Toepassingen op discrete dynamische systemen

Transcriptie

1 Toepassingen op discrete dynamische systemen Een discreet dynamisch systeem is een proces van de vorm x k+ Ax k k met A een vierkante matrix Een Markov-proces is een speciaal geval van een discreet dynamisch systeem Als de n n-matrix A diagonaliseerbaar is dan bestaat er een basis {v v n } van R n bestaande uit eigenvectoren van A dat wil zeggen : Av i λ i v i i n Dat betekent dat elke startvector x R n geschreven kan worden als lineaire combinatie van de basisvectoren v v n zeg Hieruit volgt enzovoorts Dus : x c v + + c n v n x Ax c Av + + c n Av n c λ v + + c n λ n v n x Ax c λ Av + + c n λ n Av n c λ v + + c n λ nv n x k c λ k v + + c n λ k nv n k Voorbeeld Beschouw het discreet dynamisch systeem x k+ Ax k k met / /4 A Merk op dat A een stochastische matrix of Markov-matrix is Nu / 3/4 volgt : A λi / λ /4 / 3/4 λ λ 4 λ + 4 λ λ 4 De eigenwaarden van A zijn dus λ en λ /4 Verder volgt : / /4 λ : v / /4 en λ /4 : /4 /4 / / De oplossing kan dus geschreven worden als x k c λ k v + c λ k k v c + c 4 v k waarbij c en c bepaald kunnen worden uit c v + c v x We zien dat lim x k bestaat k voor elke startvector x : lim x k c k

2 / waarbij c afhankelijk is van de keuze van de startvector x Als we bijvoorbeeld x / kiezen dan is c /3 Dit kunnen we snel vinden omdat het een Markov-proces betreft In het algemeen vinden we c en c door : c v + c v x c + c / / en dus / / 3 / 3 3 / c /3 c /6 Voorbeeld Beschouw het voorbeeld van het autoverhuurbedrijf uit de tweede week : x k+ Ax k met k en A Dan volgt tel de tweede en de derde rij op bij de eerste : λ A λi λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ De eigenwaarden van A zijn dus λ λ en λ 3 Verder volgt : 3 λ : 3 E Span{ 3 zoals we eerder hebben gezien λ : en λ 3 : E Span{ E Span{ De algemene oplossing van het dynamische systeem x k+ Ax k met k is dus x k c + c k + c 3 k k } } }

3 waarbij c c en c 3 gevonden kunnen worden uit : c + c Als bijvoorbeeld x + c 3 dan volgt ga na! : x c c c 3 In dat geval is de oplossing dus gelijk aan x k k Duidelijk is dan dat lim k x k bestaat en dat lim x k k k 3 4 Merk op dat we nu in staat zijn de oplossing expliciet te bepalen Dat betekent dat we de situatie voor elke waarde van k { } kunnen berekenen We zien nu ook dat de limiet lim x k daadwerkelijk bestaat Voorheen konden we de limiet alleen bepalen als we k aannemen dat deze bestaat Met de methode die we in voorbeeld gebruikten om het karakteristieke polynoom van de matrix A te bepalen kunnen we nu ook aantonen dat elke stochastische matrix of Markovmatrix een eigenwaarde heeft Beschouw namelijk A λi en tel de tweede tot en met de laatste rij op bij de eerste rij Alle elementen in de eerste rij zijn dan gelijk aan λ omdat in de Markov-matrix de som van alle elementen in één kolom gelijk is aan Dit betekent dat A λi deelbaar is door λ en dat λ dus een eigenwaarde van A is Dat betekent dat elke Markov-matrix dus een evenwichtstoestandsvector q met Aq q heeft zie : Lay pag 6 De oplossing van een discreet dynamisch systeem x k+ Ax k met k kan geschreven worden in de vorm x k A k x k waarbij x de startvector is Als A diagonaliseerbaar is dan is A P DP voor zekere inverteerbare matrix P en diagonaalmatrix D Dan is A k P D k P voor k 3

4 Stel dat A diagonaliseerbaar is en dat A P DP voor zekere inverteerbare matrix P en diagonaalmatrix D Stel vervolgens x k P y k voor k dan volgt : x k+ Ax k P y k+ AP y k P DP P y k P Dy k k Aangezien P inverteerbaar is kunnen we links en rechts vermenigvuldigen met P Dan volgt dus : x k+ Ax k y k+ Dy k k c λ k Als D diagλ λ n dan volgt hieruit dat y k voor k Met c n λ k n P v v n volgt dan : x k P y k v v n c λ k c n λ k n c λ k v + + c n λ k nv n k In het geval dat A een -matrix is kunnen we de vectoren {x k } k die voldoen aan x k+ Ax k voor k plotten in het platte vlak R De grafiek van {x k } k wordt een baan van het discrete dynamische systeem x k+ Ax k genoemd Merk op dat zo n baan bestaat uit allemaal losse punten in R en dat deze alleen afhankelijk is van de keuze van de startvector x Als voor de eigenwaarden λ en λ van A geldt dat λ < en λ < dan gaan alle oplossingen x k c λ k v + c λ k v voor k naar de oorsprong O Men zegt dan dat de oorsprong O een aantrekker attractor is van het dynamische systeem x k+ Ax k Als voor de eigenwaarden λ en λ van A geldt dat λ > en λ > dan gaan alle oplossingen x k c λ k v + c λ k v voor k naar oneindig weg van de oorsprong O Men zegt dan dat de oorsprong O een afstoter is van het dynamische systeem x k+ Ax k Als λ < en λ > dan noemt men de oorsprong wel een zadelpunt van het dynamische systeem x k+ Ax k Sommige banen bewegen dan in de richting van de oorsprong terwijl andere naar oneindig gaan afhankelijk van de startvector x In het geval van niet-reële en dus complex geconjugeerde eigenwaarden hebben de banen de vorm van een spiraal zie : Lay pag 344 Als λ α ± iβ met α β R en β dan zijn de banen naar de oorsprong toe gericht als λ α + β < en juist van de oorsprong af gericht als λ α + β > 4

5 Numerieke methoden voor het bepalen van eigenwaarden We bestuderen twee iteratieve methoden voor het benaderen van de eigenwaarden van een matrix De eerste methode is de machtmethode of ook wel powermethode en de tweede is de inverse machtmethode De tweede methode is afgeleid van de eerste De machtmethode of powermethode kan worden gebruikt om van een n n-matrix A de strikt dominante eigenwaarde λ te vinden Een eigenwaarde λ heet strikt dominant als deze in absolute waarde strikt groter is dan de absolute waarden van de andere eigenwaarden Neem aan dat A diagonaliseerbaar en dat er dus een basis {v v n } van R n bestaat bestaande uit eigenvectoren van A behorende bij de eigenwaarden λ λ n respectievelijk waarbij λ > λ λ 3 λ n Dan is dus λ de strikt dominante eigenwaarde van A Omdat {v v n } een basis van R n is kan elke vector x R n geschreven worden in de vorm x c v + + c n v n Omdat Av i λ i v i voor i n volgt dan : A k x c λ k v + + c n λ k nv n k Delen door λ k geeft dan k k A k λ λn x c v + c v λ + + c n v λ n k λ k Nu is λ i /λ < voor alle i 3 n en dus A k x c v voor k λ k Dit geeft aanleiding tot het volgende algoritme details laten we achterwege : Kies een startvector x waarvan de in absolute waarde grootste coördinaat gelijk aan is Voor k Bereken Ax k Kies voor µ k de in absolute waarde grootste coördinaat van de vector Ax k Bereken x k+ /µ k Ax k Voor bijna elke keuze van de startvector x zal de rij {µ k } k naderen naar de strikt dominante eigenwaarde van A en de rij {x k } k naar een bijbehorende eigenvector Voorbeeld 3 De matrix A heeft de eigenwaarden λ 4 6 en λ 3 ga na! Er geldt dus : λ > λ dus : λ is een strikt dominante eigenwaarde van A

6 Kies nu bijvoorbeeld x Ax 4 4 Dan volgt : /4 4 µ 4 en x / 9/ Ax 9 µ 4 9/ 9 en x Ax µ 4 / en x 3 Ax 3 Ax / 3/ 4/ / 4 3/ µ en x 4 3/ / 3 /3 µ en x / / 3/ /3 De convergentie is niet erg snel maar er geldt : lim µ k 6 en lim x k k k / De convergentie is sneller als de startvector beter in de richting van de eigenvector gekozen wordt Kiezen we bijvoorbeeld x dan volgt : Ax 4 Ax Ax 4 4 / /3 / / 9/ /3 /3 µ en x /3 µ 4 en x 3 / µ en x 3 6 / /3 /

7 Ax 3 4 Ax 4 4 / / 99/ 4/ 99 / µ en x 4 6/ 3/ 6 3/6 µ en x / 3/6 Door dezelfde methode los te laten op een andere matrix kunnen we ook andere eigenwaarden van een matrix A benaderen Stel dat α R een redelijke benadering is van één van de eigenwaarden λ λ n van A Stel nu B A αi dan geldt dat λ α λ α λ n α de eigenwaarden zijn van B De in absolute waarde grootste eigenwaarde is die met de in absolute waarde kleinste noemer λ p α Passen we de machtmethode of powermethode toe op de matrix B dan wordt die strikt dominante eigenwaarde /λ p α benaderd Aangezien we de waarde van α kennen kunnen we hiermee de waarde van de eigenwaarde λ p benaderen Dit wordt de inverse machtmethode of inverse powermethode genoemd Hierbij treedt echter een klein probleem op als we Bx k A αi x k willen berekenen Daarvoor hebben we immers de inverse van A αi nodig In plaats van het berekenen van y k A αi x k lossen we echter de vergelijking A αiy k x k op bijvoorbeeld via een LU-decompositie Dit geeft aanleiding tot het volgende algoritme : Kies een geschikte waarde voor α voldoende dicht bij de gezochte eigenwaarde λ Kies een startvector x waarvan de in absolute waarde grootste coördinaat gelijk aan is Voor k Los A αiy k x k op Kies voor µ k de in absolute waarde grootste coördinaat van de vector y k Bereken ν k α + /µ k Bereken x k+ /µ k y k Voor bijna elke keuze van de startvector x zal de rij {ν k } k naderen naar de eigenwaarde λ van A en de rij {x k } k naar een bijbehorende eigenvector Voorbeeld 4 Als we α kiezen als een grove benadering van de eigenwaarde λ 3 3 van de matrix A dan geldt dus : A αi A I 4

8 Kiezen we nu als startvector x A Iy x : 3 dan volgt : y / y /4 / µ ν + / 4 en x 3 3/4 A Iy x : y y / 3 / 4 µ 3 4 ν en x /6 / /6 A Iy x : 3 y /6 y / / µ 966 ν en x 3 / / y 3 / y 3 43/44 / /6 µ ν en x 4 y 4 /6 y 4 / 34/344 µ ν en x y 34/34 y 63/64 4/ µ ν en x 6 Het lijkt er op dat ν k 3 en dat x k A 4 /6 34/34 34/34 36/366 36/366 voor k Er geldt inderdaad 3 3 3