Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen
|
|
- Sylvia Jansen
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts één punt in R n is, en dus ook geen grootte en richting heeft. Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is Vier manieren om een vergelijking op te schrijven: 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen 2. Vector-vergelijking 3. Matrix vergelijking 4. Aangevulde matrix (belangrijkste, zo los je hem uiteindelijk op) Aantal oplossingen: Oneindig veel (consistent) 1 (consistent) Geen (inconsistent) Oplossingsverzameling: Bestaat uit basisvariabelen en vrije variabelen
2 3 elementaire rij-operaties bij een matrix Vervangen Vermenigvuldigen Verwisselen Standaard rijvorm Alle niet-nul rijen boven de nulrijen Elk hoofdelement ( = pivot, meest linkse niet nul element) zit in een kolom rechts van het hoofdelement in de rij er boven Alle elementen in een kolom onder het hoofdelement zijn nullen Kanonieke (= gereduceerde) rijvorm heeft nog 2 eisen: Het hoofdelement in elke niet-nul rij is gelijk aan 1 Elk hoofdelement is het enige niet-nul element in een kolom Nulrij/nulkolom: rij/kolom met alleen maar nullen Variabelen: x 1, x 2,, x p Basisvariabelen: x 1 = 3 vrije variabelen: x 1 vrij te kiezen Algemene oplossing: Beschrijft alle oplossingen Parametrische omschrijving: In de algemene oplossing worden vrije variabelen als parameter gebruikt Verzameling: {v 1, v 2, v 3 } Opspansel: span {v 1, v 2,..., v p },met v 1, v 2,..., v p vectoren uit R n, is een verzameling van alle vectoren uit R n die je kunt schrijven als c1 * v 1 + c 2 * v c p * v p. Dus: span {v 1, v 2,..., v p } = c1 * v 1 + c 2 * v c p * v p b zit in span {v 1, v 2,..., v p } als je b kunt schrijven als = c1 * v 1 + c 2 * v c p + v p. Dus om te kijken of b er in zit, moet c1 * v 1 + c 2 * v c p * v p = b oplossingen hebben. Dit los je op door c1 * v 1 + c 2 * v c p * v p = b te beschouwen als vectorvergelijking (en die is weer oplosbaar door hem als aangevulde matrix te schrijven). Logisch equivalente beweringen: (zie aantekening voor uitleg!) 1. Voor elke b in R m heeft de vergelijking Ax = b een oplossing 2. Elke b in R m is een lineaire combinatie van de kolommen van A 3. De kolommen van A spannen R m op 4. A heeft een pivot positie in elke rij Rekenregels: Als A een m x n matrix is, u en v vectoren in R n en c een scalair, dan A(u + v) = Au + Av A(cu) = cau Lineaire combinaties x 1 *a 1 Ax (= x 1 *a 1 + x 2 *a 2 + )
3 Homogeen systeem: Ax = 0 Altijd de triviale oplossing x = 0 Soms zijn er niet-triviale oplossingen voor x (dan is er een vrije variabele in de oplossingsverzameling van x aanwezig) o Als er niet-triviale oplossingen zijn, dan is het systeem lineair afhankelijk o Als er geen niet-triviale oplossingen zijn, dan is het lineair onafhankelijk Niet-homogeen systeem: Ax = b (DIT IS GEEN EERSTEGRAADS FUNCTIE!) Heeft de oplossing x = [x 1 ; x 2 ; x 3 ] (de puntkomma tussen de x-en betekent dat de x- en eigenlijk onder elkaar moeten staan, maar dat is geen efficiënt papiergebruik). Door op de plaatsen van x1, x2, x3 enz. de gevonden waarden (na het herleiden van de aangevulde matrix) in te vullen, kun je x herschrijven tot x = [x 1 ; x 2 ; x 3 ] = p + v h. Hierbij is v h de niet-triviale oplossing van het homogeen systeem. p is een vector die er voor zorgt dat de oplossing gaat gelden voor Ax = b. Geometrisch gezien zorgt p er voor dat de oplossingsverzameling verschoven wordt. v h wordt ook wel de homogene oplossing genoemd en p de particuliere oplossing. De volgende dingen kunnen lineair afhankelijk zijn (controleren m.b.v. aangevulde matrices): Matrix kolommen, als een kolom een veelvoud is van een andere kolom Homogene systemen: Ax = 0 Verzamelingen: { v 1, v 2,..., v p } = c1 * v 1 + c 2 * v c p * v p = Ax = 0 o Verzameling S = { v 1, v 2,..., v p } is ook lineair afhankelijk als geldt: v 2 = c * v 1 Als één van de vectoren de nulvector is Als er meer vectoren zijn dan rijen in een vector (dus p>n) v p is een lineaire combinatie van andere vectoren (c1*v 1 + c 2 *v 2 = v p ) (lineaire combinatie, want bovenstaande is herschrijfbaar tot: Ax = b) Transformatie T T zet vector x om in vector b = T(x) Hierbij gaat x van R n naar R m R n is het domein van T R m is het codomein van T T(x) noemen we ook wel het beeld van x onder T,dus T(u) is het beeld van u onder T T(x) is het bereik van T, en dit is gelijk aan de verzameling van alle beelden onder T Injectief/surjectief: Een afbeelding T: R n -> R m heet surjectief (engels: onto ) als elke willekeurige vector b = T(x) in R m het beeld is van MINSTENS 1 vector x in R n. Een afbeelding T: R n -> R m heet injectief (engels: one-to-one ) als elke willekeurige vector b in R m het beeld is van HOOGUIT 1 vector x in R n.
4 Soorten transformaties: Lineaire transformaties: deze voldoen aan de volgende rekenregels: o T(u+v) = T(u) + T(v) voor alle u, v in het domein van T (in R n dus) o T(cu+dv) = c*t(u) + d*t(v) voor alle u, v in het domein van T (in R n dus) o T(c*u) = c*t(u) voor alle u alle c o T(0) = 0 Matrix transformaties (meest gebruikte). hiermee zet je met behulp van een matrix A de vector x om in b, T(x) = Ax = b. Matrix transformaties zijn lineaire transformaties. Soms heb je te maken met de transformatie T(x) = Ax en dan is A gevraagd, zodat je T(x) voor elke willekeurige x kunt berekenen. Dan is er in zo n vraag e 1, e 2 enz. gegeven met bijbehorende T(e 1 ), T(e 2 ) enz. Dan A= [ T(e 1) T(e 2) enz. ] A heet dan de standaard matrix voor de lineaire transformatie T. Uitgebreide uitleg en het bewijs van de stelling in de aantekening bij paragraaf 1.9 Geometrisch lineaire transformaties: dit zijn lineaire transformaties die beschreven worden in een assenstelsel. De volgende dingen kunnen gebeuren: o Een punt/vlak verschuiven (= schuiftransformatie). Dit kan met een willekeurige matrix A ( T(x) = Ax ), maar ook met een scalair r ( T(x) = r*x ). Als 0<r<1, dan wordt de afbeelding verkleind en dan spreek je van contractie. Als r>1, dan wordt de afbeelding vergroot en dan spreek je van dilatie. o Een punt verschuiven over een cirkel. Bijbehorende matrix op pagina 100. o Een punt spiegelen, bijvoorbeeld in de x-as, de y as, de lijn y=x, de lijn y=-x of de oorsprong. Bijbehorende standaardmatrices op pagina 101 van het boek. o Een vlak projecteren op de x-as of y-as. Bijbehorende standaardmatrices op pagina 103 van het boek. De oplosmethode voor elektrische schakelingen leren (zie aantekeningen)
5 Hoofdstuk 2: Matrix Algebra Rekenregels voor matrices: A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) A + 0 = A r*(a + B) = r*a + r*b (r+s)*a = r*a + s*a r*(s*a) = (r*s)*a A*B B*A OPLETTEN DUS! A*B = [A*b 1 A*b 2 A*b 3 A*b n ] en B*A = [B*a 1 B*a 2 B*a 3 B*a n ] Alle kolommen A*b n van matrix A*B zijn dus lineaire combinaties (Ax = b = A*b n ) Als A is een m x n matrix en B een n x p matrix, dan is AB een m x p matrix A k = A*A*A* *A (bijv. A 3 = A*A*A) A(BC) = (AB)C A(B+C) = AB + AC (B+C)A = BA + CA r(ab) = (ra)b = A(rB) I m *A = A = A*I n LET OP DE VOLGORDE VAN A EN I en I m EN I n Als AB = AC, dan geldt NIET automatisch B=C Als A*B = 0, dan geldt NIET automatisch A=0 of B=0 A T is de transpose van matrix A. We zeggen dan dat we matrix A transponeren. In matlab is dit A. Hiermee worden de rijen kolommen en de kolommen worden de rijen. Ook hiervoor gelden een aantal rekenregels: (A T ) T = A (A+B) T = A T + B T (ra) T = r*a T (ABC) T = C T B T A T LET WEER OP DE VOLGORDE VAN A EN B De inverse matrix van A is A -1. Dit is een unieke matrix. Matrices die geen iverse hebben heten singulier. Matrices die wel een inverse hebben noemen we niet-singulier. Alleen vierkante matrices kunnen geïnverteerd worden (A is dus een n x n matrix) en de inverse matrix bestaat alleen wanneer A*A -1 = A -1 *A = I n De inverse matrix van A vind je door de matrix [A I] te herleiden. Het resultaat wordt dan [I A -1 ]. Nu kun je de oplossing zo aflezen uit het achterste gedeelte A -1. Voor een 2x2 matrix is er nog een andere manier: Als A = [a b dan A -1 = 1/(ad bc) * [d b waarbij (ad bc) = det A c d] -c a] (determinant van A) De matrix I n noemen we een identiteitsmatrix. Dit is een vierkante matrix met n rijen en n kolommen.
6 Rekenregels m.b.t. inverse matrices: Als Ax = b, dan x = A -1 b (alleen als A -1 bestaat) Als A inverteerbaar is, dan is A -1 ook inveerteerbaar (AB) -1 = B -1 A -1 (A T ) -1 = (A -1 ) T (Als A inverteerbaar is, dan is A T ook inverteerbaar) De volgende stellingen zijn logisch equivalent voor een n x n matrix A: A is een inverteerbare matrix A is rij-equivalent (~) aan I n (dus A is te herleiden tot I n ) A heeft n pivot posities (dit is een mooie controle op inverteerbaarheid) Ax = 0 heeft alleen de triviale oplossing (geen vrije variabelen in A) De kolommen van A vormen een lineair onafhankelijke verzameling The lineaire transformatie T(x) = Ax is injectief (one-to-one) Ax = b heeft minstens 1 oplossing voor elke b in R n De kolommen van A omspannen R n De lineaire transformatie T(x) = Ax beeld R n af in R n Er is een matrix C zodat CA = I Er is een matrix D zodat AD = I A T is een inverteerbare matrix Ook lineaire transformaties kunnen inverteerbaar zijn. Stel je transformeert x naar T(x) door A*x, dan kun je T(x) terug transformeren naar x door T(x)*A -1 (A*x*A -1 = x) Een elementaire matrix E is een matrix die ontstaat door één enkele elementaire rij-operatie uit te voeren op een eenheidsmatrix. Omdat rij-operaties omkeerbaar zijn (en E dus weer terug te schrijven is tot I) zijn alle elementaire matrices inverteerbaar. De inverse matrix E -1 is de elementaire matrix die E terug transformeert naar I. Het Leontief input-output model is een rekenmethode die in de economie wordt gebruikt om de verdeling te bepalen van geproduceerde goederen: Totale productie = Onderlinge vraag tussen bedrijven + vraag consument x = Cx + d Waarbij x de totale productie is, C de matrixvorm van de input-output tabel, en d de vraag van de consument. Vaak wordt deze formule herschreven tot de vorm: (I-C)x = d, waardoor x oplosbaar wordt. Hier staat namelijk gewoon Ax = b. Bij benadering geldt: (I-C) -1 I + C + C 2 + C C m als de waarden in de kolommen van C kleiner zijn dan 1. Wanneer dan m naar oneindig gaat, nadert C m de nul-matrix. Voorbeeld Col A (Zie volgende bladzijde) en Rij A
7 Een apart type opspansel is de deelruimte. Een deelruimte H voldoet aan de volgende eisen: H bevat de nulvector Voor elke willekeurige u en v, de som u + v ligt in deelruitme H Voor elke willekeurige u en elke willekeurige scalair c, het product c*u ligt in H Een basis voor een deelruimte H van R n is een lineair onafhankelijke verzameling in H die H opspant. Dus je moet kijken of de gegeven kolommen lineair onafhankelijk zijn. Logisch equivalente beweringen voor vierkante (n x n) matrices: 1. Voor elke b in R m heeft de vergelijking Ax = b een oplossing 2. Elke b in R m is een lineaire combinatie van de kolommen van A 3. De kolommen van A spannen R m op (dus de kolommen zijn een basis voor R m ) 4. A heeft een pivot positie in elke rij 5. De kolommen van A zijn lineair onafhankelijk 6. A is een inverteerbare matrix 7. A is herleidbaar tot de identiteitsmatrix I m Col A ( Kol A in het Nederlands) is de kolomruimte van matrix A. Dit is de verzameling van alle lineaire combinaties van de kolommen van A. Om te kijken of een bepaalde vector v in Col A voorkomt, los je op: Ax = v. Is dit systeem consistent, dan zit v in Col A. Col A: Als A = [a 1 a 2 ], dan Col A = Ax = Span{ a 1, a 2, } = x 1 *a 1 + x 2 *a 2 + De basis voor Col A bestaat uit de pivot kolommen van de originele matrix A, en dus niet van de gereduceerde vorm van A Nul A is de nulruimte van matrix A. dit is hetzelfde als de oplossingsverzameling van Ax = 0. Om te kijken of een bepaalde vector v in Nul A voorkomt, moet je A*v uitrekenen en kijken of dit de nulvector oplevert. Zo ja, dan zit v in Nul A, en anders niet. Nul A = de oplossingsverzameling van Ax = 0 De basis voor Nul A bestaat uit de vectoren in de oplossingsverzameling van Ax = 0, dus als Nul A = x 3 *u + x 4 *v, dan de basis voor Nul A = {u,v} Normaal gesproken ben je gewend om de coördinaten van een assenstelsel uit te drukken in (x,y). Maar je kunt ook met vectoren werken, bijv. b 1 en b 2, die een opspansel of deelruimte vormen. Een punt binnen deze deelruimte druk je dan uit in bijv. 3b 1 en 2b 2. Als je het punt x uit wil drukken in vectoren, doe je dat met [x] B. Hierin is B de verzameling vectoren die de basis van de desbetreffende deelruimte vormen. Hieronder een voorbeeld: De dimensie van een m x n matrix A is {m n}. Met de dimensie van een deelruimte H bedoelen we het aantal vectoren in de basis van H. De rang van matrix A is de dimensie van Col A (dus het aantal vectorkolommen in de basis van Col A). Dus: Rang A = dim Col A. Ook geldt voor m x n matrix A: dim Col A + dim Nul A = n
8 Hoofdstuk 3: De determinant De determinant van een matrix is een getal dat vertelt of een matrix inverteerbaar is of niet. Als det A (de determinant van A) gelijk is aan nul, dan is de matrix niet inverteerbaar. A heet dan singulier. Is de determinant ongelijk aan nul, dan is de matrix wel inverteerbaar. A heet dan nietsingulier. Omdat alleen vierkante matrices inverteerbaar kunnen zijn, hebben ook alleen vierkante matrices een determinant. Van een 1x1 en een 2x2 matrix kunnen we de determinant direct berekenen (Zie vorige bladzijde). Voor het berekenen van de determinant van grotere matrices bestaan 2 technieken: cofactor ontwikkeling naar een bepaalde rij of kolom. De matrix omschrijven tot de driehoeksmatrix. De determinant is vervolgens gelijk aan het product van de getallen in de hoofddiagonaal. Denk met omschrijven aan de rekenregels voor elementaire rij-operaties. Tekenafspraak: Driehoeksmatrices: Andere notatie: Enkele standaard determinanten: 1x1 matrix: det A = a (met A = [a]) 2x2 matrix: det A = ad bc Driehoeksmatrix: det A = Het product van de getallen op de hoofddiagonaal Identiteitsmatrix: det I n = 1 Matrix met twee dezelfde rijen: det A = 0 Matrix met nulrij: det A = 0 Matrix met nulkolom: det A = 0 det A T = det A det A -1 = 1/(det A) det (A*B) = (det A)*(det B) det (A 4 ) = (det A) * (det A) * (det A) * (det A) LET OP: det (A+B) (det A) + (det B) De determinant na elementaire rij-operaties: Als de matrix B ontstaat door een veelvoud van een rij van A op te tellen bij een andere rij, dan: det B = det A Als B ontstaat door twee rijen van A te verwisselen, dan: det B = det A Als B ontstaat door een rij van A met k te vermenigvuldigen, dan: det B = k * det A De determinant na kolom-operaties: Als de matrix B ontstaat door een veelvoud van een kolom van A op te tellen bij een andere kolom, dan: det B = det A. Als B ontstaat door twee kolommen van A te verwisselen, dan: det B = det A. Als B ontstaat door een kolom van A met k te vermenigvuldigen, dan: det B= k*det A.
9 De lineariteit eigenschap van een determinant houdt in dat je de determinant kunt zien als een lineaire functie van de kolom variabele. Verder geen idee wat je er mee kunt! Regel van Cramer: x i = det A i (b) / det A met A i (b) Matrix A waarbij de i-de kolom vervangen is door b. De geadjungeerde van Matrix A, genoteerd als adj A, is de matrix die uit cofactoren bestaat: (Vraag 11 van paragraaf 3.3 bestuderen!) In dit voorbeeld zijn de cofactoren voor linksboven en linksonder aangegeven. Let ook hier weer op de tekenafspraak! Enkele toepassingen van de determinant: De oppervlakte van een parallellogram is de absolute waarde van de uitkomst van de determinant van de vectoren van de 2 belangrijkste hoekpunten, dus: oppervlakte = det A Hierbij is A dus een 2 x 2 matrix. Voorwaarde is wel dat 1 van de 2 onbelangrijke hoekpunten de oorsprong is. Is dit niet zo, dan moet je het parallellogram verschuiven zodat hij in de oorsprong komt. Het volume van een blok wordt bepaald door de absolute waarde van de uitkomst van de determinant van de vectoren van de 3 belangrijkste hoekpunten, dus: volume = det A Hierbij is A dus een 3 x 3 matrix. Ook hier weer de voorwaarde dat 1 van de hoekpunten de oorsprong is.
10 Hoofdstuk 6 en Stewart Hoofdstuk 12: vectoren in een ruimte R n Inproduct: Lengte van een vector: Een vector met lengte 1 heet een eenheidsvector (let op: e i heet óók een eenheidsvector) De afstand tussen twee vectoren is u-v : Uitproduct (= kruisproduct): Grafische voorstelling van het uitproduct: Hieruit volgt: De vector u x v is orthogonaal tot zowel u als v. Het uitproduct bestaat alleen voor vectoren in R 3. Als hoek θ nu 90 is, en u en v dus orthogonaal zijn, dan: u v = u v cos( ½π) = 0 Als hoek θ nu 0 is, en u en v dus parallel lopen, dan: u v = u v cos (0) = u v
11 De verzameling van vectoren z die orthogonaal zijn tot vlak W, waarbij W omspannen wordt door u en v, heet het orthogonaal complement van W en wordt genoteerd met W. Als A een m x n matrix is, dan is het orthogonaal complement van de rijruimte van A de nulruimte van A, en het orthogonaal complement van de kolomruimte van A is de nulruimte van A T : (Rij A) = Nul A en (Kol A) = Nul A T Rekenregels: u v = v u (u + v) w = u w + v w (cu) v = u (cv) u u 0 (behalve als u = 0 natuurlijk) (c 1 *u c p u p ) w = c 1 (u 1 w) + + c p (u p w) cu = c u u x v = -v x u (cu) x v = c(u x v) = u x (cv) u x (v + w) = u x v + u x w (u + v) x w = u x w + v x w u (v x w) = (u x v) w u x (v x w) = (u w)v ( u v)w Enkele toepassingen van in- en uitproduct: De oppervlakte van een parallellogram dat wordt bepaald door u en v is gelijk aan de lengte van het uitproduct van u en v, dus opp. = u x v Het volume van een blok dat wordt bepaald door u, v en w is gelijk aan u (v x w) (De verticale strepen zijn absoluutstrepen)
Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen
Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper
Nadere informatieStelsels Vergelijkingen
Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit
Nadere informatieStelsels lineaire vergelijkingen
Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix. 2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 7 J.Keijsper
Nadere informatieDefinities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2
Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire
Nadere informatieLineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014
Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Nadere informatieMatrixalgebra (het rekenen met matrices)
Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg
Nadere informatieCTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1
CTB100 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 5 5 februari 014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we hoofdstuk 1.7 en deel van 1.8 Voor de pauze: hoofdstuk 1.7 Na de pauze: hoofdstuk 1.8 Verschillende notaties
Nadere informatieCTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1
CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 6 27 februari 2014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we de rest van hoofdstuk 1.8 en 1.9 Voor de pauze: hoofdstuk 1.8 Na de pauze: hoofdstuk 1.9 2 Transformatie
Nadere informatieHints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde
Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints
Nadere informatieHet oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen
Nadere informatieLineair voor CT College 2a. Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul
Lineair voor CT College 2a Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul Speciale vormen van een matrix Een stelsel oplossen komt overeen met door elementaire rijopera-es bepalen van de gereduceerde echelon vorm
Nadere informatieMatrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen
Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een
Nadere informatieLineaire Algebra (2DD12)
Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Nadere informatieLineaire Algebra Een Samenvatting
Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieSamenvatting Lineaire Algebra, periode 4
Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Nadere informatieRuimtewiskunde. college. De determinant en lineaire afbeeldingen. Vandaag. De determinant van een matrix. Toepassing: oppervlakte en inhoud
college 6 en lineaire collegejaar college build slides Vandaag : : : : 6-7 6 9 juni 27 3 2 3 van een matrix Toepassing: oppervlakte en inhoud.6-7[6] vandaag van de 2 2-matrix a b c d is gelijk aan ad bc.
Nadere informatieWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =
Nadere informatieONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper
Nadere informatieInwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T
Nadere informatieVierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1
Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en
Nadere informatieDeterminanten. , dan is det A =
Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is
Nadere informatieUITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,
UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht
Nadere informatie1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec.
LINEAIRE ALGEBRA Eric Jespers Vrije Universiteit Brussel Referentie: David C. Lay, Linear Algebra and Its Applications, Fourth edition, Pearson International Edition, 2012, ISBN: 9781408287859 verplicht
Nadere informatieVragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA
Vragen, samenvattingen en uitwerkingen 2013 - Lineaire algebra 1 - UvA Rocco van Vreumingen 28 juli 2016 1 Inhoudsopgave 1 Samenvattingen 3 1.1 Samenvatting stof college 1................... 3 1.2 Samenvatting
Nadere informatieLineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen
Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra maandag 3--27, 3.3-6.3 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken. Schrijf op elk
Nadere informatieLineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten. Joost de Groot Les 5. Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde. Technische Universiteit Delft
Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten Joost de Groot Les 5 1 Technische Universiteit Delft Doel van deze les Determinanten ben je al tegengekomen bij de behandeling van het in en het uitwendig
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieTentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, ( )
Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, (9.00-12.00) Zoals beschreven in de studiehandleiding 2DE04 bestaat dit tentamen uit drie
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper
Nadere informatieMatrices en Grafen (wi1110ee)
Matrices en Grafen (wi1110ee) Electrical Engineering TUDelft September 1, 2010 September 1, 2010 Inleiding Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http:
Nadere informatieUITWERKINGEN 1 2 C : 2 =
UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De
Nadere informatieMatrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten.
Definitie Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Voorbeelden De coëfficiëntenmatrix of aangevulde matrix bij een stelsel lineaire vergelijkingen. Een rij-echelonmatrix
Nadere informatieEindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)
Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale
Nadere informatieLinalg.nb 1. Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes!
Linalg.nb Lineaire Algebra Andr Heck AMSTEL Instituut, Universiteit van Amsterdam Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes! Å Introductie
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op -4-, 4.-7. uur. Opgave Gegeven is het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met parameters
Nadere informatieInwendig product, lengte en orthogonaliteit
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)
Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieDe inverse van een matrix
De inverse van een matrix Laat A een n n matrix zijn. Veronderstel dat de matrixvergelijking A X = I n de oplossing X = C heeft. Merk op dat [ A I n ] rijoperaties [ I n C ] [ I n A] inverse rijoperaties
Nadere informatiea) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.
. Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn
Nadere informatieRuimtewiskunde. college. Stelsels lineaire vergelijkingen. Vandaag UNIVERSITEIT TWENTE. Stelsels lineaire vergelijkingen.
college 4 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 16-17 4 29 maart 217 38 1 2 3.16-17[4] 1 vandaag Vectoren De notatie (x 1, x 2,..., x n ) wordt gebruikt voor het punt P met coördinaten (x 1,
Nadere informatieBasiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
Nadere informatieAntwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding
Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie
Nadere informatieVectormeetkunde in R 3
Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie
Nadere informatieDimensie van een deelruimte en rang van een matrix
Dimensie van een deelruimte en rang van een matrix Definitie (Herinnering) Een basis voor een deelruimte H van R n is een lineair onafhankelijke verzameling vectoren die H opspant. Notatie Een basis van
Nadere informatie3.2 Vectoren and matrices
we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,
Nadere informatieVector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen
Vector-en matrixvergelijkingen (a) Parallellogramconstructie (b) Kop aan staartmethode Figuur: Vectoren, optellen (a) Kop aan staartmethode, optellen (b) Kop aan staart methode, aftrekken Figuur: Het optellen
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra 2
Lineaire algebra (NP010B) januari 013 Tentamen Lineaire Algebra Vermeld op ieder blad je naam en studentnummer. Lees eerst de opgaven voordat je aan de slag gaat. Schrijf leesbaar en geef uitleg over je
Nadere informatieVectorruimten en deelruimten
Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Lineaire algebra (versie 15 september 2008)
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Lineaire algebra (versie 15 september 2008) 2 Lineaire algebra Deze module wordt zowel gegeven in het A-programma als in het B-programma van de zomercursus
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 16 Lineaire algebra B (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 16 Lineaire algebra B (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Vectoren in R n en matrices 1 2 Lineaire stelsels 11 21 Formulering en interpretatie
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A.
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A maandag 16 december 2002, 1000-1200 Coördinaten zijn gegeven tov een standaardbasis in R n 1 De matrix A en de vector b R 4 zijn gegeven door 1 0 1 2 0 1 1 4 3 2 A =, b = 0
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Vectoren in R n 1 2 Lineaire combinaties 2 3 Matrices 7 31 Het begrip matrix 7 32 Som
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieCTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1
CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 1 11 februari 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides
Nadere informatieLineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie
Nadere informatie11.0 Voorkennis V
11.0 Voorkennis V 8 6 4 3 6 3 0 5 W 8 1 1 12 2 1 16 4 3 20 5 4 V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: opspansel De vectoren v 1,..., v k V spannen
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Nadere informatiePROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016
PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 1. Zi (R, V, +) een eindigdimensionale vectorruimte en veronderstel dat U en W deelruimten van V zin. Toon aan dat 2. Waar of fout? Argumenteer e antwoord.
Nadere informatieSamenvatting. Lineaire Algebra 1 - Collegejaar Dictaat met verwijzing naar het boek. Disclaimer
Samenvatting Lineaire Algebra 1 - Collegejaar 2013-2014 Dictaat met verwijzing naar het boek Disclaimer De informatie in dit document is afkomstig van derden. W.I.S.V. Christiaan Huygens betracht de grootst
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatieHoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen
Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen
Nadere informatieExamen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)
Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,
Nadere informatiete vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector
Les 3 Matrix product We hebben gezien hoe we matrices kunnen gebruiken om lineaire afbeeldingen te beschrijven. Om het beeld van een vector onder een afbeelding te bepalen hebben we al een soort product
Nadere informatie1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A.
. Oefen opgaven Opgave... Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat A = Bepaal de matrix van A. 4, 4 A =, A = 3 4. In de volgende opgave wordt het begrip injectiviteit en surjectiviteit van
Nadere informatie4. Determinanten en eigenwaarden
4. Determinanten en eigenwaarden In dit hoofdstuk bestuderen we vierkante matrices. We kunnen zo n n n matrix opvatten als een lineaire transformatie van R n. We onderscheiden deze matrices in twee typen:
Nadere informatieStudiewijzer Lineaire Algebra voor ST (2DS06), blok D, januari 2009
Studiewijzer Lineaire Algebra voor ST (2DS06), blok D, januari 2009 1 Algemeen 1.1 Docenten De cursus wordt gegeven door Judith Keijsper (Dr. J.C.M. Keijsper, HG 9.31, tel 5583, email J.C.M.Keijsper(AT)tue(DOT)nl).
Nadere informatiePraktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent:
Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent: D.P. Huijsmans LIACS Universiteit Leiden College Lineaire
Nadere informatieUitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015
Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.
Nadere informatie2. Transformaties en matrices
Transformaties en matrices Lineaire afbeelding Onder een lineaire afbeelding van R n naar R m verstaan we een functie A die aan iedere vector uit R n een vector uit R m toevoegt en van het volgende type
Nadere informatieLineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012
Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of
Nadere informatiePROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011
PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 Familienaam:....................................................................... Voornaam:.........................................................................
Nadere informatieKies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Nadere informatieInleiding in de lineaire algebra
Inleiding in de lineaire algebra (SV.9) W.Oele P.J. den Brok 6 maart 4 Inleiding De cursus lineaire algebra bestaat uit een aantal colleges in de matrix- en de vectorrekening. De colleges over en de oefenopdrachten
Nadere informatieLineaire algebra en kegelsneden. Cursus voor de vrije ruimte
Lineaire algebra en kegelsneden Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk Reële vectorruimten. De reële vectorruimte van de reële n-tallen Definitie Een reëel
Nadere informatieSupplement Wiskunde 2017/2018. Inhoudsopgave
Inhoudsopgave Hoofdstuk 1: Missende stof in de verslagen... 2 Hoofdstuk 2: Overbodige stof in de verslagen... 7 Hoofdstuk 3: Fouten in de verslagen... 8 Tentamen halen? www.rekenmaarverslagen.nl 1 Hoofdstuk
Nadere informatiePraktische informatie. m.b.t. College. Lineaire Algebra en Beeldverwerking. Bachelor Informatica. 1e jaar. Voorjaar semester 2012
Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica 1e jaar Voorjaar semester 2012 Docenten: Jesse Goodman en Charlene Kalle Universiteit Leiden Praktische informatie
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra
Tentamen Lineaire Algebra 3 januari 214, 8:3-11:3 uur - Bij dit tentamen mogen dictaten en boeken niet gebruikt worden - Een eenvoudige rekenmachine, hoewel niet nodig, is toegestaan, maar geen grafische
Nadere informatieKwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat.
1 Kwantummechanica Donderdag, 1 oktober 016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4 VECTOREN OVER DE REËLE RUIMTE DUS DE ELEMENTEN ZIJN REËLE GETALLEN Bestudeer Appendix A, bladzijden 110-114 van het dictaat. Opgave 1:
Nadere informatieMore points, lines, and planes
More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)
Nadere informatieFuncties van vectoren
Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.
Nadere informatieRuimtemeetkunde deel 1
Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen
Nadere informatieLineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatie