Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2
|
|
- Lotte de Veer
- 4 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen
2 Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire Vergelijkingen 3 3 Matrices 3 4 Eigenwaarden en Eigenvectoren Inleiding in Eigenwaarden en Eigenvectoren Determinanten Eigenwaarden en Eigenvectoren van n n matrices Gelijksoortigheid en Diagonalisatie Orthogonaliteit Orthogonaliteit in R n Orthogonale complementen en orthogonale projecties Het Gram-Schmidt Proces en de QR factorisatie Orthogonale diagonalisatie van symmetrische matrices Toepassingen: Kwadratische vormen Vectorruimten 14 7 Afstand en benadering In-product ruimtes Norm en Afstands Functies
3 1 Vectoren Nog niets... 2 Stelsels Lineaire Vergelijkingen Nog niets... 3 Matrices Nog niets... 3
4 4 Eigenwaarden en Eigenvectoren 4.1 Inleiding in Eigenwaarden en Eigenvectoren Definitie: Laat A een n n matrix zijn. Een scalair λ wordt een eigenwaarde van A genoemd als er niet-nul vector x is zodat Ax = λx. Zo n vector x wordt een eigenvector van A behorend bij λ genoemd. Definitie: Laat A een n n matrix zijn en λ een eigenwaarde van A. De verzameling van alle eigenvectoren behorend bij λ, samen met de nul vector wordt de eigenruimte van λ genoemd en wordt geschreven als E k. 4.2 Determinanten zijn. Dan is de determi- Definitie: Laat A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 nant van A de volgende scalair: a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 det A = A = a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 Definitie: Laat A = a ij een n n matrix zijn, met n 2. Dan is de determinant van A de scalair det A = A = a 11 det A 11 a 12 det A ( 1) 1+n a 1n det A 1n n = ( 1) 1+j a 1j det A 1j j=1 Stelling 4.1 De Laplace Expansie Stelling De determinant van een n n matrix A = a ij, met n 2, kan als volgt berekend worden n det A = a i1 C i1 + a i2 C i a in C in = a ij C ij j=1 (wat de cofactor expansie langs de i de rij is) en ook als det A = a 1j C 1j + a 2j C 2j +... a nj C nj = (de cofactor expansie langs de j de kolom) n a ij C ij i=1 4
5 Stelling 4.2 De determinant van een driehoeksmatrix is het product van de elementen op zijn hoofddiagonaal. In het bijzonder, als A = a ij een vierkante n n driehoeksmatrix is dan: det A = a 11 a a nn Stelling 4.3 Laat A = a ij een vierkante matrix zijn. a. Als A een nulrij (kolom) heeft, dan det A = 0. b. Als B verkregen is door het verwisselen van 2 rijen (kolommen) van A, dan det B = det A. c. Als A 2 identieke rijen (kolommen) heeft, dan det A = 0. d. Als B verkregen is door het vermenigvuldigen van een rij (kolom) van A met k, dan det B = k det A. e. Als A, B en C gelijk zijn behalve dat de i de rij (kolom) van C de som is van de i de rijen (kolommen) van A en B, dan det C = det A + det B. f. Als B verkregen is door optellen van een veelvoud van 1 rij (kolom) van A met een andere rij (kolom), dan det B = det A. Stelling 4.4 Laat E een elementaire matrix zijn. a. Als E resulteert uit het verwisselen van 2 rijen van I n, dan det E = 1. b. Als E resulteert uit het vermenigvuldigen van 1 rij van I n met k, dan det E = k. c. Als E verkregen is door optellen van een veelvoud van 1 rij van I n met een andere rij, dan det E = 1. Stelling 4.5 Laat B een n n matrix zijn en laat E een elementaire matrix zijn. Dan det(eb) = (det E)(det B) Stelling 4.6 Een vierkante matrix A is inverteerbaar als en alleen als det A 0 Stelling 4.7 Als A een n n matrix is, dan det(ka) = k n det A Stelling 4.8 Als A en B n n matrices zijn, dan det(ab) = (det A)(det B) Stelling 4.9 Als A inverteerbaar is, dan det(a 1 ) = 1 det A Stelling 4.10 Voor elke vierkante matrix A, det A = det A T 5
6 Stelling 4.11 Cramers Regel Laat A een inverteerbare n n matrix zijn en laat b een vector in R n. Dan is er een unieke oplossing x voor het stelsel Ax = b gegeven door x i = det(ai(b)) det A voor alle i = 1,..., k Stelling 4.12 Laat A een inverteerbare n n matrix zijn. Dan A 1 = 1 det A adj A Stelling 4.13 Laat A n n matrix zijn. Dan a 11 C a 12 C a 1n C 1n = det A = a 11 C a 21 C a n1 C n1 Stelling 4.14 Laat A n n matrix zijn en B een matrix verkregen door het verwisselen van 2 willekeurige rijen (kolommen) van A. Dan det B = det A 4.3 Eigenwaarden en Eigenvectoren van n n matrices De eigenwaarden van een vierkante matrix A zijn precies de oplossingen van de vergelijking det(a λi) = 0 Laat A een n n matrix zijn. 1. Bereken de karakteristieke polynoom det(a λi) van A. 2. Vind de eigenwaarden van A door het oplossen van de karakteristieke vergelijking det(a λi) = 0 voor λ. 3. Voor elke eigenwaarden λ, vind de nulruimte van de matrix A λi. Dit is de eigenspace E λ, waarvan de niet-nul vectoren de eigenvectoren van A zijn behorend bij λ. 4. Vind een basis voor elke eigenruimte. Stelling 4.15 De eigenwaarden van een driehoeksmatrix zijn de elementen op de hoofddiagonaal. Stelling 4.16 Een vierkante matrix is inverteerbaar als en alleen als 0 geen eigenwaarde van A is. Stelling 4.17 De Fundamentele Stelling van de Inverteerbare Matrices: Deel 3 Laat A een n n matrix zijn. Dan zijn de volgende uitspraken equivalent: a. A is inverteerbaar. b. Ax = b heeft een unieke oplossing voor elke b in R n. c. Ax = 0 heeft alleen de triviale oplossing. d. De gereduceerde rij echelon vorm van A is I n. e. A is een product van elementaire matrices. 6
7 f. rank(a) = n g. nulliteit(a) = 0 h. De kolomvectoren van A zijn lineair onafhankelijk. i. De kolomvectoren van A spannen R n. j. De kolomvectoren van A vormen een basis voor R n. k. De rijvectoren van A zijn lineair onafhankelijk. l. De rijvectoren van A spannen R n. m. De rijvectoren van A vormen een basis voor R n. n. det A 0 o. 0 is geen eigenwaarde van A. Stelling 4.18 Laat A een vierkante matrix met eigenwaarde λ en bijbehorende eigenvector x zijn. a. Voor elke positieve integer, n, is λ n een eigenvector van A n met bijbehorende eigenvector x. b. Als A inverteerbaar is, dan is 1/λ een eigenwaarde van A 1 met bijbehorende eigenvector x. c. Voor elke integer, n, is λ n een eigenvector van A n met bijbehorende eigenvector x. Stelling 4.19 Stel dat een n n A matrix de eigenvectoren v 1, v 2,..., v m heeft met bijbehorende eigenwaarden λ 1, λ 2,..., λ m. Als x een vector in R n die uitgedrukt kan worden als een lineaire combinatie van deze eigenvectoren zeg, dan voor elke integer k, x = c 1 v 1 + c 2 v c m v m A k x = c 1 λ k 1v 1 + c 2 λ k 2v c m λ k mv m Stelling 4.20 Laat A een n n matrix zijn en laat λ 1, λ 2,..., λ m verschillende eigenwaarden van A met bijbehorende eigenvectoren v 1, v 2,..., v m zijn. Dan is v 1, v 2,..., v m lineair onafhankelijk. 4.4 Gelijksoortigheid en Diagonalisatie Definitie: Laat A en B n n matrices zijn. We zeggen dat A is gelijksoortig met B als er een inverteerbare n n matrix P is zodat P 1 AP = B. Als A gelijksoortig is met B schrijven we A B. Stelling 4.21 Laat A, B en C n n matrices zijn dan: a. A A. b. Als A B, dan B A. c. Als A B en B C, dan A C. Stelling 4.22 Laat A en B n n matrices zijn met A B. Dan: a. det A = det B. 7
8 b. A is inverteerbaar als en alleen als B inverteerbaar is. c. A en B hebben dezelfde rang. d. A en B hebben dezelfde karakteristieke polynoom. e. A en B hebben dezelfde eigenwaarden. Definitie: Een n n matrix A is diagonaliseerbaar als er een diagonale matrix D is zodat A gelijksoortig is met D, oftewel, er is een inverteerbare n n matrix P zodat P 1 AP = D. Stelling 4.23 Laat A n n matrix. Dan is A diagonaliseerbaar als en alleen als A uit n lineair onafhankelijke eigenvectoren bestaat. Meer precies, er bestaat een inverteerbare matrix P en een diagonale matrix D zodat P 1 AP = D als en alleen als de kolommen van P n lineaire eigenvectoren van A zijn en de diagonale elementen van D de eigenwaarden van A behorend bij de eigenvectoren van P in dezelfde volgorde. Stelling 4.24 Laat A n n matrix zijn en laat λ 1, λ 2,..., λ k verschillende eigenwaarden van A zijn. Als B i een basis is voor de eigenruimte van E λ, dan B = B 1 B2... Bk (oftewel, de gehele verzameling van basisvectoren van alle eigenruimte) is lineair onafhankelijk. Stelling 4.25 Als A een n n matrix zijn met n verschillende eigenwaarden, dan is A diagonaliseerbaar. Stelling 4.26 Als A een n n matrix is, dan is de geometrische multipliciteit van elke eigenwaarden kleiner of gelijk aan zijn algebraïsche multipliciteit. Stelling 4.27 De Diagonalisatie Stelling Laat A een n n matrix zijn met de verschillende eigenwaarden λ 1, λ 2,..., λ k. Dan zijn de volgende uitspraken equivalent: a. A is diagonaliseerbaar b. De vereniging B van de basissen van de eigenruimtes van A (zoals in Stelling 4.24) bevat n vectoren. c. De algebraïsche multipliciteit van elke eigenwaarden is gelijk aan de geometrische multipliciteit. 8
9 5 Orthogonaliteit 5.1 Orthogonaliteit in R n Definitie: Een verzameling vectoren {v 1, v 2,... v k } in R n wordt een orthogonale verzameling genoemd als voor alle verschillende paren vectoren in de verzameling geldt dat ze orthogonaal zijn. Dit is zo, als v i v j = 0 met i j voor i, j = 1, 2,..., k Stelling 5.1 Als {v 1, v 2,..., v k } een orthogonale verzameling vectoren is in R n, dan zijn deze vectoren lineair onafhankelijk. Definitie: Een orthogonale basis voor een subspace W van R n is een basis voor W die een orthogonale verzameling is. Stelling 5.2 Laat {v 1, v 2,..., v k } een orthogonale basis zijn voor de subspace W van R n, en laat w een vector in W zijn. Dan bestaan er unieke scalairen zodat gegeven door w = c 1 v c k v k c i = w vi v i v i voor i = 1,..., k Definitie: Een verzameling vectoren in R n is een orthonormale verzameling als het een orthogonale verzameling van eenheidsvectoren is. Een orthonormale basis voor een subspace W van R n is een basis voor W die een orthonormale verzameling is. Stelling 5.3 Laat {q 1, q 2,..., q k } een orthogonale basis zijn voor de subspace W van R n, en laat w een vector in W zijn. Dan w = (w q 1 )q 1 + (w q 2 )q (w q k )q k en deze uitdrukking voor w uniek Stelling 5.4 De kolommen van een m n matrix Q vormen een orthonormale verzameling als en alleen als Q T Q = I n Definitie: Een n n matrix Q waarvan de kolommen een orthogonale verzameling vormen wordt een orthogonale matrix genoemd. Stelling 5.5 Een vierkante matrix Q is orthogonaal als en alleen als Q 1 = Q T. 9
10 Stelling 5.6 Stel Q is een orthogonale n n matrix. beweringen gelijk: Dan zijn de volgende a. Q is orthogonaal. b. Qx = x voor elke x in R n. c. Qx Qy = x y voor elke x en y in R n. Stelling 5.7 Als Q een orthogonale matrix is, dan zijn de rijen een orthonormale set. Stelling 5.8 Stel Q is een orthogonale matrix. a. Q 1 is orthogonaal. b. det Q = ±1 c. Als λ een eigenwaarde van Q is, dan λ = 1 d. Als Q 1 en Q 2 orthogonale n n matrices zijn dan is Q 1 Q 2 dat ook. 5.2 Orthogonale complementen en orthogonale projecties Definitie: Laat W een subspace van R n zijn. We zeggen dat een vector v in R n orthogonaal op W is als v orthogonaal is tot elke vector in W. De verzameling van alle vectoren die orthogonaal zijn op W wordt het orthogonale complement van W genoemd, genoteerd met W. Dat is: W = {v in R n : v w = 0 voor alle w in R n } Stelling 5.9 Laat W een subspace van R n zijn. a. W is een subspace van R n. b. (W ) = W c. W W = {0} d. Als W = span(w 1,..., w k ), dan zit v in W als en alleen als v w i = 0 voor alle i = 1,..., k Stelling 5.10 Laat A een m n matrix zijn. Dan is het orthogonale complement van de rijruimte van A gelijk aan de nulruimte van A, en het orthogonale complement van de kolomruimte van A gelijk aan de nulruimte van A T : (row(a)) = null(a) en (col(a)) = null(a T ) Definitie: Laat W een subspace van R n zijn en laat {u 1,..., u k } een orthogonale basis zijn voor W. Voor elke vector v in R n, is de orthogonale projectie van v op W gedefineerd als proj W (v) = ( u1 v u 1 u 1 )u u k v u k u k )u 1 Het complement van v orthogonale op W is de vector perp W (v) = v proj W (v) 10
11 Stelling 5.11 De Orthogonale Decompositie Stelling Laat W een subspace van R n zijn en laat v een vector zijn in R n. Dan bestaan er unieke vectoren w in W en w zodat v = w + w Stelling 5.12 Als W een subspace van R n is dan: (W ) = W Stelling 5.13 Als W een subspace van R n is dan: Stelling 5.14 De Rang Stelling Als A een m n matrix is, dan: dim W + dim W = n rank(a)+ nulliteit(a) = n 5.3 Het Gram-Schmidt Proces en de QR factorisatie Stelling 5.15 Het Gram-Schmidt Proces Laat {x 1,... x k } een basis zijn voor de subspace W van R n en defineer het volgende: v 1 = x 1 W 1 = span(x 1 ) v 2 = x 2 ( v1 x2 v 1 v 1 )v 1, W 2 = span(x 1, x 2 ) v 3 = x 3 ( v1 x3 v 1 v 1 )v 1 ( v2 x3 v 2 v 2 )v 2, W 3 = span(x 1, x 2, x 3 ). v k = x k ( v1 x k v 1 v 1 )v 1 ( v2 x k v 2 v 2 )v 2... ( v k 1 x k v k 1 v k 1 )v k 1, W k = span(x 1,..., x k ) Dan voor elke i = 1,..., k, {v 1,... v i } is een orthogonale basis voor W i. In het bijzonder, {v 1,... v i } is een orthogonale basis voor W. Stelling 5.16 De QR factorisatie Laat A een m n matrix zijn met lineair onafhankelijk vectoren. Dan kan A gefactoriseerd worden als A = QR, met Q een m n matrix met orthonormale kolommen en R een inverteerbare bovendriehoeksmatrix. 5.4 Orthogonale diagonalisatie van symmetrische matrices Definitie: Een vierkante matrix A is orthogonaal diagonaliseerbaar als er een orthogonale matrix Q bestaat en een diagonale matrix D zodat Q T AQ = D 11
12 Stelling 5.17 Als A orthogonaal diagnonaliseerbaar is, dan geldt A is symmetrisch. Stelling 5.18 Als A een reëele symmetrische matrix is, dan zijn de eigenwaarden van A reëel. Stelling 5.19 Als A een symmetrische matrix is, dan zijn de elke twee eigenvectoren behorend bij verschillende eigenwaarden van A orthogonaal. Stelling 5.20 De Spectrum Stelling Laat A een reëele matrix zijn. Dan is A symmetrisch als en alleen als A orthogonaal diagonaliseerbaar is. 5.5 Toepassingen: Kwadratische vormen Definitie: Een kwadratische vorm in n variablen is een functie f : R n R van de vorm f(x) = x T Ax met A een symmetrische n n matrix en x uit R n. We noemen A de matrix behorend bij f. Stelling 5.21 De Principele Assen Stelling Elke kwadratische vorm kan gediagonaliseerd worden. In het bijzonder, als A een n n symmetrische matrix is behorend bij de kwadratische vorm x T Ax en als Q een orthogonale matrix is zodat Q T AQ = D is een diagonale matrix, dan transformeert de verandering van de variable x = Qy de kwadratische vorm van x T Ax in de kwadratische vorm y T Dy, met geen enkele kruisproduct term. Als de eigenwaarden van A λ 1,... λ n zijn en y = [y 1,... y n ] T, dan x T Ax = y T Dy = λ 1 y λ n y 2 n Definitie: Een kwadratische vorm f(x) = x T Ax wordt op ëën van de volgende wijze gekwalificeerd: 1. positief definiet als f(x) > 0 voor alle x positief semidefiniet als f(x) 0 voor alle x. 3. negatief definiet als f(x) < 0 voor alle x negatief semidefiniet als f(x) 0 voor alle x. 5. indefiniet als f(x) zowel positieve als negatieve waarden aanneemt. Een symmetrische matrix A wordt positief definiet, positief semidefiniet, negatief definiet, negatief semidefiniet of indefiniet genoemd als de kwadratische vorm f(x) = x T Ax voldoet aan de bijbehorende eigenschap. 12
13 Stelling 5.22 Laat A een symmetrische n n matrix zijn. De kwadratische vorm f(x) = x T Ax is a. positief definiet als en alleen alle eigenwaarden van A positief zijn. b. positief semidefiniet als en alleen als alle eigenwaarden van A niet-negatief zijn. c. negatief definiet als en alleen alle eigenwaarden van A negatief zijn. d. negatief semidefiniet als en alleen als alle eigenwaarden van A niet-positief zijn. e. indefiniet als en alleen als A zowel positieve als negatieve eigenwaarden heeft. Stelling 5.23 Laat f(x) = x T Ax de kwadratische vorm zijn behorend bij de symmetrische n n matrix A zijn. Laat de eigenwaarden van Aλ 1 λ 2... λ n zijn. Dan is het volgende waar, onder voorwaarde dat x = 1: a. λ 1 f(x) λ n b. De maximum waarde van f(x) is λ 1 en is te vinden door voor x de eenheids eigenvector behorend bij λ 1 in te vullen. b. De minimum waarde van f(x) is λ n en is te vinden door voor x de eenheids eigenvector behorend bij λ n in te vullen. 13
14 6 Vectorruimten Niet behandeld en geen onderdeel van het tentamen. d b 14
15 7 Afstand en benadering 7.1 In-product ruimtes Definitie: Een in product op een vectorruimte V is een bewerking die elk paar vectoren u en v in V een reëel nummer u, v toewijst zodat de volgende eigenschappen gelden voor alle vectoren u, v en w in V en alle scalairen c. 1. u, v = v, u 2. u, v + w = u, v + u, w 3. cu, v = c u, v 4. u, u 0 en u, u = 0 als en alleen als u = 0 Stelling 7.1 Laat u, v en w vectoren zijn in een inproduct ruimte V en laat c een scalair zijn. a. u, v + w = u, v + u, w b. cu, v = c u, v c. u, 0 = 0, u = 0 Definitie: Laat u en v vectoren zijn in een inproduct ruimte V. 1. De lengte (of norm van v is v = v, v. 2. De afstand tussen u en v is d(u, v) = u v. 3. u en v zijn orthogonaal als u, v + w = 0. Stelling 7.2 De Stelling van Pythagoras Laat u en v vectoren zijn in een inproduct ruimte V. Dan zijn u en v orthogonaal als en alleen als u + v 2 = u 2 + v 2 Stelling 7.3 De Cauchy-Scharz Ongelijkheid Laat u en v vectoren zijn in een inproduct ruimte V. Dan u, v u v De vergelijking is alleen gelijk als en alleen als u en v scalaire veelvouden van elkaar zijn. Stelling 7.4 De Driehoeks Ongelijkheid Laat u en v vectoren zijn in een inproduct ruimte V. Dan u + v u + v 15
16 7.2 Norm en Afstands Functies Definitie: De norm van een vector ruimte V is een transformatie die uit iedere vector v een reëel nummer v maakt, dit wordt de norm van v genoemd, zodat aan de volgende voorwaarden voldaan wordt voor alle vectoren u, v en w in V en alle scalairen c: 1. v 0, en v = 0 als en alleen als v = cv = c v 3. u + v u + v Een vector ruimte met een norm wordt een genormeerde lineaire ruimte genoemd. Stelling 7.5 Laat d een afstandsfunctie zijn gefineerd op een genormeerde lineaire ruimte V. Dan gelden de volgende eigenschappen voor alle vectoren u, v en v in V : a. d(u, v) 0, en d(u, v) = 0 als en alleen als u = v. b. d(u, v) = d(v, u) c. d(u, w) d(u, v) + d(v, w) Definitie: Een matrix norm op M nn is een transformatie die uit iedere n n matrix A een reëel nummer A maakt, dit wordt de norm van A genoemd, zodat aan de volgende voorwaarden voldaan wordt voor alle matrices A en B en alle scalairen c: 1. A 0, en A = 0 als en alleen als A = O. 2. ca = c A 3. A + B A + B 4. AB A B Een matrix norm op M nn wordt compatibel genoemd met een vector norm x op R n als, voor alle n n matrices A en alle vectoren x in R n, geldt Ax A x Stelling 7.6 Als x een vector norm op R n, dan A = max x =1 Ax een matrix norm op M nn definieert die compatibel is met de vector norm door wie hij opgewekt is. Definitie: De matrix norm A in Theorem 7.6 wordt de operator norm opgewekt door vector norm x genoemd. Stelling 7.7 Laat A een n n matrix zijn met kolomvectoren x i en rijvectoren A i, voor i = 1,..., n. a. A 1 = max j=1,...,n { x j s } = 16 max j=1,...,n { n } a ij i=1
17 b. A = max i=1,...,n { x i s } = max i=1,...,n n a ij Definitie: Een matrix A is gevoelig als kleine veranderingen in zijn elementen grote veranderingen in de oplossingen Ax = b kan veroorzaken. Als kleine veranderingen slechts kleine veranderingen in de oplossingen van Ax = b veroorzaken wordt A ongevoelig genoemd. j=1 17
Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4
Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax
Nadere informatieSymmetrische matrices
Symmetrische matrices We beginnen met een eenvoudige definitie : Definitie Een matrix A heet symmetrisch als A T = A NB Een symmetrische matrix is dus altijd vierkant Symmetrische matrices hebben fraaie
Nadere informatieWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper
Nadere informatieLineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen
Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:
Nadere informatieMatrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen
Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.
Nadere informatieDe inverse van een matrix
De inverse van een matrix Laat A een n n matrix zijn. Veronderstel dat de matrixvergelijking A X = I n de oplossing X = C heeft. Merk op dat [ A I n ] rijoperaties [ I n C ] [ I n A] inverse rijoperaties
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieEigenwaarden en eigenvectoren in R n
Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Als Ax λx voor zekere x in R n met x 0, dan is λ een eigenwaarde van A en x een eigenvector van A behorende bij λ. Een eigenvector is op een multiplicatieve constante
Nadere informatieLineaire Algebra Een Samenvatting
Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op -4-, 4.-7. uur. Opgave Gegeven is het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met parameters
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 93 email: JCMKeijsper@tuenl studiewijzer: http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 JKeijsper (TUE) Lineaire
Nadere informatieEindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)
Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops
Nadere informatieLineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012
Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen
Nadere informatieUITWERKINGEN 1 2 C : 2 =
UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De
Nadere informatieONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
Nadere informatieTentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)
Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N
Nadere informatieUitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00
Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 2015 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatieCTB1002-D2 Lineaire Algebra 2
CTB00-D Lineaire Algebra Juli 03 Augustus 03 Juli 0 Augustus 0 Juli 0 Augustus 0 Juli 00 Augustus 00 Tentamenbundel Civiele Techniek Het Gezelschap "Practische Studie" Technische Universiteit Delft Faculteit
Nadere informatieWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 1 8 september 2016 1 Even voorstellen Theresia van Essen Universitair docent bij Technische Wiskunde j.t.vanessen@tudelft.nl Slides op http://homepage.tudelft.nl/v9r7r/
Nadere informatieSamenvatting. Lineaire Algebra 1 - Collegejaar Dictaat met verwijzing naar het boek. Disclaimer
Samenvatting Lineaire Algebra 1 - Collegejaar 2013-2014 Dictaat met verwijzing naar het boek Disclaimer De informatie in dit document is afkomstig van derden. W.I.S.V. Christiaan Huygens betracht de grootst
Nadere informatieWiskundigen. Tentamen Lineaire Algebra 1. Donderdag 18 december 2008, a ( )
Wiskundigen Tentamen Lineaire Algebra Donderdag 8 december 8,.-3. Naam: () Bepaal voor alle reële waarden van a de rang van de matrix a C a = a. 4a () Zij n een geheel getal en laat P n de vectorruimte
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y65 Docent: L Habets HG 89, Tel: 4-247423, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y65 1 Herhaling: bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra
Tentamen Lineaire Algebra 3 januari 214, 8:3-11:3 uur - Bij dit tentamen mogen dictaten en boeken niet gebruikt worden - Een eenvoudige rekenmachine, hoewel niet nodig, is toegestaan, maar geen grafische
Nadere informatieVragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA
Vragen, samenvattingen en uitwerkingen 2013 - Lineaire algebra 1 - UvA Rocco van Vreumingen 28 juli 2016 1 Inhoudsopgave 1 Samenvattingen 3 1.1 Samenvatting stof college 1................... 3 1.2 Samenvatting
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op 6--,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 7 J.Keijsper
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Nadere informatieCoëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen
Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts
Nadere informatieCoëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen
Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra maandag 3--27, 3.3-6.3 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken. Schrijf op elk
Nadere informatieStelsels Vergelijkingen
Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit
Nadere informatieMatrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten.
Definitie Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Voorbeelden De coëfficiëntenmatrix of aangevulde matrix bij een stelsel lineaire vergelijkingen. Een rij-echelonmatrix
Nadere informatie11.0 Voorkennis V
11.0 Voorkennis V 8 6 4 3 6 3 0 5 W 8 1 1 12 2 1 16 4 3 20 5 4 V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van
Nadere informatie1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec.
LINEAIRE ALGEBRA Eric Jespers Vrije Universiteit Brussel Referentie: David C. Lay, Linear Algebra and Its Applications, Fourth edition, Pearson International Edition, 2012, ISBN: 9781408287859 verplicht
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A.
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A maandag 16 december 2002, 1000-1200 Coördinaten zijn gegeven tov een standaardbasis in R n 1 De matrix A en de vector b R 4 zijn gegeven door 1 0 1 2 0 1 1 4 3 2 A =, b = 0
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)
Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren
Nadere informatieEigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid
Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit
Nadere informatieHet oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen
Nadere informatieJordan normaalvorm. Hoofdstuk 7
Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 15 januari, 2016 Opgave 2 (10 punten (a Het karakteristiek polynoom van A is det(ti A = (t 1 5, dus er is maar één eigenwaarde, namelijk λ = 1 Er geldt (A I 2 =
Nadere informatieUitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015
Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen
Nadere informatieVoorwaardelijke optimalisatie
Voorwaardelijke optimalisatie We zoek naar maximale minimale waard van e kwadratische vorm Q(x op R n onder bepaalde voorwaard Zo n voorwaarde is bijvoorbeeld dat x R n e eheidsvector is, dat wil zegg
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieTentamina Lineaire Algebra Cursussen. Uitgangspunten, aanbevelingen en opmerkingen
Tentamina Lineaire Algebra Cursussen Fons Daalderop, Joost de Groot, Roelof Koekoek Mei 4 Uitgangspunten, aanbevelingen en opmerkingen De inhoud van de cursus Lineaire Algebra is voor wat betreft de basisstof
Nadere informatie1 Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan
Nadere informatiePraktische informatie. m.b.t. College. Lineaire Algebra en Beeldverwerking. Bachelor Informatica. 1e jaar. Voorjaar semester 2012
Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica 1e jaar Voorjaar semester 2012 Docenten: Jesse Goodman en Charlene Kalle Universiteit Leiden Praktische informatie
Nadere informatieInwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra B
Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een
Nadere informatieEigenwaarden en eigenvectoren
Eigwaard eigvector Als A e vierkante matrix is, dan heet e vector x e eigvector van A als Ax e veelvoud van x is : Definitie Stel dat A e (n n-matrix is E vector x R n met x o heet e eigvector van A als
Nadere informatieGeadjungeerde en normaliteit
Hoofdstuk 12 Geadjungeerde en normaliteit In het vorige hoofdstuk werd bewezen dat het voor het bestaan van een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren voldoende is dat T Hermites is (11.17) of
Nadere informatieVierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1
Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: opspansel De vectoren v 1,..., v k V spannen
Nadere informatieExamen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)
Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,
Nadere informatieKies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Nadere informatieTentamen lineaire algebra 2 17 januari 2014, 10:00 13:00 zalen 174, 312, 412, 401, 402
Tentamen lineaire algebra 2 17 januari 214, 1: 13: zalen 174, 312, 412, 41, 42 Dit zijn geen complete uitwerkingen. Er is dus geen garantie dat het overschrijven met andere getallen voldoende is voor huiswerk
Nadere informatieHoofdstuk 3 : Determinanten
(A5D) Hoofdstuk 3 : Determinanten Les : Determinanten Definitie 3. De determinant van de [2 x 2]-matrix A = ( a c det(a) = ad bc. b ) is een getal met waarde d a b Notatie : det(a) = = ad bc c d Voorbeeld
Nadere informatieHints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde
Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra donderdag 29 januari 205, 9.00-2.00 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken.
Nadere informatiePraktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent:
Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent: D.P. Huijsmans LIACS Universiteit Leiden College Lineaire
Nadere informatieAntwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding
Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, 000-300 Bij elke vraag dient een berekening of mo- Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven tivering te worden opgeschreven Grafische en programmeerbare rekenmachines
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatieComplexe eigenwaarden
Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie
Nadere informatieInwendig product, lengte en orthogonaliteit
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig
Nadere informatieLineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie
Nadere informatieUnitaire en Hermitese transformaties
Hoofdstuk 11 Unitaire en Hermitese transformaties We beschouwen vervolgens lineaire transformaties van reële en complexe inproductruimten die aan extra eigenschappen voldoen die betrekking hebben op het
Nadere informatieWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 6 26 september 2016 1 Hoofdstuk 3.1 en 3.2 Matrix operaties Optellen van matrices Matrix vermenigvuldigen met een constante Matrices vermenigvuldigen Machten
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (2DM20) op vrijdag 11 mei 2007, 9:00 12:00 uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op vrijdag mei 7, 9: : uur. U mag bij het tentamen geen computer (notebook, laptop), boeken
Nadere informatieVectorruimten met inproduct
Hoofdstuk 3 Vectorruimten met inproduct 3. Inleiding In R 2 en R 3 hebben we behalve de optelling en scalairvermenigvuldiging nog meer structuur ; bij een vector kun je spreken over zijn lengte en bij
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieLineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014
Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:
Nadere informatieMeetkunde en lineaire algebra
Meetkunde en lineaire algebra Daan Pape Universiteit Gent 7 juni 2012 1 1 Möbius transformaties De mobiustransformatie wordt gegeven door: z az + b cz + d (1) Als we weten dat het drietal (x 1, x 2, x
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar
Nadere informatieextra sommen bij Numerieke lineaire algebra
extra sommen bij Numerieke lineaire algebra 31 oktober 2012 1. Stel, we willen met een rekenapparaat (dat arithmetische bewerkingen uitvoert met een relatieve nauwkeurigheid ξ, ξ ξ) voor twee getallen
Nadere informatieStelsels lineaire vergelijkingen
Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix. 2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte
Nadere informatieLineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten. Joost de Groot Les 5. Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde. Technische Universiteit Delft
Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten Joost de Groot Les 5 1 Technische Universiteit Delft Doel van deze les Determinanten ben je al tegengekomen bij de behandeling van het in en het uitwendig
Nadere informatieOefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december A =
Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december 2012 Opg 1 De schaakbordmatrix A is de 8 bij 8 matrix 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 A = 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN
Tentamen Lineaire Algebra 29 januari 29, 3:3-6:3 uur UITWERKINGEN Gegeven een drietal lijnen in R 3 in parametervoorstelling, l : 2, m : n : ν (a (/2 pt Laat zien dat l en m elkaar kruisen (dat wil zeggen
Nadere informatieOnderwerpskeuzes Lineaire Algebra en kwaliteitscriteria
Onderwerpskeuzes Lineaire Algebra en kwaliteitscriteria Deliverable 3.5 J. Brandts, F. Beukers, H. Cuypers, H. de Graaf Inleiding In deze deliverable zullen we voor het domein van de lineaire algebra de
Nadere informatieStudiehandleiding. Lineaire Algebra 2. voor. Werktuigbouwkunde. wi1314wb. Dr. R. Koekoek. gebouw ITS, kamer HB tel (tst.
Studiehandleiding Lineaire Algebra 2 voor Werktuigbouwkunde wi1314wb Dr. R. Koekoek gebouw ITS, kamer HB 04.300 tel. 015-2787218 (tst. 87218) e-mail : R.Koekoek@ITS.TUDelft.NL website : http://aw.twi.tudelft.nl/
Nadere informatieTentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, ( )
Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, (9.00-12.00) Zoals beschreven in de studiehandleiding 2DE04 bestaat dit tentamen uit drie
Nadere informatieMatrices en Grafen (wi1110ee)
Matrices en Grafen (wi1110ee) Electrical Engineering TUDelft September 1, 2010 September 1, 2010 Inleiding Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http:
Nadere informatieLineaire Algebra. Samenvatting. De Roover Robin
Lineaire Algebra Samenvatting De Roover Robin 21-211 Deze samenvatting is een overzicht van alle definities, stellingen, lemma's en proposities met hun bijhorende bewijzen. Deze samenvatting is gebaseerd
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Nadere informatieStudiehandleiding. Lineaire Algebra. voor. Werktuigbouwkunde. wi1311wb. Dr. R. Koekoek. gebouw ITS, kamer HB tel (tst.
Studiehandleiding Lineaire Algebra voor Werktuigbouwkunde wi1311wb Dr. R. Koekoek gebouw ITS, kamer HB 04.300 tel. 015-2787218 (tst. 87218) e-mail : R.Koekoek@ITS.TUDelft.NL website : http://aw.twi.tudelft.nl/
Nadere informatieCoördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V :
Coördinatiseringen Het rekenen met vectoren in R n gaat erg gemakkelijk De coördinaten bieden de mogelijkheid om handig te rekenen (vegen Het is nu ook mogelijk om coördinaten in te voeren voor vectoren
Nadere informatie