Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2"

Transcriptie

1 Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen

2 Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire Vergelijkingen 3 3 Matrices 3 4 Eigenwaarden en Eigenvectoren Inleiding in Eigenwaarden en Eigenvectoren Determinanten Eigenwaarden en Eigenvectoren van n n matrices Gelijksoortigheid en Diagonalisatie Orthogonaliteit Orthogonaliteit in R n Orthogonale complementen en orthogonale projecties Het Gram-Schmidt Proces en de QR factorisatie Orthogonale diagonalisatie van symmetrische matrices Toepassingen: Kwadratische vormen Vectorruimten 14 7 Afstand en benadering In-product ruimtes Norm en Afstands Functies

3 1 Vectoren Nog niets... 2 Stelsels Lineaire Vergelijkingen Nog niets... 3 Matrices Nog niets... 3

4 4 Eigenwaarden en Eigenvectoren 4.1 Inleiding in Eigenwaarden en Eigenvectoren Definitie: Laat A een n n matrix zijn. Een scalair λ wordt een eigenwaarde van A genoemd als er niet-nul vector x is zodat Ax = λx. Zo n vector x wordt een eigenvector van A behorend bij λ genoemd. Definitie: Laat A een n n matrix zijn en λ een eigenwaarde van A. De verzameling van alle eigenvectoren behorend bij λ, samen met de nul vector wordt de eigenruimte van λ genoemd en wordt geschreven als E k. 4.2 Determinanten zijn. Dan is de determi- Definitie: Laat A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 nant van A de volgende scalair: a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 det A = A = a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 Definitie: Laat A = a ij een n n matrix zijn, met n 2. Dan is de determinant van A de scalair det A = A = a 11 det A 11 a 12 det A ( 1) 1+n a 1n det A 1n n = ( 1) 1+j a 1j det A 1j j=1 Stelling 4.1 De Laplace Expansie Stelling De determinant van een n n matrix A = a ij, met n 2, kan als volgt berekend worden n det A = a i1 C i1 + a i2 C i a in C in = a ij C ij j=1 (wat de cofactor expansie langs de i de rij is) en ook als det A = a 1j C 1j + a 2j C 2j +... a nj C nj = (de cofactor expansie langs de j de kolom) n a ij C ij i=1 4

5 Stelling 4.2 De determinant van een driehoeksmatrix is het product van de elementen op zijn hoofddiagonaal. In het bijzonder, als A = a ij een vierkante n n driehoeksmatrix is dan: det A = a 11 a a nn Stelling 4.3 Laat A = a ij een vierkante matrix zijn. a. Als A een nulrij (kolom) heeft, dan det A = 0. b. Als B verkregen is door het verwisselen van 2 rijen (kolommen) van A, dan det B = det A. c. Als A 2 identieke rijen (kolommen) heeft, dan det A = 0. d. Als B verkregen is door het vermenigvuldigen van een rij (kolom) van A met k, dan det B = k det A. e. Als A, B en C gelijk zijn behalve dat de i de rij (kolom) van C de som is van de i de rijen (kolommen) van A en B, dan det C = det A + det B. f. Als B verkregen is door optellen van een veelvoud van 1 rij (kolom) van A met een andere rij (kolom), dan det B = det A. Stelling 4.4 Laat E een elementaire matrix zijn. a. Als E resulteert uit het verwisselen van 2 rijen van I n, dan det E = 1. b. Als E resulteert uit het vermenigvuldigen van 1 rij van I n met k, dan det E = k. c. Als E verkregen is door optellen van een veelvoud van 1 rij van I n met een andere rij, dan det E = 1. Stelling 4.5 Laat B een n n matrix zijn en laat E een elementaire matrix zijn. Dan det(eb) = (det E)(det B) Stelling 4.6 Een vierkante matrix A is inverteerbaar als en alleen als det A 0 Stelling 4.7 Als A een n n matrix is, dan det(ka) = k n det A Stelling 4.8 Als A en B n n matrices zijn, dan det(ab) = (det A)(det B) Stelling 4.9 Als A inverteerbaar is, dan det(a 1 ) = 1 det A Stelling 4.10 Voor elke vierkante matrix A, det A = det A T 5

6 Stelling 4.11 Cramers Regel Laat A een inverteerbare n n matrix zijn en laat b een vector in R n. Dan is er een unieke oplossing x voor het stelsel Ax = b gegeven door x i = det(ai(b)) det A voor alle i = 1,..., k Stelling 4.12 Laat A een inverteerbare n n matrix zijn. Dan A 1 = 1 det A adj A Stelling 4.13 Laat A n n matrix zijn. Dan a 11 C a 12 C a 1n C 1n = det A = a 11 C a 21 C a n1 C n1 Stelling 4.14 Laat A n n matrix zijn en B een matrix verkregen door het verwisselen van 2 willekeurige rijen (kolommen) van A. Dan det B = det A 4.3 Eigenwaarden en Eigenvectoren van n n matrices De eigenwaarden van een vierkante matrix A zijn precies de oplossingen van de vergelijking det(a λi) = 0 Laat A een n n matrix zijn. 1. Bereken de karakteristieke polynoom det(a λi) van A. 2. Vind de eigenwaarden van A door het oplossen van de karakteristieke vergelijking det(a λi) = 0 voor λ. 3. Voor elke eigenwaarden λ, vind de nulruimte van de matrix A λi. Dit is de eigenspace E λ, waarvan de niet-nul vectoren de eigenvectoren van A zijn behorend bij λ. 4. Vind een basis voor elke eigenruimte. Stelling 4.15 De eigenwaarden van een driehoeksmatrix zijn de elementen op de hoofddiagonaal. Stelling 4.16 Een vierkante matrix is inverteerbaar als en alleen als 0 geen eigenwaarde van A is. Stelling 4.17 De Fundamentele Stelling van de Inverteerbare Matrices: Deel 3 Laat A een n n matrix zijn. Dan zijn de volgende uitspraken equivalent: a. A is inverteerbaar. b. Ax = b heeft een unieke oplossing voor elke b in R n. c. Ax = 0 heeft alleen de triviale oplossing. d. De gereduceerde rij echelon vorm van A is I n. e. A is een product van elementaire matrices. 6

7 f. rank(a) = n g. nulliteit(a) = 0 h. De kolomvectoren van A zijn lineair onafhankelijk. i. De kolomvectoren van A spannen R n. j. De kolomvectoren van A vormen een basis voor R n. k. De rijvectoren van A zijn lineair onafhankelijk. l. De rijvectoren van A spannen R n. m. De rijvectoren van A vormen een basis voor R n. n. det A 0 o. 0 is geen eigenwaarde van A. Stelling 4.18 Laat A een vierkante matrix met eigenwaarde λ en bijbehorende eigenvector x zijn. a. Voor elke positieve integer, n, is λ n een eigenvector van A n met bijbehorende eigenvector x. b. Als A inverteerbaar is, dan is 1/λ een eigenwaarde van A 1 met bijbehorende eigenvector x. c. Voor elke integer, n, is λ n een eigenvector van A n met bijbehorende eigenvector x. Stelling 4.19 Stel dat een n n A matrix de eigenvectoren v 1, v 2,..., v m heeft met bijbehorende eigenwaarden λ 1, λ 2,..., λ m. Als x een vector in R n die uitgedrukt kan worden als een lineaire combinatie van deze eigenvectoren zeg, dan voor elke integer k, x = c 1 v 1 + c 2 v c m v m A k x = c 1 λ k 1v 1 + c 2 λ k 2v c m λ k mv m Stelling 4.20 Laat A een n n matrix zijn en laat λ 1, λ 2,..., λ m verschillende eigenwaarden van A met bijbehorende eigenvectoren v 1, v 2,..., v m zijn. Dan is v 1, v 2,..., v m lineair onafhankelijk. 4.4 Gelijksoortigheid en Diagonalisatie Definitie: Laat A en B n n matrices zijn. We zeggen dat A is gelijksoortig met B als er een inverteerbare n n matrix P is zodat P 1 AP = B. Als A gelijksoortig is met B schrijven we A B. Stelling 4.21 Laat A, B en C n n matrices zijn dan: a. A A. b. Als A B, dan B A. c. Als A B en B C, dan A C. Stelling 4.22 Laat A en B n n matrices zijn met A B. Dan: a. det A = det B. 7

8 b. A is inverteerbaar als en alleen als B inverteerbaar is. c. A en B hebben dezelfde rang. d. A en B hebben dezelfde karakteristieke polynoom. e. A en B hebben dezelfde eigenwaarden. Definitie: Een n n matrix A is diagonaliseerbaar als er een diagonale matrix D is zodat A gelijksoortig is met D, oftewel, er is een inverteerbare n n matrix P zodat P 1 AP = D. Stelling 4.23 Laat A n n matrix. Dan is A diagonaliseerbaar als en alleen als A uit n lineair onafhankelijke eigenvectoren bestaat. Meer precies, er bestaat een inverteerbare matrix P en een diagonale matrix D zodat P 1 AP = D als en alleen als de kolommen van P n lineaire eigenvectoren van A zijn en de diagonale elementen van D de eigenwaarden van A behorend bij de eigenvectoren van P in dezelfde volgorde. Stelling 4.24 Laat A n n matrix zijn en laat λ 1, λ 2,..., λ k verschillende eigenwaarden van A zijn. Als B i een basis is voor de eigenruimte van E λ, dan B = B 1 B2... Bk (oftewel, de gehele verzameling van basisvectoren van alle eigenruimte) is lineair onafhankelijk. Stelling 4.25 Als A een n n matrix zijn met n verschillende eigenwaarden, dan is A diagonaliseerbaar. Stelling 4.26 Als A een n n matrix is, dan is de geometrische multipliciteit van elke eigenwaarden kleiner of gelijk aan zijn algebraïsche multipliciteit. Stelling 4.27 De Diagonalisatie Stelling Laat A een n n matrix zijn met de verschillende eigenwaarden λ 1, λ 2,..., λ k. Dan zijn de volgende uitspraken equivalent: a. A is diagonaliseerbaar b. De vereniging B van de basissen van de eigenruimtes van A (zoals in Stelling 4.24) bevat n vectoren. c. De algebraïsche multipliciteit van elke eigenwaarden is gelijk aan de geometrische multipliciteit. 8

9 5 Orthogonaliteit 5.1 Orthogonaliteit in R n Definitie: Een verzameling vectoren {v 1, v 2,... v k } in R n wordt een orthogonale verzameling genoemd als voor alle verschillende paren vectoren in de verzameling geldt dat ze orthogonaal zijn. Dit is zo, als v i v j = 0 met i j voor i, j = 1, 2,..., k Stelling 5.1 Als {v 1, v 2,..., v k } een orthogonale verzameling vectoren is in R n, dan zijn deze vectoren lineair onafhankelijk. Definitie: Een orthogonale basis voor een subspace W van R n is een basis voor W die een orthogonale verzameling is. Stelling 5.2 Laat {v 1, v 2,..., v k } een orthogonale basis zijn voor de subspace W van R n, en laat w een vector in W zijn. Dan bestaan er unieke scalairen zodat gegeven door w = c 1 v c k v k c i = w vi v i v i voor i = 1,..., k Definitie: Een verzameling vectoren in R n is een orthonormale verzameling als het een orthogonale verzameling van eenheidsvectoren is. Een orthonormale basis voor een subspace W van R n is een basis voor W die een orthonormale verzameling is. Stelling 5.3 Laat {q 1, q 2,..., q k } een orthogonale basis zijn voor de subspace W van R n, en laat w een vector in W zijn. Dan w = (w q 1 )q 1 + (w q 2 )q (w q k )q k en deze uitdrukking voor w uniek Stelling 5.4 De kolommen van een m n matrix Q vormen een orthonormale verzameling als en alleen als Q T Q = I n Definitie: Een n n matrix Q waarvan de kolommen een orthogonale verzameling vormen wordt een orthogonale matrix genoemd. Stelling 5.5 Een vierkante matrix Q is orthogonaal als en alleen als Q 1 = Q T. 9

10 Stelling 5.6 Stel Q is een orthogonale n n matrix. beweringen gelijk: Dan zijn de volgende a. Q is orthogonaal. b. Qx = x voor elke x in R n. c. Qx Qy = x y voor elke x en y in R n. Stelling 5.7 Als Q een orthogonale matrix is, dan zijn de rijen een orthonormale set. Stelling 5.8 Stel Q is een orthogonale matrix. a. Q 1 is orthogonaal. b. det Q = ±1 c. Als λ een eigenwaarde van Q is, dan λ = 1 d. Als Q 1 en Q 2 orthogonale n n matrices zijn dan is Q 1 Q 2 dat ook. 5.2 Orthogonale complementen en orthogonale projecties Definitie: Laat W een subspace van R n zijn. We zeggen dat een vector v in R n orthogonaal op W is als v orthogonaal is tot elke vector in W. De verzameling van alle vectoren die orthogonaal zijn op W wordt het orthogonale complement van W genoemd, genoteerd met W. Dat is: W = {v in R n : v w = 0 voor alle w in R n } Stelling 5.9 Laat W een subspace van R n zijn. a. W is een subspace van R n. b. (W ) = W c. W W = {0} d. Als W = span(w 1,..., w k ), dan zit v in W als en alleen als v w i = 0 voor alle i = 1,..., k Stelling 5.10 Laat A een m n matrix zijn. Dan is het orthogonale complement van de rijruimte van A gelijk aan de nulruimte van A, en het orthogonale complement van de kolomruimte van A gelijk aan de nulruimte van A T : (row(a)) = null(a) en (col(a)) = null(a T ) Definitie: Laat W een subspace van R n zijn en laat {u 1,..., u k } een orthogonale basis zijn voor W. Voor elke vector v in R n, is de orthogonale projectie van v op W gedefineerd als proj W (v) = ( u1 v u 1 u 1 )u u k v u k u k )u 1 Het complement van v orthogonale op W is de vector perp W (v) = v proj W (v) 10

11 Stelling 5.11 De Orthogonale Decompositie Stelling Laat W een subspace van R n zijn en laat v een vector zijn in R n. Dan bestaan er unieke vectoren w in W en w zodat v = w + w Stelling 5.12 Als W een subspace van R n is dan: (W ) = W Stelling 5.13 Als W een subspace van R n is dan: Stelling 5.14 De Rang Stelling Als A een m n matrix is, dan: dim W + dim W = n rank(a)+ nulliteit(a) = n 5.3 Het Gram-Schmidt Proces en de QR factorisatie Stelling 5.15 Het Gram-Schmidt Proces Laat {x 1,... x k } een basis zijn voor de subspace W van R n en defineer het volgende: v 1 = x 1 W 1 = span(x 1 ) v 2 = x 2 ( v1 x2 v 1 v 1 )v 1, W 2 = span(x 1, x 2 ) v 3 = x 3 ( v1 x3 v 1 v 1 )v 1 ( v2 x3 v 2 v 2 )v 2, W 3 = span(x 1, x 2, x 3 ). v k = x k ( v1 x k v 1 v 1 )v 1 ( v2 x k v 2 v 2 )v 2... ( v k 1 x k v k 1 v k 1 )v k 1, W k = span(x 1,..., x k ) Dan voor elke i = 1,..., k, {v 1,... v i } is een orthogonale basis voor W i. In het bijzonder, {v 1,... v i } is een orthogonale basis voor W. Stelling 5.16 De QR factorisatie Laat A een m n matrix zijn met lineair onafhankelijk vectoren. Dan kan A gefactoriseerd worden als A = QR, met Q een m n matrix met orthonormale kolommen en R een inverteerbare bovendriehoeksmatrix. 5.4 Orthogonale diagonalisatie van symmetrische matrices Definitie: Een vierkante matrix A is orthogonaal diagonaliseerbaar als er een orthogonale matrix Q bestaat en een diagonale matrix D zodat Q T AQ = D 11

12 Stelling 5.17 Als A orthogonaal diagnonaliseerbaar is, dan geldt A is symmetrisch. Stelling 5.18 Als A een reëele symmetrische matrix is, dan zijn de eigenwaarden van A reëel. Stelling 5.19 Als A een symmetrische matrix is, dan zijn de elke twee eigenvectoren behorend bij verschillende eigenwaarden van A orthogonaal. Stelling 5.20 De Spectrum Stelling Laat A een reëele matrix zijn. Dan is A symmetrisch als en alleen als A orthogonaal diagonaliseerbaar is. 5.5 Toepassingen: Kwadratische vormen Definitie: Een kwadratische vorm in n variablen is een functie f : R n R van de vorm f(x) = x T Ax met A een symmetrische n n matrix en x uit R n. We noemen A de matrix behorend bij f. Stelling 5.21 De Principele Assen Stelling Elke kwadratische vorm kan gediagonaliseerd worden. In het bijzonder, als A een n n symmetrische matrix is behorend bij de kwadratische vorm x T Ax en als Q een orthogonale matrix is zodat Q T AQ = D is een diagonale matrix, dan transformeert de verandering van de variable x = Qy de kwadratische vorm van x T Ax in de kwadratische vorm y T Dy, met geen enkele kruisproduct term. Als de eigenwaarden van A λ 1,... λ n zijn en y = [y 1,... y n ] T, dan x T Ax = y T Dy = λ 1 y λ n y 2 n Definitie: Een kwadratische vorm f(x) = x T Ax wordt op ëën van de volgende wijze gekwalificeerd: 1. positief definiet als f(x) > 0 voor alle x positief semidefiniet als f(x) 0 voor alle x. 3. negatief definiet als f(x) < 0 voor alle x negatief semidefiniet als f(x) 0 voor alle x. 5. indefiniet als f(x) zowel positieve als negatieve waarden aanneemt. Een symmetrische matrix A wordt positief definiet, positief semidefiniet, negatief definiet, negatief semidefiniet of indefiniet genoemd als de kwadratische vorm f(x) = x T Ax voldoet aan de bijbehorende eigenschap. 12

13 Stelling 5.22 Laat A een symmetrische n n matrix zijn. De kwadratische vorm f(x) = x T Ax is a. positief definiet als en alleen alle eigenwaarden van A positief zijn. b. positief semidefiniet als en alleen als alle eigenwaarden van A niet-negatief zijn. c. negatief definiet als en alleen alle eigenwaarden van A negatief zijn. d. negatief semidefiniet als en alleen als alle eigenwaarden van A niet-positief zijn. e. indefiniet als en alleen als A zowel positieve als negatieve eigenwaarden heeft. Stelling 5.23 Laat f(x) = x T Ax de kwadratische vorm zijn behorend bij de symmetrische n n matrix A zijn. Laat de eigenwaarden van Aλ 1 λ 2... λ n zijn. Dan is het volgende waar, onder voorwaarde dat x = 1: a. λ 1 f(x) λ n b. De maximum waarde van f(x) is λ 1 en is te vinden door voor x de eenheids eigenvector behorend bij λ 1 in te vullen. b. De minimum waarde van f(x) is λ n en is te vinden door voor x de eenheids eigenvector behorend bij λ n in te vullen. 13

14 6 Vectorruimten Niet behandeld en geen onderdeel van het tentamen. d b 14

15 7 Afstand en benadering 7.1 In-product ruimtes Definitie: Een in product op een vectorruimte V is een bewerking die elk paar vectoren u en v in V een reëel nummer u, v toewijst zodat de volgende eigenschappen gelden voor alle vectoren u, v en w in V en alle scalairen c. 1. u, v = v, u 2. u, v + w = u, v + u, w 3. cu, v = c u, v 4. u, u 0 en u, u = 0 als en alleen als u = 0 Stelling 7.1 Laat u, v en w vectoren zijn in een inproduct ruimte V en laat c een scalair zijn. a. u, v + w = u, v + u, w b. cu, v = c u, v c. u, 0 = 0, u = 0 Definitie: Laat u en v vectoren zijn in een inproduct ruimte V. 1. De lengte (of norm van v is v = v, v. 2. De afstand tussen u en v is d(u, v) = u v. 3. u en v zijn orthogonaal als u, v + w = 0. Stelling 7.2 De Stelling van Pythagoras Laat u en v vectoren zijn in een inproduct ruimte V. Dan zijn u en v orthogonaal als en alleen als u + v 2 = u 2 + v 2 Stelling 7.3 De Cauchy-Scharz Ongelijkheid Laat u en v vectoren zijn in een inproduct ruimte V. Dan u, v u v De vergelijking is alleen gelijk als en alleen als u en v scalaire veelvouden van elkaar zijn. Stelling 7.4 De Driehoeks Ongelijkheid Laat u en v vectoren zijn in een inproduct ruimte V. Dan u + v u + v 15

16 7.2 Norm en Afstands Functies Definitie: De norm van een vector ruimte V is een transformatie die uit iedere vector v een reëel nummer v maakt, dit wordt de norm van v genoemd, zodat aan de volgende voorwaarden voldaan wordt voor alle vectoren u, v en w in V en alle scalairen c: 1. v 0, en v = 0 als en alleen als v = cv = c v 3. u + v u + v Een vector ruimte met een norm wordt een genormeerde lineaire ruimte genoemd. Stelling 7.5 Laat d een afstandsfunctie zijn gefineerd op een genormeerde lineaire ruimte V. Dan gelden de volgende eigenschappen voor alle vectoren u, v en v in V : a. d(u, v) 0, en d(u, v) = 0 als en alleen als u = v. b. d(u, v) = d(v, u) c. d(u, w) d(u, v) + d(v, w) Definitie: Een matrix norm op M nn is een transformatie die uit iedere n n matrix A een reëel nummer A maakt, dit wordt de norm van A genoemd, zodat aan de volgende voorwaarden voldaan wordt voor alle matrices A en B en alle scalairen c: 1. A 0, en A = 0 als en alleen als A = O. 2. ca = c A 3. A + B A + B 4. AB A B Een matrix norm op M nn wordt compatibel genoemd met een vector norm x op R n als, voor alle n n matrices A en alle vectoren x in R n, geldt Ax A x Stelling 7.6 Als x een vector norm op R n, dan A = max x =1 Ax een matrix norm op M nn definieert die compatibel is met de vector norm door wie hij opgewekt is. Definitie: De matrix norm A in Theorem 7.6 wordt de operator norm opgewekt door vector norm x genoemd. Stelling 7.7 Laat A een n n matrix zijn met kolomvectoren x i en rijvectoren A i, voor i = 1,..., n. a. A 1 = max j=1,...,n { x j s } = 16 max j=1,...,n { n } a ij i=1

17 b. A = max i=1,...,n { x i s } = max i=1,...,n n a ij Definitie: Een matrix A is gevoelig als kleine veranderingen in zijn elementen grote veranderingen in de oplossingen Ax = b kan veroorzaken. Als kleine veranderingen slechts kleine veranderingen in de oplossingen van Ax = b veroorzaken wordt A ongevoelig genoemd. j=1 17

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax

Nadere informatie

Symmetrische matrices

Symmetrische matrices Symmetrische matrices We beginnen met een eenvoudige definitie : Definitie Een matrix A heet symmetrisch als A T = A NB Een symmetrische matrix is dus altijd vierkant Symmetrische matrices hebben fraaie

Nadere informatie

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper

Nadere informatie

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:

Nadere informatie

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.

Nadere informatie

De inverse van een matrix

De inverse van een matrix De inverse van een matrix Laat A een n n matrix zijn. Veronderstel dat de matrixvergelijking A X = I n de oplossing X = C heeft. Merk op dat [ A I n ] rijoperaties [ I n C ] [ I n A] inverse rijoperaties

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren in R n

Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Als Ax λx voor zekere x in R n met x 0, dan is λ een eigenwaarde van A en x een eigenvector van A behorende bij λ. Een eigenvector is op een multiplicatieve constante

Nadere informatie

Lineaire Algebra Een Samenvatting

Lineaire Algebra Een Samenvatting Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op -4-, 4.-7. uur. Opgave Gegeven is het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met parameters

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 93 email: JCMKeijsper@tuenl studiewijzer: http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 JKeijsper (TUE) Lineaire

Nadere informatie

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen

Nadere informatie

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 = UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De

Nadere informatie

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3. ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets) Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00 Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B = Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 2015 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B = Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt

Nadere informatie

CTB1002-D2 Lineaire Algebra 2

CTB1002-D2 Lineaire Algebra 2 CTB00-D Lineaire Algebra Juli 03 Augustus 03 Juli 0 Augustus 0 Juli 0 Augustus 0 Juli 00 Augustus 00 Tentamenbundel Civiele Techniek Het Gezelschap "Practische Studie" Technische Universiteit Delft Faculteit

Nadere informatie

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 1 8 september 2016 1 Even voorstellen Theresia van Essen Universitair docent bij Technische Wiskunde j.t.vanessen@tudelft.nl Slides op http://homepage.tudelft.nl/v9r7r/

Nadere informatie

Samenvatting. Lineaire Algebra 1 - Collegejaar Dictaat met verwijzing naar het boek. Disclaimer

Samenvatting. Lineaire Algebra 1 - Collegejaar Dictaat met verwijzing naar het boek. Disclaimer Samenvatting Lineaire Algebra 1 - Collegejaar 2013-2014 Dictaat met verwijzing naar het boek Disclaimer De informatie in dit document is afkomstig van derden. W.I.S.V. Christiaan Huygens betracht de grootst

Nadere informatie

Wiskundigen. Tentamen Lineaire Algebra 1. Donderdag 18 december 2008, a ( )

Wiskundigen. Tentamen Lineaire Algebra 1. Donderdag 18 december 2008, a ( ) Wiskundigen Tentamen Lineaire Algebra Donderdag 8 december 8,.-3. Naam: () Bepaal voor alle reële waarden van a de rang van de matrix a C a = a. 4a () Zij n een geheel getal en laat P n de vectorruimte

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y65 Docent: L Habets HG 89, Tel: 4-247423, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y65 1 Herhaling: bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra

Tentamen Lineaire Algebra Tentamen Lineaire Algebra 3 januari 214, 8:3-11:3 uur - Bij dit tentamen mogen dictaten en boeken niet gebruikt worden - Een eenvoudige rekenmachine, hoewel niet nodig, is toegestaan, maar geen grafische

Nadere informatie

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA Vragen, samenvattingen en uitwerkingen 2013 - Lineaire algebra 1 - UvA Rocco van Vreumingen 28 juli 2016 1 Inhoudsopgave 1 Samenvattingen 3 1.1 Samenvatting stof college 1................... 3 1.2 Samenvatting

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op 6--,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 7 J.Keijsper

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts

Nadere informatie

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts

Nadere informatie

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen. Tentamen Lineaire Algebra maandag 3--27, 3.3-6.3 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken. Schrijf op elk

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

Matrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten.

Matrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Definitie Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Voorbeelden De coëfficiëntenmatrix of aangevulde matrix bij een stelsel lineaire vergelijkingen. Een rij-echelonmatrix

Nadere informatie

11.0 Voorkennis V

11.0 Voorkennis V 11.0 Voorkennis V 8 6 4 3 6 3 0 5 W 8 1 1 12 2 1 16 4 3 20 5 4 V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper

Nadere informatie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van

Nadere informatie

1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec.

1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec. LINEAIRE ALGEBRA Eric Jespers Vrije Universiteit Brussel Referentie: David C. Lay, Linear Algebra and Its Applications, Fourth edition, Pearson International Edition, 2012, ISBN: 9781408287859 verplicht

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A.

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A. TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A maandag 16 december 2002, 1000-1200 Coördinaten zijn gegeven tov een standaardbasis in R n 1 De matrix A en de vector b R 4 zijn gegeven door 1 0 1 2 0 1 1 4 3 2 A =, b = 0

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)

Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen) Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren

Nadere informatie

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 15 januari, 2016 Opgave 2 (10 punten (a Het karakteristiek polynoom van A is det(ti A = (t 1 5, dus er is maar één eigenwaarde, namelijk λ = 1 Er geldt (A I 2 =

Nadere informatie

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015 Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen

Nadere informatie

Voorwaardelijke optimalisatie

Voorwaardelijke optimalisatie Voorwaardelijke optimalisatie We zoek naar maximale minimale waard van e kwadratische vorm Q(x op R n onder bepaalde voorwaard Zo n voorwaarde is bijvoorbeeld dat x R n e eheidsvector is, dat wil zegg

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Tentamina Lineaire Algebra Cursussen. Uitgangspunten, aanbevelingen en opmerkingen

Tentamina Lineaire Algebra Cursussen. Uitgangspunten, aanbevelingen en opmerkingen Tentamina Lineaire Algebra Cursussen Fons Daalderop, Joost de Groot, Roelof Koekoek Mei 4 Uitgangspunten, aanbevelingen en opmerkingen De inhoud van de cursus Lineaire Algebra is voor wat betreft de basisstof

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

Praktische informatie. m.b.t. College. Lineaire Algebra en Beeldverwerking. Bachelor Informatica. 1e jaar. Voorjaar semester 2012

Praktische informatie. m.b.t. College. Lineaire Algebra en Beeldverwerking. Bachelor Informatica. 1e jaar. Voorjaar semester 2012 Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica 1e jaar Voorjaar semester 2012 Docenten: Jesse Goodman en Charlene Kalle Universiteit Leiden Praktische informatie

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra B

Tentamen Lineaire Algebra B Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren

Eigenwaarden en eigenvectoren Eigwaard eigvector Als A e vierkante matrix is, dan heet e vector x e eigvector van A als Ax e veelvoud van x is : Definitie Stel dat A e (n n-matrix is E vector x R n met x o heet e eigvector van A als

Nadere informatie

Geadjungeerde en normaliteit

Geadjungeerde en normaliteit Hoofdstuk 12 Geadjungeerde en normaliteit In het vorige hoofdstuk werd bewezen dat het voor het bestaan van een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren voldoende is dat T Hermites is (11.17) of

Nadere informatie

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: opspansel De vectoren v 1,..., v k V spannen

Nadere informatie

Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)

Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30) Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra 2 17 januari 2014, 10:00 13:00 zalen 174, 312, 412, 401, 402

Tentamen lineaire algebra 2 17 januari 2014, 10:00 13:00 zalen 174, 312, 412, 401, 402 Tentamen lineaire algebra 2 17 januari 214, 1: 13: zalen 174, 312, 412, 41, 42 Dit zijn geen complete uitwerkingen. Er is dus geen garantie dat het overschrijven met andere getallen voldoende is voor huiswerk

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 : Determinanten

Hoofdstuk 3 : Determinanten (A5D) Hoofdstuk 3 : Determinanten Les : Determinanten Definitie 3. De determinant van de [2 x 2]-matrix A = ( a c det(a) = ad bc. b ) is een getal met waarde d a b Notatie : det(a) = = ad bc c d Voorbeeld

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen. Tentamen Lineaire Algebra donderdag 29 januari 205, 9.00-2.00 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken.

Nadere informatie

Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent:

Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent: Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent: D.P. Huijsmans LIACS Universiteit Leiden College Lineaire

Nadere informatie

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, 000-300 Bij elke vraag dient een berekening of mo- Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven tivering te worden opgeschreven Grafische en programmeerbare rekenmachines

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig

Nadere informatie

Lineaire algebra I (wiskundigen)

Lineaire algebra I (wiskundigen) Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie

Nadere informatie

Unitaire en Hermitese transformaties

Unitaire en Hermitese transformaties Hoofdstuk 11 Unitaire en Hermitese transformaties We beschouwen vervolgens lineaire transformaties van reële en complexe inproductruimten die aan extra eigenschappen voldoen die betrekking hebben op het

Nadere informatie

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 6 26 september 2016 1 Hoofdstuk 3.1 en 3.2 Matrix operaties Optellen van matrices Matrix vermenigvuldigen met een constante Matrices vermenigvuldigen Machten

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (2DM20) op vrijdag 11 mei 2007, 9:00 12:00 uur.

Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (2DM20) op vrijdag 11 mei 2007, 9:00 12:00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op vrijdag mei 7, 9: : uur. U mag bij het tentamen geen computer (notebook, laptop), boeken

Nadere informatie

Vectorruimten met inproduct

Vectorruimten met inproduct Hoofdstuk 3 Vectorruimten met inproduct 3. Inleiding In R 2 en R 3 hebben we behalve de optelling en scalairvermenigvuldiging nog meer structuur ; bij een vector kun je spreken over zijn lengte en bij

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014 Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:

Nadere informatie

Meetkunde en lineaire algebra

Meetkunde en lineaire algebra Meetkunde en lineaire algebra Daan Pape Universiteit Gent 7 juni 2012 1 1 Möbius transformaties De mobiustransformatie wordt gegeven door: z az + b cz + d (1) Als we weten dat het drietal (x 1, x 2, x

Nadere informatie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar

Nadere informatie

extra sommen bij Numerieke lineaire algebra

extra sommen bij Numerieke lineaire algebra extra sommen bij Numerieke lineaire algebra 31 oktober 2012 1. Stel, we willen met een rekenapparaat (dat arithmetische bewerkingen uitvoert met een relatieve nauwkeurigheid ξ, ξ ξ) voor twee getallen

Nadere informatie

Stelsels lineaire vergelijkingen

Stelsels lineaire vergelijkingen Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix. 2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte

Nadere informatie

Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten. Joost de Groot Les 5. Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde. Technische Universiteit Delft

Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten. Joost de Groot Les 5. Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde. Technische Universiteit Delft Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten Joost de Groot Les 5 1 Technische Universiteit Delft Doel van deze les Determinanten ben je al tegengekomen bij de behandeling van het in en het uitwendig

Nadere informatie

Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december A =

Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december A = Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december 2012 Opg 1 De schaakbordmatrix A is de 8 bij 8 matrix 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 A = 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN

Tentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN Tentamen Lineaire Algebra 29 januari 29, 3:3-6:3 uur UITWERKINGEN Gegeven een drietal lijnen in R 3 in parametervoorstelling, l : 2, m : n : ν (a (/2 pt Laat zien dat l en m elkaar kruisen (dat wil zeggen

Nadere informatie

Onderwerpskeuzes Lineaire Algebra en kwaliteitscriteria

Onderwerpskeuzes Lineaire Algebra en kwaliteitscriteria Onderwerpskeuzes Lineaire Algebra en kwaliteitscriteria Deliverable 3.5 J. Brandts, F. Beukers, H. Cuypers, H. de Graaf Inleiding In deze deliverable zullen we voor het domein van de lineaire algebra de

Nadere informatie

Studiehandleiding. Lineaire Algebra 2. voor. Werktuigbouwkunde. wi1314wb. Dr. R. Koekoek. gebouw ITS, kamer HB tel (tst.

Studiehandleiding. Lineaire Algebra 2. voor. Werktuigbouwkunde. wi1314wb. Dr. R. Koekoek. gebouw ITS, kamer HB tel (tst. Studiehandleiding Lineaire Algebra 2 voor Werktuigbouwkunde wi1314wb Dr. R. Koekoek gebouw ITS, kamer HB 04.300 tel. 015-2787218 (tst. 87218) e-mail : R.Koekoek@ITS.TUDelft.NL website : http://aw.twi.tudelft.nl/

Nadere informatie

Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, ( )

Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, ( ) Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, (9.00-12.00) Zoals beschreven in de studiehandleiding 2DE04 bestaat dit tentamen uit drie

Nadere informatie

Matrices en Grafen (wi1110ee)

Matrices en Grafen (wi1110ee) Matrices en Grafen (wi1110ee) Electrical Engineering TUDelft September 1, 2010 September 1, 2010 Inleiding Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http:

Nadere informatie

Lineaire Algebra. Samenvatting. De Roover Robin

Lineaire Algebra. Samenvatting. De Roover Robin Lineaire Algebra Samenvatting De Roover Robin 21-211 Deze samenvatting is een overzicht van alle definities, stellingen, lemma's en proposities met hun bijhorende bewijzen. Deze samenvatting is gebaseerd

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De

Nadere informatie

Studiehandleiding. Lineaire Algebra. voor. Werktuigbouwkunde. wi1311wb. Dr. R. Koekoek. gebouw ITS, kamer HB tel (tst.

Studiehandleiding. Lineaire Algebra. voor. Werktuigbouwkunde. wi1311wb. Dr. R. Koekoek. gebouw ITS, kamer HB tel (tst. Studiehandleiding Lineaire Algebra voor Werktuigbouwkunde wi1311wb Dr. R. Koekoek gebouw ITS, kamer HB 04.300 tel. 015-2787218 (tst. 87218) e-mail : R.Koekoek@ITS.TUDelft.NL website : http://aw.twi.tudelft.nl/

Nadere informatie

Coördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V :

Coördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V : Coördinatiseringen Het rekenen met vectoren in R n gaat erg gemakkelijk De coördinaten bieden de mogelijkheid om handig te rekenen (vegen Het is nu ook mogelijk om coördinaten in te voeren voor vectoren

Nadere informatie