Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9
|
|
- Brigitta Monique Janssen
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Hoofdstuk 9 Bilineaire Vormen In dit hoofdstuk beschouwen we bilineaire vormen op een vectorruimte V nader. Dat doen we onder andere om in het volgende hoofdstuk de begrippen afstand en lengte in een vectorruimte te bekijken. In het algemeen is er geen begrip lengte gedefinieerd in een lichaam. Maar in C, en dus in deellichamen daarvan, zoals Q en R, is dat wel het geval. Het afstandsbegrip in een vectorruimte wordt bepaald door het inproduct; dat is een speciaal geval van een bilineaire vorm. Definitie 9. Een bilineaire vorm op V, voor een L-vectorruimte V, is een bilineaire vorm op de verzameling V V ; dus een afbeelding die aan een paar (v,v ) van vectoren uit V een element van het lichaam L toevoegt, op een manier die lineair is in het eerste en in het tweede argument. We noemen B symmetrisch als B(v,w) = B(w,v) voor elke v,w V. en anti-symmetrisch als B(v,w) = B(w,v) voor elke v,w V. Stelling 9. Zij V een eindig-dimensionale L-vectorruimte met basis E = {e,..., e n }. Er is een bijectie tussen de verzameling bilineaire vormen op V en de verzameling n n matrices over L, gegeven door aan B de matrix M ij = B(e i,e j ) toe te kennen. Bewijs. Als A M n n (L) een n n matrix is dan geeft de afbeelding B A, gedefinieerd door B A (v,w) = v T Aw L, een bilineaire vorm op L n. Omgekeerd, als B een bilineaire vorm is op een vectorruimte V met basis E = {e,...,e n }, dan geldt: B(a,b) = B( α i e i, β j e j ) = i= j= = α i B(e i, β j e j ) i= i= j= j= α i β j B(e i,e j ) = a T M ij b, als we a,b als kolomvectoren met coördinaten α i, resp. β i ten opzichte van de basis E schrijven, en M = M ij de matrix met op positie i,j het element B(e i,e j ) is. Het is duidelijk dat verschillende bilineaire B verschillende matrices geven, en dat bij elke matrix M een bilineaire vorm te vinden is. Definitie 9.3 Matrix M = M B = M E B = (B(e i,e j )) ij heet de Grammatrix van B. Veel eigenschappen van een bilineaire vorm B zijn van de matrix M B af te lezen. 9
2 6 HOOFDSTUK 9. BILINEAIRE VORMEN Stelling 9.4 B is symmetrisch M B is symmetrisch. Bewijs. M B is symmetrisch dan en slechts dan als (M B ) ij = (M B ) ji voor alle i,j. Per definitie is (M B ) ij = B(e i,e j ), dus symmetrie van M B volgt direct uit symmetrie van B. Maar B(a,b) = B( n i= α ie i, n j= β je j ) = i,j α iβ j B(e i,e j ) en dat is voor alle a,b gelijk aan B(b,a) = B( n j= β je j, n i= α ie i ) = i,j α iβ j B(e j,e i ) als M B symmetrisch is. In het bovenstaande hebben we niets geëist over de gekozen basis. Dus symmetrie is onafhankelijk van de keuze van basis! Gevolg 9. De volgende beweringen zijn equivalent: (i) B is symmetrisch; (ii) er is een basis E van V ten opzichte waarvan MB E symmetrisch is; (iii) ten opzichte van elke basis F van V is MB F symmetrisch. Zoals we ons in het vorige hoofdstuk afvroegen of we een matrix die een lineaire afbeelding ten opzichte van een gekozen basis representeerde altijd op diagonaalvorm konden brengen door basisverandering, zo kunnen we hier dezelfde vraag stellen voor de matrix die een bilineaire vorm representeert. Met B F zullen we de bilineaire vorm ten opzichte van de basis F aangeven. Ging een matrix M die een lineaire afbeelding representeerde onder basistransformatie over in een geconjugeerde matrix T MT, de matrix M B van een bilineare vorm gaat over in T T M B T. Stelling 9.6 Laten E en F bases voor V zijn, en zij T = F Mid E, de transformatiematrix die E in F overvoert. Dan geldt: M E B = T T M F B T. Bewijs. Laten v en v twee vectoren uit V, uitgedrukt als kolomvectoren ten opzichte van de basis E, zijn. Dan zijn Tv en Tv dezelfde vectoren uitgedrukt op de basis F, dus moet en het resultaat volgt. v T M E B v = (Tv ) T M F B Tv = v T T T M F B Tv, Voorbeeld 9.7 Zij V = R 3 en laat, voor vectoren ten opzichte van de standaardbasis E: B((α,α,α 3 ),(β,β,β 3 )) = α β α β α β + α β + 4α 3 β 3. Zij, bijvoorbeeld, F := {f,f,f 3 } = {e,e + e, e 3}. Laten we eens kijken hoe B er ten opzichte van F uitziet. B(a f + a f + a 3 f 3,b f + b f + b 3 f 3 ) = B(a e + a (e + e ) + a 3 e 3,b e + b (e + e ) + b 3 e 3) = B((a + a )e + a e + a 3e 3,(b + b )e + b e + b 3e 3 ) = (a + a )(b + b ) (a + a )b a (b + b ) + a b + 4( a 3 b 3) = a b + a b + a 3 b 3.
3 6 Ten opzichte van deze basis is de bilineaire afbeelding gewoon het inproduct! In dit voorbeeld is MB E =, 4 en MB F =, terwijl E Mid F : inderdaad, =. 4 Definitie 9.8 We noemen twee vierkante matrices M,N M n n (L) equivalent als er een inverteerbare T bestaat zodat M = T T NT. We schrijven M N. Twee bilineaire vormen B en C noemen we equivalent (en we schrijven wel B C) als (voor zekere basiskeuze) geldt: M C M B. Het is duidelijk dat het dan voor elke basiskeuze geldt, en dat B en C equivalent zijn als er bases E, F bestaan zodat B E = C F. Een voor de hand liggende vraag is nu of symmetrische matrix equivalent is met een diagonaalmatrix. In dit geval is het antwoord bijna altijd bevestigend. Eerst maar eens een uitzondering. Voorbeeld 9.9 Zij M = ( ) M (F ). Dan is M niet equivalent met een diagonaalmatrix. Kijk maar: laat T een willekeurige inverteerbare matrix zijn dan ( )( )( ) ( ) T T a c a b ca ad + bc MT = = b d c d ad + bc bd en ad + bc = ad bc = det(t) in F. Dat dit niet werkt in dit geval heeft te maken met het feit dat in F de gelijkheid = geldt. In een lichaam met gaat het wel goed. Stelling 9. Zij M een symmetrische matrix over een lichaam L van karakteristiek. Dan is M equivalent met een diagonaalmatrix D. Bewijs. We geven een bewijs in de vorm van een algoritme, dat je precies vertelt hoe je D kunt construeren. We veronderstellen dat M M n n (L). Stap : Als M een diagonaalmatrix is (bijvoorbeeld de nulmatrix, of een matrix), dan ben je klaar. Stap : Veronderstel dat n. Allereerst moet je een v vinden met v T Mv :
4 6 HOOFDSTUK 9. BILINEAIRE VORMEN Als er een diagonaalelement M ii is, kies dan v = e i (want e T i Me i = M ii ). Zijn alle elementen op de diagonaal zoek dan i,j zodat M ij. Neem v = e i + e j, want (e i + e j ) T M(e i + e j ) = e T i Me i + e T i Me j + e T j Me i + e T j Me j = M ii + M ij + M ji + M jj = M ij + M ji = M ij. Stap 3: Laat w = Mv, en bepaal de kern van de afbeelding f : V L gedefinieerd door f(u) = u T w. Merk op dat dit een lineaire afbeelding is. Bovendien is f surjectief: laat a = f(v ) L, dan is a door de keuze van v. Voor b L is f((b/a)v ) = (b/a)f(v ) = b. Omdat n = dim(ker f)+dim(im f) heeft de deelruimte Ker(f) van V dimensie n. Laat {v,...,v n } een basis voor Ker f zijn. Stap 4: Maak nu T n = (v,v,...,v n ), met de vectoren v i als kolommen. Stel T n is niet inverteerbaar. Dat is equivalent met: {v,v,...,v n } is een afhankelijk stelsel. Omdat {v,...,v n } een onafhankelijk stelsel is, kan dat laatste alleen als v v,...,v n = Ker(f), oftewel f(v ) = ; dat is in tegenspraak met de keuze in Stap. Dus T n is inverteerbaar. Bovendien is T T n MT n van de vorm ( a M ) waar M een symmetrische (n ) (n ) matrix is, omdat (T T n MT n) ij = v T i Mv j en v T i Mv = v T i w = f(v i) = voor i > want v i Ker(f). Ga nu naar Stap en herhaal de procedure voor M. Het is duidelijk dat dit proces na eindig veel stappen een diagonaalmatrix D oplevert. Voorbeeld 9. Laten we Algoritme 9. toepassen op de kwadratische vorm met M = MB E =, 4 over R, uit voorbeeld 9.7. Voor v in Stap kunnen we e nemen, en dan is Mv = (,,) T. In Stap 3 zoeken we de kern van de afbeelding die aan u = (u,u,u 3 ) het getal u u toevoegt; dan wordt de kern opgespannen door v = (,,) T en v 3 = (,,) T, zodat T =, en we zijn in één klap klaar: T T MT = =. 4 4 Kwadratische Vormen Definitie 9. Een kwadratische vorm Q in n variabelen over een lichaam L is een homogeen polynoom van graad met coëfficiënten in L.
5 63 Opmerking 9.3 Dat een polynoom P = P(x,x,...,x n ) in n variabelen homogeen van graad k is betekent dat wanneer we P schrijven als som van termen P = p k,k,...,k n x k xk xkn n, met natuurlijke exponenten k j, een coëfficiënt p k,k,...,k n alleen maar ongelijk mag zijn als k +k + +k n = k. Een kwadratische vorm bestaat dus uit termen van de vorm q i,j x i x j (waar i en j gelijk kunnen zijn): 3x + x x is wél een kwadratische vorm, maar 3x + x + x niet. Door substitutie kunnen we een polynoom over een lichaam L in n variabelen opvatten als een afbeelding van L n (of een willekeurige n-dimensionale L- vectorruimte V ) naar L; met andere woorden, via Q(v) = Q((v,v,...,v n )) = Q(v,v,...,v n ), kan een kwadratische vorm als afbeelding Q : L n L worden opgevat. De volgende stelling drukt uit dat dit hetzelfde is als Q(v) = v T M Q v met M Q de matrix bepaald door Q. Stelling 9.4 Als L een lichaam is van karakteristiek ongelijk aan dan is er een één-éénduidig verband tussen kwadratische vormen in n variabelen op L en symmetrische n n matrices over L. Bewijs. Laat Q(x,x,...,x n ) = i j n q i,j x i x j. Definieer dan de matrix M Q M n n (L) door (M Q ) ii = q i,i en (M Q ) ij = q i,j / voor i j; hier is i,j n. Gevolg 9. Over een lichaam van karakteristiek ongelijk kunnen we met een kwadratische vorm Q in n variabelen een unieke symmetrische bilineaire vorm B op L n, voorzien van de standaardbasis, associëren. Dan geldt: Q(x) = B(x,x). Bewijs. Deze associatie volgt uit de stelling, omdat een symmetrische matrix M Q uit M n n (L) correspondeert met een symmetrische bilineaire vorm op L n met een gegeven basis, via B(v,w) = v T M Q w. Dan is Q(x) = B(x,x), en M B = M Q. Gevolg 9.6 Onder bovenstaande correspondentie geldt: B(v,w) = (Q(v + w) Q(v) Q(w)). Bewijs. Dit volgt direct door het herschrijven van Q(v + w) = B(v + w, v + w): B(v +w,v +w) = B(v,v)+B(v,w)+B(w,v)+B(w,w) = Q(v)+B(v,w)+Q(w). Voorbeeld 9.7 Laat Q de kwadratische vorm in 3 variabelen over Q zijn gegeven door Q(x,x,x 3 ) = x + x x + x x 3 + x 3. Dit is een homogeen polynoom, waarmee we de symmetrische matrix associëren. Met Q correspondeert dan de symmetrische bilineaire vorm B(v,w) = v w + v w + v w + v w 3 + v 3 w + v 3 w 3.
6 64 HOOFDSTUK 9. BILINEAIRE VORMEN Reëel-symmetrische bilineaire vormen In deze sectie laten we zien dat we symmetrische bilineaire vormen (en daarmee kwadratische vormen) op een reële vectorruimte onder equivalentie kunnen karakteriseren door drie invarianten. Definitie 9.8 Voor een reële diagonaalmatrix D definiëren we de 3 natuurlijke getallen n,n +,n als volgt: n (D) is het aantal nullen op de diagonaal van D, n + (D) is het aantal positieve elementen op de diagonaal van D, en n (D) is het aantal negatieve getallen op de diagonaal van D. Voor een symmetrische bilineaire vorm B op een eindig-dimensionale reële vectorruimte V definiëren we dan n (B) = n (D), n + (B) = n + (D), n (B) = n (D), voor een diagonaalmatrix D met D M B. Merk op dat bij elke symmetrische B volgens Stelling 9. zo n D bestaat. In het algemeen zijn er natuurlijk meerdere diagonaalmatrices die voldoen (je kunt immers bijvoorbeeld de basisvectoren verwisselen, of met een factor opblazen), maar de volgende stelling drukt uit dat dit toch een goede definitie is, namelijk, onafhankelijk van de keuze van D. Stelling 9.9 Laat B een bilineaire vorm op een reële n-dimensionale vectorruimte V zijn. Als D M B D, met diagonaalmatrices D en D, dan geldt: n (D) = n (D ), n + (D) = n + (D ), n (D) = n (D ). Bewijs. Merk eerst op dat een equivalentierelatie is, zodat de twee diagonaalmatrices D en D voldoen aan D D, oftewel er is een inverteerbare T zodat T T D T = D. Nu is n (D) = n rang(d) de dimensie van de kern van D, en net zo n (D ) = n rang(d ) de dimensie van de kern van D. Maar omdat T inverteerbaar is, geldt rang(d) = rang(d ) = r en dus n (D) = n (D ). Laat B nu de basis van V zijn ten opzichte waarvan B matrix D = MB B heeft, dan is D = T T D T = D de matrix MB C waar C = T B. We ordenen deze bases zo dat de eerste p = n + (D), resp. p = n + (D ) elementen b,...,b p en c,...,c p positieve waarden B(b i,b i ) en B(c j,c j ) opleveren, en de volgende m = n (D), resp. m = n (D ) negatieve waarden. Veronderstel nu eens dat p = n + (D) < n + (D ) = p ; omdat n = n + n + + n voor een diagonaalmatrix, geldt dan m = n (D) > n (D ) = m. Bekijk nu de verzameling vectoren S = {b,b,...,b p,c p +,... c p +m }. Dat zijn er p + m < p + m = r. De lineaire afbeelding f : V R p+m gegeven door f(v) = (B(v,b ),...,B(v,b p ),B(v,c p +),... B(v,c p +m )) heeft een beeld van dimensie p + m < r = n n (D), dus kern van dimensie n (p + m ) > n (n n (D)) = n (D) = n r, en daarom is er een w in de kern van f die niet bevat is in de ruimte opgespannen door {b r+,...,b n }. Schrijf w op basis B en gebruik dat w Kerf, dan is voor i p: = f(w) i = B( w k b k,b i ) = w i B(b i,b i ), zodat B(w,w) = B( w k b k, k= k= w k b k ) = k= wk B(b k,b k ) = k= p+m k=p+ w k B(b k,b k ) <,
7 6 omdat minstens één w k. Schrijf vervolgens w op basis C, dan is voor p + j p + m : = f(w) j = B( w k c k,c j ) = w j B(c j,c j ), zodat B(w,w) = B( w k c k, k= k= w k c k) = k= p w k B(ck,c k ) = w k B(ck,c k ) >, k= omdat weer minstens één w k. Maar dat is een tegenspraak! Omdat het geval n + (D) > n + (D ) op precies dezelfde manier tot een tegenspraak leidt, moet n + (D) = n + (D ), en dus ook n (D) = n (D ). Gevolg 9. Twee symmetrische bilineaire vormen op een reële vectorruimte V zijn equivalent dan en slechts dan als hun invarianten n,n +,n hetzelfde zijn. Gevolg 9. Zij B een symmetrische bilineaire vorm op een reële vectorruimte V. Dan bestaat er een basis voor V zodanig dat voor elk tweetal vectoren v, w V met coördinaten v i,w i ten opzichte van deze basis geldt: k= B(v,w) = v w + + v p w p v p+ w p+ v r w r, waar p = n + (B), en r = p + m met m = n (B). Bewijs. De bewering is equivalent met de bewering dat de Gram matrix van B een diagonaalmatrix is (ten opzichte van zekere basis) met op de diagonaal p getallen, dan m getallen en tenslotte n r getallen. Stelling 9.9 zegt dat een basis B bestaat zodat M B diagonaalmatrix D is met positieve D ii voor i p en negatieve D ii voor p+ i r. Vervangen we de basisvectoren b i door b i / D ii dan volgt de bewering. Voorbeeld 9. We bekijken het voorbeeld uit 9.7, en laten B op R 3 gegeven zijn door M = ten opzichte van de standaardbasis e,e,e 3. Het algoritme uit het bewijs van 9. heeft het volgende effect. Omdat M nemen we v = e ; dan heeft w = Mv coördinaten,/, en de kern van de afbeelding f(u) = u + /u wordt voortgebracht door van ( /,,) T en (,,) T. Dat betekent dat we moeten kijken naar T3 T MT 3 =, = 4 en het algoritme met de deelmatrix herhalen. We vinden ( )( )( ) ( T T M T = 4 = Als diagonaalvorm van B vinden we dus (na normalisatie van de lengten): B(v,w) = v w v w + v 3 w 3. ).,
8 66 HOOFDSTUK 9. BILINEAIRE VORMEN Gevolg 9.3 Bij elke kwadratische vorm Q in n variabelen x i over R bestaat een lineaire transformatie T : R n R n zodanig dat voor de variabelen y i, gegeven door y = Tx geldt: Q(y) = n i= q iyi. Bovendien is het aantal q i dat positief, negatief, of nul is onafhankelijk van de keuze van T, en kan q i {,,} door geschikte keuze van T bereikt worden. Bewijs. Dit volgt onmiddellijk uit de resultaten van deze en de vorige paragraaf. Voorbeeld 9.4 Natuurlijk werkt het algoritme uit het bewijs van Stelling 9. altijd, zoals in het voorgaande voorbeeld. We geven een alternatieve methode om met de hand de diagonaalvorm voor een kwadratische vorm te bepalen. Daarvoor bezien we hetzelfde geval als in het vorige voorbeeld, waar Q correspondeert met dus Q(x,x,x 3 ) = x + x x + x x 3 + x 3. We proberen eerst alle termen met x erin als sommen (of verschillen) van kwadraten te schrijven;, x + x x = (x + x ) ( x ), hebben toege- en daarna hetzelfde voor x (bedenk dat net we een term met x voegd!): ( x ) + x x 3 = ( x x 3), zodat we vinden: Q(x,x,x 3 ) = (x + x ) ( x x 3) + 9 x 3. Na overgang op nieuwe variabelen wordt dit: Q(y,y,y 3 ) = y y + y 3.
Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7
Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er
Nadere informatieLineaire afbeeldingen
Hoofdstuk 4 Lineaire afbeeldingen In de algebra spelen naast algebraïsche structuren zelf ook de afbeeldingen ertussen die (een deel van de structuur bewaren, een belangrijke rol Voor vectorruimten zijn
Nadere informatieGeadjungeerde en normaliteit
Hoofdstuk 12 Geadjungeerde en normaliteit In het vorige hoofdstuk werd bewezen dat het voor het bestaan van een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren voldoende is dat T Hermites is (11.17) of
Nadere informatieUnitaire en Hermitese transformaties
Hoofdstuk 11 Unitaire en Hermitese transformaties We beschouwen vervolgens lineaire transformaties van reële en complexe inproductruimten die aan extra eigenschappen voldoen die betrekking hebben op het
Nadere informatieEigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid
Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit
Nadere informatieLineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte
Nadere informatieHet oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen
Nadere informatieUitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00
Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatieONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 2015 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatieStelsels Vergelijkingen
Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Nadere informatieMatrixalgebra (het rekenen met matrices)
Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra B
Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een
Nadere informatieKies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Nadere informatieLineaire Algebra Een Samenvatting
Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle
Nadere informatieTentamen lineaire algebra 2 17 januari 2014, 10:00 13:00 zalen 174, 312, 412, 401, 402
Tentamen lineaire algebra 2 17 januari 214, 1: 13: zalen 174, 312, 412, 41, 42 Dit zijn geen complete uitwerkingen. Er is dus geen garantie dat het overschrijven met andere getallen voldoende is voor huiswerk
Nadere informatieDefinities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2
Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire
Nadere informatieHints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde
Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van
Nadere informatieLineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen
Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:
Nadere informatieVectorruimten en deelruimten
Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie
Nadere informatieSamenvatting Lineaire Algebra, periode 4
Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax
Nadere informatieAntwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding
Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie
Nadere informatieFLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j
FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 6
Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.
Nadere informatieOefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december A =
Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december 2012 Opg 1 De schaakbordmatrix A is de 8 bij 8 matrix 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 A = 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieTentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)
Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra maandag 3--27, 3.3-6.3 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken. Schrijf op elk
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper
Nadere informatieRuimtewiskunde. college. De determinant en lineaire afbeeldingen. Vandaag. De determinant van een matrix. Toepassing: oppervlakte en inhoud
college 6 en lineaire collegejaar college build slides Vandaag : : : : 6-7 6 9 juni 27 3 2 3 van een matrix Toepassing: oppervlakte en inhoud.6-7[6] vandaag van de 2 2-matrix a b c d is gelijk aan ad bc.
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, 000-300 Bij elke vraag dient een berekening of mo- Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven tivering te worden opgeschreven Grafische en programmeerbare rekenmachines
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra donderdag 29 januari 205, 9.00-2.00 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken.
Nadere informatie3 De duale vectorruimte
3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3.1 (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire
Nadere informatieTweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen
Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 en opmerkingen November 10, 2009 Opgave 1 Gegeven een vectorruimte V met deelruimtes U 1 en U 2. Als er geldt dim U 1 = 7, dimu 2 = 9, en dim(u 1 U 2 ) = 4, wat
Nadere informatieDe 15-stelling. Dennis Buijsman 23 augustus Begeleiding: S. R. Dahmen
De 15-stelling Dennis Buijsman 23 augustus 2015 Begeleiding: S. R. Dahmen Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)
Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren
Nadere informatiex = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1
WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit
Nadere informatieUitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015
Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen
Nadere informatieWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 6 26 september 2016 1 Hoofdstuk 3.1 en 3.2 Matrix operaties Optellen van matrices Matrix vermenigvuldigen met een constante Matrices vermenigvuldigen Machten
Nadere informatieMatrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten.
Definitie Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Voorbeelden De coëfficiëntenmatrix of aangevulde matrix bij een stelsel lineaire vergelijkingen. Een rij-echelonmatrix
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: opspansel De vectoren v 1,..., v k V spannen
Nadere informatieMore points, lines, and planes
More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen
Nadere informatieLineaire Algebra C 2WF09
Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H.A. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09
Nadere informatie3.2 Vectoren and matrices
we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,
Nadere informatieUITWERKINGEN 1 2 C : 2 =
UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatiete vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector
Les 3 Matrix product We hebben gezien hoe we matrices kunnen gebruiken om lineaire afbeeldingen te beschrijven. Om het beeld van een vector onder een afbeelding te bepalen hebben we al een soort product
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y65 Docent: L Habets HG 89, Tel: 4-247423, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y65 1 Herhaling: bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatie1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A.
. Oefen opgaven Opgave... Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat A = Bepaal de matrix van A. 4, 4 A =, A = 3 4. In de volgende opgave wordt het begrip injectiviteit en surjectiviteit van
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra
Tentamen Lineaire Algebra 3 januari 214, 8:3-11:3 uur - Bij dit tentamen mogen dictaten en boeken niet gebruikt worden - Een eenvoudige rekenmachine, hoewel niet nodig, is toegestaan, maar geen grafische
Nadere informatieExamen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)
Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 93 email: JCMKeijsper@tuenl studiewijzer: http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 JKeijsper (TUE) Lineaire
Nadere informatiewordt de stelling van Pythagoras toegepast, in dit geval twee keer: eerst in de x y-vlakte en vervolgens in de vlakte loodrecht op de vector y.
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 2 Les 5 Inproduct Als we het in de meetkunde (of elders) over afstanden en hoeken hebben, dan hebben we daar intuïtief wel een idee van. Maar wat is eigenlijk de
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar
Nadere informatieSymmetrische matrices
Symmetrische matrices We beginnen met een eenvoudige definitie : Definitie Een matrix A heet symmetrisch als A T = A NB Een symmetrische matrix is dus altijd vierkant Symmetrische matrices hebben fraaie
Nadere informatieLineaire Algebra (2DD12)
Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Nadere informatieVectorruimten met inproduct
Hoofdstuk 3 Vectorruimten met inproduct 3. Inleiding In R 2 en R 3 hebben we behalve de optelling en scalairvermenigvuldiging nog meer structuur ; bij een vector kun je spreken over zijn lengte en bij
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper
Nadere informatieLineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieEigenwaarden en eigenvectoren in R n
Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Als Ax λx voor zekere x in R n met x 0, dan is λ een eigenwaarde van A en x een eigenvector van A behorende bij λ. Een eigenvector is op een multiplicatieve constante
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A.
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A maandag 16 december 2002, 1000-1200 Coördinaten zijn gegeven tov een standaardbasis in R n 1 De matrix A en de vector b R 4 zijn gegeven door 1 0 1 2 0 1 1 4 3 2 A =, b = 0
Nadere informatieb + b c + c d + d a + a
Voorwoord De wiskundige vorming die in de wiskundig sterke richtingen van het Vlaamse secundair onderwijs wordt aangeboden, vormt een zeer degelijke basis voor hogere studies in wetenschappelijke, technologische
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Nadere informatieHet karakteristieke polynoom
Hoofdstuk 6 Het karakteristieke polynoom We herhalen eerst kort de definities van eigenwaarde en eigenvector, nu in een algemene vectorruimte Definitie 6 Een eigenvector voor een lineaire transformatie
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper
Nadere informatieDeterminanten. , dan is det A =
Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is
Nadere informatie3 De duale vectorruimte
3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3. (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire afbeeldingen
Nadere informatiePROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016
PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 1. Zi (R, V, +) een eindigdimensionale vectorruimte en veronderstel dat U en W deelruimten van V zin. Toon aan dat 2. Waar of fout? Argumenteer e antwoord.
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops
Nadere informatieII.3 Equivalentierelaties en quotiënten
II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde
Nadere informatieLineaire afbeeldingen
Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatiex cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α
Lineaire afbeeldingen Rotatie in dimensie 2 Beschouw het platte vlak dat we identificeren met R 2 Kies een punt P in dit vlak met coördinaten (, y) Stel dat we het vlak roteren met de oorsprong (0, 0)
Nadere informatieCTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1
CTB100 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 5 5 februari 014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we hoofdstuk 1.7 en deel van 1.8 Voor de pauze: hoofdstuk 1.7 Na de pauze: hoofdstuk 1.8 Verschillende notaties
Nadere informatieBasiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
Nadere informatieVragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA
Vragen, samenvattingen en uitwerkingen 2013 - Lineaire algebra 1 - UvA Rocco van Vreumingen 28 juli 2016 1 Inhoudsopgave 1 Samenvattingen 3 1.1 Samenvatting stof college 1................... 3 1.2 Samenvatting
Nadere informatieDeterminanten. Definities en eigenschappen
Determinanten Definities en eigenschappen Definities (korte herhaling) Determinant van een 2x2-matrix: a b ad bc c d S. Mettepenningen Determinanten 2 Definities (korte herhaling) Determinant van een 3x3-matrix:
Nadere informatieVierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1
Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en
Nadere informatieKristallografische groepen
Kristallografische groepen Bernd Souvignier najaar 2005 Hoofdstuk 1 Introductie Het onderwerp van deze cursus Kristallografische groepen zijn in eerste instantie de groepen die in de behandeling van structuren
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 15 januari, 2016 Opgave 2 (10 punten (a Het karakteristiek polynoom van A is det(ti A = (t 1 5, dus er is maar één eigenwaarde, namelijk λ = 1 Er geldt (A I 2 =
Nadere informatieWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =
Nadere informatieJe hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015
Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen
Nadere informatieEindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)
Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieLineaire afbeeldingen
Hoofdstuk 2 Lineaire afbeeldingen 21 Inleiding Een afbeelding f van een verzameling V naar een verzameling W is een regel die aan ieder element v van V een element f(v) van W toevoegt maw een generalisatie
Nadere informatieInleiding Wiskundige Systeemtheorie
Inleiding Wiskundige Systeemtheorie 156056 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI x.k C 1/ D Ax.k/ C Bu.k/; y.k/ D Cx.k/ C Du.k/ We
Nadere informatieMatrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen
Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een
Nadere informatieExamenvragen Hogere Wiskunde I
1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieHoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen
Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen
Nadere informatie