Ruimtewiskunde. college. Stelsels lineaire vergelijkingen. Vandaag UNIVERSITEIT TWENTE. Stelsels lineaire vergelijkingen.

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Ruimtewiskunde. college. Stelsels lineaire vergelijkingen. Vandaag UNIVERSITEIT TWENTE. Stelsels lineaire vergelijkingen."

Transcriptie

1 college 4 collegejaar college build slides Vandaag : : : : maart [4] 1 vandaag

2 Vectoren De notatie (x 1, x 2,..., x n ) wordt gebruikt voor het punt P met coördinaten (x 1, x 2,..., x n ); de standaardvector OP #» = x 1, x 2,..., x n. Met andere woorden: we gebruiken voortaan ronde haken in plaats van knikhaken. z P O y.16-17[4] x 2 ls..1 Onbekenden 2 x 1 1? x x 3 = 8 1? x 1 +? x 2 4 x 3 = 7 x 1 Vergelijkingen Coëfficiënten Constante termen Een stelsel bestaat uit lineaire. De onbekenden zijn x 1, x 2 en x 3. De coëfficiënten en constante termen zijn reële getallen. De coëfficiënten, 1 en 1 zijn niet zichtbaar,...maar ze zijn er wel [4] 3 ls.1

3 Oplossingsverzamelingen Definitie Definitie 1.12 Een oplossingsvector of oplossing van een stelsel lineaire met onbekenden x 1, x 2,..., x n is een vector (s 1, s 2,..., s n ) die iedere vergelijking van het stelsel waar maakt als alle onbekenden x i worden vervangen door de corresponderende getallen s i. De oplossingsverzameling van een stelsel lineaire is de verzameling van alle oplossingen [4] 4 ls.2 Oplossingsverzamelingen Voorbeeld Voorbeeld 1.14 Gegeven is het stelsel (1) { x1 2 x 2 = 1 x x 2 = 3 De vector (3, 2) is een oplossing van het stelsel (1): = = 3 Er zijn geen andere oplossingen. De oplossingsverzameling van stelsel (1) is {(3, 2)} [4] 5 ls.3

4 De oplossingsverzameling van een stelsel lineaire Eigenschap Een stelsel lineaire heeft 1 geen oplossing, of 2 precies één oplossing, of 3 oneindig veel oplossingen. Definitie Definitie 1.13 Een stelsel lineaire heet oplosbaar als het stelsel tenminste één oplossing heeft. Een stelsel lineaire heet strijdig als het stelsel geen oplossing heeft [4] 6 ls.7 Reductie Met reductie worden stelsels getransformeerd naar andere equivalente stelsels. Het doel is om te krijgen waarin zoveel mogelijk onbekenden geïsoleerd zijn. Bij de transformatie wordt gebruik gemaakt van één van de volgende bewerkingen: 1 Vervanging: Vervang een vergelijking door er een veelvoud van een andere vergelijking bij op te tellen. 2 Verwisseling: Verwissel twee. 3 Schaling: Vermenigvuldig een vergelijking met een constante ongelijk nul. Deze bewerkingen heten elementaire operaties. De oplossingsverzameling verandert niet door toepassen van elementaire operaties. Rechterleden zijn steeds getallen. Als een onbekende is geïsoleerd, is deze ook opgelost [4] 7 rr.1

5 Reductie Voorbeeld Los het volgende stelsel lineaire op: { x1 2 x (1) 2 = 1 x x 2 = 3 zelfstudie 1 Vervang de tweede vergelijking door de eerste er bij op te tellen: onbekende x 2 is nu geïsoleerd, en dus opgelost. + x 1 2 x 2 = 1 x x 2 = 3 x 2 = 2 (2) { x1 2 x 2 = 1 x 2 = 2 2 In stelsel (2): vermenigvuldig de tweede vergelijking met 2 en tel het resultaat op bij de eerste vergelijking: 2 x 2 = 4 x 1 2 x 2 = 1 + x1 = 3 (3) { x1 = 3 x 2 = [4] 8 rr.2 (1) x 1 2x 2 + x 3 = 2x 2 8x 3 = 8 4 x 1 + 5x 2 + 9x 3 = 9 Elementaire operaties laten de onbekenden op dezelfde positie staan. Overbodig werk kan worden voorkomen door alleen de coëfficiënten en constante termen op te schrijven. Schrijf de coëfficiënten als een matrix: Dit heet de coëfficiëntenmatrix van stelsel (1). De aangevulde coëfficiëntenmatrix van (1) is: [4] 9 rr.3

6 Matrices Definitie Een matrix is een tabel getallen A = matrix De matrix wordt omgeven door blokhaken Een matrix bestaat uit rijen... en kolommen. Een m n matrix is een matrix met m rijen en n kolommen. Namen van matrices worden met een hoofdletter geschreven [4] 1 rr.3.1 Elementaire rijoperaties zelfstudie Bij matrices gebruiken we één van de volgende drie bewerkingen: 1 Vervanging: Vervang een rij door er een veelvoud van een andere rij bij op te tellen. 2 Verwisseling: Verwissel twee rijen. 3 Schaling: Vermenigvuldig een rij met een constante ongelijk nul. De genoemde bewerkingen heten elementaire rijoperaties. Elementaire operaties toepassen op een stelsel lineaire correspondeert met het toepassen van elementaire rijoperaties op de aangevulde coëfficiëntenmatrix van het stelsel. De oplossingsverzameling van het stelsel dat correspondeert met de aangevulde coëfficiëntenmatrix verandert niet door toepassing van elementaire rijoperaties. Het oplossen van een stelsel met behulp van elementaire rijoperaties heet rijreductie [4] 11 rr.4

7 Notaties voor elementaire rijoperaties 1 Vervanging: Tel α keer rij j op bij rij k: rij j α rij k 2 Verwisseling: Verwissel rij j en rij k: rij k rij j rij j rij k + α rij j rij j rij k 3 Schaling: Vermenigvuldig een rij j met c : rij j c c rij j.16-17[4] 12 rr.5 Rijequivalentie Definitie Definitie 1.2 Twee matrices A en B heten rijequivalent als B uit A verkregen is door toepassen van een aantal elementaire rijoperaties. Als A en B rijequivalent zijn noteren we dit als A B. Het aantal rijoperaties mag ook nul zijn, dus A A voor iedere matrix A. Stelling Stel A en B zijn aangevulde coëfficiëntenmatrices van twee stelsels lineaire. Als A en B rijequivalent zijn, dan hebben beide stelsels dezelfde oplossingsverzameling [4] 13 rr.6

8 Rijreductie Voorbeeld Voorbeeld 1.21 Los het volgende stelsel lineaire op: { x1 + 2 x (1) 2 = 2 3 x x 2 = 5 De aangevulde coëfficiëntenmatrix is Vervang de tweede rij door 3 keer de eerste rij bij de tweede op te tellen: [ ] Vervang de eerste rij: vermenigvuldig de tweede rij met 2 en tel het resultaat op bij de eerste rij: [ ] [4] 14 rr.7a Voorbeeld (vervolg) De aangevulde coëfficiëntenmatrix van het stelsel { x1 + 2 x (1) 2 = 2 3 x x 2 = 5 is Er geldt De rechter matrix is de aangevulde coëfficiëntenmatrix van het stelsel { x1 = 4 (2) x 2 = 1 De oplossing van stelsel (2) is (4, 1). Dus de oplossing van stelsel (1) is (4, 1) [4] 15 rr.7b

9 Hoofdelementen Definitie Blz. 17 Een nulrij van een matrix is een rij die geheel uit nullen bestaat. Als een rij niet een nulrij is, dan is het meest linker element dat ongelijk is aan het hoofdelement van die rij. Voorbeeld Voorbeeld is hoofdelelement van rij is hoofdelelement van rij 2 nulrij is hoofdelelement van rij [4] 16 tv..1 Trapvorm Definitie Blz. 17 Een matrix is in trapvorm als geldt 1 Alle nulrijen staan onderaan in de matrix. 2 Het hoofdelement van een niet-nulrij staat rechts van het hoofdelement van de rij erboven. 3 Onder het hoofdelement van een rij staan alleen nullen Trapvorm.16-17[4] 17 tv..2

10 Trapvorm Alles wat je moet weten van trappen... trede neus aantrede stootbord optrede De aantrede is de diepte van de trede. De optrede is de hoogte van het stootbord [4] 18 tv.1 Rijreductie en trapvorm Om de trapvorm van een matrix te bestuderen kun je hem het best op zijn kop zetten. De elementen die geen deel uitmaken van de trap zijn gelijk aan nul. Ieder hoofdelement is de neus van een traptrede Definitie Een matrix staat in trapvorm als alle optreden gelijk zijn aan 1. De aantreden mogen langer zijn dan [4] 19 tv.2

11 Pivots Definitie Definitie 1.24 Ieder hoofdelement van een matrix in trapvorm heet een pivot. Een kolom waar een pivot op staat heet een pivotkolom. Elementen op de trap die geen pivot zijn mogen gelijk zijn aan nul [4] 2 tv.3 Gauss-eliminatie Een matrix breng je als volgt op trapvorm: zelfstudie 1 Kies een element a in de meeste linkse niet-nulkolom. 2 Stop als zo n kolom niet bestaat. 3 Verwissel zonodig rijen zodat a bovenaan komt te staan. 4 Deel de bovenste rij door a. 5 Maak door middel van vervanging de elementen onder de 1 gelijk aan. 6 Stop als er geen rijen onder de 1 zijn. 7 Herhaal het procedé door het toe te passen op de deelmatrix rechtsonder a. 1 1 Als het procedé klaar is staat de matrix op trapvorm [4] 21 tv.6

12 Gauss-eliminatie Het algoritme dat een matrix op trapvorm brengt staat bekend onder de naam Gauss-eliminatie. Het nul maken van de elementen onder de pivot heet ook wel vegen of schoonvegen. Stap 4 (delen door a) is optioneel: als je door a deelt onstaan er doorgaans breuken. Soms kun je een pivot gelijk maken aan 1 met een truukje: Geen breuken!.16-17[4] 22 tv.7 Standaardvorm Definitie Blz. 26 Een matrix A is in als 1 A in trapvorm is, 2 iedere pivot gelijk is aan 1 en 3 boven iedere pivot nullen staan. Stap 4 (delen door a) zorgt er voor dat de pivot gelijk is aan 1. De nullen boven de pivot krijg je door toepassen van een aantal vervangingen. De kolommen moeten van rechts naar links worden schoongeveegd [4] 23 tv.8

13 Standaardvorm Voorbeeld Breng de volgende matrix op : Breng de matrix eerst op trapvorm: De pivots staan in de eerste, tweede en vierde kolom [4] 24 tv.9a Voorbeeld (vervolg) Deze matrix is in. 1/ [4] 25 tv.9b

14 Oplossingsverzamelingen van stelsels lineaire (1) x 1 5 x 3 = 1 x 2 + x 3 = 4 = Deze matrix is in. Het is de aangevulde coëfficiëntenmatrix van stelsel (1). Er is geen eenduidige oplossing, maar je kan x 1 en x 2 uitdrukken in x 3 : { x1 = 1 + 5x 3 x 2 = 4 x 3 Iedere waarde van x 3 levert een oplossing, bijvoorbeeld: als x 3 = dan x 1 = 1 en x 2 = 4, als x 3 = 1 dan x 1 = 6 en x 2 = 3. In het algemeen: als x 3 = t dan x 1 = 1 + 5t en x 2 = 4 t. Dit levert een oplossing (1 + 5t, 4 t, t) voor iedere t R. De oplossingsverzameling is {(1 + 5t, 4 t, t) t R} [4] 26 tv.1 Oplossingsverzamelingen van stelsels lineaire Definitie De variabelen die corresponderen met een pivotkolom heten afhankelijke variabelen. De variabelen die corresponderen met een niet-pivotkolom heten vrije variabelen. Stelling Iedere afhankelijke variabele is te schrijven als een uitdrukking met uitsluitend vrije variabelen. Gevolg Iedere oplossing is te schrijven als een uitdrukking in vrije variabelen. Door de vrije variabelen te schrijven met een andere letter breng je tot uitdrukking dat ze fungeren als parameter [4] 27 tv.11

15 Coëfficiëntenmatrix in Voorbeeld Bepaal de algemene oplossing van het stelsel met coëfficiëntenmatrix Reduceer tot : Dit correspondeert met het stelsel x 1 + 6x 2 + 3x 4 = (1) x 3 4x 4 = 5 x 5 = [4] 28 tv.12a Voorbeeld (vervolg) De pivotkolommen zijn de kolommen 1, 3 en 5. De variabelen x 2 en x 4 zijn vrij. De algemene oplossing van het stelsel is x 1 = 6x 2 3x 4 x 2 is vrij x 3 = 5 + x 4 x 4 is vrij x 5 = 7 De algemene oplossing van het stelsel in parametervorm is x 1 = 6s 3t x 2 = s x 3 = 5 + t x 4 = t x 5 = 7 De oplossingsverzameling is {( 6s 3t, s, 5 + t, t, 7) s, t R} [4] 29 tv.12b

16 Geparametriseerde vectorvorm De algemene oplossing kun je schrijven in de vorm p + t 1 v 1 + t 2 v t r v r. Dit heet de geparametriseerde vectorvorm van de oplossing. De vector p heet steunvector en de vectoren v 1,..., v r heten de richtingsvectoren van de geparametriseerde vectorvorm. Het getal r is de dimensie van de oplossingsruimte [4] 3 tv.13 Geparametriseerde vectorvorm Voorbeeld Bepaal de oplossing van het stelsel met coëfficiëntenmatrix en geef de oplossing in geparametriseerde vectorvorm. De algemene oplossing is ( 6s 3t, s, 5 + t, t, 7) s, t R. De geparametriseerde vectorvorm is (,, 5,, 7) + s( 6, 1,,, ) + t( 3,, 1, 1, ). De steunvector is (,, 5,, 7), de richtingsvectoren zijn ( 6, 1,,, ) en ( 3,, 1, 1, ). De dimensie van de oplossingsruime is [4] 31 tv.14a

17 Proef op de som Definitie Blz. 25 Stel we hebben een stelsel lineaire a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 ( ).. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Het complementaire stelsel van ( ) is het stelsel waarbij alle constante termen zijn vervangen door : a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n =.. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n =.16-17[4] 32 tv.15 Proef op de som Stelling Stelling 1.27 Stel dat van een stelsel lineair de oplossingsverzameling wordt gegeven door de geparametriseerde vectorvorm x = p + t 1 v 1 + t 2 v r + + t r v r. Dan geldt het volgende: De vector p voldoet aan het stelsel. De vectoren v j voldoen aan het complementaire stelsel. Deze stelling kan worden gebruikt om je oplossing te controleren op rekenfouten. De proef op de som geeft geen uitsluitsel over het eventueel ontbreken van oplossingen [4] 33 tv.16

18 Proef op de som Voorbeeld Voorbeeld 1.28 Controleer of x = (11, 3,, 2) + t( 2, 3, 1, ) de oplossing is van het stelsel 3x 1 + 8x 2 18x 3 + x 4 = 7 x 1 + 2x 2 4x 3 = 5 x 1 + 3x 2 7x 3 x 4 = 4 Substitueer x 1 = 11, x 2 = 3, x 3 =, x 4 = 2: ( 3) 18 + ( 2) = ( 3) 4 = ( 3) 7 ( 2) = 4 Substitueer x 1 = 2, x 2 = 3, x 3 = 1, x 4 = : 3( 2) = = =.16-17[4] 34 tv.17 Meerdere stelsels gelijktijdig oplossen Gegeven zijn de stelsels { 2x1 + x 2 7x 3 = 7 x 1 x 2 + 4x 3 = 6 en { 2x1 + x 2 7x 3 = 5 x 1 x 2 + 4x 3 = 2 zelfstudie Beide stelsels hebben dezelfde coëfficiënten. Alleen de constante termen zijn verschillend. Je kunt beide stelsels gelijktijdig oplossen door de coëfficiëntenmatrix aan te vullen met twee kolommen: [ ] en deze matrix op te brengen [4] 35 tv.18

19 Meerdere stelsels gelijktijdig oplossen zelfstudie t t [4] 36 tv.19 Existentie en uniciteit Stelling existentiestelling Blz. 28 Een stelsel lineaire is oplosbaar dan en slechts dan als de rechterkolom van de op trapvorm gebrachte aangevulde coëfficiëntenmatrix geen pivot bevat. Als de rechterkolom een pivotkolom is, dan heeft de van de [ aangevulde coëfficiëntenmatrix ] een rij van de vorm... b met b. Stelling uniciteitsstelling Blz. 28 Een oplosbaar stelsel heeft een unieke oplossing dan en slechts dan als alle kolommen van de op trapvorm gebrachte aangevulde coëfficiëntenmatrix (met uitzondering van de aangevulde kolom) pivotkolommen zijn. Iedere vrije variabele genereert oneindig veel oplossingen [4] 37 tv.2

20 Existentie en uniciteit (1) (2) Het stelsels heeft geen oplossingen. Het stelsel is oplosbaar. Het heeft één oplossing. De oplossingsruimte bestaat uit één punt, en heeft dimensie. (3) Het stelsel is oplosbaar. De variabelen x 2 en x 4 zijn vrij. Het stelsel heeft oneindig veel oplossingen. De dimensie van de oplossingsruimte is [4] 38 tv.21

Stelsels lineaire vergelijkingen

Stelsels lineaire vergelijkingen Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix. 2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte

Nadere informatie

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014 Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

Matrices en Grafen (wi1110ee)

Matrices en Grafen (wi1110ee) Matrices en Grafen (wi1110ee) Electrical Engineering TUDelft September 1, 2010 September 1, 2010 Inleiding Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http:

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12)

Lineaire Algebra (2DD12) Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?

3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen? In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

Matrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten.

Matrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Definitie Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Voorbeelden De coëfficiëntenmatrix of aangevulde matrix bij een stelsel lineaire vergelijkingen. Een rij-echelonmatrix

Nadere informatie

Lineaire Algebra WI1048WbMt. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 4 september 2016

Lineaire Algebra WI1048WbMt. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 4 september 2016 Lineaire Algebra WI1048WbMt, 4 september 2016 Informatie over de docent Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard

Nadere informatie

Lineair voor CT College 2a. Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul

Lineair voor CT College 2a. Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul Lineair voor CT College 2a Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul Speciale vormen van een matrix Een stelsel oplossen komt overeen met door elementaire rijopera-es bepalen van de gereduceerde echelon vorm

Nadere informatie

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 1 11 februari 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides

Nadere informatie

Basiskennis lineaire algebra

Basiskennis lineaire algebra Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De

Nadere informatie

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b, UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht

Nadere informatie

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 CTB100 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 5 5 februari 014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we hoofdstuk 1.7 en deel van 1.8 Voor de pauze: hoofdstuk 1.7 Na de pauze: hoofdstuk 1.8 Verschillende notaties

Nadere informatie

Ruimtewiskunde. college 3 Lijnen, vlakken en oppervlakken in de ruimte. Vandaag

Ruimtewiskunde. college 3 Lijnen, vlakken en oppervlakken in de ruimte. Vandaag college 3 Lijnen, vlakken en in de collegejaar : 16-17 college : 3 build : 6 juni 2017 slides : 37 Vandaag 1 Lijnen 2 Vlakken 3 4 Toepassing: perspectivische.16-17[3] 1 vandaag Lijnen in het platte vlak

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper

Nadere informatie

Ruimtewiskunde. college. De determinant en lineaire afbeeldingen. Vandaag. De determinant van een matrix. Toepassing: oppervlakte en inhoud

Ruimtewiskunde. college. De determinant en lineaire afbeeldingen. Vandaag. De determinant van een matrix. Toepassing: oppervlakte en inhoud college 6 en lineaire collegejaar college build slides Vandaag : : : : 6-7 6 9 juni 27 3 2 3 van een matrix Toepassing: oppervlakte en inhoud.6-7[6] vandaag van de 2 2-matrix a b c d is gelijk aan ad bc.

Nadere informatie

4.0 Voorkennis [1] Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij.

4.0 Voorkennis [1] Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij. 3x4 y26 4x y3 4.0 Voorkennis [1] Voorbeeld 1 (Elimineren door substitutie): Los op: Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij. 4x y = 3 y = 4x 3 Stap 2: Vul de vrijgemaakte variabele

Nadere informatie

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. . Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 7 J.Keijsper

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

Lineaire Algebra Een Samenvatting

Lineaire Algebra Een Samenvatting Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)

Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen) Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D)

Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) 1 Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Les 1 : Stelsels en Echelon vorm DOEL : WE GAAN EEN AANTAL VERGELIJKINGEN MET EEN AANTAL VARIABELEN PROBEREN OP TE LOSSEN. Definities Stelsel

Nadere informatie

Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A

Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 8 november 2011, 13u30-16u30 Bij dit tentamen mag het dictaat niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, studnr en naam practicumleider (Victor Blasjo, Esther

Nadere informatie

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud

Nadere informatie

Linalg.nb 1. Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes!

Linalg.nb 1. Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes! Linalg.nb Lineaire Algebra Andr Heck AMSTEL Instituut, Universiteit van Amsterdam Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes! Å Introductie

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Lineaire algebra (versie 15 september 2008)

Zomercursus Wiskunde. Lineaire algebra (versie 15 september 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Lineaire algebra (versie 15 september 2008) 2 Lineaire algebra Deze module wordt zowel gegeven in het A-programma als in het B-programma van de zomercursus

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Vectoren in R n 1 2 Lineaire combinaties 2 3 Matrices 7 31 Het begrip matrix 7 32 Som

Nadere informatie

De inverse van een matrix

De inverse van een matrix De inverse van een matrix Laat A een n n matrix zijn. Veronderstel dat de matrixvergelijking A X = I n de oplossing X = C heeft. Merk op dat [ A I n ] rijoperaties [ I n C ] [ I n A] inverse rijoperaties

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 16 Lineaire algebra B (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 16 Lineaire algebra B (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 16 Lineaire algebra B (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Vectoren in R n en matrices 1 2 Lineaire stelsels 11 21 Formulering en interpretatie

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op -4-, 4.-7. uur. Opgave Gegeven is het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met parameters

Nadere informatie

Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A. De opgaven

Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A. De opgaven Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 3 november 9, 3-6 uur Bij dit tentamen mogen dictaat en/of rekenmachine niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, collegekaartnummer en naam van de practicumleider

Nadere informatie

Lineaire algebra toegepast

Lineaire algebra toegepast Lineaire algebra toegepast voor wiskunde D ( 5 VWO) H. van Gendt R.A.C. Dames Versie 4, november 008 Deze module is ontwikkeld in opdracht van ctwo. Copyright 008 R.Dames en H. van Gendt Inhoudsopgave

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

Hoofdstuk 3. Matrices en stelsels. 3.1 Matrices. [[1,7]],[[12,8] ] of [ 1, 7; 12,8 ] bepaalt de matrix

Hoofdstuk 3. Matrices en stelsels. 3.1 Matrices. [[1,7]],[[12,8] ] of [ 1, 7; 12,8 ] bepaalt de matrix Hoofdstuk 3 Matrices en stelsels 3.1 Matrices Een matrix is in DERIVE gedefinieerd als een vector van vectoren. De rijen van de matrix zijn de elementen van de vector. Op de volgende manier kan je een

Nadere informatie

Vector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen

Vector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen Vector-en matrixvergelijkingen (a) Parallellogramconstructie (b) Kop aan staartmethode Figuur: Vectoren, optellen (a) Kop aan staartmethode, optellen (b) Kop aan staart methode, aftrekken Figuur: Het optellen

Nadere informatie

Coördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V :

Coördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V : Coördinatiseringen Het rekenen met vectoren in R n gaat erg gemakkelijk De coördinaten bieden de mogelijkheid om handig te rekenen (vegen Het is nu ook mogelijk om coördinaten in te voeren voor vectoren

Nadere informatie

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts

Nadere informatie

Uitwerking 1 Uitwerkingen eerste deeltentamen Lineaire Algebra (WISB121) 3 november 2009

Uitwerking 1 Uitwerkingen eerste deeltentamen Lineaire Algebra (WISB121) 3 november 2009 Departement Wiskunde, Faculteit Bètawetenschappen, UU. In elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TBC van A Eskwadraat. Het college WISB werd in 9- gegeven door Prof. Dr. F. Beukers. Uitwerking

Nadere informatie

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een

Nadere informatie

Dimensie van een deelruimte en rang van een matrix

Dimensie van een deelruimte en rang van een matrix Dimensie van een deelruimte en rang van een matrix Definitie (Herinnering) Een basis voor een deelruimte H van R n is een lineair onafhankelijke verzameling vectoren die H opspant. Notatie Een basis van

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 6 26 september 2016 1 Hoofdstuk 3.1 en 3.2 Matrix operaties Optellen van matrices Matrix vermenigvuldigen met een constante Matrices vermenigvuldigen Machten

Nadere informatie

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:

Nadere informatie

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties M1 Wiskundig taalgebruik en notaties Verzamelingenleer Verzameling = aantal objecten samengebracht tot een geheel - Lege verzameling = verzameling die geen elementen bevat A = - Singleton verzameling =

Nadere informatie

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 3 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september 2016 1 / 36 LP: Lineair Programmeren min x 1 2

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =

Nadere informatie

3.2 Vectoren and matrices

3.2 Vectoren and matrices we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,

Nadere informatie

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 1. Zi (R, V, +) een eindigdimensionale vectorruimte en veronderstel dat U en W deelruimten van V zin. Toon aan dat 2. Waar of fout? Argumenteer e antwoord.

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

te vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector

te vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector Les 3 Matrix product We hebben gezien hoe we matrices kunnen gebruiken om lineaire afbeeldingen te beschrijven. Om het beeld van een vector onder een afbeelding te bepalen hebben we al een soort product

Nadere informatie

OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010

OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010 OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010 1. Zij V een vectorruimte en A = {v 1,..., v m } een deelverzameling van m vectoren uit V die voortbrengend is voor V, m.a.w. V = A.

Nadere informatie

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA Vragen, samenvattingen en uitwerkingen 2013 - Lineaire algebra 1 - UvA Rocco van Vreumingen 28 juli 2016 1 Inhoudsopgave 1 Samenvattingen 3 1.1 Samenvatting stof college 1................... 3 1.2 Samenvatting

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra 2

Tentamen Lineaire Algebra 2 Lineaire algebra (NP010B) januari 013 Tentamen Lineaire Algebra Vermeld op ieder blad je naam en studentnummer. Lees eerst de opgaven voordat je aan de slag gaat. Schrijf leesbaar en geef uitleg over je

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

Lineaire vergelijkingen. Introductie 13. Leerkern 14. Samenvatting 35

Lineaire vergelijkingen. Introductie 13. Leerkern 14. Samenvatting 35 Lineaire vergelijkingen Introductie 13 Leerkern 14 1.1 Twee-bij-twee-stelsels en lijnen in het vlak 14 1.2 Algemene stelsels vergelijkingen 21 1.2.1 De elementaire bewerkingen van de gausseliminatie 21

Nadere informatie

Examenvragen Hogere Wiskunde I

Examenvragen Hogere Wiskunde I 1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies

Nadere informatie

Stelsels lineaire vergelijkingen

Stelsels lineaire vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven In het vak Meetkunde voor Bouwkunde kom je stelsels lineaire vergelijkingen tegen en matrices tegen.

Nadere informatie

3. Stelsels van vergelijkingen

3. Stelsels van vergelijkingen . Stelsels van vergelijkingen We gaan de theorie van de voorgaande hoofdstukken toepassen op stelsels van lineaire vergelijkingen. Een voorbeeld: bepaal alle oplossingen (x,, ) van het stelsel vergelijkingen

Nadere informatie

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3. ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding

Nadere informatie

Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten. Joost de Groot Les 5. Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde. Technische Universiteit Delft

Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten. Joost de Groot Les 5. Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde. Technische Universiteit Delft Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten Joost de Groot Les 5 1 Technische Universiteit Delft Doel van deze les Determinanten ben je al tegengekomen bij de behandeling van het in en het uitwendig

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper

Nadere informatie

11.0 Voorkennis V

11.0 Voorkennis V 11.0 Voorkennis V 8 6 4 3 6 3 0 5 W 8 1 1 12 2 1 16 4 3 20 5 4 V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen

Nadere informatie

Ruimtemeetkunde deel 1

Ruimtemeetkunde deel 1 Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen

Nadere informatie

xxii Handleiding Maple 10

xxii Handleiding Maple 10 xxii Handleiding Maple 10 dat geval kun je van de vectorvergelijking een stelsel vergelijkingen maken in de vorm van een verzameling of een lijst naar keuze en dit stelsel te lijf gaan met solve of andere

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 3 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september 2016 1 / 36 LP: Lineair Programmeren min x 1 2

Nadere informatie

Vectorruimten en deelruimten

Vectorruimten en deelruimten Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Instructies (vandaag, 10:45 12:30) in vier zalen: Zaal Aud 10 Pav b2 Pav m23 Ipo 0.98 voor studenten met achternaam beginnend met letters A tot en met D met letters

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 93 email: JCMKeijsper@tuenl studiewijzer: http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 JKeijsper (TUE) Lineaire

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 4.b.1 Orthogonaliteit en de meetkunde van lineaire systemen

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 4.b.1 Orthogonaliteit en de meetkunde van lineaire systemen Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 4.b.1 Orthogonaliteit en de meetkunde van lineaire systemen Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl 2015-2016 Lijn in het vlak 2/37 Een lijn in het vlak wordt

Nadere informatie

Syllabus. Lineaire Algebra. dr. H.G.J. Pijls en dr. C.G. Zaal

Syllabus. Lineaire Algebra. dr. H.G.J. Pijls en dr. C.G. Zaal Syllabus Lineaire Algebra dr HGJ Pijls en dr CG Zaal Im (L Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam 4 augustus 2007 Syllabus Lineaire Algebra dr HGJ Pijls

Nadere informatie

Functies van vectoren

Functies van vectoren Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.

Nadere informatie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar

Nadere informatie

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Lineaire vergelijkingen II: Pivotering

Lineaire vergelijkingen II: Pivotering 1/25 Lineaire vergelijkingen II: Pivotering VU Numeriek Programmeren 2.5 Charles Bos Vrije Universiteit Amsterdam c.s.bos@vu.nl, 1A40 15 april 2013 2/25 Overzicht Pivotering: Methodes Norm en conditionering

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen voor studenten IO, concept. Emiel van Elderen

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen voor studenten IO, concept. Emiel van Elderen Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen voor studenten IO, concept Emiel van Elderen April 8, 28 Inleiding In dit document zullen we ons bezig houden met het systematisch oplossen van stelsels

Nadere informatie

1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec.

1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec. LINEAIRE ALGEBRA Eric Jespers Vrije Universiteit Brussel Referentie: David C. Lay, Linear Algebra and Its Applications, Fourth edition, Pearson International Edition, 2012, ISBN: 9781408287859 verplicht

Nadere informatie

College WisCKI. Albert Visser. 21 november, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Vectorruimte

College WisCKI. Albert Visser. 21 november, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Vectorruimte College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 21 november, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Lichaam Lichaam (Körper, Field):

Nadere informatie

De dimensie van een deelruimte

De dimensie van een deelruimte De dimensie van een deelruimte Een deelruimte van R n is een deelverzameling die op zichzelf ook een vectorruimte is. Ter herinnering : Definitie. Een deelverzameling H van R n heet een deelruimte van

Nadere informatie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.

Nadere informatie

Lineaire algebra I (wiskundigen)

Lineaire algebra I (wiskundigen) Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie

Nadere informatie

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 Familienaam:....................................................................... Voornaam:.........................................................................

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: opspansel De vectoren v 1,..., v k V spannen

Nadere informatie

3. Structuren in de taal

3. Structuren in de taal 3. Structuren in de taal In dit hoofdstuk behandelen we de belangrijkst econtrolestructuren die in de algoritmiek gebruikt worden. Dit zijn o.a. de opeenvolging, selectie en lussen (herhaling). Vóór we

Nadere informatie