Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft

Transcriptie

1 Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek wi2030wbmt Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 1 / 14

2 Niet-lineaire diff. vgl. en stabiliteit Niet-lineaire diff. vgl. zijn veel moeilijker op te lossen dan lineaire Er bestaat bijna geen theorie over het oplossen van dergelijke diff. vgl. Toch kan men veel informatie over de oplossingen te weten komen Kwalitatieve informatie Kwantitative informatie dy Vergelijk met: = F (t, y faseportret dt Een faseportret bestaat uit de banen van oplossingen in het fasevlak gebaseerd op het richtingsveld Zonder de oplossingen expliciet te vinden, kan men veel informatie over (het gedrag van de oplossingen aflezen uit het faseportret Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 2 / 14

3 Lineaire stelsels In het geval van een homogeen lineair stelsel ( x x1 (t (t = A x(t met x(t = en A een (2 2-matrix x 2 (t kunnen we de banen tekenen in het x 1, x 2 -vlak (het fasevlak Deze situatie lijkt sterk op het geval van een autonoom stelsel: dy dt = F (y, waarbij F (y alleen van y en niet expliciet van t afhangt Als F (y = 0, dan spreekt men van kritieke of stationaire punten Hiervoor geldt dat: dy dt = 0 (evenwichtsoplossingen Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 3 / 14

4 Lineaire stelsels Beschouw: x (t = A x(t met A een (2 2-matrix We weten: x(t = v e λ t A v = λ v Dus: v is een eigenvector van A behorende bij de eigenwaarde λ We hebben nu de volgende mogelijkheden: 1 O is een knoop(punt 2 O is een zadelpunt 3 O is een (onzuivere knoop 4 O is een spiraalpunt 5 O is een centerpunt Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 4 / 14

5 Classificatie A is een (2 2-matrix met eigenwaarden r 1 en r 2 1 r 1, r 2 R met r 1 r 2 en r 1 r 2 > 0: O is een knoop(punt 2 r 1, r 2 R met r 1 r 2 en r 1 r 2 < 0: O is een zadelpunt 3 r 1, r 2 R met r 1 = r 2 = r (algebraïsche multipliciteit 2 (a meetkundige multipliciteit 2: O is een zuivere knoop (b meetkundige multipliciteit 1: O is een onzuivere knoop 4 r 1, r 2 / R, r 1,2 = λ ± iµ met λ 0: O is een spiraalpunt 5 r 1, r 2 / R, r 1,2 = λ ± iµ met λ = 0: O is een centerpunt Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 5 / 14

6 Stabiliteit Beschouw het gedrag van de oplossingen voor t : Het stelsel heet 1 instabiel als er oplossingen bestaan die naar oneindig gaan 2 stabiel als alle oplossingen begrensd blijven 3 asymptotisch stabiel als alle oplossingen naar O gaan Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 6 / 14

7 Autonome stelsels We beschouwen autonome stelsels van de vorm dx dt = F (x, y en dy dt = G(x, y Stel dat (x 0, y 0 een kritiek of stationair punt is, dat wil zeggen: F (x 0, y 0 = 0 én G(x 0, y 0 = 0 Een stelsel heet bijna lineair als de lineariseringen en F (x 0, y 0 + F x (x 0, y 0 (x x 0 + F y (x 0, y 0 (y y 0 G(x 0, y 0 + G x (x 0, y 0 (x x 0 + G y (x 0, y 0 (y y 0 goede benaderingen zijn van F (x, y en G(x, y respectievelijk Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 7 / 14

8 Bijna-lineaire stelsels Dan geldt dus: F (x, y F (x 0, y 0 + F x (x 0, y 0 (x x 0 + F y (x 0, y 0 (y y 0 en G(x, y G(x 0, y 0 + G x (x 0, y 0 (x x 0 + G y (x 0, y 0 (y y 0 Aangezien F (x 0, y 0 = 0 en G(x 0, y 0 = 0 volgt dan ( ( ( d x x0 Fx (x 0, y 0 F y (x 0, y 0 x x0 dt y y 0 G x (x 0, y 0 G y (x 0, y 0 y y 0 Dit betekent dat het gedrag van de oplossingen rond zo n kritiek of stationair punt (x 0, y 0 vergelijkbaar is met het gedrag van de oplossingen van het bijbehorende lineaire stelsel (rond de oorsprong Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 8 / 14

9 Uitzonderingen Het gedrag van de oplossingen van het lineaire stelsel rond (x 0, y 0 kunnen we aflezen uit de eigenwaarden (en eigenvectoren van de matrix ( Fx (x 0, y 0 F y (x 0, y 0 G x (x 0, y 0 G y (x 0, y 0 Er zijn twee uitzonderingen: r 1 = r 2 = r: O is dan een zuivere of onzuivere knoop In het niet-lineaire stelsel kan het kritieke of stationaire punt (x 0, y 0 dan ook een spiraalpunt zijn (de stabiliteit wordt bepaald door het teken van r r 1,2 = ±iβ: O is dan een centerpunt In het niet-lineaire stelsel kan het kritieke of stationaire punt (x 0, y 0 dan ook een spiraalpunt zijn (met onbekende stabiliteit Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 9 / 14

10 Voorbeelden dx Voorbeeld 1: dt = 4 2 y en dy dt = 12 3 x 2 Kritieke/stationaire punten: { 4 2 y = 0 = (x, y = (±2, x 2 = 0 Verder is: ( Fx F y G x G y = ( x 0 ( 0 2 In ( 2, 2 geldt: met r = 0 r = ±2i 6 Dus: ( 2, 2 is een center- of spiraalpunt (met onbekende stabiliteit ( 0 2 In (2, 2 geldt: met r = 0 r = ±2 6 Dus: (2, 2 is een zadelpunt (instabiel Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 10 / 14

11 Voorbeelden dx Voorbeeld 2: dt = (x y(1 x y en dy dt Kritieke/stationaire punten: = x (2 + y { (x y(1 x y = 0 x (2 + y = 0 = (0, 0, (0, 1, ( 2, 2, (3, 2 Verder is: ( Fx F y G x G y = ( 2 x y 2 + y x In (0, 0 geldt: ( met r 2 + r 2 = (r + 2(r 1 = 0 Dus: r = 1 of r = 2 (0, 0 is een (instabiel zadelpunt Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 11 / 14

12 Voorbeelden In (0, 1 geldt: ( met r 2 + r + 3 = (r = 0 Dus: r = 1±i 11 2 (0, 1 is een asymptotisch stabiel spiraalpunt ( 5 5 In ( 2, 2 geldt: met r = 2 of r = Dus: ( 2, 2 is een asymptotisch stabiele knoop In (3, 2 geldt: ( Dus: (3, 2 is een instabiele knoop met r = 5 of r = 3 Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 12 / 14

13 Voorbeelden dx Voorbeeld 3: dt = (2 y(2 x y en dy = (2 + x(x 2 y dt Kritieke/stationaire punten: { (2 y(2 x y = 0 = (0, 0, ( 2, 4, ( 2, 2, (4, 2 (2 + x(x 2 y = 0 Verder is: ( Fx F y G x G y = ( 2 (2 y 2 x + 2 y 2 2 x 2 y (2 + x In (0, 0 geldt: ( Dus: (0, 0 is een (instabiel zadelpunt met r 2 12 = 0 r = ±2 3 Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 13 / 14

14 Voorbeelden In ( 2, 4 geldt: ( met r 2 12r + 36 = (r 6 2 = 0 Dus: r 1 = r 2 = 6 ( 2, 4 is een instabiele knoop of een instabiel spiraalpunt In ( 2, 2 geldt: ( met r = 0 r = ±6i Dus: ( 2, 2 is een center- of spiraalpunt met onbekende stabiliteit In (4, 2 geldt: ( met r r + 36 = (r = 0 Dus: r 1 = r 2 = 6 (4, 2 is een asymptotisch stabiele knoop of spiraalpunt Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 14 / 14