Module 10 Lineaire Algebra

Transcriptie

1 L Vak 57.5 Les 36. Module Lineaire Algebra Afbeeldingen (vervolg (b)) In deze les worden de eigenwaarden en eigenvectoren van lineaire afbeeldingen behandeld. Inhoud van de leskern Basistransformatie *:;*

2 Leskern Basistransformatie. Kentallen (coördinaten) ten opzichte van een basis Zoals u weet vormt het stelsel fe ;e g een basis voor de R : Als er verder niets vermeld wordt, bedoelt men ook deze basis. Iedere vector in de R kan uitgedrukt worden in deze basisvectoren. Bijvoorbeeld: de vector x 3 3e +e : De getallen 3 en zijn de kentallen van de vector x ten opzichte van de basis fe ;e g : Het is echter ook mogelijk om in de R twee andere onafhankelijke vectoren te kiezen die de R opspannen. Deze onafhankelijke vectoren hoeven in het geheel niet loodrecht op elkaar te staan en het hoeft ook niet zo te zijn dat ze lengte hebben. Men kan immers elke vector van de R schrijven als een combinatie van zo n onafhankelijk stelsel vectoren. Voorbeeld Neem de twee onafhankelijke vectoren b en b als nieuwe basis voor de R. b en b Het is mogelijk om iedere vector in deze basisvectoren uit te drukken. Druk bijvoorbeeld de vector x 3 uit in deze basisvectoren, dat wil zeggen x x x e + x e y b + y b en bereken de kentallen y en y : - Men noemt x en x de kentallen van x ten opzichte van fe ;e g : - Men noemt y en y de kentallen van dezelfde vector maar dan ten opzichte van de nieuwe basis fb ;b g : Zie ook afbeelding. x -as 5/ b x b b -/ b x -as Afbeelding Antwoord:

3 De volgende vectorvergelijking moet opgelost worden waarin y en y de onbekenden zijn. 3 y y b + y b ) y µ y 3 µ 3 5 y De matrix waarvan de kolommen gevormd worden door de nieuwe basisvectoren wordt B genoemd. Voor de berekening van de inverse matrix B kunt u Maple gebruiken > with(linalg): > B:matrix([[,-],[,]]) " # B : > inverse(b) > [y,y]evalm(inverse(b) &* vector([3,])) 5 [y;y] ; Het komt er dus op neer dat u de vectoren van de nieuwe basis b en b in de kolommen van een matrix zet die u B noemt. Elke vector x R kanuitgedruktwordenindebasisvectorenb en b : Uhoeftslechtsde inverse van B te kennen en de nieuwe kentallen y en y van de desbetreffende vector x zijn: y B y x x Voorbeeld Bereken de kentallen van e en e ten opzichte van de basis fb ;b g van voorbeeld. Antwoord: De nieuwe kentallen worden B µ µ µ ) B µ e b b µ e b + b µ µ )

4 Ga op afbeelding na dat de kentallen van de vectoren e en e ten opzichte van de basis fb ;b g kloppen. - Een vector R n met n kentallen ten opzichte van fe ;e ; :::::; e n g kan overgevoerd worden naar dezelfde vector y R n maar nu met kentallen ten opzichte van een nieuwe basis fb ;b ; :::::; b n g door middel van y B x waarbij B de matrix is waarvan de kolommen gevormd worden door de vectoren van deze nieuwe basis. UzultbegrijpendateenbasisindeR n bestaat uit n vectoren met n kentallen, dus de matrix B is vierkant. Deze n vectoren moeten onafhankelijk zijn. Dit houdt in dat de matrix B altijd inverteerbaar is. Opdracht Bereken de kentallen van de vector x (; ; 3) ten opzichte van de basis:!!!) fb ;b ;b 3 g (Ã 3 ; Ã ; Ã 6. Afbeeldingen ten opzichte van een basis U weet dat in de kolommen van een afbeeldingsmatrix van een afbeelding van R naar R de beelden staan van de basisvectoren e en e : Dat wil zeggen dat de afbeelding beschreven is ten opzichte van dezebasis.meestalzegtmendaternietbijalshetomde standaard-basis gaat. Voorbeeld 3 Neemt u de afbeelding van R naar R vandespiegelingindelijn x x : Zie ook afbeelding. x -as b b x -as Afbeelding De matrix (ten opzichte van fe ;e g) van deze afbeelding S (spiegeling in de lijn x x ) is S

5 en heeft als kolommen de beelden van e en e : Het zou eigenlijk mooier zijn om niet fe ;e g als basis te nemen voor juist deze afbeelding S maar over te gaan op een nieuwe basis fb ;b g met b en b Op afbeelding zult u kunnen zien dat deze basis voor juist deze afbeelding zéér geschikt is, want bij deze spiegeling worden de beelden van deze basisvectoren op zichzelf of op hun eigen lijn afgebeeld!! De matrix (ten opzichte van fb ;b g) van déze spiegeling moet als kolommen de beelden van b en b hebben! Bij deze afbeelding geldt dus dat b op zijn plaats blijft en dat b alleen maar omgeklapt wordt. De beelden van b en b zijn dus Sb b en Sb b : De vectoren b en b zijn nu juist de eigenvectoren van deze spiegeling! Als we deze beeldvectoren ook nog met de kentallen willen schrijven ten opzichte van de nieuwe basis fb ;b g dan worden de beelden van deze basisvectoren na spiegelen in de lijn x x dus B Sb µ en B Sb µ Let op!, de betekenis van ten opzichte van de nieuwe basis fb ;b g wil zeggen b + b : Vormen we nu met de beelden van b en b de kolommen van een matrix waarbij ook nog de kentallen ten opzichte van de nieuwe basis fb ;b g gegeven zijn, dan krijgen we de matrix die de genoemde spiegeling beschrijft met als basis het stelsel fb ;b g : Hetmoetu opvallen dat het resultaat een diagonaal-matrix is. B SB - Algemeen geldt nu het volgende voor een afbeelding A (ten opzichte van de normale basis). Zet men de beelden van een stelsel nieuwe basisvectoren (met kentallen ten opzichte van deze basisvectoren) in de kolommen van de afbeeldingsmatrix, dan krijgt men de matrix B AB:(De kolommen van matrix B worden gevormd door de nieuwe basisvectoren.) Deze samengestelde matrix stelt weer precies dezelfde afbeelding voor. Men moet zich echter bewust zijn van het feit dat deze afbeelding niet meer ten opzichte van de gewone basis beschreven wordt, maar ten opzichte van een nieuwe basis die natuurlijk wel erbij vermeld dient te worden. Opdracht Gegeven is een afbeeldingsmatrix A. 5 A 6 a. Bereken de matrix van deze afbeelding, maar nu ten opzichte van de basis ; ª waarvan de matrix B genoemd wordt. b. Bereken de matrix van deze afbeelding, maar nu ten opzichte van de basis ; 3 ª waarvan de matrix B genoemd wordt.

6 c. Bereken de eigenwaarden van afbeeldingsmatrix A. d. Bereken de eigenwaarden van de afbeeldingsmatrix B AB ten opzichte van basis B en ook van de afbeeldingsmatrix B AB ten opzichte van basis B : e. Bereken de eigenvectoren van A uitgedrukt in de basis fe ;e g : f. Bereken de eigenvectoren van de afbeelding B AB ten opzichte van basis B en van de afbeelding B AB ten opzichte van basis B : Let op!, deze eigenvectoren zijn dan ook uitgedrukt in de vectoren van de nieuwe basis. g. Controleer dat de kolommen van de matrix B AB gevormd worden door de beelden van de bijbehorende basisvectoren, uitgedrukt in deze basisvectoren. jordan.3 Diagonaalmatrix Het is niet voor niets geweest dat we in voorbeeld 3 de nieuwe basisvectoren b en b hadden genomen! De spiegelingsmatrix B SB(ten opzichte van fb ;b g) wordtnuheelmooieen diagonaalmatrix. Misschien is u al opgevallen dat b en b juist de eigenvectoren waren van de spiegelingsmatrix S: Er geldt immers Sb b en dus is b een eigenvector met eigenwaarde. Er geldt immers Sb b en dus is b een eigenvector met eigenwaarde. In de diagonaalmatrix staan heel netjes de eigenwaarden op de diagonaalplaatsen. Ook in opdracht ziet u dat de basis van eigenvectoren de diagonaalmatrix (B ) oplevert bij basistransformatie naar de basis van eigenvectoren. - De matrix van S (van voorbeeld 3) ten opzichte van fe ;e g stelt dezelfde afbeelding voor als de matrix B SB(met dezelfde eigenvectoren en dezelfde eigenwaarden), maar de laatste is ten opzichte van de basis fb ;b g.hierinvormendevectorenb en b de kolommen van matrix B (uitgedrukt in deze basisvectoren). - Voor iedere afbeelding A van R n naar R n kan men in R n een nieuwe basis kiezen (van n onafhankelijke vectoren) die R n opspant (het domein van de afbeelding). De vectoren van deze nieuwe basis vormen de kolommen van de vierkante matrix B. De afbeelding wordt beschreven door matrix A (ten opzichte van fe ; ::::::e n g),maarkanookbeschrevenwordendoordematrix B ABten opzichte van fb ; ::::::b n g : U kunt zelf kiezen voor een willekeurige basis, maar de basis die gevormd wordt door de eigenvectoren vandeafbeeldingishetmooist. - De afbeeldingsmatrix ten opzichte van de basis van eigenvectoren wordt dan de diagonaalmatrix met op de diagonaalplaatsen de eigenwaarden. Maple heeft een gemakkelijk commando om van een afbeeldingsmatrix A van de R 3 naar de R 3 de diagonaalmatrix B AB te maken en metéén ook de matrix B van eigenvectoren te geven. Dit commando kan echter alléén gebruikt worden als u er zeker van bent dat u met een stelsel onafhankelijke eigenvectoren te maken hebt. Zo niet, dan krijgt u met dit commando ook geen diagonaalmatrix. Het commando luidt jordan en hier volgt metéén een voorbeeld.

7 Voorbeeld 4 Gegeven de afbeeldingsmatrix van de spiegeling van voorbeeld 3. Bepaal de diagonaalmatrix B ABen ga na dat in de kolommen van de matrix B de eigenvectoren van A staan. Antwoord: Bij het opgeven van de matrix A kunt u als optie B meegeven die dan staat voor de matrix van eigenvectoren. De letter B (deze letter kiest u zelf) staat tussen quotes, want anders zou Maple deze kunnen opvatten als een eerder gede nieerde B. > with(linalg): > A:matrix([[,],[,]]) " # A : > jordan(a, B ) " # > evalm(b) 6 4 Uzietdatdediagonaalmatrix links boven de eigenwaarde vermeldt. In de bijbehorende matrix B vindt u als eerste kolom de eigenvector ( ; ): Deze eigenvector noteren wij meestal zonder breuken als (; ): Het maakt niet uit welke lengte deze eigenvector heeft, het moet een representant zijn. De tweede eigenwaarde van matrix A staat op de tweede diagonaalplaats van de diagonaalmatrix en de tweede eigenvector staat in de tweede kolom van matrix B. Deze tweede eigenvector staat als ( ; ) genoteerd, maar wij schrijven liever zonder breuken (; ): De controle voor de eigenwaarden en eigenvectoren kunt u ook met eigenvects doen. > eigenvects(a) [ ; ; f[ ; ]g]; [; ; f[; ]g] Opdracht 3 Onderzoek of er een basis van eigenvectoren te vinden is bij de volgende matrices en bepaal zo mogelijk de diagonaalmatrix. P Ã 3! en 3 3 A 3