15 Uitwerkingen Lineaire Algebra

Transcriptie

1 5 Uitwerkingen Lineaire lgebra 5 Uitwerkingen hoofdstuk s Figuur 5: De som van twee vectoren b a d c Figuur 5: Het verschil van twee vectoren v d Figuur 5: De vector van naar c a + b b b c b + c a a a a + b + c b a + b + c

2 lineaire algebra 5 De vector u loopt van S naar Q Je kunt van S naar Q gaan via de volgende route: S P Q, dus achtereenvolgens langs de vectoren c, a en b Dus u c + a + b De vector v loopt van Q naar R Je kunt van Q naar R gaan via de route: Q P S R Dus achtereenvolgens via b, a, c en d Dus v b a + c + d 6 λ Figuur 5: Lijn met 6 punten l λ λ λ λ λ 7 a + b a b b b C a d Een steunvector is a, een richtingsvector is a c Dus C: + λ e Er geldt: b c, dus b en c liggen in elkaars verlengde De lijn C gaat door : λ f + λ 8 a ls, is + λ en dus λ Hieruit volgt y + ls y 8, is 8 + λ en dus λ Hieruit volgt + 7 b Nee Wegens volgt uit + λ dat λ, maar dan is y + 5 c Ja, λ d Nee Wegens volgt uit + λ dat λ 6, maar dan is y a 5 is richtingsvector van l, dus ook, dus de richtingscoëfficiënt van l is Een punt van l is, De vergelijking van l is y, oftewel y b c

3 uitwerkingen lineaire algebra b y + λ 5 Vectorvoorstelling is a + λa b, oftewel y + λ Uit richtingsvector volgt richtingscoëfficiënt, dus vergelijking is y, oftewel y + Richtingscoëfficiënt is 7, dus richtingsvector is of 7/ 7, is een punt van de lijn Een vectorvoorstelling is y + λ 7 5 Uitwerkingen hoofdstuk Ik gebruik eerst het getal linksboven in de matri om de eerste kolom schoon te vegen, en vervolgens het getal in het midden om de tweede nul in de onderste rij te maken: Uit de onderste rij volgt: z, uit de tweede rij: y en uit de eerste rij: De oplossing is dus,, ls je de matri van het stelsel opschrijft komt er een nul linksboven: 6 ovendien zie je dat je de getallen in de tweede rij door kunt delen Het is vaak maar niet altijd verstandig de getallen zo klein mogelijk te maken De tweede rij door delen en de eerste en tweede rij verwisselen levert: Je ziet nu dat de tweede en derde rij een factor verschillen: de bijbehorende vergelijkingen zijn afhankelijk Wanneer je de ene rij bij de andere optelt, krijg je een nulrij: Zo n nulrij bevat geen echte informatie, wat overblijft zijn twee vergelijkingen met drie variabelen Je kunt een van de variabelen vrij kiezen, bijvoorbeeld z λ ls je dit invult in de tweede rij krijg je y + λ ls je z λ invult in de bovenste rij krijg je + λ De oplossing zijn dan: + λ, + λ, λ, met λ R In de matri van dit stelsel staat linksboven niet een Je zou de bovenste rij door of door kunnen delen, maar dan ontstaan

4 lineaire algebra er breuken, en dat rekent lastiger Het is in dit geval ook niet nodig door te delen, omdat je met ook uitstekend kunt vegen: Hoewel de opgaven vaak zo zijn geconstrueerd dat je de uitwerking met uitsluitend gehele getallen kunt maken, zijn breuken soms onvermijdelijk Er is vanzelf een tweede nul in de onderste rij ontstaan De oplossing is z, y en, oftewel,, 5 De vectorvoorstellingen aan elkaar gelijk stellen leidt tot: + λ 5 µ + λ 7 + 5µ λ + µ λ 5µ Na delen door van de eerste vergelijking krijg je de volgende aangevulde matri: 5 6 De oplossing is µ en λ Dit invullen in een of beide vectorvoorstellingen levert als snijpunt: S, 6 De - en y-component uit de vectorvoorstelling invullen in de vergelijking levert: + λ + λ ftewel λ Dit invullen in de vectorvoorstelling geeft als snijpunt S, 7 De y-component uit de vectorvoorstelling invullen in de vergelijking levert: + 5λ 8 ftewel λ Dit invullen in de vectorvoorstelling geeft als snijpunt S, 8 8 a De twee lijnen zijn evenwijdig als ze dezelfde richting hebben, dus als de richtingsvector van de ene lijn een veelvoud is van die van de andere lijn Dus in dit geval als p α, waarbij α een of ander getal ongelijk nul is ls je y-componenten met elkaar vergelijkt, zie je dat α, en dus p 6 b f ze behalve evenwijdig zijn ook samenvallen, kun je controleren door te zien of een punt van de ene lijn op de andere lijn ligt Zo niet, dan vallen ze niet samen Je kunt bijvoorbeeld kijken of het steunpunt, van l op m ligt: + µ 6 Dit klopt voor µ Dus ligt, ook op m, en hebben de evenwijdige lijnen l en m een gemeenschappelijk punt, en dus vallen ze samen 9 a Er geldt r m rl, dus de richtingsvector van m is een veelvoud van de die van l en omgekeerd De coördinaten van het steunpunt van m voldoen aan de vectorvoorstelling van l: vallen de lijnen samen 5 + µ voor λ, dus

5 uitwerkingen lineaire algebra 5 b Maak eerst een vectorvoorstelling van de vergelijking 5 y van m Je kunt één variabele vrij kiezen Stel bijvoorbeeld µ, als je dit invult in de vergelijking volgt: µ µ y µ y + 5µ + µ y + 5µ Een vectorvoorstelling van m is dus y + µ / 5 De richtingsvector is gelijk aan die van l, dus de lijnen zijn evenwijdig Het steunpunt, ligt echter niet op m: invullen in µ levert µ Dit invullen in y + 5µ levert y 9, en dit is niet gelijk aan de y-coördinaat van het steunpunt, die is Deel de tweede vergelijking rij door, en verwissel de eerste en de laatste vergelijking rij, zodat de linksboven komt: In de laatste twee rijen staan strijdige vergelijkingen, als je ze van elkaar aftrekt krijg je Er zijn dus geen oplossingen voor dit stelsel Uit de laatste rij volgt: 5 En uit de overige rijen:, en De oplossing is dus,,, De eerste kolom is schoon Veeg nu de tweede kolom schoon: Je zou de derde rij met 5 kunnen vermenigvuldigen en dan vegen Er ontstaan dan wel veel breuken, en deze grote matri is

6 6 lineaire algebra al lastig genoeg Ik kies er daarom voor de rijen met 5 en met te vermenigvuldigen: De derde rij heeft zijn werk gedaan, en kan weer terug naar de kleinere getallen Verder nog de vierde kolom vegen: In de laatste rij staat 5 De vierde rij zegt, dus De derde rij zegt , dus De tweede rij geeft +, dus In de eerste rij staat + + oftewel De plossing is,,,, 5 Uitwerkingen hoofdstuk a b c d + b a, dus + 5 C c a, dus C 9 C c b, dus C a cos φ 6 6, dus φ arccos b cos φ , dus φ arccos 5 c cos φ , dus φ arccos 6 Zie figuur 55 cos a, b , dus φ arccos 8 cos b, c 8 + 5, dus φ arccos 7 Elk veelvoud van een van de volgende vectoren staat loodrecht op de gegeven vector: a y Figuur 55: De drie vectoren zijn afhankelijk c b

7 uitwerkingen lineaire algebra 7 a 5 b c d 8 y C b a, dus 5 C c b, dus C 5 Dus C Verder is C, dus C 9 cos a, b, dus a, b 6 Zie figuur 56 b a, dus een normaalvector van is C y n Dus een vectorvoorstelling van de hoogtelijn door C is c + λn 5 + λ De vector b a is een normaalvector van de hoogtelijn, dus een vergelijking van de hoogtelijn is c, oftewel + y 9 a Een normaalvector van l : + y 5 is, dus een richtingsvector van l is Een steunvector is bijvoorbeeld, dus een vectorvoorstelling is l : y + λ b Een normaalvector van l is, en dat is een richtingsvector van m mdat m door gaat, is µ een vectorvoorstelling van m a Een normaalvector van l is n, en l gaat door het punt P,, dus een vergelijking is n np, oftewel b Een normaalvector van m is n, en m gaat door het punt Q,, dus een vergelijking is n nq, oftewel y Figuur 56: Hoogtelijn uit C a Een normaalvector van k is, een richtingsvector is k gaat door bijvoorbeeld,, dus een vectorvoorstelling is + κ b l : + λ 5 c m : + µ Zie figuur 57 De normaalvector n staat loodrecht op de richtingsvector van l Een richtingsvector is bijvoorbeeld r De vector v y wijst een willekeurig punt van de lijn aan, maar omdat de lijn niet door gaat, is v niet evenwijdig aan r, en dus staat n ook niet loodrecht op v 5 De lijn l met richtingscoëfficiënt m heeft richtingsvector a r Figuur 57: n staat niet loodrecht op a of op b, maar wel op de richtingsvector van l b n l

8 8 lineaire algebra r m Evenzo heeft l richtingsvector r m Wegens geldt: l l dan en slechts dan als r r r en r zijn allebei niet de nulvector Uit m m volgt + m m, oftewel m m 6 a 6 + λ b 6 + λ 7 Een normaal van l is n, dus de gevraagde vergelijking is n n p, oftewel y 5 8 Voor het snijpunt met de -as geldt dat y, dit invullen in de tweede component van de vectorvoorstelling levert + λ, dus λ Dit invullen levert 7 Dus S 7, De richtingsvector van l is normaalvector van de lijn loodrecht op l Dus een vergelijking van de lijn van de lijn door S loodrecht op l is 5 + y 85 9 b a is normaalvector van bedoelde lijn, dus een vergelijking is + y n l, dus nk Dus een vergelijking van k is: + y plossen van het stelsel y + y levert het snijpunt, Zie figuur 58 Stel a a a en b b Dan is het inproduct van a + b en b a b gelijk aan: a + b a b a +b a b a +b a b Dus geldt a + b a b a + b a b + a + b a b a b + a b a + a b + b a b, wegens a b y a + b b a a b b Figuur 58: a + b a b 5 Uitwerkingen hoofdstuk a Pas formule toe met: r k en rl 6 Dus cos φ Dus φ 85 b Pas formule toe met: n m en nn Dus cos φ Dus φ 8 c Pas formule toe met: r p en rq Dus cos φ Dus φ 7 5 ereken de afstand van, tot de volgende lijnen: a Een normaalvorm voor l is + y 8 Wegens geldt: d, l

9 uitwerkingen lineaire algebra 9 b d, m +9 dus ligt op l c d, n 8 maak een tekening d, l a 9+6 5, oftewel a 9 5 Dus a 9 6 a 9 5 Dus a a 5 Stel Pp, p ligt op l Dan geldt: p + λ en p + λ Dan is dp, m +λ +λ 9+6, oftewel 9λ + Dus 9λ + 9λ + Dus λ λ 9 Uit λ volgt p en p Uit λ 9 volgt p 9 en p 9 Dus P, en P 9, 9 zijn de gevraagde punten 6 De lijnen moeten evenwijdig lopen met l, dus de normaalvorm van deze lijnen is 5y p Een punt op een dergelijke lijn is P p, Er geldt: dp, l p 5 +5, oftewel p Dus p 5 p De gevraagde vergelijkingen zijn 5y 5 en 5y 7 a De drie zwaartelijnen: z c : c + λ a + b c z : b + µ a + c b z : a + ν b + c a b Het snijpunt van z en z wordt bepaald door a + ν b + c a b + µ a + c b vereenkomstige vectoren links en rechts vergelijkend levert: a νa µa νb b µb νc µc Uit de laatste vergelijking volgt ν µ Dit invullen in de eerste of in de tweede vergelijking levert: µ µ, dus µ En dus ook ν De vector bij het snijpunt is dus: a + b + c a a + b + c ν is de Griekse letter nu, zie het Griekse alfabet achterin het boek c Neem λ, en vul dit in in de vectorvoorstelling van z C Je krijgt dan a + b + c Dus Z met z a + b + c ligt op elk van de drie zwaartelijnen Met andere woorden: de drie zwaartelijnen gaan door één punt, het zwaartepunt Z Uit dit alles volgt ook dat Z elk van de zwaartelijnen verdeelt in de verhouding staat tot, oftewel : 8 a z a + b + c [ ] 9 Het punt P, ligt inderdaad op l λ b z C c + λ a + b c + λ [ 5 + ] + λ + µ dit is de lijn Een willekeurig punt op de zwaartelijn vanuit C is dus P, µ P + µ 5 µ µ +

10 lineaire algebra PC + µ µ P PC µ µ + µ µ Dus P, is het gevraagde punt 9 Figuur 59: De omgeschreven cirkel van driehoek C C M Middelloodlijn van : n m b a 5 7 Voor het midden van geldt: m a + b Met volgt: 7 + y 9 of 7 y 9 is een vergelijking van de middelloodlijn Middelloodlijn van C: n mc c a 5 9, dus ook is een normaalvector Voor het midden van C geldt: m C a + c Met volgt: + y is een vergelijking van de middelloodlijn van C Snijden met de andere middelloodlijn levert en y Dus het middelpunt van de omgeschreven cirkel is M, 5 De hoogtelijn h vanuit op C: C c a 6 8 Dus een normaalvector van h is De lijn gaat door 6,, dus met volgt: h : + y De hoogtelijn h C vanuit C op : b a 8 Dus een normaalvector van h C is De lijn gaat door C,, dus met volgt: h C : y Het snijpunt van + y en y is H, 5 Zie figuur 5? Figuur 5: De lijn door C staat loodrecht op de hoogtelijn vanuit h C H h

11 uitwerkingen lineaire algebra 6 is normaalvector van hc Verder gaat h C door H,, dus met volgt: h C : 6 + y 6 De lijn l door C staat loodrecht op h Een richtingsvector van h is h a of ook Dus een richtingsvector van lc is lc gaat door 6, dus l C : y 6 + λ Hieruit volgt voor de punten op l C : 6 + λ en y λ Dit invullen in de vergelijking van h C levert het snijpunt C: 66 + λ + λ 6, dus λ Invullen in de vectorvoorstelling van l C levert en y 6 Dus C, 6 Zie figuur 5 C H Figuur 5: Driehoek C met C, 6 5 a Snijpunt van de lijnen vind je uit + 5λ +µ λ µ Dit levert λ en µ voor het snijpunt Invullen in de ene en/of andere vectorvoorstelling levert S, Richtingsvector van l is 5, deze heeft lengte 5 +, dus r 5 5 heeft lengte 65 Richtingsvector van m is 5, dus r heeft lengte 65, deze heeft lengte + Richtingsvector van een van de bissectrices is r + r 5 6 Dus ook 8 is een richtingsvector Dus een vectorvoorstelling van deze bissectrice is b : y + ν 8 De andere bissectrice staat er loodrecht op en gaat ook door S,, dus een vectorvoorstelling is b : y + τ 8 5 a Zie figuur 5 b a, dus een normaalvector van is n Dus de lijn l heeft als normaalvorm n n b, oftewel + y 6 Met bereken je de afstand van C tot : + 6 dc, l b De lengte van is 5 zie vorige onderdeel, de oppervlakte van de driehoek is h C c Er geldt D C, dus de afstand van D tot C is gelijk aan de afstand van tot C naloog aan de methode van onderdeel a vind je: l C : 5y, en dus d, l C C Figuur 5: De lengte van de hoogtelijn vanuit C is de afstand van C tot

12 lineaire algebra 5 Zie figuur 5 Een richtingsvector van is r b a Stel dat p de richtingscoëfficiënt is van de lijn door C die een hoek van 5 maakt met, dan is r C p een richtingsvector Met volgt: cos 5 r r C r r C, oftewel + p 5 + p Dus + p 5 + p Links en rechts kwadrateren levert: + p + p, oftewel p 8p Hieruit volgt p p De gevraagde vectorvoorstellingen zijn: l : y + λ en l : y + ν / l Figuur 5: Twee lijnen door C die een hoek van 5 maken met C l 55 Uitwerkingen hoofdstuk 5 55 a + +, b en a Gegeven is a a a a + a +, dus a, dus a ± b a a +, dus a + 9, dus a ± 7 c a a + is minimaal als a Dan is a 57 λ a λ λa λa λa Dus λ a λ a + λ a + λ a λ a + a + a a + a + a λ a 58 v + + Er moet gelden: αv α v α Dus α oftewel α ± 59 a b a, dus b a b Het midden van wordt aangewezen door de vector a + b 5 / / / 6 a a b + b c d 8 c e f + 6 a cos a, b a b a b 6 Dus a, b 68 b cos c, d Dus c, d 6 5 c cos e, f Dus e, f 7 6 cos a, b a b a b Dus a, b 8

13 uitwerkingen lineaire algebra 6 Voor de vector y z moet gelden: a en b Dus + y + y + z Je kunt één variabele vrij kiezen Neem bijvoorbeeld λ Dan volgt uit de eerste vergelijking: y λ En uit de tweede vergelijking: z λ Dus λ die loodrecht staan op zowel a als b 6 a Uit + λ volgt:, met λ R zijn alle vectoren + λ λ λ λ Kan niet, er is geen oplossing, dus ligt niet op de lijn λ b ij elk punt op de lijn hoort een vector van de vorm λ Dus van elk punt op de lijn is de laatste coördinaat gelijk aan Dus ligt ook niet op de lijn c De laatste coördinaat is twee, en verder volgt uit + λ : λ λ λ λ Dus C ligt op de lijn 65 Gelijkstellen van de vectorvoorstellingen levert: λ + µ a λ µ 5 λ + µ ls je de laatste twee vergelijkingen optelt volgt λ, en dus µ Dit invullen in de bovenste Vergelijking levert a 66 Gelijkstellen van de vectorvoorstellingen levert: λ µ λ µ λ µ De eerste twee vergelijkingen zijn identiek lijft over een stelsel van twee vergelijkingen met twee variabelen De determinant van het stelsel, zie paragraaf 6, is 8, dus is er een oplossing, en dus snijden de lijnen elkaar verigens is de oplossing λ en µ 5 56 Uitwerkingen hoofdstuk 6 67 a Zie figuur 5 b 5 De vectoren zijn onafhankelijk, ze vormen een basis c Het gaat er om waarden voor λ en µ te vinden zodanig dat λa + µb c Dus λ + µ Hieruit volgt: λ + µ λ + µ

14 lineaire algebra Vegen: 5 5 d Dus µ Dit invullen in de onderste rij levert λ Dus a b c, oftewel b a Figuur 5: De vector c kun je schrijven als a b a c b λ + µ 68 a Voor punt moet gelden: λ + µ λ 7µ ls je de eerste twee vergelijkingen bij elkaar optelt, krijg je µ ls je de tweede en de derde vergelijking bij elkaar optelt, krijg je µ Dit is strijdig, dus ligt niet in het vlak λ + µ b Voor punt moet gelden: λ + µ λ 7µ ls je de eerste twee vergelijkingen bij elkaar optelt, krijg je µ ls je de tweede en de derde vergelijking bij elkaar optelt, krijg je µ Dit is strijdig, dus ligt niet in V λ + µ c Voor punt C moet gelden: 8 λ + µ λ 7µ ls je de eerste twee vergelijkingen bij elkaar optelt, krijg je µ ls je de tweede en de derde vergelijking bij elkaar optelt, krijg je µ Dit is strijdig, dus C ligt ook niet in V λ + µ d Voor punt D moet gelden: 8 λ + µ 5 λ 7µ ls je de eerste twee vergelijkingen bij elkaar optelt, krijg je µ ls je de laatste twee vergelijkingen bij elkaar optelt, krijg je ook µ Hieruit volgt λ Deze oplossing voldoet aan alle vergelijkingen, dus D ligt in V 69 Er zijn uiteraard veel verschillende goede oplossingen a Vlak C: λa + µc of ook λ + µ Vlak DEG: dit vlak loopt evenwijdig aan C en gaat door D, dus d + λa + µc of ook + λ + µ Vlak CG: dit vlak loopt evenwijdig aan D en gaat door C,

15 uitwerkingen lineaire algebra 5 dus c + λa + µd of ook + λ + µ b Vlak DC: richtingsvectoren zijn bijvoorbeeld b c a en d c Dus een vectorvoorstelling is d + λa + µd c of ook + λ + µ Vlak DFC: richtingsvectoren zijn bijvoorbeeld f d b en f c e Dus een vectorvoorstelling is d + λb + µe of ook + λ + µ c De coördinaten van K gelijkstellen aan de vectorvoorstelling uit het vorige onderdeel levert de oplossing λ en µ Dus ligt K,, in vlak DFC d ok P, 8, 8 ligt in vlak DFC: λ 8 en µ 7 a De vectoren r b a en r c a zijn onafhankelijk, dus hebben ze verschillende richtingen, en liggen, en C niet op één lijn b r en r zijn richtingsvectoren van het vlak C, en a is een steunvector Dus a + λr + µr is een vectorvoorstelling, oftewel + λ + µ 7 Gegeven zijn de lijnen l : µ + λ en m : a Ze hebben dezelfde steunvector λ µ b V : + λ + µ + 7 De steunvector van s van l is ook steunvector van V Verder is a s een richtingsvector van V, en de richtingsvector van l is ook richtingsvector van V Hieruit volgt: V : + λ + µ 7 a De richtingsvectoren zijn een veelvoud van elkaar, en hebben dus dezelfde richting Gelijkstellen van de vectorvoorstellingen levert onder andere λ µ λ µ + Hieruit volgt, dit is strijdig, dus is er geen gemeenschappelijk punt lternatief is dat je een punt op een van beide lijnen neemt, bijvoorbeeld S l,, en controleert dat dit niet op de andere lijn ligt De lijnen vallen dus niet samen b Een richtingsvector van V is de richtingsvector van l, en een andere richtingsvector is de vector die tussen de steunpunten S m en S l van beide lijnen loopt, dus s l s m Hieruit volgt V : + λ + µ 7 Gelijkstellen van de vectorvoorstellingen levert λ µ ν λ + ν 7 λ µ ν

16 6 lineaire algebra Vegen: Uit de bovenste rij volgt: ν Invullen in de tweede rij levert λ, invullen in de onderste rij µ Het snijpunt vind je door λ in te vullen in de vectorvoorstelling van l: S7,, Invullen van µ en ν in de vectorvoorstelling van V levert hetzelfde punt S7,, Uitwerkingen hoofdstuk 7 z z z z y y y y 76 l V als de richtingsvector van l loodrecht staat op de richtingsvectoren van V En inderdaad: en 77 a V l, dus n V r l Vergelijking van V is n V n V a oftewel + y z b Richtingsvectoren van V zijn bijvoorbeeld zie paragraaf 5 r en r Dus een vectorvoorstelling van l is + λ + µ 78 a Zie figuur 55 Richtingsvector van G is g a r G Richtingsvectoren van vlak E zijn b en e Er geldt: r G b r G e Dus is G E b Zie figuur 56 DF en CF E, dus CDF E, en dus staat G ook loodrecht op CDF ab 79 De richtingsvector van de lijn, r k moet loodrecht staan op c de richtingsvectoren van W Dus a + b b + c z D E F Figuur 55: Vlak CL z D E F G C G C y y Stel c λ, dan volgt uit de tweede vergelijking dat b λ, en daarmee volgt uit de eerste vergelijking dat a λ Dus λ zijn richtingsvectoren van k Dus een vectorvoorstelling 5 is k : + λ Figuur 56: Vlak CDF

17 uitwerkingen lineaire algebra 7 Stel een vectorvoorstelling op van de lijn k door het punt 5,, die loodrecht staat op het vlak W : + µ + ν 8 De drie punten,,,,, en C,, liggen op de drie assen, dus is 6 + y + z 6 een vergelijking van het vlak, omdat dit door de drie punten gaat Een normaalvector van C 6 is n C, en dit een richtingsvector van de lijn Dus een 6 vectorvoorstelling van deze lijn door D is: + λ ab 8 a Elke normaalvector n V moet loodrecht staan op beide c richtingsvectoren: a + b + c a + b + c De bovenste vergelijking van de onderste aftrekken levert c Dit invullen in de eerste vergelijking levert a b De b normaalvectoren hebben dus de gedaante b b Verder is P,, een punt van V Een vergelijking van V is n n p, oftewel + y ab b Elke normaalvector n W moet loodrecht staan op beide c richtingsvectoren: a + b c a + 5c Stel c λ, met de onderste vergelijking volgt dan a 5λ Invullen in de bovenste vergelijking levert b λ Dus n W λ 5 Het punt Q,, 5 ligt op W Een vergelijking van W is n n q, oftewel 5 y + z 56 8 a V : + λ + µ 6 b W : + λ + µ c S : λ + µ d T : + λ + µ / 8 Uit de vectorvoorstelling volgt λ, y + λ en z λ Dit invullen in de vergelijking van V levert λ Dit invullen in de vectorvoorstelling levert het snijpunt S,, 8 plossing De vectorvoorstellingen aan elkaar gelijk stellen levert: λ µ ν µ + ν λ + µ Vegen:

18 8 lineaire algebra Uit de eerste rij volgt ν, met de tweede rij volgt dan µ, invullen in de derde rij levert λ Dit invullen in de vectorvoorstellingen levert S,, Het snijpunt is toevallig ook steunpunt van V plossing Stel eerst een vergelijking van V op met behulp van een normaalvector Voor n V moet ab gelden: c a b c a b Uit de tweede vergelijking volgt a b, met de eerste volgt c b Dus n is normaalvector Het punt P,, ligt op V, dus een vergelijking van V is n n p oftewel + y + z De componenten van de vectorvoorstelling van l invullen in deze vergelijking levert λ, en dus S,, als snijpunt Dit snijpunt is toevallig ook steunpunt van V 85 a De vergelijkingen zijn gelijkwaardig, de vlakken vallen samen b Voor de snijlijn moet je het volgende stelsel oplossen zie ook voorbeeld 75: 5 Stel z λ Uit de eerste rij volgt + λ Uit de tweede rij volgt y Dus een vectorvoorstelling van de snijlijn is + λ c De snijlijn vind je uit de oplossing van het volgende stelsel: Stel λ Uit de tweede rij volgt dan y + λ En uit de eerste rij volgt z 7 + λ Dus een vectorvoorstelling van de snijlijn is + λ 7/ d e De snijlijn vind je uit het oplossen van het volgende stelsel: 5 Stel y λ, dan volgt uit de eerste rij: + λ De tweede rij zegt dat z Dus een vectorvoorstelling van de snijlijn is + λ 86 a Vul de componenten van de vectorvoorstelling van W λ, y µ en z in de vergelijking van V in: λ + µ +, dus µ λ Uit λ y λ z

19 uitwerkingen lineaire algebra 9 volgt de vectorvoorstelling van de snijlijn: + λ b Idee voor de oplossing: maak van een van beide vectorvoorstelling een vergelijking, en vul de componenten van de andere vectorvoorstelling in de gemaakte vergelijking in ab Maak voor V een vergelijking n staat loodrecht op de c richtingsvectoren van V: a + b b c Stel c λ, dan is b λ en a λ, dus n λ Vergelijking van V is n n oftewel + y + z Hierin de componenten van de vectorvoorstelling van W invullen: γ + δ + δ + γ δ, dus δ Dit invullen in de vectorvoorstelling van W levert een vectorvoorstelling van de snijlijn: γ + / / 87 a Zie figuur 57 en 58 Normaalvector van CL is n CL b, vergelijking van CL is n CL n CL a, oftewel + y Uit n DKL k d en n DKL l d volgt n DKL Vergelijking van DKL is + y + z b De coëfficiëntenmatri van de vergelijkingen is E z D F K Figuur 57: Vlak CL z D E F G L C G L y Stel z λ, dan volgt uit de tweede rij dat y λ en uit de eerste rij λ + Dus een vectorvoorstelling van de snijlijn is + λ 88 Vergelijkingen van de vlakken zijn V : + y + z en W : + y + z De normaalvectoren van beide vlakken zijn gelijk, en dus is V W, maar de vergelijkingen zijn verschillend, dus vallen de vlakken niet samen K Figuur 58: Vlak DKL C y 89 Een vergelijking van zowel V als W is y + z Dus V en W vallen samen 9 plossing De richtingsvectoren van het vlak zijn r V en r V De richtingsvector van l kun je schrijven als lineaire combinatie van de richtingsvectoren van V, er geldt: r l r V r V, dus heeft l dezelfde richting als een vector die in V ligt Het steunpunt S,, van l ligt niet in V, dus valt l niet samen met V plossing Een normaalvector van V is 7 Deze staat loodrecht op de richtingsvector van l Dus is l V Het steunpunt S,, van l voldoet niet aan de vectorvoorstelling van V en ligt dus niet in V, dus valt l niet samen met V

20 lineaire algebra 9 plossing Er geldt: r V r V r l Dus de richting van l komt overeen met een vector in V Het steunpunt S,, van l ligt in V µ ν, dus ligt l in zijn geheel in V plossing Een normaalvector van V is 5 Deze staat loodrecht op de richtingsvector van l Dus is l V Het steunpunt S,, van l ligt in V µ ν, dus ligt l in zijn geheel in V 58 Uitwerkingen hoofdstuk 8 9 Zie figuur 59 a Een richtingsvector van E is, een richtingsvector van FC is Met formule 8 volgt: cos φ, dus φ 5 b r E en r D, met 8 volgt cos φ, dus φ 6 c r E en r DC, dus de richtingsvectoren zijn een veelvoud van elkaar, dus lopen de lijnen evenwijdig, en is de hoek tussen de lijnen 9 a Met formule 8 volgt: cos l, m 8 8 9, dus l, m b Met formule 8 volgt: cos l, m 5 9, dus l, m 8 z D G E F C Figuur 59: Kubus CDEFG z D E L G y 9 Zie figuur 5 a EM m e G g a b Het inproduct van deze vectoren is, dus de lijnen staan loodrecht op elkaar, EM, G 9 K k a en L l b Het inproduct van deze vectoren is, dus K, L 9 c Een richtingsvector van G is zie onderdeel a Een richtingsvector van L is zie onderdeel b Dus uit 8 volgt cos G, L G, L 789 d DK k d, dus r DK 9 9, dus Verder is r L, zie onderdeel b Uit 8 volgt DK, L Dus DK, L a Richtingsvectoren van E zijn r en r Een M Figuur 5: Kubus CDEFG met K, L en M F K C y

21 uitwerkingen lineaire algebra normaalvector y z van E moet voldoen aan: + z + y Stel z, dan is en y, dus n E is het grondvlak, dus n Met 8 volgt: cos E,, dus E, 57 b n E zie vorige onderdeel Richtingsvectoren van y G zijn r en r Een normaalvector van E moet voldoen aan: + y y + z Stel, dan is y en z, dus n G Met 8 volgt: cos E, G, dus E, G a n V en n W Dus V, W 98 b n V V, W 9 en n W Met 8 volgt: cos V, W Er geldt: n V n W, dus 97 V W als n V n W, dus als a, oftewel als a 98 a ereken eerst de hoek tussen r l en n V, zie 8: cos r l, n V Hieruit volgt r l, n V 66, en dus V, l b n V moet loodrecht staan op beide richtingsvectoren van V, dus y z y + z Hieruit volgt n V of een veelvoud daarvan Uit 8 volgt: cos r l, n V 9 Dus r l, n V 5, en dus is ook V, l 5 c r l b a en n V Uit 8 volgt: cos r l, n V Dus rl, n V 9, en dus is V, l De hoek tussen l en V is als de hoek tussen l en de normaal van V gelijk is aan 6 Wegens cos 6 moet dan gelden: k k + z z D G E F C Figuur 5: Kubus CDEFG y

22 lineaire algebra Links en rechts kwadrateren levert: 9k k +, oftewel 6k k +, dus k 5 Dus de hoek tussen l en V is voor k ± 5 a Volgens 85 is d, V b n V staat loodrecht op beide richtingsvectoren van V, dus y + z y z Stel z, dan volgt y en Dus n V Een vergelijking van V is n n a, oftewel + y + z Met 85 volgt d, V 6 9 P ligt op l, dus de coördinaten van P zijn p λ, p 8 + λ en p λ Verder is n V Voor de afstand van P tot V geldt, zie 85: λ λ + λ 6 6 Dus λ +, oftewel λ + λ +, dat wil zeggen: λ 8 λ 6 Invullen in de vectorvoorstelling van l levert: P 8,, 9 of P 6,, 5 a n V en r l 6 Er geldt n V r l, dus staat de normaal van V loodrecht op l, dat wil zeggen dat V en l evenwijdig zijn b Een punt van l is P,, En dl, V dp, V a n V en n W Deze zijn een veelvoud van elkaar, dus zijn de vlakken evenwijdig Een punt van V is 5 P,,, er geldt: dv, W dp, W 8 8 b n V staat loodrecht op beide richtingsvectoren van V, dus moet gelden: + y z + z Stel, dan volgt z en y Dus n V n W, dus is V W Het punt P,, is een punt van V, er geldt: dv, W dp, W c n V staat loodrecht op beide richtingsvectoren van V, dus moet gelden: y + z + y z

23 uitwerkingen lineaire algebra Stel z, dan volgt y en Dus n V, en deze vector staat ook loodrecht op beide richtingsvectoren r W en r W van W, wegens n V r W en n V r W Dus zijn de vlakken evenwijdig V gaat door S,,, dus een vergelijking van V is n V n V s, oftewel y + z 6 Een punt op W is P,,, en er geldt: 6 6 dw, V dp, V Maak een vlak V door P,, 5 loodrecht op l Dus n V r l Een vergelijking van V is n V n V p, oftewel + z 7 Het snijpunt S vind je door de componenten van de vectorvoorstelling van l in te vullen in de vergelijking van V, dit levert λ + 9λ 7, dus λ Dit invullen in de vectorvoorstelling van l levert S,, 5 Dit is hetzelfde punt als P Dus P ligt op l, dus dp, l 5 Maak een vlak V door,, loodrecht op l Dus n V r l Een vergelijking van V is n V n V p, oftewel + 6y + z 8 Het snijpunt S vind je door de componenten van de vectorvoorstelling van l in te vullen in de vergelijking van V, dit levert Dit invullen in de vectorvoor- λ + 6λ + λ 8, dus λ 9 9 stelling van l levert S 9 9, 9 5, 9 gevraagde afstand is S 9 9 Dus S s a De 6 a De idee is een vergelijking van h op te stellen, een vectorvoorstelling van de lijn l door C, en dan van h en l het snijpunt D te bepalen Er geldt h C, dus n h c b h gaat door, dus een vergelijking van h is + z 5 Een vectorvoorstelling van de lijn l door C is l : + λ De componenten van l invullen in de vergelijking van h levert: λ + + λ 5, oftewel λ Deze waarde invullen in de vectorvoorstelling van l levert: D,, Nu geldt: D d a, dus D b De oppervlakte van een driehoek is basis hoogte, oftewel C D De lengte van D is in het vorige onderdeel uitgerekend, en voor C geldt: C c b Dus C De gevraagde oppervlakte is 7 a Een punt P op l heeft plaatsvector p op m heeft plaatsvector s Dus s p 5+µ λ λ µ λ +µ µ +λ +λ λ Een punt S Deze vector moet loodrecht staan op de richtingsvector van l, dus 5 + µ λ + λ + µ λ, oftewel 9λ µ 5 De vector s p moet ook loodrecht staan op de richtingsvector

24 lineaire algebra van m, dus 5 + µ λ µ λ, oftewel λ + 5µ Het gaat dus om het oplossen van het stelsel 9λ µ 5 λ + 5µ Hieruit volgt µ en λ Invullen in de vectorvoorstellingen levert P,, en S,, PS s p, dus PS + + b Maak een vlak V door m evenwijdig aan l Dat wil zeggen dat de normaal van V loodrecht staat op de richtingsvector van zowel l als van m Dus n V V gaat door het punt Q, 5, van m Dus een vergelijking van V is + y P,, is een punt van l Er geldt: + dl, m dp, V a E is het lijnstuk dat loodrechte staat op beide kruisende lijnen en ED, dus d, ED E b ls onderdeel a: d, EG E c Zie figuur 5 Een vectorvoorstelling van FK is λ Een vectorvoorstelling van D is + µ + Het vlak V door D evenwijdig aan FK heeft normaalvector n V Een vergelijking van V is y + z 8 Het punt K,, ligt op FK Er geldt: + 8 dfk, D dk, V d Zie figuur 5 Lijn l gaat door de middens van D en FC, en ligt in het vlak GD De lijn HG ligt ook in vlak GD Dus l en HG snijden elkaar, dus dl, HG 9 a Zie figuur 5 Er geldt: T : + λ en C : + µ Maak vlak V door T en evenwijdig aan C dus V T Dan is n V, en een vergelijking van V is y + z C,, ligt op C, dus dt, C dv, C b De in het vorige onderdeel berekende afstand is de kleinste hoogte die driehoek PC kan hebben De kleinste oppervlakte is dus C E K D Figuur 5: Kubus CDEFG E l H D Figuur 5: Lijn HG ligt in vlak GD z z z T F F G C G C y y a Elk van de vergelijkingen stelt een vlak voor De drie vlakken hebben één gemeenschappelijk punt De oplossing,, is het snijpunt van deze drie vlakken b ok hier stelt elk van de vergelijkingen een vlak voor De oplossing is een lijn: de gemeenschappelijke lijn waar de drie vlakken doorheen gaan Figuur 5: Piramide TC C y

25 uitwerkingen lineaire algebra 5 a Eén gemeenschappelijk punt: bijvoorbeeld het y-, zen yz-vlak die de oorsprong als gemeenschappelijk punt hebben f de hoek van een kamer waar twee muren en de vloer bij elkaar komen Geen gemeenschappelijk punt: bijvoorbeeld drie evenwijdige vlakken waarvan er niet twee of drie samenvallen neindig veel punten gemeenschappelijk: bijvoorbeeld drie vlakken door één lijn vlakkenwaaier, zoals de bladzijden van een tijdschrift die de vouwlijn met het nietje gemeenschappelijk hebben, zie figuur 55 f drie evenwijdige vlakken waarvan er twee of drie samenvallen b De eerste mogelijkheid bestaat uit drie evenwijdige vlakken waarvan er niet twee of drie samenvallen De tweede mogelijkheid zijn twee evenwijdige niet samenvallende vlakken die gesneden worden door een derde vlak, zoals in figuur 56, er zijn dan twee evenwijdige snijlijnen Figuur 55: Een waaier van vlakken met een gemeenschappelijke snijlijn Figuur 56: Twee evenwijdige vlakken, gesneden door een derde vlak De derde mogelijkheid zie je in figuur 57 Figuur 57: Drie niet evenwijdige vlakken met drie evenwijdige snijlijnen

26 6 lineaire algebra 59 Uitwerkingen hoofdstuk 9 a b c 7 De afbeelding is een rotatie om over een hoek van 9 graden a b b a a a en a M a b b en b M b a C Figuur 58: Vierkant C b M, M, M 5/ en C M / c Figuur 59: Vierkant C C d Toepassen van M trekt het vierkant scheef tot een parallellogram e Zie figuur 5 F E F E Figuur 5: Vierkant DEF en het beeld daarvan D D 5 a M, M /, M / / en M /

27 uitwerkingen lineaire algebra 7 C Figuur 5: Vierkant C en het beeld dat anderhalf keer zo groot is C b Zie figuur 5 c Zie het bijschrift van figuur 5 6 a M, M, M en M / / b Zie figuur 5 c Zie het bijschrift van figuur 5 7 a M, M, M + en M b Zie figuur 5 C C Figuur 5: Vierkant C wordt twee keer zo breed en half zo hoog C C c Zie het bijschrift bij figuur 5 Figuur 5: Rotatie om over π 6 radialen graden 5 Uitwerkingen hoofdstuk 8 ijvoorbeeld: a b c d e f g h k a+b+c d+e+ f g+h+k 9 Je moet controleren of voor alle, y en λ R geldt: f + y f + f y Voor f + geldt enerzijds: f + y + y + + y +, en anderzijds: f + f y + + y + + y + Dit is niet gelijk aan elkaar f λ λ f Voor f + geldt enerzijds: f λ λ + λ +, en anderzijds: λ f λ + λ + λ En dit is ongelijk voor alle λ De functie voldoet dus aan geen van beide voorwaarden, en is dus geen lineaire afbeelding in de betekenis van definitie Eigenschap : [ ] ad g

28 8 lineaire algebra en Klopt Eigenschap : en Klopt [ 56 ] Eigenschap : [ a b + c d y y ] a b + y a + ay + b + by c d + y c + cy + d + dy a + b + ay + by a b a + c + d + cy + dy c d c b d y y Klopt Eigenschap : [ a b λ c d Klopt ] a b λ aλ + bλ c d λ cλ + dλ a λ + b a b λ c + d c d ls de lijn door de oorsprong gaat, dus als b a [ 6 ] 69 8 b c [ + ] Stel u u u en v v v en λ R a Voor projectie op de -as geldt: f u u en f v v Verder geldt: f u + v f [ u u + v ] v f u +v u +v u +v u + v f u + f v λu λ u λ f u en f λu f [ λ u ] u f λu λu De projectie op de -as voldoet aan beide voorwaarden, en is dus een lineaire afbeelding b Voor spiegeling in de -as geldt: f u u v u en f v v Verder geldt: f u + v f [ u u + v ] v f u +v u v u + v f u + f v u +v u +v u +v λu λu en f λu f [ λ u ] u f λu λu λ u u λ f u De spiegeling in de -as voldoet aan beide voorwaarden, en is dus een lineaire afbeelding

29 uitwerkingen lineaire algebra 9 c ij spiegeling in de lijn y wordt de oorsprong afgebeeld op,, en dit kan dus geen lineaire afbeelding zijn d Voor spiegeling in geldt: f u u u en f v v v Verder geldt: f u + v f [ u u + v ] v f u +v u u + v v f u + f v u +v u +v u +v λu u en f λu f [ λ u ] u f λu λu λu λ u λ f u De spiegeling in voldoet aan beide voorwaarden, en is dus een lineaire afbeelding 5 λ f u f λu Figuur 5: Rotatie om over hoek α f u f R,α u λu 6 scalaire verm u λu roteren roteren f u scalaire verm λ f u f λu Figuur 55: Je kunt de volgorde tussen scalaire vermenigvuldiging en roteren verwisselen 7 Functies van de vorm f a, met a R zijn lineair volgens de definitie uit de lineaire algebra 8 a b 9 a Zie figuur 56 b c c d k k d + +, C Figuur 56: Spiegeling van, in de lijn l : l Neem een willekeurig punt a, a, zie figuur 57 Een normaalvector van l is, dus een vectorvoorstelling van de lijn n door loodrecht op l is:

30 lineaire algebra l : 6 Figuur 57: Spiegeling van a, a in lijn l S a, a n n : a a + λ epaal nu de waarde λ S die hoort bij het snijpunt Sl, n: a + λ S en a λ S invullen in l : 6 levert: a + λ S a λ S 6 λ S 6 a + a λ S 6 a + a Het beeld ligt op n, en de waarde van λ die bij hoort, is λ S De vector die bij hoort, is a a + λ S n ls je hierin de waarde van λ S invult, krijg je: Uitwerken levert: a a + 6 a + a 5 a a + 6 a + a 5 a 5 a + 5 a 6 5 a 5 a 5 a mdat ik begonnen ben met een willekeurig punt a, a, mag je de coördinaten a en a ook vervangen door het meer algemene en, dus: De afbeelding uit opgave is niet lineair, omdat de oorsprong niet op zichzelf wordt afgebeeld De overige afbeeldingen zijn wel lineair, je kunt ze met behulp van een matri schrijven a c b

31 uitwerkingen lineaire algebra Noem het vlak V Neem een willekeurig punt a, a, a Een normaalvector van V is, dus een vectorvoorstelling van de a lijn n door loodrecht op V is: n : a + λ a Uit deze vectorvoorstelling is duidelijk dat λ de waarde van λ is die bij hoort Welke λ hoort bij het snijpunt S van n met V? Voor S geldt: a + λ + a + λ + a + λ, dus λ S a + a + a Het beeld van ligt vijf keer zo ver van S als, ofwel S 5 S Dus λ λ S a + a + a Deze waarde invullen in de vectorvoorstelling van n levert de coördinaten van : a 7 a + a + a a a + 7 a + a a a + a + 7 a Dus de afbeeldingsvergelijkingen zijn: n λ a + a + a λ S λ S a + a + a Figuur 58: Vermenigvuldiging met factor 5 ten opzichte van V V 5 Uitwerkingen hoofdstuk a b c 5 cos α α sin α a is het beeld van, l T sin α cos α cos α α cos α S b Coördinaten van In figuur 59a zie je het beeldpunt van de projectie van, op lijn l In driehoek is gelijk aan cos α De vraag is wat de coördinaten van het beeldpunt zijn In figuur 59b zie je dat in driehoek S geldt: S sin α cos α wegens sin α S S cos α Evenzo is S cos α De coördinaten van zijn dus cos α, sin α cos α In figuur 5a zie je het beeld van, In driehoek is hoek α, en dus is sin α De coördinaten van volgen uit de lengtes van de rechthoekszijden in driehoek S in figuur 5b: sin α cos α, sin α Figuur 59: Projectie van, op lijn l door die hoek α maakt met de positieve -as

32 lineaire algebra 6 α cos α sin α α T l sin α sin α α sin α cos α S a is het beeld van, b Coördinaten van Voor de matri van de afbeelding geldt dus: cos α sin α cos α sin α cos α sin α Figuur 5: Projectie van, op lijn l door die hoek α maakt met de positieve -as l T Figuur 5: Spiegeling van punt, in lijn l door die hoek α maakt met de positieve -as sin α α α α S cos α a is het beeld van, b Coördinaten van In figuur 5a zie je het beeldpunt van de spiegeling van, in lijn l Vanwege de symmetrie van de spiegeling is de lengte van gelijk aan, en de hoek die met l maakt is α, dus de hoek die met de positieve -as maakt is α De coördinaten van zijn af te lezen in figuur 5b: cos α, sin α l l Figuur 5: Spiegeling van, in lijn l door die hoek α maakt met de positieve -as 9 α 9 α α 9 α α a is het beeld van, b Hoek tussen en negatieve -as is α In figuur 5a zie je het beeldpunt van, De hoek tussen en l is 9 α Vanwege de symmetrie van de spiegeling is de hoek tussen en l ook 9 α Voor de hoek tussen en de negatieve -as blijft dus α over zie figuur 5b De coördinaten van kun je aflezen in driehoek T in figuur 5: sin α, cos α De afbeeldingsmatri is dus: cos α sin α sin α cos α

33 uitwerkingen lineaire algebra cos α α S Figuur 5: Coördinaten van T sin α 7 a Zie figuur 5 Je kunt in de figuur vrij makkelijk zien waar de eenheidsvectoren na rotatie terecht komen: b ij een rotatie R om de -as geldt: R De rotatie van vectoren in het -vlak kun je beschrijven met cos α sin α de rotatiematri uit voorbeeld : sin α cos α Toegepast op de driedimensionale afbeelding R, 5 levert dit: cos 5 sin 5 sin 5 cos 5 c Voor een rotatie R om de -as geldt: R De rotatie in het -vlak kun je beschrijven met de rotatiematri uit voorbeeld : cos α sin α sin α cos α Toegepast op de driedimensionale afbeelding R,5 levert dit: 8 a b c Figuur 5: Rotatie over 9 om de -as 5 Uitwerkingen hoofdstuk 9 a De lijnen snijden elkaar; het stelsel heeft één oplossing Voor de verhoudingen tussen coëfficiënten van en geldt: b De lijnen vallen samen; het stelsel heeft oneindig veel oplossingen Voor de verhoudingen tussen coëfficiënten van en geldt: 6, en dit is ook nog eens gelijk aan 7 c De lijnen zijn evenwijdig; het stelsel heeft geen oplossingen Voor de verhoudingen tussen coëfficiënten van en geldt: 6, en dit is niet gelijk aan 7 Figuur 55: Snijdende lijnen: oplossing Figuur 56: Evenwijdige lijnen: geen oplossing

34 lineaire algebra a ls a c d b is er één oplossing b ls a c d b p q zijn er geen oplossingen c ls a c d b p q zijn er oneindig veel oplossingen a 5, dus er is oplossing snijdende 5 6 lijnen b 8 8, dus er zijn geen, of oneindig veel 6 9 oplossingen mdat 6 9 vallen de lijnen samen Er zijn dus oneindig veel oplossingen a Er zijn dus geen of oneindig veel oplossingen Het is makkelijk in te zien dat,, een oplossing is, dus geen oplossing is niet mogelijk lijft over: er zijn oneindig veel oplossingen 6 b Er zijn dus geen of oneindig veel oplossingen Je ziet dat de eerste twee vergelijkingen precies een factor verschillen Er blijven dus twee vergelijkingen met drie onbekenden over: + + Je kunt de waarde van een van de variabelen vrij kiezen, bijvoorbeeld + Je houdt dan over: + De determinant van dit stelsel is ongelijk aan nul, en dus heeft dit stelsel een oplossing, en daarmee ook het oorspronkelijke stelsel Dus zijn er oneindig veel oplossingen Een andere manier om er naar te kijken is deze: de twee vergelijkingen met drie onbekenden stellen twee vlakken voor, die niet evenwijdig zijn, De normaalvectoren hebben immers verschillende richtingen Dus de twee vlakken snijden elkaar: ze hebben een snijlijn, dat wil zeggen dat er oneindig veel oplossingen zijn a deta, b, dus de vectoren zijn onafhankelijk en vormen een basis b Er moet gelden: λ + µ Dit is gelijkwaardig met het volgende stelsel: λ + µ λ + µ van elkaar aftrekken levert: µ, en dus λ 5 De vergelijkingen

35 uitwerkingen lineaire algebra 5 a deta, b, c + + De drie vectoren zijn dus onafhankelijk b Er moet gelden: α + β + γ fwel: α + β + γ β + γ α + β + γ Dit stelsel oplossen levert: α, β en γ, dus / / / v v v / 8 5 / / + / v v + 6/ 5 / / / 6/ 5 6/ / En rechts staat de gevraagde matri 6 De afbeeldingsmatri is 5 7 Stel p P en q Q mdat P en Q op een lijn door liggen is er een α R waarvoor geldt: p αq Dus voor het beeld f p geldt: f p f αq α f q, omdat f lineair is Dus het beeld f p en het beeld f q liggen ook op een lijn door 8 Voor de snijpunten met de -as geldt dat Voor l is dat het geval als λ, en voor m als µ Voor deze waarden van λ en µ zijn de -waarden respectievelijk en Dus wordt op afgebeeld

36 6 lineaire algebra Voor de snijpunten met de -as geldt dat, dat is bij λ en bij µ Dat betekent dat op wordt afgebeeld Dus / Dit levert als afbeeldingsmatri 9 a Noem de spiegeling S Neem als basisvectoren een richtingsvector en normaalvector van l Er geldt S en S Na vegen volgt hieruit dat S 5 b Noem de projectie P, er geldt: P en P Na vegen volgt dat P 5 c Voor deze afbeelding V geldt: V r m r m en V r l r l Dus V en V 6 5 Na vegen volgt V / / 7 + 5/ 5/ / 9/ / + 5/ 5/ / / / / 5/ 5/ / / / / / /

37 uitwerkingen lineaire algebra 7 Na het in de juiste volgorde zetten van de kolommen, volgt voor de matri van de f : 5/ / 5/ / / / / / 5 Na vegen blijkt aan de linkerkant, dus bij de originelen een kolom met louter nullen te ontstaan De gegeven originelen zijn een afhankelijk stelsel Je kunt dus niet vegen tot je de eenheidsmatri krijgt, en geen afbeeldingsmatri voor f geven, omdat er nog een essentieel gegeven ontbreekt 5 ls originelen kun je, behalve P, twee punten van de lijn nemen, bijvoorbeeld het steunpunt S,, dat hoort bij λ, en het punt Q,, dat hoort bij λ Dit betekent voor f : f f f f f + + /7 /7 6/7 /7 /7 f /7 /7 /7 Dus de matri bij f is: a Neem als basisvectoren zie paragraaf 8 een normaalvector van V, bijvoorbeeld n, en twee onafhankelijke

38 8 lineaire algebra richtingsvectoren vectoren in het vlak V, zoals r r De afbeelding wordt dan: en Na vegen krijg je de matri: b Neem als basis een richtingsvector van l en twee vectoren loodrecht op l zie paragraaf 8, dus twee vectoren waarvan het inproduct met de richtingsvector nul is De afbeelding wordt dan bijvoorbeeld: Dit levert na vegen de volgende matri: c Neem als basis een normaalvector van V, n en twee onafhankelijke vectoren in het vlak, bijvoorbeeld r en r Dit levert: Na vegen ontstaat de afbeeldingsmatri: 5 Uitwerkingen hoofdstuk 5 a ker f } b ker f } c ker f -as d ker f is de lijn 55 a ker f } b ker f } c ls k is ker f } ls k is ker f R d ker f } 56 a Het volledig origineel van v waarvoor geldt dat zijn de vectoren

39 uitwerkingen lineaire algebra 9 Dat wil zeggen, los het volgende stelsel op: + + Dit levert 5 en 6 Dus het volledig origineel van bestaat uit de vector 56 b Een punt op de lijn l : heeft vorm a, a, a R Voor het volledig origineel van deze punten geldt: a a Dat wil zeggen, los het volgende stelsel op: + a + Hieruit volgt + +, ofwel Dus het volledig origineel van de lijn is de lijn 57 Gegeven is de afbeelding f met matri als a a Het volledig origineel vind je door stelsel te schrijven en op te lossen De oplossing, en dus het b volledig origineel van, is 7 oplossen levert Dus ker f } 58 Stel a, b is een willekeurig punt van l De vraag is dus voor welke, geldt a b? fwel: + a b met a + b Dus + + Dus 7 + is de vergelijking van het volledig origineel van l 59 a Stel a, b is een willekeurig punt van de cirkel De vraag is dus voor welke, geldt a b? fwel: + a + b met a + b 5 Dus Hieruit volgt , ofwel de eenheidscirkel + is de vergelijking van het volledig origineel van de gegeven cirkel b De vergelijking van een willekeurige cirkel met middelpunt en straal r is + r naloog aan het vorige onderdeel vind je r, dus het volledig origineel heeft als vergelijking + 5 r, en dat is een cirkel met zijn middelpunt in 6 a ijvoorbeeld R,α

40 lineaire algebra b Projectie op een lijn door 6 a Im f R b Im f R c Im f is de -as d Im f is de lijn 6 a Im f R b Im f R c ls k is Im f R ls k is Im f } d Im f R 6 i ls a b c, dan is de nulmatri en is Im f } ii ls een van de drie is, bijvoorbeeld a en de andere twee zijn veelvouden van a, dat wil zeggen dat er getallen β, γ R bestaan, zodanig dat b βa en c γa, dan is Im f de lijn door met vectorvoorstelling λa Evenzo als een van de andere kolomvectoren is iii ls twee van de drie zijn en onafhankelijk van elkaar, zeg a en b, en de derde, c dus, is afhankelijk van de eerste twee, dat wil zeggen dat er getallen α, β R bestaan, zodanig dat c αa + βb, dan is Im f het vlak opgespannen door a en b De vectorvoorstelling van het vlak is λa + µb Evenzo voor andere combinaties iv ls de drie vectoren a, b en c onafhankelijk zijn, is Im f R 6 Een normaalvector van l is n, dus een richtingsvector van l is n Verder is s een steunvector, dus een vectorvoorstelling van l is: + λ ls je op deze vectorvoorstelling de matri toepast krijg je: λ 6λ + 6λ λ λ λ 5λ Dus een vectorvoorstelling van het beeld van l is: + λ 5 65 a Im f bestaat uit alle mogelijke lineaire combinaties van de kolomvectoren, en deze zijn in dit geval afhankelijk Im f λ b ker f volgt uit Dit is gelijkwaardig 6 met de andere vergelijking is afhankelijk, ofwel 66 a Een vectorvoorstelling van PQ is p + λp q Er geldt p q b Hieruit volgt, en ook omdat lineair is dat

41 uitwerkingen lineaire algebra p q p q b b Verder geldt: [ ] p + λp q p + λp q b + b Dus een willekeurig punt van de lijn PQ wordt op afgebeeld b Een lijn evenwijdig aan PQ heeft vectorvoorstelling s + λp q s is een steunvector van de lijn Hierop toepassen levert: [ ] s + λp q s + λp q s + s Dus alle punten van een lijn evenwijdig aan PQ hebben hetzelfde beeld s cos 6 67 Er geldt: V, en R,6 sin 6 sin 6 cos 6 a Dus V, R,6 b En R,6 V, c V, R,6 R,6 V,, dus het samenstellen van afbeeldingen is in het algemeen niet commutatief 68 S -as S -as De laatste matri is inderdaad die van S Dit product is commutatief, wat je ook meetkundig eenvoudig kunt inzien 69 S [ ] S S S 5 Uitwerkingen hoofdstuk 7 Uit opgave 6 weet je dat de spiegeling wordt gegeven door de cos α sin α matri Voor elke spiegeling geldt dat hij sin α cos α zijn eigen inverse is, dus is deze matri ook die van de inverse 7 De inverse van een rotatie om over een hoek α, is een rotatie om over een hoek α De rotatiematri van de inverse is dus cos α sin α cos α sin α R, α sin α cos α sin α cos α 7 u Im f, dus er is een a zodanig dat f a u, en a f u Dus f λu f f is lineair λ f a f f λa λa λ f u Hiermee is punt van stelling bewezen 7 a Uit opgave 6 weet je dat de afbeeldingsmatri van de spiege-

42 lineaire algebra ling is: S cos α sin α sin α cos α De determinant is: cos α sin α det S sin α cos α α sin α sin α + cos α, dus is de afbeelding regulier cos α sin α b R,α sin α cos α cos α sin α De determinant is: det R,α sin α cos α cos α + sin α Dus is de afbeelding regulier 7 a b c Heeft geen inverse, de determinant is d ls λ is de determinant, en is er geen inverse /λ /λ ls λ is de inverse: 75 a c ad bc b d ad bc cd cd Evenzo voor det / d b a c a ad bc c ab + ab bc + ad ad bc b d d c ad bc bc + ad b a 76 a det M a a a a a a a aa a aa + a Dus det M a, voor a, a of a Voor deze waarden van a is f a singulier b i M Voor het beeld van een willekeurige vector αβ geldt: αβ α β mdat α en β alle mogelijke waarden kunnen aannemen, en dus α β ook, is Im f λ, ofwel de -as ker f vind je uit: M, dus, dit is een lijn door Dus αβ α β α β α β ii M mdat α en β alle mogelijke waarden kunnen aannemen, en dus α β ook, is Im f λ, ofwel een lijn door ker f volgt uit: M, dus, dit is een lijn door Dus mdat α en β alle mogelijke waarden kunnen aannemen, iii M en dus α + β ook, is Im f λ αβ α+β α+β α + β, ofwel een lijn door ker f volgt uit: M, dus +, dit is een lijn door

43 uitwerkingen lineaire algebra 77 a det 5, dus heeft f een inverse α α β b, dus β α + β plossen levert α 5 9 en β 5 Dus het origineel van P is het punt 9 5, 5 c De inverse matri is 5 78 a Uit 5 volgt: Stel λ, dan volgt uit de eerste vergelijking van het stelsel dat λ Deze waarden van en invullen in de tweede en derde vergelijking levert: λ λ + 5 en λ + λ Uit beide vergelijkingen volgt λ λλ Uit dit alles volgt: ker f λ b mdat ker f } is f singulier De kolomvectoren van de matri zijn dus afhankelijk Duidelijk is dat bijvoorbeeld de eerste en tweede kolom wel onafhankelijk zijn van elkaar de een is niet een veelvoud van de ander Dus Im f λ + µ, een vlak door 79 a det Dus is f singulier b De afbeelding is singulier, dus de kolomvectoren van de matri zijn afhankelijk Duidelijk is dat bijvoorbeeld de eerste en tweede kolom wel onafhankelijk zijn van elkaar de een is niet een veelvoud van de ander Dus Im f λ + µ, een vlak door + + c Uit volgt: + + De laatste twee vergelijkingen bij elkaar optellen levert: +, ofwel Invullen in de eerste vergelijking levert: +, ofwel Dus ker f λ d Stel r, en s is een willekeurige steunvector Een lijn evenwijdig aan ker f is s + λr Dus voor de punten bij de vector van deze lijn geldt: f f s + f λr mdat λr ker f geldt f λr Dus f f s, dat wil zeggen dat alle punten van de lijn hetzelfde beeldpunt hebben 8 a Eerst transleren van naar, roteren over 9, dan terug λ