Figuur: Het optellen

Nadere informatie

De inverse van een matrix

De inverse van een matrix De inverse van een matrix Laat A een n n matrix zijn. Veronderstel dat de matrixvergelijking A X = I n de oplossing X = C heeft. Merk op dat [ A I n ] rijoperaties [ I n C ] [ I n A] inverse rijoperaties

Nadere informatie

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:

Nadere informatie

Lineaire Algebra C 2WF09

Lineaire Algebra C 2WF09 Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H.A. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van

Nadere informatie

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA Vragen, samenvattingen en uitwerkingen 2013 - Lineaire algebra 1 - UvA Rocco van Vreumingen 28 juli 2016 1 Inhoudsopgave 1 Samenvattingen 3 1.1 Samenvatting stof college 1................... 3 1.2 Samenvatting

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Stelsels lineaire vergelijkingen

Stelsels lineaire vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven In het vak Meetkunde voor Bouwkunde kom je stelsels lineaire vergelijkingen tegen en matrices tegen.

Nadere informatie

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =

Nadere informatie

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3. ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding

Nadere informatie

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een

Nadere informatie

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b, UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht

Nadere informatie

Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2

Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen voor studenten IO, concept. Emiel van Elderen

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen voor studenten IO, concept. Emiel van Elderen Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen voor studenten IO, concept Emiel van Elderen April 8, 28 Inleiding In dit document zullen we ons bezig houden met het systematisch oplossen van stelsels

Nadere informatie

Linalg.nb 1. Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes!

Linalg.nb 1. Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes! Linalg.nb Lineaire Algebra Andr Heck AMSTEL Instituut, Universiteit van Amsterdam Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes! Å Introductie

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Studiewijzer Lineaire Algebra voor ST (2DS06), blok D, januari 2009

Studiewijzer Lineaire Algebra voor ST (2DS06), blok D, januari 2009 Studiewijzer Lineaire Algebra voor ST (2DS06), blok D, januari 2009 1 Algemeen 1.1 Docenten De cursus wordt gegeven door Judith Keijsper (Dr. J.C.M. Keijsper, HG 9.31, tel 5583, email J.C.M.Keijsper(AT)tue(DOT)nl).

Nadere informatie

Lineaire vergelijkingen. Introductie 13. Leerkern 14. Samenvatting 35

Lineaire vergelijkingen. Introductie 13. Leerkern 14. Samenvatting 35 Lineaire vergelijkingen Introductie 13 Leerkern 14 1.1 Twee-bij-twee-stelsels en lijnen in het vlak 14 1.2 Algemene stelsels vergelijkingen 21 1.2.1 De elementaire bewerkingen van de gausseliminatie 21

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: opspansel De vectoren v 1,..., v k V spannen

Nadere informatie

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. . Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn

Nadere informatie

Lineaire algebra toegepast

Lineaire algebra toegepast Lineaire algebra toegepast voor wiskunde D ( 5 VWO) H. van Gendt R.A.C. Dames Versie 4, november 008 Deze module is ontwikkeld in opdracht van ctwo. Copyright 008 R.Dames en H. van Gendt Inhoudsopgave

Nadere informatie

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 = UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De

Nadere informatie

Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A. De opgaven

Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A. De opgaven Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 3 november 9, 3-6 uur Bij dit tentamen mogen dictaat en/of rekenmachine niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, collegekaartnummer en naam van de practicumleider

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De

Nadere informatie

Dimensie van een deelruimte en rang van een matrix

Dimensie van een deelruimte en rang van een matrix Dimensie van een deelruimte en rang van een matrix Definitie (Herinnering) Een basis voor een deelruimte H van R n is een lineair onafhankelijke verzameling vectoren die H opspant. Notatie Een basis van

Nadere informatie

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts

Nadere informatie

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax

Nadere informatie

Uitwerking 1 Uitwerkingen eerste deeltentamen Lineaire Algebra (WISB121) 3 november 2009

Uitwerking 1 Uitwerkingen eerste deeltentamen Lineaire Algebra (WISB121) 3 november 2009 Departement Wiskunde, Faculteit Bètawetenschappen, UU. In elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TBC van A Eskwadraat. Het college WISB werd in 9- gegeven door Prof. Dr. F. Beukers. Uitwerking

Nadere informatie

Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten. Joost de Groot Les 5. Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde. Technische Universiteit Delft

Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten. Joost de Groot Les 5. Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde. Technische Universiteit Delft Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten Joost de Groot Les 5 1 Technische Universiteit Delft Doel van deze les Determinanten ben je al tegengekomen bij de behandeling van het in en het uitwendig

Nadere informatie

3. Stelsels van vergelijkingen

3. Stelsels van vergelijkingen . Stelsels van vergelijkingen We gaan de theorie van de voorgaande hoofdstukken toepassen op stelsels van lineaire vergelijkingen. Een voorbeeld: bepaal alle oplossingen (x,, ) van het stelsel vergelijkingen

Nadere informatie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar

Nadere informatie

Inleiding in de lineaire algebra

Inleiding in de lineaire algebra Inleiding in de lineaire algebra (SV.9) W.Oele P.J. den Brok 6 maart 4 Inleiding De cursus lineaire algebra bestaat uit een aantal colleges in de matrix- en de vectorrekening. De colleges over en de oefenopdrachten

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D)

Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) 1 Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Les 1 : Stelsels en Echelon vorm DOEL : WE GAAN EEN AANTAL VERGELIJKINGEN MET EEN AANTAL VARIABELEN PROBEREN OP TE LOSSEN. Definities Stelsel

Nadere informatie

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

b + b c + c d + d a + a

b + b c + c d + d a + a Voorwoord De wiskundige vorming die in de wiskundig sterke richtingen van het Vlaamse secundair onderwijs wordt aangeboden, vormt een zeer degelijke basis voor hogere studies in wetenschappelijke, technologische

Nadere informatie

Functies van vectoren

Functies van vectoren Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.

Nadere informatie

H5: onderzoek van functies. Symmetrie van een functie: even is een symmetrie rond de y-as of f is symmetrisch rond het middelpunt dan is f oneven.

H5: onderzoek van functies. Symmetrie van een functie: even is een symmetrie rond de y-as of f is symmetrisch rond het middelpunt dan is f oneven. Algemene eigenschappen H5: onderzoek van functies Symmetrie van een functie: even is een symmetrie rond de y-as of f is symmetrisch rond het middelpunt dan is f oneven. Coördinatietransformatie: x = αu

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 Familienaam:....................................................................... Voornaam:.........................................................................

Nadere informatie

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9 Hoofdstuk 9 Bilineaire Vormen In dit hoofdstuk beschouwen we bilineaire vormen op een vectorruimte V nader. Dat doen we onder andere om in het volgende hoofdstuk de begrippen afstand en lengte in een vectorruimte

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor

Nadere informatie

Vectorruimten en deelruimten

Vectorruimten en deelruimten Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie

Nadere informatie

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1 WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit

Nadere informatie

Ruimtewiskunde. college 3 Lijnen, vlakken en oppervlakken in de ruimte. Vandaag

Ruimtewiskunde. college 3 Lijnen, vlakken en oppervlakken in de ruimte. Vandaag college 3 Lijnen, vlakken en in de collegejaar : 16-17 college : 3 build : 6 juni 2017 slides : 37 Vandaag 1 Lijnen 2 Vlakken 3 4 Toepassing: perspectivische.16-17[3] 1 vandaag Lijnen in het platte vlak

Nadere informatie

Lights Out. 1 Inleiding

Lights Out. 1 Inleiding Lights Out 1 Inleiding Het spel Lights Out is een elektronisch spel dat gelanceerd werd in 1995 door Tiger Electronics. Het originele spel heeft een bord met 25 lampjes in een rooster van 5 rijen en 5

Nadere informatie

Lineaire algebra I (wiskundigen)

Lineaire algebra I (wiskundigen) Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie

Nadere informatie

Syllabus. Lineaire Algebra. dr. H.G.J. Pijls en dr. C.G. Zaal

Syllabus. Lineaire Algebra. dr. H.G.J. Pijls en dr. C.G. Zaal Syllabus Lineaire Algebra dr HGJ Pijls en dr CG Zaal Im (L Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam 4 augustus 2007 Syllabus Lineaire Algebra dr HGJ Pijls

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra B

Tentamen Lineaire Algebra B Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een

Nadere informatie

1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A.

1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A. . Oefen opgaven Opgave... Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat A = Bepaal de matrix van A. 4, 4 A =, A = 3 4. In de volgende opgave wordt het begrip injectiviteit en surjectiviteit van

Nadere informatie

1 Stelsels lineaire vergelijkingen.

1 Stelsels lineaire vergelijkingen. Stelsels lineaire vergelijkingen Ter herinnering: in de tweede klas Havo/Atheneum leer je twee vergelijkingen met twee onbekenden oplossen Voorbeeld: { x + y = 5 x + y = 0 Twee keer de eerste vergelijking

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Instructies (vandaag, 10:45 12:30) in vier zalen: Zaal Aud 10 Pav b2 Pav m23 Ipo 0.98 voor studenten met achternaam beginnend met letters A tot en met D met letters

Nadere informatie

Lineaire vergelijkingen II: Pivotering

Lineaire vergelijkingen II: Pivotering 1/25 Lineaire vergelijkingen II: Pivotering VU Numeriek Programmeren 2.5 Charles Bos Vrije Universiteit Amsterdam c.s.bos@vu.nl, 1A40 15 april 2013 2/25 Overzicht Pivotering: Methodes Norm en conditionering

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) Organisatorische informatie Wat Dag Tijd Zaal Docent College Tue 5+6 Aud 6+15 Gerhard Woeginger Thu 1+2 Aud 1+4 Gerhard Woeginger Clicker session Tue 7+8 Aud 6+15 Gerhard Woeginger

Nadere informatie