Matrixalgebra (het rekenen met matrices)

Transcriptie

1 Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg : A (a ij, waarbij a ij staat voor het elemt van A in de i e rij in de j e kolom De elemt a, a 22, a, het wel de diagonaalelemt van A Deze vorm de zogaamde hoofddiagonaal van de matrix A E diagonaalmatrix is e vierkante matrix (dus : m n waarvan alle niet-diagonaalelemt nul zijn E matrix waarvan alle elemt nul zijn heet e nulmatrix Notatie : O Het (coördinaatsgewijs rek met vector kan m evoudig geraliser naar matrices Twee matrices noem we gelijk als hun afmeting gelijk zijn tevs de overekomstige elemt gelijk zijn Matrices met dezelfde afmeting kunn elemtsgewijs bij elkaar word opgeteld van elkaar word afgetrokk Ook de scalaire vermigvuldiging (vermigvuldiging met e getal gaat elemtsgewijs Voorbeeld Als A A + B + B A Op deze manier kunn lineaire combinaties gevormd word, zoals : A 2B We hebb nu de volgde rekregels : Stelling Als A, B C matrices zijn met dezelfde afmeting r s zijn reële getall, dan geldt : A + B B + A 4 r(a + B ra + rb 2 (A + B + C A + (B + C 5 (r + sa ra + sa A + O A 6 r(sa (rsa

2 De matrixvermigvuldiging Onder bepaalde voorwaard kunn we matrices ook met elkaar vermigvuldig : Definitie 2 Als A e (m n-matrix is B b b p e (n p-matrix, dan geldt : AB A b b p Ab Ab p Merk op dat dit e natuurlijke uitbreiding is van het matrix-vectorproduct Voorbeeld 2 Als A AB Immers, voor de eerste kolom geldt voor de tweede kolom B ( 2 ( Dit is de kolomgewijze badering, maar evals bij het matrix-vectorproduct kunn we dit ook rijgewijs berek : ( ( AB 2 2 ( ( Opmerking E matrixproduct AB is dus alle gedefinieerd als het aantal kolomm van A gelijk is aan het aantal rij van B In dat geval noemt m A B vermigvuldigbaar Als A e (m n-matrix is B e (n p-matrix, dan is AB dus gedefinieerd is AB e (m p-matrix In voorbeeld 2 is dus AB wel, maar BA niet gedefinieerd! 2

3 Voorbeeld Als A AB BA B ( 0 ( 0 ( ( 7 6 Zowel AB als BA zijn gedefinieerd, maar AB is e ( -matrix BA is e (2 2-matrix Dus : AB BA Voorbeeld 4 Als A AB BA ( 4 ( 4 ( B ( ( 4 ( ( ( Zowel AB als BA zijn gedefinieerd, beide zijn (2 2-matrices, maar AB BA Voorbeeld 5 Als A ( 4 AB BA ( 4 ( B ( ( ( 4 ( 4 2 ( 4 2 Nu geldt AB BA M zegt dan dat de matrices A B commuter Voorbeeld 6 Als A ( 2 2 AB BA B ( 2 2 Dus : BA O, terwijl A O B O ( 2 2 ( ( O

4 ( 2 Voorbeeld 7 Als A 2 4 AB ( , B 2 ( 6 6 ( C ( AC Dit toont aan dat we del door e matrix niet kunn definiër ( ( 6 6 In het algeme geldt dus : AB BA 2 AB O A O of B O AB AC B C Wel geld de volgde rekregels : Stelling 2 Als A e (m n-matrix is B C zijn matrices met afmeting zodat de onderstaande matrixproduct gedefinieerd zijn : A(BC (ABC 4 λ(ab (λab A(λB voor iedere λ R 2 A(B + C AB + AC 5 I m A A met I m de (m m-eheidsmatrix (A + BC AC + BC 6 AI n A met I n de (n n-eheidsmatrix E vierkante matrix A kan met zichzelf vermigvuldigd word Het product heeft dezelfde afmeting als A In dat geval kunn we dus macht van e matrix definiër : Definitie Als A e (n n-matrix is : A 2 A A, A A A 2 algeme A k A A k voor k 2,, 4, Dit geldt ook voor k als we definiër dat : A 0 I n Voorbeeld 8 Als A A 2 A A A A A 2 ( ( ( 9 22 Tslotte definiër we nog het begrip transponer Onder transponer van e matrix A verstaan we het verwissel van de rij de kolomm Het resultaat noem we de getransponeerde van de matrix A Notatie : A T Dus : als A (a ij A T (a ji Voorbeeld 9 Als A Hiervoor geld de volgde rekregels :, dan is A T (

5 Stelling Als A B matrices zijn zodat de onderstaande somm matrixproduct gedefinieerd zijn : (A T T A (λa T λa T voor iedere λ R 2 (A + B T A T + B T 4 (AB T B T A T ( ( 0 Voorbeeld 0 Stel dat A B 2 5 Vraag : Bepaal e matrix X zodat AX B ( ( 2 Hieruit volgt dat X ( Vraag 2 : Bepaal e matrix Y zodat Y A B 0 ( 0 2 Merk op, dat : Y A B (Y A T B T A T Y T B T ( 0 ( 5 0 ( ( ( Hieruit volgt dat Y T dus dat Y De inverse van e matrix Definitie 4 E (n n-matrix A heet inverteerbaar als er e (n n-matrix C bestaat zodat AC I én CA I Zo n matrix C heet e inverse van A Stelling 4 Als e (n n-matrix A inverteerbaar is, dan bestaat er maar één inverse Bewijs Stel dat AC I CA AB I BA, dan volgt B BI B(AC (BAC IC C Als e matrix A inverteerbaar is, dan kunn we dus sprek over de inverse van A Notatie : A E niet-inverteerbare matrix wordt ook wel singulier goemd e inverteerbare matrix niet-singulier (of : regulier 5

6 ( a b Stelling 5 Als A c d : Als ad bc 0, dan is A inverteerbaar A ad bc Als ad bc 0, dan is A niet inverteerbaar ( d b c a Het getal ad bc heet de determinant van de matrix A : det A : ad bc a c Voorbeeld 0 A 2 Dus : A is inverteerbaar A 2 det A 2 0 ( ( 2 2 b d Stelling 6 Als de (n n-matrix A inverteerbaar is, dan heeft de matrixvergelijking Ax b precies één oplossing voor iedere b R n Die oplossing is dan x A b Er geld de volgde rekregels : Stelling 7 Als A B inverteerbare (n n-matrices zijn : (A A 2 (A T (A T (AB B A De laatste rekregel kan evoudig gegeraliseerd word tot : e product van inverteerbare (n n-matrices is inverteerbaar de inverse is het product van de invers in omgekeerde volgorde Stelling 8 Als A e vierkante matrix is C is e matrix zodat AC I ook dat CA I Het bewijs van deze stelling is niet zo evoudig (ge ttamstof, maar het resultaat bespaart veel werk Om na te gaan of e matrix A inverteerbaar is hoev we slechts te zoek naar e matrix X zodat AX I Als zo n matrix X bestaat, dan is dat de inverse van A als zo n matrix X niet bestaat, dan is A niet inverteerbaar Algoritme : (A I ( I A Voorbeeld A Vraag : Is A inverteerbaar? Zo ja, wat is dan A? 6 0 ( 0 2

7 ( 2 Dus : A is inverteerbaar A Voorbeeld 2 A Vraag : Is A inverteerbaar? Zo ja, wat is dan A? Dus : A is inverteerbaar A Deelruimt van R n Definitie 5 E deelverzameling H van R n heet e deelruimte van R n als : o H 2 u + v H voor alle u, v H λu H voor alle u H λ R Stelling 9 Als A e (m n-matrix is, dan is Col A e deelruimte van R m Nul A e deelruimte van R n Definitie 6 E verzameling vector {a,, a p } in R n heet e basis van H als : H Span{a,, a p } 2 {a,, a p } is lineair onafhankelijk Stelling 0 Als A e (m n-matrix is, dan vorm de pivotkolomm van A e basis van Col A 7