2. Transformaties en matrices
|
|
- Sylvia Adam
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Transformaties en matrices Lineaire afbeelding Onder een lineaire afbeelding van R n naar R m verstaan we een functie A die aan iedere vector uit R n een vector uit R m toevoegt en van het volgende type is: Ax,, x n = α x + + α n x n,, α m x + + α mn x n waarbij de coëfficiënten α ij reële getallen zijn Onder de matrix van A verstaan we het schema waarin deze coëfficiënten α ij op een overzichtelijke manier gerangschikt zijn: α α n Een paar voorbeelden: α m α mn De functie A : R R, gedefinieerd door Ax, x = x, x x, 8x + x De matrix van deze lineaire afbeelding A is 8 De functie A : R R, gedefinieerd door A x def = de projectie van x op,, is een lineaire afbeelding Je kunt dat inzien door A x uit te rekenen met de projectieformule: Ax, x, x = x, x, x,,,,,,,, = 4 x + x + 4 x, x + x + x, 4 x + x x Dit functievoorschrift is inderdaad van het juiste type, dus A is een lineaire afbeelding De matrix van A is De functie A : R R gedefinieerd door A x def = het spiegelbeeld van x ten opzichte van de lijn [, ] We zoeken even een functievoorschrift voor A: [, ] p A x p x Je vindt A x door x eerst te projecteren op,, vervolgens deze projectie te verdubbelen, en tenslotte hiervan nog x af te trekken De berekening: p = x,x,,,, = 9 8 x + 8 x, 8 x x Dus Ax, x = p x, x = 9 x + 9 x, 9 x + 9 x A is dus de lineaire afbeelding met matrix
2 Betekenis van de kolommen De kolommen van de matrix van A zijn precies de beelden van de natuurlijke basisvectoren e =,,,,, e n =,,, van R n We rekenen dat even na door deze basisvectoren in te vullen in Ax,, x n = α x + + α n x n,, α m x + + α mn x n : A e = A,,,, = α,, α m = eerste kolom van de matrix van A A e = A,,,, = α,, α m = tweede kolom van de matrix van A A e n = A,,,, = α n,, α mn = n-de kolom van de matrix van A Eigenschappen van lineaire afbeeldingen Een lineaire afbeelding A voldoet aan A O = O A x + y = A x + A y Aλ x = λ A x Je kunt deze eigenschappen eenvoudig uit onze definitie bewijzen Ook het omgekeerde is waar: een functie A die aan deze eigenschappen voldoet is een lineaire afbeelding Voorbeeld Zij A : R R de draaiing over een hoek ϕ Deze A is een lineaire afbeelding, want je kunt gemakkelijk nagaan dat hij aan de bovenstaande eigenschappen voldoet De matrix van A kun je als volgt vinden: de eerste kolom moet het A-beeld van, zijn, en dat is cos ϕ, sin ϕ De tweede kolom vind je via A, = sin ϕ, cos ϕ cos ϕ sin ϕ De matrix van A is dus sin ϕ cos ϕ A x x ϕ Bereik van een lineaire afbeelding Onder het bereik van een lineaire afbeelding A verstaan we de verzameling van alle A-beelden We noteren dit bereik als ImA Als je de matrix van A kent, kun je ImA op een eenvoudige manier bepalen: ImA is het opspansel van de kolommen van de matrix van A Je kunt dit als volgt inzien: een vector x is te schrijven als x e + + x n e n Uit het lijstje van eigenschappen volgt dan dat A x = Ax e + + x n e n = x A e + + x n A e n, en dit is een lineaire combinatie van de kolommen Voorbeeld We bepalen het bereik van A : R R met matrix 6 Dit bereik is het opspansel van de kolommen, en kan dus vereenvoudigd worden door met die kolommen te vegen: kolom kolom 6 Het bereik is dus het vlak [,,,,, ] 6
3 Afkortingen Een lineaire afbeelding van R n naar R n wordt ook wel kortweg een lineaire transformatie van R n genoemd De matrix van A wordt meestal zelf ook A genoemd In plaats van A x schrijven we soms A x Identieke transformatie De identieke transformatie I van R n is gedefinieerd door I x = x Zijn matrix heeft op de hoofddiagonaal van linksboven naar rechtsonder eentjes en daarbuiten allemaal nullen Bijvoorbeeld: de matrix van I : R R is I = Rekenen met matrices We definiëren de som van matrices van gelijke afmetingen plaatsgewijs : a a n b b n a + b a n + b n + def = a m a mn b m b mn a m + b m a mn + b mn Ook vermenigvuldigen met een getal λ R gaat plaatsgewijs: a a n λa λa n λ def = a m a mn λa m λa mn Vermenigvuldiging van twee matrices met elkaar definiëren we alleen maar als het aantal kolommen van de eerste matrix even groot is als het aantal rijen van de tweede matrix: a a n b b k c c k def = met c ij = a i b j +a i b j + +a in b nj a m a mn b n b nk c m c mk voor de berekening van c ij moet je dus de getallen uit de i-de rij van de eerste matrix met die uit de j-de kolom van de tweede matrix vermenigvuldigen, en de uitkomsten optellen; anders geformuleerd: c ij is het inproduct van de i-de rij van de eerste matrix met de j-de kolom van de tweede matrix Voorbeelden A = en B = Dan is A B = en B A = maar A A bestaat niet 4 4 Als C = en D =, dan is C + D = en C = en CD = DC = C = 4
4 Opmerking AB en BA zijn meestal niet gelijk Matrixvermenigvuldiging is niet commutatief Wél associatief: ABC is altijd gelijk aan ABC Stelling Zij A : R n R m een lineaire afbeelding Dan is het beeld A x gelijk aan het product A x, als je x als kolomvector schrijft: A x = α α n x α m α mn x n Het bewijs van deze stelling vind je in regel van dit hoofdstuk Erg simpel dus Je kunt de stelling gebruiken om handig allerlei beelden uit te rekenen Bijvoorbeeld: waar kom je uit als je de vector, om een hoek van tegen de wijzers van de klok in draait? Om deze vraag te beantwoorden hoef je je hersens niet te pijnigen met ingewikkelde meetkunde, het kan simpel als volgt: cos sin De matrix van de betreffende draaiing is A = = Nu even vermenigvuldigen: Conclusie: A, =, + sin cos = + Samenstelling Als A : R n R m en B : R m R k lineaire afbeeldingen zijn, dan definiëren we de samenstelling B A door B A x def = BA x Deze samenstelling is dan een lineaire afbeelding van R n naar R k, en zijn matrix is het product van de matrix van B met de matrix van A Opmerking De juistheid van deze bewering volgt uit de associativiteit van matrixvermenigvuldiging: BA x = BA x Samenstelling compositie van lineaire afbeeldingen komt dus neer op vermenigvuldiging van de bijbehorende matrices Voorbeeldjes in de R : A = spiegeling om de lijn met vergelijking x x = = B = uitrekking van de eerste coördinaat met een factor = Dan is B A = doe eerst A en daarna B = B A = en A B = doe eerst B en daarna A = A B = Ik wil de 9-ste macht uitrekenen van de matrix D = maar ben een beetje lui Is er nog hoop? Wie lui is moet slim zijn: In D herken ik de matrix van draaiing om een hoek van 6 tegen de wijzers van de klok in Dus is D 9 de matrix van de draaiing om 4 of, wat op hetzelfde neerkomt, draaiing om 8 Dus D 9 = 9 9 8
5 Rang van een matrix Onder de kolommenrang van een matrix verstaan we de dimensie van het opspansel van de kolommen Onder de rijenrang verstaan we de dimensie van het opspansel van de rijen Ik kan bewijzen dat de rijenrang altijd precies gelijk is aan de kolommenrang maar dat doe ik nu even niet, want ik ben er momenteel te lui voor We spreken daarom kortweg van rang Voorbeelden: 8 de kolommenrang van de matrix 4 is, want de twee kolommen zijn onafhankelijk en dus heeft hun opspansel dimensie de rijenrang van de matrix 6 is, want de tweede rij is een veelvoud van de eerste rij, dus het opspansel van de rijen is [,, 6, ] = [, ] en is dus -dimensionaal als je de rang van de matrix wilt berekenen, kan dat op twee manieren: 4 bereken de rijenrang door het opspansel van de rijen te vereenvoudigen zie vegen in hoofdstuk : 4 rij 4 8 rij 4 Het opspansel van de rijen blijkt [, 4,,,,,, ] te zijn, en de rang is dus bereken de kolommenrang door met de kolommen te vegen: 4 kolom Het opspansel van de kolommen is [,,,,, ] en dit ziet er -dimensionaal uit De rang is dus Onder de rang van een lineaire afbeelding A verstaan we de rang van de matrix van A Deze rang is gelijk aan de dimensie van ImA, want ImA is het opspansel van de kolommen Kern Onder de kern van een lineaire afbeelding A verstaan we de verzameling van alle vectoren die door A worden afgebeeld op de nulvector O We noteren deze verzameling als KerA Een paar eenvoudige voorbeelden: Zij A : R R de lineaire afbeelding projectie op het vlak x + x 8x = Dan is KerA = [,, 8] de lijn door O loodrecht op het vlak Zij A de lineaire transformatie spiegeling ten opzicht van het vlak x + x 8x = Dan is KerA = { O}, want alleen de nulvector zelf resulteert na spiegeling in de nulvector Zij A : R R de lineaire afbeelding met A x = x x + x Dan is KerA het vlak met vergelijking x x + x = 9
6 Berekening van de kern In deze eenvoudige voorbeelden zag je direct wat de kern van A was Helaas is het leven van een natuurwetenschapper niet altijd zo simpel, soms zul je heel wat rekenwerk moeten verrichten Als je bijvoorbeeld de kern moet bepalen van de lineaire transformatie met matrix A = zit er niks anders op dan dapper gaan rekenen aan de vergelijking A x = O, in de hoop te kunnen achterhalen welke vectoren x hieraan voldoen Je rekenwerk ziet er dan hopelijk ongeveer als volgt uit: x x + x x A x = O x = x + x x = Dus KerA = [,, 6] x x + x x = x + x x = x x = { x = x x = 6x x x x x x = λ 6 met x = λ x + x x = { x = x Opmerking De enige serieuze rekenstap was x + x x = x = 6x x x = We gebruikten daarbij de derde vergelijking x x = als een soort om x te elimineren uit de andere twee vergelijkingen: we vervingen dus de eerste vergelijking door eerste verg en de tweede vergelijking door tweede verg Je kunt deze werkwijze ook opvatten als veegproces in de matrix: blijkbaar verandert de kern niet als we de eerste rij vervangen door eerste rij derde rij, en de tweede rij door tweede rij derde rij Algemener geformuleerd: KerA verandert niet door vegen met rijen Preciezer gezegd: de kern van een matrix blijft ongewijzigd als je bij een rij een veelvoud van een andere rij optelt een rij vermenigvuldigt met een getal twee rijen verwisselt Eerder hebben we al gezien: ImA verandert niet door vegen met kolommen Anders gezegd: het bereik van een matrix blijft ongewijzigd als je bij een kolom een veelvoud van een andere kolom optelt een kolom vermenigvuldigt met een getal twee kolommen verwisselt Ter vergelijking: bij het berekenen van de rang zijn al deze acties toegestaan, omdat je het begrip rang naar keuze mag interpreteren als rijenrang of als kolommenrang Dus RangA verandert niet door vegen met rijen RangA verandert niet door vegen met kolommen
7 Deze trucs maken de berekening van kern, bereik en rang tot een voor elke chemicus toegankelijk karweitje Nog een ingewikkeld voorbeeldje: we berekenen de kern van A = We mogen nu onbekommerd met rijen vegen, in de veilige wetenschap dan zulke poespas de kern niet aantast: rij rij 9 8 KerA is dus gelijk aan de kern van deze laatste matrix, en de berekening hiervan is eenvoudig: x 9 { x 8 x = x 9x + x 4 = x + x 8x = x 4 Tenslotte moeten we nog even de oplossingsverzameling van dit duo vergelijkingen netjes presenteren Dan kan bijvoorbeeld door x en x mooie griekse namen te geven: x = λ en x = µ De vergelijkingen worden dan x 4 = λ+ 9 µ en x = λ+8µ, zodat een vector uit de oplossingsverzameling geschreven kan worden als x, x, x, x 4 = λ + 8µ, λ, µ, λ + 9 µ = λ,,, + µ8,,, 9 De oplossingsverzameling bestaat blijkbaar uit alle lineaire combinaties van de vectoren,,, en 8,,, 9 en is dus het opspansel van deze twee vectoren Breukhaters mogen dit resultaat desgewenst presenteren als KerA = [,,,, 6,,, 9] Dimensiestelling Voor een lineaire afbeelding A : R n R m geldt: KerA is een lineaire deelruimte van R n ImA is een lineaire deelruimte van R m dimker A + dimim A = n zonder bewijs
8 Opgaven hoofdstuk Opgave Is translatie over, een lineaire afbeelding van R naar R? Met deze translatie bedoel ik de functie A die gedefinieerd wordt door A x = x +, Opgave Zij A : R R de lineaire afbeelding met matrix Bereken A,, Opgave uit R Opgave 4 Bepaal de matrix van de lineaire afbeelding die iedere vector uit R afbeeldt op de nulvector Bepaal de matrix van de lineaire transformatie A van R die voldoet aan { A, =, 4 A, 4 =, Opgave De onderstaande matrices horen bij draaiingen of spiegelingen Om welke hoek wordt er gedraaid, of om welke lijn wordt er gespiegeld? A = B = C = D = Opgave 6 Welke van de volgende functies A : R R zijn lineaire afbeeldingen? a Ax, x, x = x + x, x x + b Ax, x, x = x, Opgave Opgave 8 Geef een meetkundige interpretatie van de transformatie met matrix Bepaal de matrix van de lineaire afbeelding A : R R, gedefinieerd door A x def = de projectie van x op het vlak door O,,, en,, Opgave 9 Van een lineaire afbeelding A : R R is gegeven: { A, =,, A, =,, a Bepaal de matrix van A b Bereken A, 4 Opgave A = en B = Ga na welke van de volgende matrixproducten mogelijk zijn en bereken ze: AB BA A A B
9 Opgave Zij A : R R de draaiing over een hoek π 4 met de wijzers van de klok mee a Bepaal de matrix van A b Bereken A 4 x A x 4 Opgave Bepaal de rang van de lineaire transformatie A van R die aan iedere vector zijn uitproduct met,, toevoegt: A x = x,, tja, en nu maar hopen dat je je nog vaag herinnert wat uitproduct betekent Opgave Bepaal de kern van de lineaire transformatie A van R die gedefinieerd wordt door Opgave 4 Bereken KerA A x def = de projectie van x op het vlak door O,,, en,, Zij A : R R 4 de lineaire afbeelding met matrix Opgave A : R R is de lineaire afbeelding die de vectoren,,,,, en,, overvoert in achtereenvolgens,,,,, en,, a Bepaal de matrix van A b Bepaal de kern van A Opgave 6 Bepaal ImA voor de transformatie A = 9 Opgave Volgens onze theorie verandert de kern niet door vegen met rijen Laat aan de hand van een voorbeeld zien dat de kern wél kan veranderen door vegen met kolommen Opgave 8 Gegeven is een matrix met rang, die uit vijf rijen en zeven kolommen bestaat Bepaal uit deze gegevens de dimensie van zijn kern aanwijzing: gebruik de dimensiestelling Opgave 9 Bepaal de kern en het bereik van de matrix
10 Zelfstudiepakketje bij hoofdstuk Opgave Zij A de lineaire transformatie van R die als volgt meetkundig beschreven wordt: A x x ontbind x in een horizontale component en een component in richting, verdubbel de component in richting,, en verzevenvoudig de horizontale component stel de resultaten weer samen, en zo vind je A x a Bepaal de matrix van A b Bepaal de matrix van de lineaire afbeelding: doe A en doe daarna nog eens A Opgave Zij A de lineaire transformatie van R die gedefinieerd wordt door A x is de projectie van x op het vlak V met vergelijking x = x a Bepaal de matrix van A b Bepaal de rang van A c Bepaal de kern van A d Bereken A Opgave Bepaal de matrix en de kern van de lineaire afbeelding A die gedefinieerd wordt door A x = x,, Opgave 4 Volgens onze theorie verandert het bereik niet door vegen met kolommen Laat aan de hand van een voorbeeldje zien dat het bereik wél kan veranderen door vegen met rijen Opgave { KerA = [,, ] a Verzin een lineaire transformatie A van R met ImA = [,,,,, ] of bewijs dat je dit niet kunt { KerA = [,,,,, ] b Verzin een lineaire transformatie A van R met ImA = [,, ] of bewijs dat je dit niet kunt { KerA = [,, ] c Verzin een lineaire transformatie A van R met ImA = [,, ] of bewijs dat ik dit niet kan { KerA = [,,,,, ] d Verzin een lineaire transformatie A van R met ImA = [,,,,, ] of bewijs dat ik dit niet kan 4
11 Opgave 6 Zij A de lineaire transformatie van R met matrix a Bepaal het bereik van A b Bepaal de kern van A Opgave Zij A een matrix met rang a Wat is Im A? b Wat is Ker A? 4 c Bewijs dat A twee verschillende originelen altijd overvoert in twee verschillende beelden
12 Oplossingen Opgave a Deze transformatie voldoet aan A, =, en A, =, Je kunt nu de eigenschappen van een lineaire afbeelding gebruiken om A, uit te rekenen: A, = A,, = A, A, =,, =, De matrix van A heeft als kolommen de beelden van de basisvectoren, en,, dus deze matrix is A = b Compositie van lineaire afbeeldingen komt neer op vermenigvuldiging van hun matrices De matrix van A A is dus 49 4 A = = 4 Opgave a We kiezen eerst een orthogonale basis van V, bijvoorbeeld,,,,, De projectie van x, x, x op,, is, x, dat ziet zelfs een wiskundehater, en de projectie van x, x, x op,, is x + x,, x + x dat heb ik met de projectieformule gevonden Dus Ax, x, x = x + x, x, x + x, en de matrix van A is dus A = b De rang van A is de dimensie van de verzameling van de beelden Die beeldverzameling is het vlak V, dus de rang is c De kern van A bestaat uit alle vectoren waarvan de projectie de nulvector is Dat zijn vanzelfsprekend de vectoren die loodrecht op het vlak staan, dus alle veelvouden van de vector,, De kern is dus de lijn [,, ] d Alweer zo n flauw vraagje Vanzelfsprekend is A A = A, want als je projecteert en vervolgens het resultaat nogmaals projecteert, blijft dit resultaat verder ongewijzigd Evenzo is A = A A A A A A A = A Opgave Ax, x, x = x x, x + x, x x volgens een formule uit mijn stoffig diktaat Wiskunde De matrix van A is dus A = Het berekenen van de kern kan op twee manieren: Ik herinner me uit mijn jeugd dat de lengte van het uitproduct x,, gelijk is aan de oppervlakte van het door x en,, opgespannen parallellogram Die oppervlakte is dan en slechts dan als de vectoren x en,, in elkaars verlengde liggen Anders gezegd: KerA = [,, ] x x = { A x = O x x = x + x = x + x = x x = { x = λ We noemen nu x even λ De vergelijkingen zijn dan x = λ wat dus neerkomt op x, x, x = λ, λ, λ = λ,, De conclusie: KerA = [,, ] 6
13 Opgave 4 Als voorbeeldje neem ik de matrix A = Door vegen met rijen als neem ik rij onstaat hieruit de matrix B = Deze veegactie heeft het bereik inderdaad drastisch veranderd, want ImA is de lijn [, ] en ImB is de lijn [, ] Opgave a Je voldoet aan de gestelde eisen als je er bijvoorbeeld voor zorgt dat A,, =,, A,, =,, A,, =,, Door hierop de eigenschappen van een lineaire afbeelding los te laten kun je A,, uitrekenen Dat gaat als volgt: A,, = A,,,, +,, = A,, A,, + A,, =,,, 6, +,, =,, en dus A,, =,, Nu ken je de matrix van A: de eerste kolom is A,,, de tweede kolom is A,, en de derde kolom is A,, Dus A = b Hieraan kun je voldoen door er bijvoorbeeld voor te zorgen dat A,, =,, A,, =,, A,, =,, De eerste kolom van deze A is A,, =,,, de tweede kolom is A,, = A,, = A,,,, = A,, A,, =,, en de derde kolom is A,, = A,, A,, A,, =,, Dus A = c Dat kan ik niet, want volgens de dimensiestelling moet de som van de dimensies van KerA en ImA zijn d Ook deze opdracht is volgens de dimensiestelling gedoemd te mislukken
14 Opgave 6 a Het bereik van A is het opspansel van de kolommen, en dat verandert niet als we met die kolommen gaan vegen: 4 kolom kolom kolom verwissel k en k 4 kolom kolom kolom 9 Door vegen met kolommen is A veranderd in I, dus ImA = ImI = R b Dat kan handig met de dimensiestelling: dimker A +dimim A = Omdat Im A driedimensionaal is, moet Ker A dus nuldimensionaal zijn, en dus Ker A = { O} Opgave a De rang is de dimensie van Im A De enige -dimensionale lineaire deelruimte van R is R zelf, dus Im A = R b De dimensie van Ker A is volgens de dimensiestelling nul, dus Ker A = { O} c Neem eens aan dat er twee verschillende vectoren x en y zouden bestaan met hetzelfde A-beeld Uit A x = A y volgt dan dat A x y = O We hebben dan een niet-nul-vector namelijk x y gevonden die op O wordt afgebeeld, hetgeen strijdig is met Ker A = { O} Opmerking Een matrix met rang heet regulier Je kunt dit begrip regulier blijkbaar op verschillende manieren interpreteren: de rijen zijn onafhankelijk de kolommen zijn onafhankelijk de kern is { O} het bereik is de hele R verschillende originelen hebben altijd verschillende beelden de matrix is kolom-veegbaar tot I de matrix is rij-veegbaar tot I We komen hier in hoofdstuk 4 op terug 8
6. Lineaire operatoren
6. Lineaire operatoren Dit hoofdstukje is een generalisatie van hoofdstuk 2. De meeste dingen die we in hoofdstuk 2 met de R n deden, gaan we nu uitbreiden tot andere lineaire ruimten Definitie. Een lineaire
Nadere informatie4. Determinanten en eigenwaarden
4. Determinanten en eigenwaarden In dit hoofdstuk bestuderen we vierkante matrices. We kunnen zo n n n matrix opvatten als een lineaire transformatie van R n. We onderscheiden deze matrices in twee typen:
Nadere informatie3. Stelsels van vergelijkingen
. Stelsels van vergelijkingen We gaan de theorie van de voorgaande hoofdstukken toepassen op stelsels van lineaire vergelijkingen. Een voorbeeld: bepaal alle oplossingen (x,, ) van het stelsel vergelijkingen
Nadere informatie1. Vectoren in R n. y-as
1. Vectoren in R n Vectoren en hun meetkundige voorstelling. Een vector in R n is een rijtje (a 1, a 2,..., a n ) van reële getallen. De getallen a i heten de coördinaten van de vector. In het speciale
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatieStelsels Vergelijkingen
Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit
Nadere informatieONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
Nadere informatieLineaire afbeeldingen
Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor
Nadere informatiex cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α
Lineaire afbeeldingen Rotatie in dimensie 2 Beschouw het platte vlak dat we identificeren met R 2 Kies een punt P in dit vlak met coördinaten (, y) Stel dat we het vlak roteren met de oorsprong (0, 0)
Nadere informatieFLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j
FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)
Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren
Nadere informatieVectorruimten en deelruimten
Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.
Nadere informatiea) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.
. Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn
Nadere informatieLineaire afbeeldingen
Hoofdstuk 4 Lineaire afbeeldingen In de algebra spelen naast algebraïsche structuren zelf ook de afbeeldingen ertussen die (een deel van de structuur bewaren, een belangrijke rol Voor vectorruimten zijn
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Nadere informatieUITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,
UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht
Nadere informatieInwendig product, lengte en orthogonaliteit
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig
Nadere informatieKies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Nadere informatieVierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1
Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en
Nadere informatieOptelling en scalaire vermenigvuldiging zijn weer plaatsgewijs gedefinieerd, bijvoorbeeld: 7 (x 1, x 2, x 3,...)
5. Lineaire ruimten Tot nu toe hebben we ons uitsluitend met de R n bezig gehouden. We gaan de behandelde theorie nu uitbreiden tot verzamelingen die een sterke overeenkomst met een R n vertonen. Een dergelijke
Nadere informatieUITWERKINGEN 1 2 C : 2 =
UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De
Nadere informatieAntwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding
Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie
Nadere informatiete vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector
Les 3 Matrix product We hebben gezien hoe we matrices kunnen gebruiken om lineaire afbeeldingen te beschrijven. Om het beeld van een vector onder een afbeelding te bepalen hebben we al een soort product
Nadere informatieHoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen
Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen
Nadere informatieToepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten.
WIS8 8 Vectoren 8. Vectoren Vectoren Een vector met dimensie is een kolom bestaande uit twee reële getallen, bijvoorbeeld [ We kunnen deze meetkundig interpreteren als een pijl in het platte vlak van de
Nadere informatie3.2 Vectoren and matrices
we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,
Nadere informatieLinalg.nb 1. Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes!
Linalg.nb Lineaire Algebra Andr Heck AMSTEL Instituut, Universiteit van Amsterdam Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes! Å Introductie
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieLineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte
Nadere informatieMatrixalgebra (het rekenen met matrices)
Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg
Nadere informatieVectormeetkunde in R 3
Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie
Nadere informatieInwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T
Nadere informatieBasiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
Nadere informatieLineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie
Nadere informatieEerste deeltentamen Lineaire Algebra A
Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 8 november 2011, 13u30-16u30 Bij dit tentamen mag het dictaat niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, studnr en naam practicumleider (Victor Blasjo, Esther
Nadere informatieKwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.
Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra donderdag 29 januari 205, 9.00-2.00 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken.
Nadere informatieMatrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen
Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper
Nadere informatieUitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015
Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Nadere informatieUitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00
Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus
Nadere informatie1 Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan
Nadere informatieVector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen
Vector-en matrixvergelijkingen (a) Parallellogramconstructie (b) Kop aan staartmethode Figuur: Vectoren, optellen (a) Kop aan staartmethode, optellen (b) Kop aan staart methode, aftrekken Figuur: Het optellen
Nadere informatieCoördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V :
Coördinatiseringen Het rekenen met vectoren in R n gaat erg gemakkelijk De coördinaten bieden de mogelijkheid om handig te rekenen (vegen Het is nu ook mogelijk om coördinaten in te voeren voor vectoren
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra maandag 3--27, 3.3-6.3 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken. Schrijf op elk
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A.
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A maandag 16 december 2002, 1000-1200 Coördinaten zijn gegeven tov een standaardbasis in R n 1 De matrix A en de vector b R 4 zijn gegeven door 1 0 1 2 0 1 1 4 3 2 A =, b = 0
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieHints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde
Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieDeterminanten. , dan is det A =
Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN
Tentamen Lineaire Algebra 29 januari 29, 3:3-6:3 uur UITWERKINGEN Gegeven een drietal lijnen in R 3 in parametervoorstelling, l : 2, m : n : ν (a (/2 pt Laat zien dat l en m elkaar kruisen (dat wil zeggen
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: opspansel De vectoren v 1,..., v k V spannen
Nadere informatie1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A.
. Oefen opgaven Opgave... Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat A = Bepaal de matrix van A. 4, 4 A =, A = 3 4. In de volgende opgave wordt het begrip injectiviteit en surjectiviteit van
Nadere informatieWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 6 26 september 2016 1 Hoofdstuk 3.1 en 3.2 Matrix operaties Optellen van matrices Matrix vermenigvuldigen met een constante Matrices vermenigvuldigen Machten
Nadere informatieEigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid
Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops
Nadere informatie. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom
8. Fouriertheorie Periodieke functies. Veel verschijnselen en processen hebben een periodiek karakter. Na een zekere tijd, de periode, komt hetzelfde patroon terug. Denk maar aan draaiende of heen en weer
Nadere informatieComplexe eigenwaarden
Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie
Nadere informatieOpgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Uitwerkingen worden beschikbaar gesteld op de dinsdagavond voorafgaande aan het volgende college
Nadere informatie3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?
In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra
Tentamen Lineaire Algebra 3 januari 214, 8:3-11:3 uur - Bij dit tentamen mogen dictaten en boeken niet gebruikt worden - Een eenvoudige rekenmachine, hoewel niet nodig, is toegestaan, maar geen grafische
Nadere informatie11.0 Voorkennis V
11.0 Voorkennis V 8 6 4 3 6 3 0 5 W 8 1 1 12 2 1 16 4 3 20 5 4 V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra B
Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een
Nadere informatieSamenvatting Lineaire Algebra, periode 4
Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax
Nadere informatie15 Uitwerkingen Lineaire Algebra
5 Uitwerkingen Lineaire lgebra 5 Uitwerkingen hoofdstuk s Figuur 5: De som van twee vectoren b a d c Figuur 5: Het verschil van twee vectoren v d Figuur 5: De vector van naar c a + b b b c b + c a a a
Nadere informatieLineaire algebra en kegelsneden. Cursus voor de vrije ruimte
Lineaire algebra en kegelsneden Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk Reële vectorruimten. De reële vectorruimte van de reële n-tallen Definitie Een reëel
Nadere informatieCoëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen
Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts
Nadere informatieKwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat.
1 Kwantummechanica Donderdag, 1 oktober 016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4 VECTOREN OVER DE REËLE RUIMTE DUS DE ELEMENTEN ZIJN REËLE GETALLEN Bestudeer Appendix A, bladzijden 110-114 van het dictaat. Opgave 1:
Nadere informatieJordan normaalvorm. Hoofdstuk 7
Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er
Nadere informatieDe dimensie van een deelruimte
De dimensie van een deelruimte Een deelruimte van R n is een deelverzameling die op zichzelf ook een vectorruimte is. Ter herinnering : Definitie. Een deelverzameling H van R n heet een deelruimte van
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 1: Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht colleges 1. College 1 1. Goniometrie 2. Vectoren 2. College
Nadere informatieDimensie van een deelruimte en rang van een matrix
Dimensie van een deelruimte en rang van een matrix Definitie (Herinnering) Een basis voor een deelruimte H van R n is een lineair onafhankelijke verzameling vectoren die H opspant. Notatie Een basis van
Nadere informatieMore points, lines, and planes
More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)
Nadere informatieDe inverse van een matrix
De inverse van een matrix Laat A een n n matrix zijn. Veronderstel dat de matrixvergelijking A X = I n de oplossing X = C heeft. Merk op dat [ A I n ] rijoperaties [ I n C ] [ I n A] inverse rijoperaties
Nadere informatieRuimtewiskunde. college. De determinant en lineaire afbeeldingen. Vandaag. De determinant van een matrix. Toepassing: oppervlakte en inhoud
college 6 en lineaire collegejaar college build slides Vandaag : : : : 6-7 6 9 juni 27 3 2 3 van een matrix Toepassing: oppervlakte en inhoud.6-7[6] vandaag van de 2 2-matrix a b c d is gelijk aan ad bc.
Nadere informatieDe n-dimensionale ruimte Arjen Stolk
De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk In het vorige college hebben jullie gezien wat R 2 (het vlak) is. Een vector v R 2 is een paar v = (x,y) van reële getallen. Voor vectoren v = (a,b) en w = (c,d) in
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 5 december, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Lijn, Vlak, etc.
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 5 december, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Vectorvoorstelling Lijn: x = b +
Nadere informatieFuncties van vectoren
Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.
Nadere informatiewordt de stelling van Pythagoras toegepast, in dit geval twee keer: eerst in de x y-vlakte en vervolgens in de vlakte loodrecht op de vector y.
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 2 Les 5 Inproduct Als we het in de meetkunde (of elders) over afstanden en hoeken hebben, dan hebben we daar intuïtief wel een idee van. Maar wat is eigenlijk de
Nadere informatieLineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen
Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:
Nadere informatievandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen
Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud
Nadere informatieRuimtemeetkunde deel 1
Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen
Nadere informatieMeetkunde en lineaire algebra
Meetkunde en lineaire algebra Daan Pape Universiteit Gent 7 juni 2012 1 1 Möbius transformaties De mobiustransformatie wordt gegeven door: z az + b cz + d (1) Als we weten dat het drietal (x 1, x 2, x
Nadere informatieWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =
Nadere informatieVectorruimten en lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten
Hoofdstuk 3 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten 3.1 Vectorruimte : definitie en voorbeelden R DEFINITIE 3.1 vectorruimte Een vectorruimte of lineaire ruimte over een veld F is een
Nadere informatieLineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Voorbeelden van toetsopgaven, 011 en (1) (a) Bepaal de afstand van het punt Q = (1,, ) R 3 tot het vlak gegeven door x + y z = 1. (b) Bepaal de hoek tussen de vectoren
Nadere informatieHoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen
Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie Utrecht Les : Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist verzicht colleges. College. Goniometrie 2. Vectoren 2. College 2. Matrixen
Nadere informatieLineaire Algebra (2DD12)
Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Nadere informatieVincent van der Noort Scoop vult de gaten in onze kennis... Het gevoel van eigenwaarden van David J. Griffith
Scoop februari 2003 Scoop vult de gaten Vincent van der Noort Scoop vult de gaten in onze kennis... Het gevoel van eigenwaarden van David J. Griffith De wiskundigen onder jullie zal de naam waarschijnlijk
Nadere informatieLights Out. 1 Inleiding
Lights Out 1 Inleiding Het spel Lights Out is een elektronisch spel dat gelanceerd werd in 1995 door Tiger Electronics. Het originele spel heeft een bord met 25 lampjes in een rooster van 5 rijen en 5
Nadere informatie1 Stelsels lineaire vergelijkingen.
Stelsels lineaire vergelijkingen Ter herinnering: in de tweede klas Havo/Atheneum leer je twee vergelijkingen met twee onbekenden oplossen Voorbeeld: { x + y = 5 x + y = 0 Twee keer de eerste vergelijking
Nadere informatieLineaire Algebra Een Samenvatting
Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle
Nadere informatiex = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1
WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit
Nadere informatie