1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec.

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec."

Transcriptie

1 LINEAIRE ALGEBRA Eric Jespers Vrije Universiteit Brussel

2 Referentie: David C. Lay, Linear Algebra and Its Applications, Fourth edition, Pearson International Edition, 2012, ISBN: verplicht materiaal en online registreren, zie uitleg op pointcare bij wpo

3 Evaluatie 20%: taak (weken 8 en 12), moet online geregistreerd worden, een deel wordt elektronisch afgelegd 80% examen: vooral schriftelijk, begrijpen van concepten en technische vaardigheden WPO: verplicht deelname (telkens deelname bevestigen)

4 Inhoud Cursus 1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra

5 Inhoud Cursus 1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra

6 Inhoud Cursus 1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten

7 Inhoud Cursus 1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten

8 Inhoud Cursus 1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvectoren

9 1.1 Systeem van Lineaire Vergelijkingen Definitie Lineaire Vergelijking in veranderlijken x 1, x 2,..., x n : a 1 x 2 + a 2 x a n x n = b, met b en de coefficienten a 1,... a n R of in C. Definitie Systeem van lineaire vergelijkingen, (lineair systeem) is een collectie van lineaire vergelijkingen.

10 Definitie Een oplossing van een lineair systeem is een n-tal (s 1,... s n ) dat voldoet aan elke lineaire vergelijking. De verzameling die bestaat uit alle mogelijke oplossingen noemt men de oplossingenverzameling. Voorbeelden: { x 1 2x 2 = 1 x 1 + 3x 2 = 3 + x 2 Niet lineaire voorbeelden: { x 1 2x 2 = 1 x 1 + 3x 2 = 3 + x 2 { x1 2x 2 = 1 x 1 + 2x 2 = 1 4x 1 x 2 = x 1 x 2 x 2 x 1 = 7

11 Mogelijk Aantal Oplossingen: 1. geen, inconsistent systeem 2. exact een, consistent systeem 3. oneindig veel consistent systeem

12 Voorbeeld { x1 + x 2 = 10 x 1 + x 2 = 0 { x1 2x 2 = 3 2x 1 4x 2 = 8 { x 1 + x 2 = 3 2x 1 2x 2 = 6 twee snijdende rechten twee parallelle rechten twee gelijke rechten

13 Analoog in de ruimte R 3 : drie vlakken (drie lineaire vergelijkingen in 3 veranderlijken) snijden in 1 punt, oneindig veel punten (een rechte of een vlak) of geen enkel punt.

14 Coefficientenmatrix van een lineair systeem en Uitgebreide Matrix van een lineair systeem Voorbeeld: x 1 2x 2 + x 3 = 0 2x 2 8x 3 = 8 4x 1 + 5x 2 + 9x 3 = 9 en Een m n-matrix is een rechthoekige lijst van getallen met m-rijen en n-kolommen.

15 Oplossen van een stelsel en elementaire rij operaties: Gauss eliminatie 1. Vervang een rij door een veelvoud van een andere rij erbij op te tellen (rij operatie) 2. Verwissel twee rijen. 3. Vermenigvuldig een rij met een niet-nul constante. Twee matrices zijn rij equivalent als de ene uit de andere verkregen wordt door opeenvolgende rijoperaties. Eigenschap Als de uitgebreide matrices van twee lineaire stelsels dezelfde zijn dan hebben beide stelsels dezelfde oplossing.

16 Voorbeeld: stelsel en matrixnotatie { x1 2x 2 = 1 x 1 + 3x 2 = 3 { x1 2x 2 = 1 x 2 = 2 (R 2 R 2 + R 1 ) { x1 = 3 (R 1 R 1 + 2R 2 ) [ x 2 = 2 ] [ [ ] ] (R 1 R 1 + 2R 2 ) (R 2 R 2 + R 1 )

17

18

19

20

21

22

23

24 1.2 Rijreductie en echalonvorm Definitie Een matrix is in (rij) echelonvorm als er voldaan is aan de volgende voorwaarden: 1. alle niet nul rijen staan boven volledige nul rijen 2. elke kop positie (d.w.z. de eerste niet nul positie in een rij) in een rij is in een kolom rechts van de kop positie van de rij erboven. 3. alle posities in een kolom beneden een kop positie zijn nul

25

26 Definitie De matrix is in gereduceerde echalonvorm als er bovendien voldaan is aan 4. de kop positie in elke rij is 1 5. elke kop positie is de enige niet nul positie in een kolom.

27 Stelling Een matrix is rij equivalent met precies een gereduceerde echalon matrix. Spil (pivot) positie van een matrix A: eerste niet nul (en dus een) plaats in een rij. Spil (Pivot) kolom van een matrix A: een kolom van A die een spil (pivot) positie bevat

28 Rijreductie algorithme vijf stappen om een matrix A om te vormen in een geruduceerde rijechalonvorm via rijoperaties: 1. Begin met de meest linkse niet nul kolom (spilkolom) 2. Kies een spil (pivot) element in de spil (pivot) kolom en door rijen te verwisselen breng het in de spilpositie. 3. Gebruik rij operaties om alle posities onder de spil nul te maken. 4. Vergeet de rij (en alle erboven) die de een spilpositie bevat. Pas stappen 1-3 toe op de overblijvende matrix. 5. Beginnende met de meest rechtse spil maak alle posities boven de spil nul (door rij operaties; en herhaal dit proces door naar links op zoek te gaan naar de volgende spil. Als een spil niet 1 is maak het dan 1 door een rij met een scalair te vermenigvuldigen.

29

30

31

32

33

34

35 Oplossen van een lineair stelsel Via rijreductie van de uitgebreide matrix. Gevolg ( basis veranderlijken en vrije veranderlijken): een parametrische beschrijving van de oplossingenverzameling.

36 Stelling Een lineair systeem is consistent als en slecht als meeste rechtse kolom van de uitgebreide matrix is geen spil (pivot) kolom. D.w.z. de uitgebreide matrix heeft GEEN rij van de vorm [0 0 0 b] met b 0. Als een lineair systeem consistent is dan (1) is er een unieke oplossing als er geen vrije veranderlijken zijn of (2) er zijn oneindig veel oplossingen wanneer er tenminste een vrije veranderlijke is.

37 1.3 Vectorvergelijkingen Vectoren in R n Een kolomvector (een vector) v is een n 1-matrix met posities in R. (Dus een geordend n-tal in kolomvorm.) De nulvector 0 is de nulkolom. gelijkheid van vectoren v = v 1 v 2. v n = u = u 1 u 2. u n v 1 = u 1 v 2 = u 2. v n = u n

38 Bewerkingen met vectoren SOM v + u == v 1 v 2. v n + SCALAIR VEELVOUD, c R, cv = u 1 u 2. u n cv 1 cv 2 =. cv n v 1 + u 1 v 2 + u 2. v n + u n

39 In handgeschreven teksten schrijven wij v als of als v v

40 Stelling Voor alle u, v, w R n en alle scalairen c, d R: u + v = v + u commutatief c(u + v) = cu + cv (u + v) + w = u + (v + w) associatief (c + d)u = cu + du u + 0 = 0 + u = u c(du) = (cd)u u + ( u) = u + u = 0 1u = u met u = ( 1)u. Notatie: u + ( 1)v = u v.

41 Meetkundige Interpretatie punt in het vlak (a, b) = vector (a, b). [ a b ] in R 2 = pijl van (0, 0) naar

42 scalair veelvoud cu= vector op zelfde rechte als u.

43

44 som van vectoren= parrallellogram eigenschap

45 punt in ruimte (a, b, c) =vector in R 3 =pijl in R 3.

46 Lineaire combinatie van vectoren v 1, v 2,..., v p R n en c 1, c 2,..., c p R: y = c 1 v 1 + c 2 v c p v p is een lineaire combinatie van v 1,..., v p met gewichten (of coefficienten) c 1, c 2,..., c p.

47

48 Oefening Zij a 1 = 1 0 3, a 2 = , a 3 = en b = Bepaal of b een lineaire combinatie is van a 1, a 2 en a

49

50 Definitie v 1, v 2,..., v p R n. Span{v 1, v 2,..., v p } deelverzameling van R n voorgebracht door v 1, v 2,..., v p. Dus alle elementen van de vorm met c 1, c 2,..., c p R. c 1 v 1 + c 2 v c n v p,

51

52

53

54

55 De volgende voorwaarden zijn equivalent: y Span{v 1, v 2,..., v p } de vectorvergelijking x 1 v 1 + x 2 v x n v n = y heeft een oplossing voor x 1, x 2,..., x n. het lineaire systeem met uitgebreide matrix [ v1 v 2 v n y ] heeft een oplossing.

56 1.4 Matrixvergelijkingen Definitie Het product van A en x is Ax = [ a 1 a 2 a n ] x 1 x 2. x n = x 1a 1 + x 2 a x n a n

57

58 Stelling A = [ a 1 a 2 a n ] een m n-matrix, b R m. De oplossingen van de matrixvergelijking en de vectorvergelijking Ax = b x 1 a 1 + x 2 a x n a n = b en het lineair systeem met uitgebreide matrix [ a1 a 2 a n y ] zijn dezelfde.

59 Stelling A = [ a 1 a 2 a n ] een m n-matrix. De volgende eigenschappen zijn equivalent: 1. voor elke b R m heeft de vergelijking Ax = b een oplossing 2. Elke b R n is een lineaire combinatie van de kolommen van A. 3. De kolommen van A zijn voortbrengers voor R m. 4. A heeft een spilelement in elke rij.

60

61

62

63

64

65 Rij=kolom vermenigvuldiging voor berekenen van Ax Als Ax gedefinieerd is dan is het element in de i-de plaats van Ax de som van producten van de corresponderende elementen in de i-de rij van A met de vector x.

66 Voorbeeld Stelling 5 x 1 x 2 x 3 [ ] 2x1 + 3x = 2 + 4x 3 A een m n-matrix, u en v vectoren in R n, c een scalair. De volgende rekenregels gelden: A(u + v) = Au + Av; A(cu) = c(au).

67 1.5 Oplossingverzameling van een lineair stelsel Definitie Homogeen lineair systeem Ax = 0 Triviale oplossing: 0 A0 = 0 Niet Triviale Oplossing Is een oplossing die niet 0 is. Eigenschap De homogene vergelijking Ax = 0 heeft een niet-triviale oplossing (is consistent) als en slechts als de vergelijking minstens een vrije veranderlijke heeft.

68 Parametrische Vectorvorm van Oplossing De oplossingen van Ax = 0 schrijven als lineaire combinaties van een eindig aantal oplossingen (zoveel als er vrije veranderlijken zijn). Voorbeeld: x = su + tv Span{u, v}, met u, v oplossingen van Ax = 0.

69

70

71

72

73

74

75

76 Stelling: Oplossingen van een niet-homogene vergelijking Veronderstel dat de vergelijking Ax = b consistent is en zij p een oplossing. De oplossingverzameling van Ax = b bestaat uit alle vectoren van de vorm w = p + v h met v h een oplossing van de homogene vergelijking Ax = 0.

77 Algoritme voor de oplossingverzameling in parametrische vorm van een consistent lineair systeem 1. Rij reduceer de uitgebreide matrix naar gereduceerde echalon vorm. 2. Schrijf elke basis-veranderlijke als een lineaire combinatie van de vrije veranderlijken plus eventueel een constante. 3. Schrijf elke oplossing x als een vector waarvan de posities afhankelijk zijn van de vrije veranderlijken. 4. Schrijf x als een lineaire combinatie van vectoren (met numerische waarden) door gebruik te maken van de vrije veranderlijken als parameters.

78

79

80

81 1.6 Toepassingen van lineaire stelsels Voorbeelden Economie Chemische Vergelijkingen Network flow

82 1.7 Lineaire Onafhankelijkheid Definitie Een verzameling vectoren {v 1,..., v p } is lineair onafhankelijk als de vectorvergelijking x 1 v 1 + x 2 v x p v p = 0 alleen de triviale oplossing heeft. Een verzameling vectoren {v 1,..., v p } is lineair afhankelijk als er gewichten c 1, c 2,..., c p, niet allen nul, zodat (een lineaire afhankelijksrelatie). c 1 v 1 + c 2 v c p v p = 0

83 Lineaire afhankelijkheid van matrixkolommen De kolommen van een matrix A = [ a 1 a 2 a n ] zijn lineair onafhankelijk als en slecht als de vergelijking Ax = 0 slechts de triviale oplossing heeft.

84 Karakterisatie van lineair onafhankelijke verzamelingen {v 1,..., v p } is lineair afhankelijk als en slechts als (voor een j > 1). v j is lineair afhankelijk van v 1,..., v j 1 Opmerking Als v j = 0 dan lineair afhankelijk. Bekijk het geval met p = 1 of 2. Stelling Als een verzameling meer vectoren bevat dan er posities zijn in de vectoren dan is de verzameling lineair afhankelijk. Een verzameling {v 1,..., v p } in R n is lineair afhankelijk als p > n (meer vectoren bevat dan posities).

85 1.8 Lineaire Transformaties Definition Een transformatie (of functie of afbeelding) T : R n R m laat met elke x R n precies een vector T (x) in R m overeenkomen. domein van T is R n codomein van T is R m. T (x) is het beeld van x onder T beeld van T is T (R n ): de verzameling van alle beelden T (x).

86

87 Matrixtransformaties Definitie Matrixtransformatie A een m n-matrix. R n R m : x Ax Het beeld is alle lineaire combinaties van de kolommen van A. Voorbeelden projectie : A = R 3 R 3 : x 1 x 2 x x 1 x 2 x 3 Dan = x 1 x 2 0 = x 1 x 2 0

88 afschuiving (shear) Voorbeeld: A = [ T : R 2 R 2 : x Ax ] en

89 Definitie Een transformatie T is lineair als voldaan is aan de volgende voorwaarden voor alle u, v in het domein van T en alle scalairen c: 1. T (u + v) = T (u) + T (v) 2. T (cu) = ct (u). (T bewaart de bewerking van som en scalaire vermenigvuldiging) Voorbeeld: een matrixtransformatie Eigenschap T een lineaire transformatie. Dan T (0) = 0 T (cu + dv) = ct (u) + dt (v) T (c 1 u c p u p ) = c 1 T (u 1 ) + + c p T (u p )

90 rotatie ([ ]) [ ] 1 0 T = 0 1 ([ ]) [ ] 0 1 T = 1 0 ([ ]) ([ 1 1 T = T 1 0 ]) ([ 0 + T 1 ]) = [ 0 1 ] [ ]

91 Beschouw de volgende transformaties: 1. T : R R : x 5x 2. f : R R : x 5x + 4 Zijn T en f lineair? 1. T is lineair 2. f is niet lineair

92 1.9 Matrix van een lineaire transformatie Stelling Zij T : R n R m een lineaire transformatie. Dan bestaat een unieke matrix A (de standaard matrix van T ) zodat, voor alle x R n, T (x) = Ax. Bovendien met A = [ T (e 1 ) T (e n ) ] e 1 = ,..., e n =. 0 1

93 Zij T : R 2 R 3 een lineaire transformatie zodat 1 3 T (e 1 ) = 2 en T = (e 2 ) = Zonder enige andere informatie, bereken het beeld T (x) van een willekeurige x in R 2. x = [ x1 x 2 ] [ 1 = x 1 0 T (x) = x 1 T (e 1 )+x 2 T (e 2 ) = x 1 Dus T (x) = Ax met A = ] [ 0 + x x 2 ] = x 1 e 1 + x 2 e = = [ T (e 1 ) T (e 2 ) ] x 1 3x 2 2x 1 + 7x 2 3x 1 + 5x 2

94 Meetkundige Lineaire Transformaties in R 2 spiegeling (reflectie)

95

96 samentrekking (contractie), uitzetting (expansie); schaalverandering

97 afschuiving (horizontaal, vertikaal)

98 projectie (op x 1 -as, op x 2 -as)

99 Definitie Zij T : R n R m een functie. T is surjectief (onto) als elke b R m het beeld is van minstens een x R n. T is injectief (one-to-one) als elke b R m het beeld is van ten hoogste een x R n. T is bijectief als elke b R m het beeld is van precies een x R n. Stelling Zij T : R n R m een lineaire transformatie met standaardmatrix A. T is injectief T (x) = 0 heeft alleen de triviale oplossing de kolommen van A zijn lineair onafhankelijk. T is surjectief de kolommen van A zijn voortbrengers voor R m.

100 blz 110 Opstellen van een Dieet Elektrische Netwerken Difference Vergelijkingen

101 2.1 Matrices en Matrixbewerkingen Een m n-matrix (met coefficienten a ij, of componenten) a 11 a 1j a 1n... A = a i1 a ij a 1n... a m1 a mj a mn

102 Gelijkheid van matrices a 11 a 1j a 1n b 11 b 1j b 1n a i1 a ij a 1n = b i1 b ij b 1n a m1 a mj a mn b m1 b mj b mn als en slechts als a ij = b ij voor alle 1 i m, 1 jn. De elementen a 11, a 22, a 33,... (diagonaalelementen) vormen de hoofddiagonaal.

103 Nulmatrix = Diagonaalmatrix Is een n n-matrix met nullen buiten the hoofddiagonaal: a a A = a nn

104 Definitie: som van m n-matrices (som van kolommen) A + B = [ a 1 a 2 a n ] + [ b1 b 2 b n ] = [ a 1 + b 1 a 2 + b 2 a n + b n ] Definitie: scalair veelvoud van een matrix c [ a 1 a 2 a n ] = [ ca1 ca 2 ca n ]

105 Stelling Zij A, B, C m n-matrices, en zij r, s scalairen. De volgende rekenregels gelden. A + B = B + A r(a + B) = ra + rb (A + B) + C = A + (B + C) (r + s)a = ra + sa A + 0 = A = 0 + A r(sa) = (rs)a

106 Definitie Zij A een m n-matrix en B = [ b 1 b 2 b p ] een n p-matrix. Dan is het product van A en B de m p-matrix AB = A [ b 1 b 2 b p ] = [ Ab1 Ab 2 Ab p ]

107

108

109 Opgelet

110

111 Rij-Kolom Regel voor de Vermenigvuldiging Zij A een m n-matrix en B een n p-matrix. Zij (AB) ij de (i, j)-de positie van AB. Dan (AB) i,j = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj = 1 k n a ik b kj.

112

113

114 Stelling: Rekenregels Zij A, B, C matrices zodat alle volgende sommen en producten zin hebben. De volgende regels gelden. A(BC) = (AB)C A(B + C) = AB + BC associativiteit links distributiviteit (B + C)A = BA + CA rechts distributiviteit r(ab) = (ra)b = A(rB) voor elke scalair r I m A = A = AI m met I m =.., de identiteitsmatrix van graad m

115 Definitie: Machten Zij A een n n-matrix en k een positief geheel getal. Dan is Ook A k = A A (k keer). A 0 = I n. Er volgt, voor k, l positieve gehele getallen: A k+l = A k A l en (A k ) l = A kl.

116 commuterende matrices Zij A en B matrices. Als AB = BA dan zegt men dat A en B commuteren. Waarschuwing In het algemeen AB BA. In het algemeen mag je NIET vereenvoudigen. D.w.z. uit AB = AC volgt in het algemeen niet dat B = C. In het algemeen volgt uit AB = 0 NIET dat A = 0 of B = 0.

117 Definitie: getransponeerde van een matrix De getransponeerde matrix van een n m-matrix A, genoteerd A T, is de matrix waarvan de kolommen de rijen van A zijn. Dus (wij verwisselen rijen en kolommen) (A T ) ij = A ji. Rekenregels Zij A en B matrices zodat de volgende sommen en producten zin hebben. Er gelden (A T ) T = A (A + B) T = A T + B T (ra) T = ra T, voor elke scalair r (AB) T = B T A T.

118

119

120 2.2 De inverse van een matrix Definite: inverteerbare matrix Een n n-matrix A is inverteerbaar als er een n n-matrix C bestaat zodat CA = I n = AC. Men noemt C een inverse van A en als deze bestaat dan is die uniek en wordt genoteerd A 1. Dus A A 1 = I n = A 1 A. Een matrix die NIET inverteerbaar is noemt men singulier en een inverteerbare matrix noemt men niet singulier.

121 Stelling [ ] a b Zij een 2 2-matrix. Als ad bc 0 dan is A c d inverteerbaar en [ ] A 1 1 d b = ad bc c a Als ad bc = 0 dan is A singulier. Men noemt ad bc de determinant van A, en men noteert det(a) = ad bc.

122 Stelling: rekenregels 1. Als A een inverteerbare matrix is dan is ook A 1 een inverteerbare matrix en (A 1 ) 1 = A. 2. Als A en B inverteerbare n n-matrices zijn, dan is AB inverteerbaar en (AB) 1 = B 1 A Als A een inverteerbare matrix is dan is ook A T inverteerbaar en (A T ) 1 = (A 1 ) T.

123 Stelling Zij A een inverteerbare n n-matrix. Dan heeft voor elke b R n de vergelijking Ax = b een unieke oplossing x = A 1 b.

124 Elementaire Matrices Definitie Een elementaire matrix is een matrix verkregen uit de identitietsmatrix door er een elementaire rij operatie op uit te voeren. Er zijn drie types. Voorbeelden: E 1 = , E 2 = , E 3 = Als men E i A berekent dan voert men op A dezelfde elementaire rij operatie als men op I n gedaan heeft om E i te verkrijgen. Een elementaire matrix E is inverteerbaar. De inverse E 1 is van hetzelfde type als E (het vormt E om in I n ).

125

126 Stelling Zij A een n n-matrix. Dan, A is inverteerbaar als en slechts als A rij equivalent is met I n. In dit geval, elementaire rij operaties die A omvormen tot I n hervormen ook I n tot A 1. Algoritme voor het berekenen van A 1 Zij A een n n-matrix. Rij-reduceer de uitgebreide matrix [A I n ]. Als A rijequivalent is met I n dan is [A I n ] rijequivalent met [ In A 1]. Anders is A niet inverteerbaar.

127

128

129 De inverteerbare matrix stelling Zij A een n n-matrix. Zijn equivalent: A is inverteerbaar A is rij equivalent met I n A heeft n spil (pivot) posities de vergelijking Ax = 0 heeft slechts de nul oplossing de kolommen van A zijn lineair onafhankelijk de lineaire transformatie x Ax is injectief de vergelijking Ax = b heeft een unieke oplossing voor all b R n R n is voortgebracht door de kolommen van A de lineaire transformatie x Ax is surjectief er bestaat een matric C zodat CA = I n er bestaat een matrix D zodat AD = I n A T is inverteerbaar

130 Definitie Een lineaire transformatie R n R n is inverteerbaar als er een functie S : R n R n bestaat zodat voor alle x R n. Stelling S(T x) = x en T (S(x)) = x Zij T : R n R n een lineaire transformatie met standaardmatrix A. Dan is T inverteerbaar als en slechts als A is een inverteerbare matrix. In dit geval is S : R n R n met S(x) = A 1 x de enige functie die voldoet aan S(T x) = x en T (S(x)) = x voor alle x R n.

131 2.4 Matrixpartities Matrix in blokvorm A 11 A 12 A 1n A 21 A 22 A 2n. A m1 A m2. A mn. met elke A ij zelf een matrix

132 Voorbeeld: blokvorm bovendriehoesmatrix A 11 A 12 A 1n 0 A 22 A 2n A nn Een blokvorm diagonaal matrix A A A nn Men kan rekenregels gebruiken voor blokvorm zoals voor gewone matrices (zolang de betrokken sommen en producten zin hebben).

133 Matrixontbinding (Matrixfactorisatie) LU Factorisatie Veronderstel dat A een m n-matrix is die kan gereduceerd worden tot echalonvorm door rijoperaties die een veelvoud van een rij bij een andere rij beneden deze rij optellen (dus GEEN rijverwisselingen) dan bestaan er (eenheids-benedendriehoeks) elementaire matrices E 1,..., E p (m m-matrices) zodat (E p E 1 )A = U ( rijechalonvorm van A) A = LU met L een eenheids-benedendriehoeksmatrix en U een eenheids-bovendriehoekmatrix.

134 Algoritme [A I m ] [U M] en [M I m ] [I m L] A = LU

135 2.6 en 2.7 Toepassingen

136 DOEL Een nieuw criterium voor de inverteerbaarheid van een vierkante matrix A, een formule voor A 1 en A 1 b, een meetkundige interpretatie van een determinant.

137 3.1 Determinanten Determinant van 2 2 en 3 3-matrices. Herinner ([ ]) a11 a det 12 = a a 21 a 11 a 22 a 12 a 21 22

138 Zij A = Veronderstel a Dan a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 A a 11 a 12 a 13 a 11 a 21 a 11 a 22 a 11 a 23 a 11 a 31 a 11 a 32 a 11 a 33 a 11 a 12 a 13 0 a 11 a 22 a 12 a 21 a 11 a 23 a 13 a 21 0 a 11 a 32 a 12 a 31 a 11 a 33 a 13 a 31 veronderstel (2, 2)-positie is niet nul (anders werk met (3, 3)-positie).

139 met A ij verkregen uit A door de i-de rij en j-de kolom te schrappen. A a 11 a 12 a 13 0 a 11 a 22 a 12 a 21 a 11 a 23 a 13 a met = a 11 a 22 a 33 + [ a 12 a 23 a 31 ] + a 13 a 21 a 32 [ a 11 a 23 a 32 ] a 12 a 21 a 33 [ a 13 a 22 a 31 ] a22 a = a 11 det 23 a21 a a a 32 a 12 det 23 a21 a + a 33 a 31 a 13 det a 31 a 32 = a 11 det A 11 a 12 det A 12 + a 13 det A 13

140 Definitie Zij A = [a ij ] een n n-matrix. De determinant van A is det A = a 11 det A 11 a 12 det A ( 1) 1+n a 1n det A 1n n = ( 1) 1+j a 1j det A 1j j=1 Men noemt C ij = ( 1) i+j det A ij de (i, j)-de cofactor van A. Dus det A = a 11 C 11 + a 12 C a 1n C 1n, de cofactor expansie volgens de eerste rij van A.

141 Stelling Zij A een n n-matrix. Dan det A = a i1 C i1 + a i2 C i2 + + a in C in cofactor expansie volgens i-de rij = a 1j C 1j + a 2j C 2j + + a nj C nj cofactor expansie volgens j-de kolom

142 Stelling Zij A een triangulaire matrix, dan is det A = a 11 a 22 a nn, het product van de diagonaal elementen.

143 andere notatie voor determinant a 11 a 12 a 1n A =... a n1 a n2 a nn a 11 a 12 a 1n det A =... a n1 a n2 a nn

144

145 3.2 Eigenschappen van Determinanten Stelling Zij A een vierkante matrix. 1. Zij B verkregen uit A door bij een rij van A een aantal keer een andere rij van A op te tellen. Dan det B = det A. 2. Zij B verkregen uit A door twee rijen te verwisselen. Dan det B = det A. 3. Zij B verkregen uit A door een rij van A te vermenigvuldigen met een scalair c dan det B = c det A.

146

147 Stelling Zij A en B vierkante n n matrices dan 1. A een inverteerbare matrix als en slechts det A det A = det A T 2. det(ab) = (det A) (det B) 3. T : R n R met x T (x) = det ([ ]) a 1 a j 1 x a j+1 a n is lineair, d.w.z. T (x + y) = T (x) + T (y) en T (cx) = ct (x).

148 3.3 Regel van Cramer, Volume en Lineaire Transformaties Stelling: De regel van Cramer Zij A een inverteerbare n n-matrix. Voor b R n is de enige oplossing van Ax = b gegeven door x i = det A i(b) det A (i = 1,... n) met A i (b) = [ a 1 a i 1 b a i+1 a n ]

149 Stelling: Formule voor de inverse Zj A een inverteerbare n n-matrix. Dan A 1 = 1 det A adja met C 11 C 21 C n1 C 12 C 22 C n2 adj A =... en C ij = ( 1) i+j det A ij C 1n C 2n. C nn de adjunct matrix van A (adjoint matrix).

150 Oppervlakte en volume Stelling De oppervlakte van het parallellogram bepaald door a 1 = (a, c) en a 2 = (b, d) is [ ] det [a 1 a 2 ] = a b det c d Bovendien det [a 1 a 2 ] = det [a 1 a 2 + ca 1 ] (voor c 0). Zij A een 3 3-matrix. Het volume van het parallellopipedum bepaald door de kolommen is det A.

151 Stelling Zij T : R 2 R 2 : x Ax een lineaire transformatie. Zij S een parallellogram in R 2. Dan { oppervlakte van T (S)} = deta {oppervlakte van S} Zij T : R 3 R 3 : x Ax een lineaire transformatie. Zij S een parallellopipedum in R 3. Dan { volume van T (S)} = deta {volume van S}

152 4.1 Vectorruimten en deelruimten Een vectorruimte V is een niet-lege verzameling objecten (vectoren) met twee operaties (optelling en vermenigvuldiging met scalairen) die voldoen aan 10 voorwaarden (voor alle vectoren u, v en w in V en alle scalairen c, d) 1. som van u en v, genoteerd u + v, is in V 2. u + v = v + u 3. (u + v) + w = u + (v + w) 4. er bestaat een nul vector 0 in V zodat 0 + u = u 5. voor elke v V bestaat een v V zodat v + ( v) = 0 6. voor elke scalair c en voor elke v V is cv V 7. c(u + v) = cu + cv 8. (c + d)v = cv + dv 9. c(dv) = (cd)v 10. 1v = v

153 Eigenschap Voor elke v in een vectorruimte V en elke scalair c geldt: 0v = 0 c0 = 0 v = ( 1)v

154 Voorbeelden [ ] a b 1. M 2,2 = { a, b, c, d R}, alle 2 2-matrices. De c d nulvector is de nulmatrix. 2. de verzameling van alle m n-matrices. 3. P n alle veeltermen van graad ten hoogste n: r 0 + r 1 X + + r n X n, met r 0,..., r n R.

155 Definitie Een deelruimte van een vectorruimte V is een deelverzameling H van V zodat volgende eigenschappen gelden: 1. De nulvector 0 van V behoort tot H. 2. Voor elke u en v in H geldt: u + v H. 3. Voor elke v H en elke scalair c geldt: cv H.

156 Voorbeeld H = a 0 c a, c R

157 Voorbeeld van een niet deelruimte a H = 0 a R a + 1

158 Zij V een vectorruimte, v 1, v 2,..., v p V, c 1, c 2,..., c p R. Dan is c 1 v 1 + c 2 v c p v p een lineaire combinatie. Span{v 1, v 2,..., v p } is de verzameling van alle lineaire combinaties van v 1, v 2,..., v p. Dit is een deelruimte van V, genoemd de deelruimte voortgebracht door v 1, v 2,..., v p. Zij H een deelruimte van V. Men zegt dat H voortgebracht is door w 1, w 2,..., w p V als Span{w 1, w 2,..., w p } = H.

159

160 4.2 Nulruimten, Kolomruimten en Lineaire Transformaties Definitie De Nulruimte Nul(A) van een m n-matrix A is Nul(A) = {x x R n en Ax = 0}. Eigenschap Nul(A) is een deelruimte van R n.

161 Definitie De Kolomruimte Col(A) van een m n-matrix A = [ a 1 a 2 a n ] is Col(A) = Span{a 1, a 2,..., a n } = {b b = Ax, x R n }. Dit is een deelruimte van R m. Bovendien, Col(A) = R m als en slechts als Ax = b heeft een oplossing voor elke b R m.

162 Voorbeeld Bereken Nul(A) voor A = wij zoeken x zodat Ax = {0}. Oplossing: [ ] [ x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = ] [ [ ]. Dus [ x 2 13x 4 33x 5 x 2 6x x 5 x 4 x 5 ] ]

163 Dus x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = = x 2 2x 2 13x 4 33x 5 x 2 6x x 5 x x 5 + x Nul(A) = Span{u, v, w}, + x evenveel generatoren als vrije veranderlijken en deze vectoren zijn (via deze methode) ook onafhankelijk.

164 Definitie Een lineaire transformatie T : V W is een functie (d.w.z. een regel die met elke vector v V een unieke x W associeert) zodat 1. T (u + v) = T (u) + T (v), voor alle u, v V ; 2. T (cv) = ct (v), voor alle v V en scalairen c.

165 Kern De kern van T is kern(t ) = {v v V en T (v) = 0} = Nul(A) (als A de geassocieerde matrix is van T ). Dit is een deelruimte van V. Het beeld (range) van T is T (V ) = {T (v) v V } = Col(A), als A de geassocieerde matrix is van T.

166 4.3 Lineair Onafhankelijke Verzamelingen en Basis Definitie Een stel vectoren v 1, v 2,..., v p in een vectorruimte V is lineair onafhankelijk als de enige oplossing van de vergelijking c 1 v 1 + c 2 v c p v p = 0 (een lineaire afhankelijkeidsrelatie) de nuloplossing is, d.w.z. c 1 = c 2 = = c p = 0. Als er niet-nulle oplossing bestaat dat noemt men het stel lineair afhankelijk. Een verzameling die de nulvector 0 bevat is lineair afhankelijk. Een verzameling met twee vectoren is lineair afhankelijk als een van de twee vectoren een veelvoud is van de andere vector.

167 Voorbeeld In P 2 beschouw Dan p 1 = x p 2 = 2x 2 p 3 = x + 4x 2 p 3 = p 1 + 2p 2 Dus {p 1, p 2, p 3 } is lineair afhankelijk.

168 Stelling Een geïndexeerde verzameling {v 1, v 2,..., v p } (met p 2 en v 1 0) is lineair afhankelijk als en slechts als v j een lineaire combinatie is van zijn voorgangers v 1,..., v j 1, voor een j > 1.

169 Definitie Zij H een deelruimte van een vectorruimte V. Een verzameling vectoren B = {b 1, b 2,..., b p } in V is een basis van H als 1. B is lineair onafhankelijk, 2. H = SpanB Een basis is een efficiënte voortbrengende verzameling, het bevat geen onnodige vectoren.

170 Voorbeeld Zij H het vlak in volgende figuur. Dan Span{v 1, v 2 } = H. Span{v 1, v 3 } = H. Span{v 2, v 3 } H. Span{v 1, v 2, v 3 } = H.

171 Stelling Zij S = {v 1, v 2,..., v p } een deelverzameling van een vectorruimte V en zij H = SpanS. 1. Als v k een lineaire combinatie is van de andere vectoren in S, dan is H = Span(S \ {v k }). 2. Als H {0} dan is er een deelverzameling van S die een basis is van H.

172 Voorbeelden de standaard basis van R 3 is met e 1 = {e 1, e 2, e 3 }, e 2 = 0 1 0, e 3 = de standaard basis van P n is {1, x,..., x n }

173 Voorbeeld Is {v 1 = 1 2 0, v 2 = 0 1 1, v 3 = } een basis voor R 3? Oplossing Stel A = [v 1 v 2 v 3 ] Dan A Dus is {v 1, v 2, v 3 } een basis.

174 R 3 is geen basis van R 3 is geen basis van

175 Stelling: bases voor Nul(A) en Col(A) Elementaire rijoperaties op een matrix hebben geen invloed op de lineaire afhankelijkheid van de kolommen. De spil (pivot) kolommen van A vormen een basis van Col(A). Reden: Lineair afhankelijkheid van de kolommen van een matrix A is bepaald door oplossingen van Ax = 0. Dus als A en B rij-equivalent zijn dan zijn de oplossingen van Ax = 0 and Bx = 0 dezelfde.

176 Vind een basis voor Col(A) met Oplossing Dus A = [a 1 a 2 a 3 a 4 ] = [a 1 a 2 a 3 a 4 ] b 2 = 2b 1, a 2 = 2a 1 ; Dus b 4 = 4b 1 + 5b 3, a 4 = 4a 1 + 5a 3 Col(A) = Span{a 1, a 2, a 3, a 4 } = Span{a 1, a 3 }. {a 1, a 3 } is een basis voor Col(A)

177 4.4 Coördinaatsystemen Stelling Zij B = {b 1, b 2,..., b n } een basis van een vectorruimte V en x V. Dan bestaan unieke scalairen c 1, c 2,..., c n zodat x = c 1 b 1 + c 2 b c n b n. Men noemt c 1, c 2,..., c n de coördinaten (gewichten) van x t.o.v. de basis B. Notatie: c 1 c 2 [x] B =., c n de B-coördinaatvector van x.

178

179

180

181

182 Matrix van coördinaatwissel Zij B een basis van R n. Stel P B = [ b 1 b 2 b n ], de coördinaatverandering matrix van B naar de standaardbasis in R n. Dan de is de vectorvergelijking x = c 1 b 1 + c 2 b c n b n hetzelfde als x = P B [x] B Merk op dat P B inverteerbaar is omdat de kolommen van P B een basis vormen van R n. De functie R n R n : x P 1 B x = [x] B is een injectieve en surjectieve lineaire transformatie (een isomorfisme tussen R n en R n ).

183 De coördintaatafbeelding Zij B = {b 1,..., b n } een basis van een vectorruimte V. De coördintaatafbeelding V R n : x [x] B is een bijectieve lineaire transformatie.

184 Coördinaatfuncties laten ons toe om coördinaten in te voeren voor ongewone vectorruimten. Standardbasis voor P 2 is B = {p 1, p 2, p 3 } = {1, x, x 2 }. Veeltermen in P 2 gedragen zich als R 3 omdat a + bx + cx 2 = ap 1 + bp 2 + cp 3 [ a + bx + cx 2 ] a B = b c a P 2 R 3 : a + bx + cx 2 b

185

186 c 2 = 4 en [x] B = [ 3 4 ] Dus c 1 = 3 en

187

188 4.5 De dimensie van een vectorruimte Stelling Zij V een vectorruimte met een basis B = {b 1, b 2,..., b n }. Dan Elke verzameling in V met meer dan n elementen is lineair afhankelijk. Elke basis van V heeft exact n elementen. Men noemt n de dimensie van V ; notatie dim V = n. dim{0} = 0. Een vectorruimte die een eindige basis (eindige voortbrengende verzameling heeft) noemt men eindig dimensionaal. In het ander geval noemt men die oneindig dimensionaal.

189 Stelling Zij V een eindig dimensionale vectorruimte en H een deelruimte. Zij B een lineair onafhankelijk deel van H, dan bestaat er een basis B van H met B B. Ook Basis Stelling dim H dim V. Zij V een n-dimensionale vectorruimte. Elke lineair onafhankelijke deelverzameling van V met n elementen is een basis van V. Elke deelverzameling B van V met n elementen en zodat SpanB = V is een basis van V. dim R n = n dim P n = n + 1

190

191 Deelruimten H van R 3 dim H = 0, H = {0}. dim H = 1, H is een rechte door de oorsprong 0. dim H = 2, H is een vlak door de oorsprong. dim H = 3, H = R 3.

192

193 Eigenschap Zij A een n m-matrix. Dan dim Nul(A) = aantal vrije veranderlijken in de vergelijking Ax = 0. dim Col(A) = het aantal spil (pivot) kolommen in A.

194

195

196 4.6 Rang van een Matrix Definitie en Stelling Zij A een m n-matrix. De verzameling van alle lineaire combinaties van de rij vectoren van A noemt men rijruimte van A, genoteerd Row(A). Row(A) = Col(A T ). Als de matrices A en B rijequivalent zijn dan Row(A) = Row(B). Als B in echelonvorm is dan vormen de niet nul rijen van B een basis van Row(A).

197 Definitie en Stelling Zij A een m n-matrix. De rang van een matrix A is Bovendien rank(a) = dim Col(A). rank(a) = dim Col(A) = dim Row(A) = aantal spil (pivot) kolommen in A. dim Nul(A) = aantal niet spil kolommen van A = aantal vrije veranderlijken. rank(a) + dim Nul(A) = n.

198 Probleem Een wetenschapper lost een homogeen lineair systeem op van 50 vergelijkingen in 54 onbekenden en ontdekt dat er 4 vrije veranderlijken zijn. Kan de wetenschapper er zeker van zijn dat elk geassocieerd niet-homogeen lineair systeem (met dezelfde coefficiënten) een oplossing heeft? Oplossing Zij A de coefficiëntenmatrix. Dan Dus of rank(a) = dim col(a) = #spilkolommen dim Nul(A) = #aantal vrije veranderlijken = 4 rank (A) + 4 = 54 rank (A) = 50 = #vergeljkingen Dus elk systeem Ax = b heeft een oplossing.

199 De inverteerbare matrix stelling Zij A een n n-matrix. De volgende eigenschappen zijn equivalent. A is inverteerbaar. de kolommen van A vormen een basis voor R n. Col(A) = R n dim Col(A) = n rank(a) = n Nul(A) = {0} dim Nul(A) = 0

200 4.7 Verandering van Basis Stelling Zij B = {b 1, b 2,..., b n } en C = {c 1, c 2,..., c n } basissen van een vectorruimte V. Dan bestaat er een unieke matrix P C B (verandering van coördinaten matrix van B naar C) zodat [x] C = (P C B ) [x] B. Bovendien P C B = [ [b 1 ] C [b 2 ] C [b n ] C ] Voorbeeld in R 2.

201 4.8 en 4.9 Toepassingen

202 5.1 Eigenwaarden en eigenvectoren

203

204 Definitie Een eigenvector van een n n-matrix A is een niet-nulle vector x R n zodat Ax = λx, voor een scalair λ. λ noemt men een eigenwaarde. De verzameling van alle x die oplossingen zijn van (A λi n )x = 0 is de nulruimte van de matrix A λi n is een deelruimte van R n, genoemd de eigenruimte van A corresponderend met λ.

205 Voorbeeld Zij A = Bereken de eigenruimte van λ = 2. en λ = 2 is een eigenwaarde.

206 Oplossing

207

208 Oefening Zij λ een eigenwaarde van een matrix A. Bepaal een eigenwaarde van A 2 en A 3. Algemeen, wat is een eigenwaarde van A n. Oplossing Zij x een eigenvector met eigenwaarde λ.

209 Eigenschap De eigenwaarden van een triangulaire matrix zijn de diagonaal elementen. Als v 1,..., v r eigenvectoren zijn met corresponderende verschillende eigenwaarden λ 1,..., λ r van een n n-matrix A dan zijn v 1,..., v r lineair onafhankelijk.

210 Eigenschappen van determinanten Zij A en B n n-matrices. Dan A is inverteerbaar als en slechts als det A 0. det(ab) = det A det B det A T = det A. Als A triangulair is dan is det A het produkt van de diagonaalelementen. Een rij vervangen door een veelvoud van een andere rij op te tellen verandert de determinant niet. Een rijverwisseling verandert de determinant van teken. Een rij van A veranderen door een c veelvoud verandert de determinant in c det A.

211 5.2 De karakteristieke vergelijking Stelling Zij A een n n-matrix en zij U een echelon vorm van A (verkregen door rijverwisselingen en veelvouden van rijen bij andere rijen op te tellen; GEEN rijen vermenigvulidigen met een scalair). Dan ( 1) r (produkt van spil elementen in U) als A inverteerbaar is det A = 0 anders Dus het produkt van pivot elementen is uniek, terwijl de echelonvorm niet uniek is.

212 Stelling Zij A een n n-matrix. Dan zijn equivalent A is inverteerbaar 0 is geen eigenwaarde van A det A 0.

213 Stelling Een scalair λ is een eigenwaarde van een n n-matrix A als en slechts als λ voldoet aan de karakteristieke vergelijking det(a λi n ) = 0. Dit geeft een vergelijking van graad n in λ. De multipliciteit van λ is de multipliciteit van λ als een nulpunt (wortel) van deze vergelijking. Eigenschap Zij A en B n n-matrices. Men noemt A en B equivalent als er een inverteerbare matrix P bestaat zodat P 1 AP = B. In dit geval, det A = det B.

214

215

216

217 5.3 Diagonalisatie Definitie Een vierkant matrix A noemt men diagonaliseerbaar als A equivalent is met een diagonaalmatrix. D.w.z. A = PDP 1, voor een inverteerbare matrix P en een diagonaalmatrix D. Dit is nuttig om bv gemakkelijk A k te bereken voor een vierkante matrix A.

218

219 Oefening Zij A = [ A = PDP 1 metd = Oplossing: P 1 = [ ]. Veronderstel dat ] [ ] en P = [ ]

220 Diagonalisatiestelling Zij A een n n-matrix. Dan is A diagonaliseerbaar als en slechts als A n lineair onafhankelijke eigenvectoren heeft. Men noemt dit een eigenbasis. Bovendien A = PDP 1 (met D een diagonaalmatrix) als en slechts als de kolommen van P zijn n lineair onafhankelijke eigenvectoren van A. In dit geval zijn de diagonaalelementen van D de eigenwaarden van A die corresponderen met de respectievelijke kolommen.

221

222 Diagonaliseer indien mogelijk de matrix A =

223

224

225 Stelling Een n n-matrix met n verschillende eigenwaarden is diagonaliseerbaar.

226 Stelling Zij A een n n-matrix met verschillende eigenwaarden λ 1,..., λ p. De dimensie van de eigenruimte van λ i is kleiner dan of gelijk aan de multipliciteit van λ. De matrix A is diagonaliseerbaar als en slechts als de som van de dimensies van de eigenruimten gelijk is aan n. Dit gebeurt slechts als de dimensie van de eigenruimte behorende bij elke λ k gelijk is aan de multipliciteit van λ. Als A diagonaliseerbaar is en B k is een basis van de eigenruimte behorende bij λ k (voor elke k) dan is een basis van R n. B 1 B k

227

228

229 5.4 Eigenvectoren en lineaire transformaties Zij V en W vectorruimten met dim V = n en dim W = m. Zij T : V W een lineaire transformatie. Zij B = {b 1,..., b n } een basis van V en C een basis van W. Zij x V. Dan [x] B R n en Schrijf dan [T ([x])] C R m. x = r 1 b r n b n [x] B = r 1. r n

230 en en dus Bijgevolg met T (x) = T (r 1 b r n b n ) = r 1 T (b 1 ) + + r n T (b n ) Men noemt [T (x)] C = r 1 [T (b 1 )] C + + r n [T (b n )] C [T (x)] C = M [x] B M = [ [T (b 1 )] C [T (b 2 )] C [T (b n )] C ] M de matrix van T relatief t.o.v. de basissen B en C (of transitiematrix)

231 5.5 Complexe eigenwaarden Beschouw de matrix A = vergelijking is [ λ = 0 ]. De karakteristieke Deze heeft geen reele nulpunten. Maar wel complexe nulpunten: i en i. Elke n-de graadsveelterm heeft n nulpunten in de complexe getallen C = R + Ri. De theorie van matrixeigenwaarden en eigenvectoren is uiteengezet voor R n, maar blijft gelden voor C n. Dus men noemt een complex getal λ een eigenwaarde van A als det(a λi ) = 0. Dit is equivalent met het bestaan van een niet nulvector x C n zodat Ax = λx.

232 5.6 en 5.7 Toepassingen

233 5.8 Iteratieve schattingen voor eigenwaarden

Lineaire Algebra Een Samenvatting

Lineaire Algebra Een Samenvatting Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle

Nadere informatie

Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2

Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire

Nadere informatie

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:

Nadere informatie

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3. ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding

Nadere informatie

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper

Nadere informatie

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper

Nadere informatie

Matrixalgebra (het rekenen met matrices)

Matrixalgebra (het rekenen met matrices) Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

Samenvatting. Lineaire Algebra 1 - Collegejaar Dictaat met verwijzing naar het boek. Disclaimer

Samenvatting. Lineaire Algebra 1 - Collegejaar Dictaat met verwijzing naar het boek. Disclaimer Samenvatting Lineaire Algebra 1 - Collegejaar 2013-2014 Dictaat met verwijzing naar het boek Disclaimer De informatie in dit document is afkomstig van derden. W.I.S.V. Christiaan Huygens betracht de grootst

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

3.2 Vectoren and matrices

3.2 Vectoren and matrices we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op -4-, 4.-7. uur. Opgave Gegeven is het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met parameters

Nadere informatie

De inverse van een matrix

De inverse van een matrix De inverse van een matrix Laat A een n n matrix zijn. Veronderstel dat de matrixvergelijking A X = I n de oplossing X = C heeft. Merk op dat [ A I n ] rijoperaties [ I n C ] [ I n A] inverse rijoperaties

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)

Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen) Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren

Nadere informatie

Matrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten.

Matrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Definitie Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Voorbeelden De coëfficiëntenmatrix of aangevulde matrix bij een stelsel lineaire vergelijkingen. Een rij-echelonmatrix

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

Stelsels lineaire vergelijkingen

Stelsels lineaire vergelijkingen Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix. 2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12)

Lineaire Algebra (2DD12) Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 = UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar

Nadere informatie

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015 Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen

Nadere informatie

Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, ( )

Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, ( ) Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, (9.00-12.00) Zoals beschreven in de studiehandleiding 2DE04 bestaat dit tentamen uit drie

Nadere informatie

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en

Nadere informatie

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA Vragen, samenvattingen en uitwerkingen 2013 - Lineaire algebra 1 - UvA Rocco van Vreumingen 28 juli 2016 1 Inhoudsopgave 1 Samenvattingen 3 1.1 Samenvatting stof college 1................... 3 1.2 Samenvatting

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 16 Lineaire algebra B (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 16 Lineaire algebra B (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 16 Lineaire algebra B (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Vectoren in R n en matrices 1 2 Lineaire stelsels 11 21 Formulering en interpretatie

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Lineaire algebra (versie 15 september 2008)

Zomercursus Wiskunde. Lineaire algebra (versie 15 september 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Lineaire algebra (versie 15 september 2008) 2 Lineaire algebra Deze module wordt zowel gegeven in het A-programma als in het B-programma van de zomercursus

Nadere informatie

Matrices en Grafen (wi1110ee)

Matrices en Grafen (wi1110ee) Matrices en Grafen (wi1110ee) Electrical Engineering TUDelft September 1, 2010 September 1, 2010 Inleiding Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http:

Nadere informatie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van

Nadere informatie

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 93 email: JCMKeijsper@tuenl studiewijzer: http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 JKeijsper (TUE) Lineaire

Nadere informatie

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 6 26 september 2016 1 Hoofdstuk 3.1 en 3.2 Matrix operaties Optellen van matrices Matrix vermenigvuldigen met een constante Matrices vermenigvuldigen Machten

Nadere informatie

Lineaire Algebra. Samenvatting. De Roover Robin

Lineaire Algebra. Samenvatting. De Roover Robin Lineaire Algebra Samenvatting De Roover Robin 21-211 Deze samenvatting is een overzicht van alle definities, stellingen, lemma's en proposities met hun bijhorende bewijzen. Deze samenvatting is gebaseerd

Nadere informatie

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale

Nadere informatie

Dimensie van een deelruimte en rang van een matrix

Dimensie van een deelruimte en rang van een matrix Dimensie van een deelruimte en rang van een matrix Definitie (Herinnering) Een basis voor een deelruimte H van R n is een lineair onafhankelijke verzameling vectoren die H opspant. Notatie Een basis van

Nadere informatie

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014 Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A.

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A. TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A maandag 16 december 2002, 1000-1200 Coördinaten zijn gegeven tov een standaardbasis in R n 1 De matrix A en de vector b R 4 zijn gegeven door 1 0 1 2 0 1 1 4 3 2 A =, b = 0

Nadere informatie

Vectorruimten en deelruimten

Vectorruimten en deelruimten Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie

Nadere informatie

Lineaire algebra en kegelsneden. Cursus voor de vrije ruimte

Lineaire algebra en kegelsneden. Cursus voor de vrije ruimte Lineaire algebra en kegelsneden Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk Reële vectorruimten. De reële vectorruimte van de reële n-tallen Definitie Een reëel

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen

Nadere informatie

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie

Nadere informatie

Lineaire Algebra C 2WF09

Lineaire Algebra C 2WF09 Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H.A. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De

Nadere informatie

Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)

Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30) Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,

Nadere informatie

Determinanten. , dan is det A =

Determinanten. , dan is det A = Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Vectoren in R n 1 2 Lineaire combinaties 2 3 Matrices 7 31 Het begrip matrix 7 32 Som

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren in R n

Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Als Ax λx voor zekere x in R n met x 0, dan is λ een eigenwaarde van A en x een eigenvector van A behorende bij λ. Een eigenvector is op een multiplicatieve constante

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten. Joost de Groot Les 5. Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde. Technische Universiteit Delft

Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten. Joost de Groot Les 5. Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde. Technische Universiteit Delft Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten Joost de Groot Les 5 1 Technische Universiteit Delft Doel van deze les Determinanten ben je al tegengekomen bij de behandeling van het in en het uitwendig

Nadere informatie

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties M1 Wiskundig taalgebruik en notaties Verzamelingenleer Verzameling = aantal objecten samengebracht tot een geheel - Lege verzameling = verzameling die geen elementen bevat A = - Singleton verzameling =

Nadere informatie

OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010

OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010 OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010 1. Zij V een vectorruimte en A = {v 1,..., v m } een deelverzameling van m vectoren uit V die voortbrengend is voor V, m.a.w. V = A.

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra 2

Tentamen Lineaire Algebra 2 Lineaire algebra (NP010B) januari 013 Tentamen Lineaire Algebra Vermeld op ieder blad je naam en studentnummer. Lees eerst de opgaven voordat je aan de slag gaat. Schrijf leesbaar en geef uitleg over je

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren

Eigenwaarden en eigenvectoren Eigwaard eigvector Als A e vierkante matrix is, dan heet e vector x e eigvector van A als Ax e veelvoud van x is : Definitie Stel dat A e (n n-matrix is E vector x R n met x o heet e eigvector van A als

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 7 J.Keijsper

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte

Nadere informatie

Vector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen

Vector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen Vector-en matrixvergelijkingen (a) Parallellogramconstructie (b) Kop aan staartmethode Figuur: Vectoren, optellen (a) Kop aan staartmethode, optellen (b) Kop aan staart methode, aftrekken Figuur: Het optellen

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Meetkunde en lineaire algebra

Meetkunde en lineaire algebra Meetkunde en lineaire algebra Daan Pape Universiteit Gent 7 juni 2012 1 1 Möbius transformaties De mobiustransformatie wordt gegeven door: z az + b cz + d (1) Als we weten dat het drietal (x 1, x 2, x

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 : Determinanten

Hoofdstuk 3 : Determinanten (A5D) Hoofdstuk 3 : Determinanten Les : Determinanten Definitie 3. De determinant van de [2 x 2]-matrix A = ( a c det(a) = ad bc. b ) is een getal met waarde d a b Notatie : det(a) = = ad bc c d Voorbeeld

Nadere informatie

Ruimtewiskunde. college. De determinant en lineaire afbeeldingen. Vandaag. De determinant van een matrix. Toepassing: oppervlakte en inhoud

Ruimtewiskunde. college. De determinant en lineaire afbeeldingen. Vandaag. De determinant van een matrix. Toepassing: oppervlakte en inhoud college 6 en lineaire collegejaar college build slides Vandaag : : : : 6-7 6 9 juni 27 3 2 3 van een matrix Toepassing: oppervlakte en inhoud.6-7[6] vandaag van de 2 2-matrix a b c d is gelijk aan ad bc.

Nadere informatie

Lineair voor CT College 2a. Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul

Lineair voor CT College 2a. Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul Lineair voor CT College 2a Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul Speciale vormen van een matrix Een stelsel oplossen komt overeen met door elementaire rijopera-es bepalen van de gereduceerde echelon vorm

Nadere informatie

Coördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V :

Coördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V : Coördinatiseringen Het rekenen met vectoren in R n gaat erg gemakkelijk De coördinaten bieden de mogelijkheid om handig te rekenen (vegen Het is nu ook mogelijk om coördinaten in te voeren voor vectoren

Nadere informatie

Ruimtewiskunde. college. Stelsels lineaire vergelijkingen. Vandaag UNIVERSITEIT TWENTE. Stelsels lineaire vergelijkingen.

Ruimtewiskunde. college. Stelsels lineaire vergelijkingen. Vandaag UNIVERSITEIT TWENTE. Stelsels lineaire vergelijkingen. college 4 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 16-17 4 29 maart 217 38 1 2 3.16-17[4] 1 vandaag Vectoren De notatie (x 1, x 2,..., x n ) wordt gebruikt voor het punt P met coördinaten (x 1,

Nadere informatie

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Basiskennis lineaire algebra

Basiskennis lineaire algebra Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal

Nadere informatie

Wiskundigen. Tentamen Lineaire Algebra 1. Donderdag 18 december 2008, a ( )

Wiskundigen. Tentamen Lineaire Algebra 1. Donderdag 18 december 2008, a ( ) Wiskundigen Tentamen Lineaire Algebra Donderdag 8 december 8,.-3. Naam: () Bepaal voor alle reële waarden van a de rang van de matrix a C a = a. 4a () Zij n een geheel getal en laat P n de vectorruimte

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

Hoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen

Hoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen

Nadere informatie

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b, UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1 WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, 000-300 Bij elke vraag dient een berekening of mo- Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven tivering te worden opgeschreven Grafische en programmeerbare rekenmachines

Nadere informatie

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen. Tentamen Lineaire Algebra maandag 3--27, 3.3-6.3 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken. Schrijf op elk

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y65 Docent: L Habets HG 89, Tel: 4-247423, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y65 1 Herhaling: bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het

Nadere informatie

Vectorruimten en lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten

Vectorruimten en lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten Hoofdstuk 3 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten 3.1 Vectorruimte : definitie en voorbeelden R DEFINITIE 3.1 vectorruimte Een vectorruimte of lineaire ruimte over een veld F is een

Nadere informatie

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 Familienaam:....................................................................... Voornaam:.........................................................................

Nadere informatie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.

Nadere informatie

11.0 Voorkennis V

11.0 Voorkennis V 11.0 Voorkennis V 8 6 4 3 6 3 0 5 W 8 1 1 12 2 1 16 4 3 20 5 4 V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00 Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus

Nadere informatie

Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra 1, najaar y y = 2x. P x. L(P ) y = x. 2/3 1/3 en L wordt t.o.v de standaardbasis gegeven door

Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra 1, najaar y y = 2x. P x. L(P ) y = x. 2/3 1/3 en L wordt t.o.v de standaardbasis gegeven door Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra, najaar 007. Gegeven is de lineaire afbeelding L : R R, die een punt P = (x, y) langs de lijn y = x projecteert op de lijn y = x: y y = x P x L(P ) y = x Bepaal

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B = Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets) Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N

Nadere informatie