Modelleren 1A, TW1050-A
|
|
|
- Hendrik Verlinden
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Modelleren 1A, TW1050-A Probleemstelling Conclusies Valideren Modelvorming Rekenmethode Vandaag: Wat is modelleren? Organisatie practicum College stelsels differentiaalvergelijkingen Eerste college Modelleren 1A, februari /34
2 Begeleiders Dr. Neil Budko Dr. Eva Coplakova Dr. Jacob van der Woude Dr.ir. Marleen Keijzer Dr. Matthias Moller Dr.ir. Dennis den Ouden Dr. Paul Visser Prof.dr.ir. Kees Vuik Eerste college Modelleren 1A, februari /34
3 Modelleercyclus Probleemstelling Conclusies Modelvorming Valideren Rekenmethode Eerste college Modelleren 1A, februari /34
4 Leerdoelen van het practicum Modelleren Cyclus doorlopen. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
5 Leerdoelen van het practicum Modelleren Cyclus doorlopen. Geen som maken, maar onderzoek doen. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
6 Leerdoelen van het practicum Modelleren Cyclus doorlopen. Geen som maken, maar onderzoek doen. Vaagheid? Vrijheid! Eerste college Modelleren 1A, februari /34
7 Leerdoelen van het practicum Modelleren Samenwerken Cyclus doorlopen. Geen som maken, maar onderzoek doen. Vaagheid? Vrijheid! Wiskundigen werken vaak in teams Nu paren studenten, door ons ingedeeld. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
8 Leerdoelen van het practicum Modelleren Samenwerken Cyclus doorlopen. Geen som maken, maar onderzoek doen. Vaagheid? Vrijheid! Wiskundigen werken vaak in teams Nu paren studenten, door ons ingedeeld. Verslaglegging Professioneel onderzoeksverslag Dictaat (uitgedeeld volgende week): Handleiding Modelleren. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
9 Regelen Inschrijven op de papieren lijst die voorin ligt (Leiden en Delft apart). Eerste college Modelleren 1A, februari /34
10 Regelen Inschrijven op de papieren lijst die voorin ligt (Leiden en Delft apart). TUD LAPTOP mee, vanaf volgende week. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
11 Regelen Voor Leidse studenten: Inschrijving in Delft: Studielink: bijvak in Delft, betaling via Leiden Delfts studienummer Inloggegevens voor Delftse computers Enrollen in Delftse Blackboard-course TW1050-A. (Delftenaren ook) Eerste college Modelleren 1A, februari /34
12 Regelen Voor Leidse studenten: Inschrijving in Delft: Studielink: bijvak in Delft, betaling via Leiden Delfts studienummer Inloggegevens voor Delftse computers Enrollen in Delftse Blackboard-course TW1050-A. (Delftenaren ook) Hulp nodig? Servicepunt (hal EWI-gebouw) Eerste college Modelleren 1A, februari /34
13 Regelen Toegang tot Delftse Blackboard en enrollen vandaag regelen, want: Alle informatie gaat via blackboard.tudelft.nl s via Delfts adres: Matlab downloaden voor eigen laptop Eerste college Modelleren 1A, februari /34
14 Regelen Toegang tot Delftse Blackboard en enrollen vandaag regelen, want: Alle informatie gaat via blackboard.tudelft.nl s via Delfts adres: Matlab downloaden voor eigen laptop Eerste college Modelleren 1A, februari /34
15 Programma Week 1: College differentiaalvergelijkingen, module Informatievaardigheden Eerste college Modelleren 1A, februari /34
16 Programma Week 1: Week 2: College differentiaalvergelijkingen, module Informatievaardigheden College numeriek oplossen, Kennismaken met begeleider, opdracht Matlab-introductieopgave maken Eerste college Modelleren 1A, februari /34
17 Programma Week 1: Week 2: Week 3-7: College differentiaalvergelijkingen, module Informatievaardigheden College numeriek oplossen, Kennismaken met begeleider, opdracht Matlab-introductieopgave maken Werken in practicumzaal, 23 februari Informatievaardigheden afronden Eerste college Modelleren 1A, februari /34
18 Programma Week 1: Week 2: Week 3-7: Week 7: College differentiaalvergelijkingen, module Informatievaardigheden College numeriek oplossen, Kennismaken met begeleider, opdracht Matlab-introductieopgave maken Werken in practicumzaal, 23 februari Informatievaardigheden afronden Maandag 21 maart eerste versie verslag inleveren Dinsdag 22 maart: (grove) feedback begeleider. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
19 Programma Week 1: Week 2: Week 3-7: Week 7: Week 8: daarna: College differentiaalvergelijkingen, module Informatievaardigheden College numeriek oplossen, Kennismaken met begeleider, opdracht Matlab-introductieopgave maken Werken in practicumzaal, 23 februari Informatievaardigheden afronden Maandag 21 maart eerste versie verslag inleveren Dinsdag 22 maart: (grove) feedback begeleider. Maandag 29 maart verslag inleveren Bespreking met begeleider op afspraak Eerste college Modelleren 1A, februari /34
20 Programma Week 1: Week 2: Week 3-7: Week 7: Week 8: daarna: College differentiaalvergelijkingen, module Informatievaardigheden College numeriek oplossen, Kennismaken met begeleider, opdracht Matlab-introductieopgave maken Werken in practicumzaal, 23 februari Informatievaardigheden afronden Maandag 21 maart eerste versie verslag inleveren Dinsdag 22 maart: (grove) feedback begeleider. Maandag 29 maart verslag inleveren Bespreking met begeleider op afspraak Eerste college Modelleren 1A, februari /34
21 Regels Aanwezigheid verplicht. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
22 Regels Aanwezigheid verplicht. Bij ziekte afmelden bij begeleider. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
23 Regels Aanwezigheid verplicht. Bij ziekte afmelden bij begeleider. 3EC : 3 x 28 = 84 bestedingsuren Dinsdagmiddagen: 7 x 4 = 28 bestedingsuren Eerste college Modelleren 1A, februari /34
24 Regels Aanwezigheid verplicht. Bij ziekte afmelden bij begeleider. 3EC : 3 x 28 = 84 bestedingsuren Dinsdagmiddagen: 7 x 4 = 28 bestedingsuren Begeleiders helpen, studenten zijn verantwoordelijk voor het werk. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
25 Regels Aanwezigheid verplicht. Bij ziekte afmelden bij begeleider. 3EC : 3 x 28 = 84 bestedingsuren Dinsdagmiddagen: 7 x 4 = 28 bestedingsuren Begeleiders helpen, studenten zijn verantwoordelijk voor het werk. Beide studenten zijn verantwoordelijk voor het hele verslag: samenwerken! Eerste college Modelleren 1A, februari /34
26 Practicum Door de begeleider op basis van het verslag. Kwaliteit en kwantiteit van het onderzoek. Kwaliteit van het verslag. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
27 Practicum Door de begeleider op basis van het verslag. Kwaliteit en kwantiteit van het onderzoek. Kwaliteit van het verslag. beoordelingscriteria: - opgebouwde achtergrondkennis, probleemstelling, literatuur - inzet/inbreng tijdens de besprekingen - inzicht doorlopen modelleercyclus - schriftelijke rapportage Eerste college Modelleren 1A, februari /34
28 College differentiaalvergelijkingen Voorkennis: uit Caleidoscoop: J.L.A. Dubbeldam: Gewone Differentiaalvergelijkingen (Blackboard) Eerste college Modelleren 1A, februari /34
29 College differentiaalvergelijkingen Voorkennis: uit Caleidoscoop: J.L.A. Dubbeldam: Gewone Differentiaalvergelijkingen (Blackboard) Vandaag: Inleiding differentiaalvergelijkingen Eerste college Modelleren 1A, februari /34
30 College differentiaalvergelijkingen Voorkennis: uit Caleidoscoop: J.L.A. Dubbeldam: Gewone Differentiaalvergelijkingen (Blackboard) Vandaag: Inleiding differentiaalvergelijkingen Niet: oplosmethoden. Oplossen gaat numeriek: college volgende week. Wel: terminologie en kwalitatief gedrag oplossingen. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
31 College differentiaalvergelijkingen Voorkennis: uit Caleidoscoop: J.L.A. Dubbeldam: Gewone Differentiaalvergelijkingen (Blackboard) Vandaag: Inleiding differentiaalvergelijkingen Niet: oplosmethoden. Oplossen gaat numeriek: college volgende week. Wel: terminologie en kwalitatief gedrag oplossingen. Indeling: Eerste-orde differentiaalvergelijking Tweede-orde differentiaalvergelijking Twee stelsels eerste-orde differentiaalvergelijkingen Eerste college Modelleren 1A, februari /34
32 Vissen Populatie vissen in een meer zonder vijanden X (t): het aantal vissen (in honderdtallen) t: de tijd in maanden Eerste college Modelleren 1A, februari /34
33 Vissen Populatie vissen in een meer zonder vijanden X (t): het aantal vissen (in honderdtallen) t: de tijd in maanden Per vis komt er per maand 1.5 jonge visjes bij Per vis gaat per maand 0.5 oude vis dood Eerste college Modelleren 1A, februari /34
34 Vissen Populatie vissen in een meer zonder vijanden X (t): het aantal vissen (in honderdtallen) t: de tijd in maanden Per vis komt er per maand 1.5 jonge visjes bij Per vis gaat per maand 0.5 oude vis dood Balans opstellen: t: lengte van een tijdsinterval Eerste college Modelleren 1A, februari /34
35 Vissen Populatie vissen in een meer zonder vijanden X (t): het aantal vissen (in honderdtallen) t: de tijd in maanden Per vis komt er per maand 1.5 jonge visjes bij Per vis gaat per maand 0.5 oude vis dood Balans opstellen: t: lengte van een tijdsinterval X : de verandering van het aantal vissen X tijdens t Eerste college Modelleren 1A, februari /34
36 Vissen Populatie vissen in een meer zonder vijanden X (t): het aantal vissen (in honderdtallen) t: de tijd in maanden Per vis komt er per maand 1.5 jonge visjes bij Per vis gaat per maand 0.5 oude vis dood Balans opstellen: t: lengte van een tijdsinterval X : de verandering van het aantal vissen X tijdens t X = X t 0.5 X t. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
37 Differentiaalvergelijking Balans: X = +1.5X t 0.5X t. Deel door t ( 0): X (t) t = +1.5X 0.5X. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
38 Differentiaalvergelijking Balans: X = +1.5X t 0.5X t. Deel door t ( 0): Neem limiet: X (t) = +1.5X 0.5X. t X (t) lim = lim 1.5X (t) 0.5X (t). t 0 t t 0 Eerste college Modelleren 1A, februari /34
39 Differentiaalvergelijking Balans: X = +1.5X t 0.5X t. Deel door t ( 0): Neem limiet: De differentiaalvergelijking: dx (t) = 1.5X (t) 0.5X (t) dt X (t) = +1.5X 0.5X. t X (t) lim = lim 1.5X (t) 0.5X (t). t 0 t t 0 X (t) = X (t) Eerste college Modelleren 1A, februari /34
40 Differentiaalvergelijking Balans: X = +1.5X t 0.5X t. Deel door t ( 0): Neem limiet: De differentiaalvergelijking: dx (t) = 1.5X (t) 0.5X (t) dt X (t) = +1.5X 0.5X. t X (t) lim = lim 1.5X (t) 0.5X (t). t 0 t t 0 X (t) = X (t) Beginvoorwaarde, bijvoorbeeld X (0) = 3. Oplossing: Eerste college Modelleren 1A, februari /34
41 Differentiaalvergelijking Balans: X = +1.5X t 0.5X t. Deel door t ( 0): Neem limiet: De differentiaalvergelijking: dx (t) = 1.5X (t) 0.5X (t) dt X (t) = +1.5X 0.5X. t X (t) lim = lim 1.5X (t) 0.5X (t). t 0 t t 0 X (t) = X (t) Beginvoorwaarde, bijvoorbeeld X (0) = 3. Oplossing: X (t) = 3e t. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
42 Groeifactor beperken: Differentiaalvergelijking, beperkte groei X = +( 1.5 X 12 ) X t 0.5 X t. Bij grotere populaties minder dan 1.5 eitjes per vis per maand erbij. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
43 Groeifactor beperken: Differentiaalvergelijking, beperkte groei X = +( 1.5 X 12 ) X t 0.5 X t. Bij grotere populaties minder dan 1.5 eitjes per vis per maand erbij. Of, wat op hetzelfde neerkomt, sterftecijfer verhogen: X = +1.5 X t ( X 12 ) X t. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
44 Groeifactor beperken: Differentiaalvergelijking, beperkte groei X = +( 1.5 X 12 ) X t 0.5 X t. Bij grotere populaties minder dan 1.5 eitjes per vis per maand erbij. Of, wat op hetzelfde neerkomt, sterftecijfer verhogen: X = +1.5 X t ( X 12 ) X t. Delen door t en limiet nemen voor t 0: X (t) = X (t) X 2 (t) 12. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
45 Differentiaalvergelijking, beperkte groei en bevissing Meteen ook: per maand worden 5/3 honderd vissen gevangen: Eerste college Modelleren 1A, februari /34
46 Differentiaalvergelijking, beperkte groei en bevissing Meteen ook: per maand worden 5/3 honderd vissen gevangen: Balans: X = +( 1.5 X 12 ) X t 0.5 X t 5 3 t. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
47 Differentiaalvergelijking, beperkte groei en bevissing Meteen ook: per maand worden 5/3 honderd vissen gevangen: Balans: X = +( 1.5 X 12 ) X t 0.5 X t 5 3 t. Delen door t en limiet t 0 nemen: X (t) = X (t) X 2 (t) Eerste college Modelleren 1A, februari /34
48 Populatie vissen X (t) = X (t) X 2 (t) Zonder oplossen, alvast wel wat over oplossingen te zeggen. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
49 Populatie vissen X (t) = X (t) X 2 (t) Zonder oplossen, alvast wel wat over oplossingen te zeggen. Evenwichtspunten: de X waarvoor X = 0: Eerste college Modelleren 1A, februari /34
50 Populatie vissen X (t) = X (t) X 2 (t) Zonder oplossen, alvast wel wat over oplossingen te zeggen. Evenwichtspunten: de X waarvoor X = 0: X = 1 12 (X 2 12X + 20) = 0 X = 1 12 (X 10)(X 2) = 0 Faselijn: Eerste college Modelleren 1A, februari /34
51 Populatie vissen X (t) = X (t) X 2 (t) Zonder oplossen, alvast wel wat over oplossingen te zeggen. Evenwichtspunten: de X waarvoor X = 0: X = 1 12 (X 2 12X + 20) = 0 X = 1 12 (X 10)(X 2) = 0 Faselijn: X Eerste college Modelleren 1A, februari /34
52 Populatie vissen Eerste college Modelleren 1A, februari /34
53 Populatie vissen X = 10: stabiel evenwichtspunt X = 2: instabiel evenwichtspunt Eerste college Modelleren 1A, februari /34
54 Massa-veersysteem Uitwijking y(t) in meter. Snelheid v(t) in m/s. y(t) 1 kg Eerste college Modelleren 1A, februari /34
55 Massa-veersysteem y(t) 1 kg Uitwijking y(t) in meter. Snelheid v(t) in m/s. Veerconstante c in kg/s 2. Wrijvingsconstante γ in kg/s. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
56 Massa-veersysteem y(t) 1 kg Uitwijking y(t) in meter. Snelheid v(t) in m/s. Veerconstante c in kg/s 2. Wrijvingsconstante γ in kg/s. Krachten: F = Mg cy γv en Newton: F = Ma = Mv, Eerste college Modelleren 1A, februari /34
57 Massa-veersysteem y(t) 1 kg Uitwijking y(t) in meter. Snelheid v(t) in m/s. Veerconstante c in kg/s 2. Wrijvingsconstante γ in kg/s. Krachten: F = Mg cy γv en Newton: F = Ma = Mv, Stelsel differentiaalvergelijkingen: dy(t) = v(t) dt dv(t) = c dt M y(t) γ v(t) + g. M Eerste college Modelleren 1A, februari /34
58 Evenwichtspunt Twee gekoppelde, eerste-orde differentiaalvergelijkingen voor y(t) en v(t): y = v v = c M y γ M v + g. y(t) 1 kg Evenwichtspunt: Eerste college Modelleren 1A, februari /34
59 Evenwichtspunt Twee gekoppelde, eerste-orde differentiaalvergelijkingen voor y(t) en v(t): y = v v = c M y γ M v + g. y(t) 1 kg Evenwichtspunt: als y = 0 en tegelijkertijd v = 0: Eerste college Modelleren 1A, februari /34
60 Evenwichtspunt Twee gekoppelde, eerste-orde differentiaalvergelijkingen voor y(t) en v(t): y = v v = c M y γ M v + g. y(t) 1 kg Evenwichtspunt: als y = 0 en tegelijkertijd v = 0: Dus als v = 0 en y = gm c. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
61 Tweede-orde differentiaalvergelijking Twee eerste-orde differentiaalvergelijkingen: y = v v = c M y γ M v + g. y(t) 1 kg Naar één tweede-orde differentiaalvergelijking alleen in y(t): Eerste college Modelleren 1A, februari /34
62 Tweede-orde differentiaalvergelijking Twee eerste-orde differentiaalvergelijkingen: y = v v = c M y γ M v + g. y(t) Naar één tweede-orde differentiaalvergelijking alleen in y(t): y = v = c M y γ M v + g. 1 kg Eerste college Modelleren 1A, februari /34
63 Tweede-orde differentiaalvergelijking Twee eerste-orde differentiaalvergelijkingen: y = v v = c M y γ M v + g. y(t) Naar één tweede-orde differentiaalvergelijking alleen in y(t): y = v = c M y γ M v + g. 1 kg Dus: y + γ M y + c M y = g. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
64 Tweede-orde differentiaalvergelijking Twee eerste-orde differentiaalvergelijkingen: y = v v = c M y γ M v + g. y(t) Naar één tweede-orde differentiaalvergelijking alleen in y(t): y = v = c M y γ M v + g. 1 kg Dus: y + γ M y + c M y = g. Probeer y = de rt. Invullen in de homogene vergelijking geeft r 2 + γ M r + c M = 0. Deze heeft twee oplossingen: r 1 en r 2. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
65 Tweede-orde differentiaalvergelijking oplossingen y + γ M y + c M y = g. Overgedempt, bijv. y + 10y + 9y = g y(t) 1 kg Eerste college Modelleren 1A, februari /34
66 Tweede-orde differentiaalvergelijking oplossingen y + γ M y + c M y = g. Overgedempt, bijv. y + 10y + 9y = g Oplossingen: y(t) = c 1 e 9t + c 2 e t + g/9. Ongedempt, bijv. y + 9y = g y(t) 1 kg Eerste college Modelleren 1A, februari /34
67 Tweede-orde differentiaalvergelijking oplossingen y + γ M y + c M y = g. y(t) 1 kg Overgedempt, bijv. y + 10y + 9y = g Oplossingen: y(t) = c 1 e 9t + c 2 e t + g/9. Ongedempt, bijv. y + 9y = g Oplossingen: y(t) = c 1 cos(3t) + c 2 sin(3t) + g/9. Ondergedempt, bijv. y + 6y + 25y = g Eerste college Modelleren 1A, februari /34
68 Tweede-orde differentiaalvergelijking oplossingen y + γ M y + c M y = g. y(t) 1 kg Overgedempt, bijv. y + 10y + 9y = g Oplossingen: y(t) = c 1 e 9t + c 2 e t + g/9. Ongedempt, bijv. y + 9y = g Oplossingen: y(t) = c 1 cos(3t) + c 2 sin(3t) + g/9. Ondergedempt, bijv. y + 6y + 25y = g Oplossingen: y(t) = c 1 e 3t cos(4t) + c 2 e 3t sin(4t) + g/25. Kritisch gedempt, bijv. y + 6y + 9y = g Eerste college Modelleren 1A, februari /34
69 Tweede-orde differentiaalvergelijking oplossingen y + γ M y + c M y = g. y(t) 1 kg Overgedempt, bijv. y + 10y + 9y = g Oplossingen: y(t) = c 1 e 9t + c 2 e t + g/9. Ongedempt, bijv. y + 9y = g Oplossingen: y(t) = c 1 cos(3t) + c 2 sin(3t) + g/9. Ondergedempt, bijv. y + 6y + 25y = g Oplossingen: y(t) = c 1 e 3t cos(4t) + c 2 e 3t sin(4t) + g/25. Kritisch gedempt, bijv. y + 6y + 9y = g Oplossingen: y(t) = c 1 e 3t + c 2 te 3t + g/9. c 1 en c 2 te vinden uit de twee beginvoorwaarden, bijvoorbeeld y(0) = 0 en y (0) = 1. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
70 Stelsel eerste-orde dv s Ander stelsel voor x 1 (t) en x 2 (t): x 1 = 3x 1 2x 2 x 2 = 2x 1 2x 2 Eerste college Modelleren 1A, februari /34
71 Stelsel eerste-orde dv s Ander stelsel voor x 1 (t) en x 2 (t): x 1 = 3x 1 2x 2 x 2 = 2x 1 2x 2 Evenwichtspunt: (x 1, x 2 ) = (0, 0). Eerste college Modelleren 1A, februari /34
72 Stelsel eerste-orde dv s Ander stelsel voor x 1 (t) en x 2 (t): x 1 = 3x 1 2x 2 x 2 = 2x 1 2x 2 Evenwichtspunt: (x 1, x 2 ) = (0, 0). Andere schrijfwijze: ( ) ( ) ( ) x x1 x 2 = 2 2 x 2 ( ) x1 Introduceer vector: x = : x 2 x = Ax Eerste college Modelleren 1A, februari /34
73 Stelsel eerste-orde dv s Ander stelsel voor x 1 (t) en x 2 (t): x 1 = 3x 1 2x 2 x 2 = 2x 1 2x 2 Evenwichtspunt: (x 1, x 2 ) = (0, 0). Andere schrijfwijze: ( ) ( ) ( ) x x1 x 2 = 2 2 x 2 ( ) x1 Introduceer vector: x = : x 2 x = Ax Oplossingen: x(t) = ( x1 (t) x 2 (t) ) ( 2 = c 1 1 ) e 2t + c 2 ( 1 2 ) e t Eerste college Modelleren 1A, februari /34
74 Stelsel eerste-orde dv s Oplossingen: x(t) = ( x1 (t) x 2 (t) ) ( 2 = c 1 1 ) e 2t + c 2 ( 1 2 ) e t Eerste college Modelleren 1A, februari /34
75 Stelsel eerste-orde dv s, fasevlak Oplossingen: x(t) = ( x1 (t) x 2 (t) ) ( 2 = c 1 1 ) e 2t + c 2 ( 1 2 ) e t Eerste college Modelleren 1A, februari /34
76 Stelsel eerste-orde dv s, fasevlak Oplossingen: x(t) = ( x1 (t) x 2 (t) ) ( 2 = c 1 1 ) e 2t + c 2 ( 1 2 ) e t Eerste college Modelleren 1A, februari /34
77 Stelsel eerste-orde dv s, fasevlak Oplossingen: x(t) = ( x1 (t) x 2 (t) ) ( 2 = c 1 1 ) e 2t + c 2 ( 1 2 ) e t Het evenwichtspunt (0, 0) heet instabiel omdat uit elk schijfje om het evenwicht heen tenminste één oplossing wegloopt. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
78 Stelsel eerste-orde dv s, fasevlak Oplossingen: x(t) = ( x1 (t) x 2 (t) ) ( 2 = c 1 1 ) e 2t + c 2 ( 1 2 ) e t Het evenwichtspunt (0, 0) heet instabiel omdat uit elk schijfje om het evenwicht heen tenminste één oplossing wegloopt. Een evenwichtspunt heet stabiel als er een schijfje om het evenwicht heen is waar geen oplossing uit wegloopt. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
79 Tweede stelsel eerste-orde dv s Tweede stelsel voor x 1 (t) en x 2 (t): ( ) ( x = 2 1 x 2 ) ( x1 x 2 ) Eerste college Modelleren 1A, februari /34
80 Tweede stelsel eerste-orde dv s Tweede stelsel voor x 1 (t) en x 2 (t): ( ) ( x = 2 1 x 2 Evenwichtspunt weer (x 1, x 2 ) = (0, 0). ) ( x1 x 2 ) Eerste college Modelleren 1A, februari /34
81 Tweede stelsel eerste-orde dv s Tweede stelsel voor x 1 (t) en x 2 (t): ( ) ( x = 2 1 x 2 ) ( x1 x 2 ) Evenwichtspunt weer (x 1, x 2 ) = (0, 0). Oplossingen: ( ) ( x1 (t) sin(2t) x(t) = = c x 2 (t) 1 cos(2t) ) e t + c 2 ( cos(2t) sin(2t) ) e t Eerste college Modelleren 1A, februari /34
82 Tweede stelsel eerste-orde dv s Oplossingen: x(t) = ( x1 (t) x 2 (t) ) = c 1 ( sin(2t) cos(2t) ) e t + c 2 ( cos(2t) sin(2t) ) e t Eerste college Modelleren 1A, februari /34
83 Tweede stelsel eerste-orde dv s, fasevlak Oplossingen: x(t) = ( x1 (t) x 2 (t) ) = c 1 ( sin(2t) cos(2t) ) e t + c 2 ( cos(2t) sin(2t) ) e t Eerste college Modelleren 1A, februari /34
84 Tweede stelsel eerste-orde dv s, fasevlak Oplossingen: x(t) = ( x1 (t) x 2 (t) ) = c 1 ( sin(2t) cos(2t) ) e t + c 2 ( cos(2t) sin(2t) ) e t Eerste college Modelleren 1A, februari /34
85 Tweede stelsel eerste-orde dv s, fasevlak Oplossingen: x(t) = ( x1 (t) x 2 (t) ) = c 1 ( sin(2t) cos(2t) ) e t + c 2 ( cos(2t) sin(2t) ) e t Het evenwichtspunt (0, 0) is weer instabiel omdat uit elk schijfje om het evenwicht heen tenminste één oplossing wegloopt. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
86 Typen evenwichtspunten x = Ax Eigenwaarden van A: r 1 en r 2. Oplossingen x met factoren e r1t en e r2t. Als r 1 en r 2 reëel en negatief zijn, dan heet het evenwichtspunt een stabiele knoop. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
87 Typen evenwichtspunten x = Ax. Eigenwaarden van A: r 1 en r 2. Oplossingen x met factoren e r1t en e r2t. Als r 1 en r 2 reëel en positief zijn, dan heet het evenwichtspunt een instabiele knoop. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
88 Typen evenwichtspunten x = Ax. Eigenwaarden van A: r 1 en r 2. Oplossingen x met factoren e r1t en e r2t. Als r 1 en r 2 reëel zijn, en één is negatief en de ander positief, dan heet het evenwichtspunt een zadelpunt. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
89 Typen evenwichtspunten x = Ax. Eigenwaarden van A: r 1 en r 2. Oplossingen x met factoren e r1t en e r2t. Als r 1 en r 2 complex zijn met een negatief reëel deel, dan heet het evenwichtspunt een stabiel spiraalpunt. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
90 Typen evenwichtspunten x = Ax. Eigenwaarden van A: r 1 en r 2. Oplossingen x met factoren e r1t en e r2t. Als r 1 en r 2 complex zijn met een positief reëel deel, dan heet het evenwichtspunt een instabiel spiraalpunt. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
91 Typen evenwichtspunten x = Ax. Eigenwaarden van A: r 1 en r 2. Oplossingen x met factoren e r1t en e r2t. Als r 1 en r 2 zuiver imaginair zijn (dus hun reële delen zijn 0), dan heet het evenwichtspunt een cirkelpunt. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
92 Samenvatting Eerste-orde dv X = X X X Eerste college Modelleren 1A, februari /34
93 Samenvatting Stelsel 1e-orde dv s: Eerste-orde dv X = X X y = v v = c M y γ M v + g X y(t) 1 kg Een 2e-orde dv: y + γ M y + c M y = g. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
94 Eerste-orde dv X = X X X Samenvatting Stelsel 1e-orde dv s: y = v v = c M y γ M v + g. Stelsels 1e-orde dv s x = Ax Fasevlakken, verschillende typen evenwichtspunten: y(t) 1 kg Een 2e-orde dv: y + γ M y + c M y = g. Eerste college Modelleren 1A, februari /34
95 Eerste-orde dv X = X X X Samenvatting Stelsel 1e-orde dv s: y = v v = c M y γ M v + g. Stelsels 1e-orde dv s x = Ax Fasevlakken, verschillende typen evenwichtspunten: y(t) 1 kg Een 2e-orde dv: y + γ M y + c M y = g. Volgende week: numeriek oplossen van differentiaalvergelijkingen + inleiding Matlab Eerste college Modelleren 1A, februari /34
Modellering in het onderwijs
Modellering in het onderwijs Kees Vuik en Marleen Keijzer InterTU studiedag TU Delft, Delft, Juni 24, 2016 Inhoud: Modelleren bij de TU Delft Observaties MOOC Modelleren Conclusies 4TU.AMI Applied Mathematics
Stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen (homogeen)
Stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen (homogeen) Voorbeeld Voorbeeld ( 7., Opgave 22) Op t = 0 bevatten de vaten respectievelijk 25 en 5 oz (ounces) zout. 3 september 206 Onderzoeken we hoeveel
Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit
Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoewel we reeds vele methoden gezien hebben om allerlei typen differentiaalvergelijkingen op te lossen, zijn er toch nog veel differentiaalvergelijkingen
Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,
Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd
Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft
Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek wi2030wbmt Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 1 / 14 Niet-lineaire diff. vgl. en stabiliteit Niet-lineaire
maplev 2010/9/8 17:01 page 349 #351
maplev 00/9/8 7:0 page 49 5 Module Stabiliteit van evenwichten Onderwerp Voorkennis Expressies Bibliotheken Zie ook Stabiliteit van evenwichten van gewone differentiaalvergelijkingen. Gewone differentiaalvergelijkingen
x 1 (t) = ve rt = (a + ib) e (λ+iµ)t = (a + ib) e λt (cos µt + i sin µt) x 2 (t) = ve rt = e λt (a cos µt b sin µt) ie λt (a sin µt + b cos µt).
76 Complexe eigenwaarden Ook dit hebben we reeds gezien bij Lineaire Algebra Zie: Lay, 57 Als xt ve rt een oplossing is van de homogene differentiaalvergelijking x t Axt, dan moet r een eigenwaarde van
Oefeningentoets Differentiaalvergelijkingen, deel 1 dinsdag 6 november 2018 in lokaal 200M van 16:00 tot 18:00u
Oefeningentoets Differentiaalvergelijkingen, deel 1 dinsdag 6 november 2018 in lokaal 200M 00.07 van 16:00 tot 18:00u Beste student, Deze oefeningentoets bevat twee oefeningen betreffende het tweede deel
Klassieke Mechanica a (Tentamen 11 mei 2012) Uitwerkingen
Klassieke Mechanica a (Tentamen mei ) Uitwerkingen Opgave. (Beweging in een conservatief krachtenveld) a. Een kracht is conservatief als r F =. Dit blijkt na invullen: (r F) x = @F z =@y @F y =@z = =,
WISB134 Modellen & Simulatie. Lecture 11 - Dynamica van lineaire differentiaalvergelijkingen in twee dimensies
WISB134 Modellen & Simulatie Lecture 11 - Dynamica van lineaire differentiaalvergelijkingen in twee dimensies Overzicht van ModSim Meeste aandacht (t/m 1 apr.) Basisbegrippen dynamische modellen Definities
Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00
Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 6 Maandag januari, 9- Faculteit EWI Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven Alle antwoorden dienen beargumenteerd te worden Normering: punten
Complexe eigenwaarden
Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie
Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten
Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Homogene vergelijkingen We bekijken eerst homogene vergelijkingen van orde twee met constante coefficienten, d.w.z. dv s van de vorm a 0 y + a 1 y + a
Examen Wiskundige Analyse I 1ste bach ir wet. dinsdag 5 januari Vraag 1.1. Waar of vals (1pt) Het beginvoorwaardenprobleem
Examen Wiskundige Analyse I ste bach ir wet dinsdag 5 januari 206 Vraag.. Waar of vals (pt) Het beginvoorwaardenprobleem 32x 3 y = (y ) 3, y() = 2, y () = 4 bezit een unieke oplossing, die geldig is in
Differentiaalvergelijkingen I : separabele en lineaire 1ste orde DV
WISKUNDIGE ANALYSE OEFENZITTING 0 c D. Keppens 2004 Differentiaalvergelijkingen I : separabele en lineaire ste orde DV Onderwerp : separabele differentiaalvergelijkingen van de eerste orde en vergelijkingen
4051CALC1Y Calculus 1
4051CALC1Y Calculus 1 College 23 23 oktober 2014 1 Programma Vanmiddag Trillingen (8.7) 2 Herhaling 2 e orde homogene lineaire differentiaal vergelijking De algemene oplossing voor ay + by + cy = 0 wordt
Examen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica
Examen GO7E Wiskunde II (3sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Auditorium De Molen: A D Auditorium MTM3: E-Se Auditorium MTM39: Sh-Z Naam: Studierichting: Naam assistent:
Introductie. Wiskunde in actie : Bungeejumpen met een rugzak!
Introductie Wiskunde in actie : Bungeejumpen met een rugzak! Kees Lemmens, Email: C.W.J.Lemmens@Ewi.TUDelft.nl, Faculty of Electrotechnical Engineering, Mathematics and Computer Science, Delft University
Lineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L Habets HG 809, Tel: 040-2474230, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: Oplossing homogene DV ẋ = Ax Aanname: A is diagonaliseerbaar
Inleiding Wiskundige Systeemtheorie 156056
Inleiding Wiskundige Systeemtheorie 156056 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Evenwichtspunt.x 0 ; y 0 ; u 0 / heet een evenwichtspunt
Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm
college 3: differentiaalvergelijkingen Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we y = y (t) of y (1) = y (1) (t) voor de afgeleide dy dt, en y = y (t) of y (2) = y (2) (t) voor de tweede afgeleide
Inleiding Wiskundige Systeemtheorie
Inleiding Wiskundige Systeemtheorie 156056 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Tx D Ax; x.t/ 2 R 2 x D 0 is een evenwichtspunt;
De comfortabele auto
De comfortabele auto 1e Matlab practicum Inleiding Wiskundige Systeemtheorie (156056) (inleveren tot en met vrijdag 13 Maart 2009, via Teletop). Dit is de eerste van twee verplichte Matlab/Simulink-practica
Niet lineaire stelsels differentiaalvergelijkingen en stabiliteit. Lorenz-attractor
Niet lineaire stelsels differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Lorenz-attractor Vraag Gegeven zijn een stelsel differentiaalvergelijkingen: = F (x, y) (1) = G(x, y) met als kritiek punt (x 0, y 0) en
Tentamen - uitwerkingen
Tentamen - uitwerkingen Mechanica en Relativiteitstheorie voor TW 5 april 06 Kennisvragen - 0 punten a) Geef de drie behoudswetten van de klassieke mechanica, en geef voor elk van de drie aan onder welke
Trillingen en Golven
College-aantekeningen Trillingen en Golven vijfde kwartaal Natuur- en Sterrenkunde, Natuurwetenschappen najaar 008 F. Filthaut Experimentele Hoge-Energie Fysica Institute for Mathematics, Astrophysics,
Programmeren en Wetenschappelijk Rekenen in Python. Wi1205AE I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 6 mei 2014
Programmeren en Wetenschappelijk Rekenen in Python Wi1205AE, 6 mei 2014 Bijeenkomst 5 Onderwerpen Het maken van een model Numerieke integratie Grafische weergave 6 mei 2014 1 Voorbeeld: sprong van een
1 Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan
1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen
1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING Veel fysische systemen, van groot tot klein, mechanisch en elektrisch, kunnen trillingen uitvoeren. Daarom is in de natuurkunde het bestuderen van trillingen van groot
Stelsels differentiaalvergelijkingen
Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels homogene differentiaalvergelijkingen We bekijken in deze paragraaf stelsels homogene differentiaalvergelijkingen: x (t x (t x (t x (t x n(t A Voorbeeld x +
BIOFYSICA: Toets I.4. Dynamica: Oplossing
1 ste jaar Bachelor BIOMEDISCHE WETENSCHAPPEN Academiejaar 006-007 BIOFYSICA: Toets I.4. Dynamica: Oplossing 1 Opgave 1 Een blokje met massa 0, kg heeft onder aan een vlakke helling een snelheid van 7,
x(t + T ) = x(t) Voorbeeld 1. Beschouw het niet-lineaire autonome stelsel . (1) y x + y y(x 2 + y 2 )
97 Periodieke oplossingen en limit ccles We beschouwen weer autonome stelsels van de vorm x (t) = f(x(t)), waarbij het rechterlid dus niet expliciet van t afhangt We gaan onderzoeken wanneer er periodieke
Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics
Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Epidemiologische modellen voor de groei en afnamen van online sociale netwerken (Engelse
Bewegingen en Trillingen. Nokkenmechanisme: deel B
Katholieke Universiteit Leuven Faculteit Ingenieurswetenschappen Departement Werktuigkunde Bewegingen en Trillingen Nokkenmechanisme: deel B Groepsnummer 35 Jan-Pieter Jacobs Christophe Mestdag 1 Inhoudsopgave
DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN
Inleiding DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN Stefaan Poedts Centrum voor mathematische Plasma-Astrofysica, KU Leuven Oefeningen Bruno, Liebrecht en Simon Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 3 Inleiding
Examenvragen Wiskundige Analyse I 1ste bach ir wet, eerste examenperiode
Examenvragen Wiskundige Analyse I 1ste bach ir wet, eerste examenperiode 2008-2009 Een vloeistoftank met een capaciteit van 500 liter bevat aanvankelijk 100 liter water, waarin 30 kilogram zout is opgelost.
7. Hamiltoniaanse systemen
7. Hamiltoniaanse systemen In de moleculaire dynamica, maar ook in andere gebieden zoals de hemelmechanica of klassieke mechanica, worden oplossingen gezocht van het Hamiltoniaanse systeem van differentiaalvergelijkingen
Tentamen Simulaties van Biochemische Systemen - 8C110 en 8CB19 4 Juli uur
Tentamen Simulaties van Biochemische Systemen - 8C0 en 8CB9 4 Juli 04-900-00 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 7 opgaven verdeeld over pagina s Op pagina 4 staat voor iedere opgave
D-Day. 4 juni Joost Hulshof
D-Day 4 juni 2010 Joost Hulshof 1 2 Realistisch rekenen/nlt tip 2 multiple scale mathematical modelling 3 dynamica wiskunde toepassingen 4 dynamica wiskunde toepassingen 4 dynamica wiskunde (onderwijs)
5 Lineaire differentiaalvergelijkingen
5 Lineaire differentiaalvergelijkingen In veel toepassingen in de techniek en de exacte wetenschappen wordt gewerkt met differentiaalvergelijkingen om continue processen te modelleren. Het gaat dan meestal
Examen Algemene natuurkunde 1, oplossing
Examen Algemene natuurkunde 1, oplossing Vraag 1 (6 ptn) De deeltjes m 1 en m 2 bewegen zich op eenzelfde rechte zoals in de figuur. Ze zitten op ramkoers want v 1 > v 2. v w m n Figuur 1: Twee puntmassa
Lineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y65 Docent: L Habets HG 89, Tel: 4-247423, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y65 1 Herhaling: bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het
Tentamen wi2140tnw Differentiaalvergelijkingen september 2004 (1)
T.U. Delft Faculteit E.W.I. Tentamen wi4tnw Diffeentiaalvegelijkingen 4. - 6. cijfe (..+ + (..+ + (..+ + (..+ + (..+ 6 septembe 4 Het gebuik van een voo het VWO-eindexamen goedgekeude ekenmachine is toegestaan..
Wiskunde D: Modellen en Dynamische Systemen. Ferdinand Verhulst Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht
Wiskunde D: Modellen en Dynamische Systemen Ferdinand Verhulst Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht NWD, februari 2009 1 Waar gaat het over? Filosofie van de tekst modelleren (vergelijkingen opstellen)
5.1 De numerieke rekenmethode
Uitwerkingen opgaven hoofdstuk 5 Opgave 1 a Zie tabel 5.1. 5.1 De numerieke rekenmethode tijd aan begin van de tijdstap (jaar) tijd aan eind van de tijdstap (jaar) bedrag bij begin van de tijdstap ( )
Respons van een voertuig bij passage over een verkeersdrempel
Respons van een voertuig bij passage over een verkeersdrempel G. Lombaert en G. Degrande. Departement Burgerlijke Bouwkunde, K.U.Leuven, Kasteelpark Arenberg 40, B-3001 Leuven 1 Formulering van het probleem
Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (2DM20) op vrijdag 11 mei 2007, 9:00 12:00 uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op vrijdag mei 7, 9: : uur. U mag bij het tentamen geen computer (notebook, laptop), boeken
Laplace vs. tijd. netwerk. Laplace. getransformeerd. netwerk. laplace. laplace getransformeerd. getransformeerd. ingangssignaal.
Laplace vs. tijd x() t ingangssignaal netwerk y() t uitgangssignaal () x t laplace getransformeerd ingangssignaal X () s Laplace getransformeerd netwerk H () s - Y() s laplace getransformeerd uitgangssignaal
Analyse van eenvoudige tumor-groei modellen
1 Inleiding Analyse van eenvoudige tumor-groei modellen B.W. Kooi Afdeling Theoretische Biologie, Faculteit Biologie, Vrije Universiteit, De Boelelaan 187, 181 HV Amsterdam 1 december 23 Processen, zoals
Examen G0O17D Wiskunde II (6sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-12:30 uur
Examen GO7D Wiskunde II (6sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Biochemie & Biotechnologie Bachelor hemie, Bachelor Geologie Schakelprogramma Master Biochemie & Biotechnologie en Schakelprogramma Master
Modellen en Simulatie Differentiaalvergelijkingen. Modellen en Simulatie. sleij101/ Program.
Utrecht, 29 mei 2013 Utrecht, 29 mei 2013 Modellen en Simulatie Modellen en Simulatie Differentiaalvergelijkingen Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Gerard
Hoofdstuk 1: Inleiding
Hoofdstuk 1: Inleiding 1.1. Richtingsvelden. Zie Stewart, 9.2. 1.2. Oplossingen van enkele differentiaalvergelijkingen. Zelf doorlezen. 1.3. Classificatie van differentiaalvergelijkingen. Differentiaalvergelijkingen
Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Praktische Numerieke Wiskunde
Wiskunde, Utrecht Praktische Numerieke Wiskunde Gerard Sleijpen Paul Zegeling Department of Mathematics http://www.math.uu.nl/people/sleijpen Gerard Sleijpen Kamer 504, WG Tel: 030-2531732 sleijpen@math.uu.nl
Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen
Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Maandag 4 januari 216, 1: - 13: uur 1. Beschouw voor t > de inhomogene singuliere tweede orde vergelijking, t 2 ẍ + 4tẋ + 2x = f(t, (1 waarin f
Opgave 1 Golven op de bouwplaats ( 20 punten, ) Een staalkabel met lengte L hangt verticaal aan een torenkraan.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Opleiding Elektrotechniek EE1200-B - Klassieke en Kwantummechanica - deel B Hertentamen 13 maart 2014 14:00-17:00 Aanwijzingen:
Tentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C110 8 April uur
Tentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C 8 April - 9- uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over 3 pagina s Op pagina 3 staat voor iedere opgave het maximale
An analytical algebraic approach to determining differences in oscillation data between observed, computed and simulated environments
Practicum Trillen en Slingeren 5VWO Natuurkunde Totaal An analytical algebraic approach to determining differences in oscillation data between observed, computed and simulated environments (PO Trillingen
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Hertentamen Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y vrijdag 7 november 2014; uur
Hertentamen Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y vrijdag 7 november 2014; 9.00-12.00 uur Naam: (Leids) studentnummer: Een rekenmachine en het formuleblad bij deze cursus mogen gebruikt worden. Laat duidelijk
Analyse 1 November 2011 Januari 2011 November 2010
WI1330CT/CT1135-1/CTB1001-1 Januari 2013 November 2012 Januari 2012 Analyse 1 November 2011 Januari 2011 November 2010 Tentamenbundel Civiele Techniek Het Gezelschap "Practische Studie" TU DELFT, 2010
Toegepaste wiskunde. voor het hoger beroepsonderwijs. Deel 2 Derde, herziene druk. Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 7.
Drs. J.H. Blankespoor Drs.. de Joode Ir. A. Sluijter Toegepaste wiskunde voor het hoger beroepsonderwijs Deel Derde, herziene druk herhalingsopgaven hoofdstuk 7 augustus 009 HBuitgevers, Baarn Toegepaste
Praktische. Pijlers (exacte) wetenschap. Programma. Wiskunde, Utrecht Gerard Sleijpen Kamer 504, WG Tel:
Praktische Wiskunde, Utrecht Numerieke Wiskunde Gerard Sleijpen Kamer 504, WG Tel: 030-2531732 sleijpen@math.uu.nl http://www.math.uu.nl/people/sleijpen >Lectures>Numerieke Wiskunde Gerard Sleijpen Paul
Antwoorden. 1. Rekenen met complexe getallen
1. Rekenen met complexe getallen 1.1 a. 9 b. 9 c. 16 d. i e. 1 1. a. 1 b. 3 c. 1 d. 4 3 e. 3 4 1.3 a. 3 i b. 3 i c. i d. 5 i e. 15 i 1.4 a. 33 i b. 7 i c. 4 3 i d. 3 5 i e. 5 3 i 1.5 a. 1 ± i b. ± i c.
Essential University Physics Richard Wolfson 2 nd Edition
Chapter Hoofdstuk 13 13 Lecture Essential University Physics Richard Wolfson nd Edition Trillingen Slide 13-1 13.1 Trillingen Een systeem voert een trilling uit (of oscilleert) als het een periodieke beweging
Wiskunde y en Theoretische Biologie, 12 april Naam: Collegekaartnummer: Vraag 1
Wiskunde y en Theoretische Biologie, 12 april 2013 Vraag 1 x Dit zijn multiple-choice vragen. Omcirkel het meest correcte antwoord. 1.1 Beschouw het volgende fase-portret: Welk van de onderstaande systemen
Tussentijdse Toets Wiskunde 2 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie en Informatica april 2011
Tussentijdse Toets Wiskunde ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie en Informatica april Deze toets is bedoeld om u vertrouwd te maken met de wijze van ondervraging op het
WI1708TH Analyse 2. College 5 24 november Challenge the future
WI1708TH Analyse 2 College 5 24 november 2014 1 Programma Vandaag 2 e orde lineaire differentiaal vergelijking (17.1) 2 1 e orde differentiaal vergelijking Definitie Een 1 e orde differentiaal vergelijking
Vectoranalyse voor TG
college 2 Ruimte en oppervlakken collegejaar : 18-19 college : 2 build : 5 september 2018 slides : 25 Vandaag Ruimte 1 Vectoren in R 3 recap 2 Oppervlakken 3 Ruimte 4 1 intro VA Voorkennis uit Ruimtewiskunde
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde N460 op donderdag 4 juni 010, 14.00-17.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op maandag 4 januari 2, 8.45.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)
CONSTRUCTIEMECHANICA 3
CT2031 INTRODUCTIE CONSTRUCTIEMECHANICA 3 CONSTRUCTIEMECHANICA in de BSc-FASE WIE WAT WAAR HOE? Colleges, Leermiddelen, Oefeningen, COZ, Tentamen INHOUD EN DE RELATIE MET ANDERE VAKKEN Docent : ir J.W.
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 93 email: JCMKeijsper@tuenl studiewijzer: http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 JKeijsper (TUE) Lineaire
Schuifbanden in vloeistoffen (Engelse titel: Shear bands in fluids)
Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Schuifbanden in vloeistoffen (Engelse titel: Shear bands in fluids Verslag ten behoeve
Monitoraatssessie Wiskunde
Monitoraatssessie Wiskunde 1 Overzicht van de cursus Er zijn drie grote blokken, telkens voorafgegaan door de rekentechnieken die voor dat deel nodig zullen zijn. Exponentiële en logaritmische functies;
Modellen en Simulatie Stelsels Dvg
Utrecht, 10 juni 2013 Modellen en Simulatie Stelsels Dvg Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Continu versus discreet: Lineaire modellen Continu model. x
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij
Toets 4 Calculus 1 voor MST, 4501CALC1Y woensdag 28 oktober 2015; 13:45-15:45 uur Technische Universiteit Delft, Faculteit EWI
Toets 4 Calculus 1 voor MST, 4501CALC1Y woensdag 28 oktober 2015; 13:45-15:45 uur Technische Universiteit Delft, Faculteit EWI NAAM: Groep (omcirkel): Leids studienummer:. A (Hooghiemstra) / B (Keijzer)
Uitwerking Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie. Galileitransformaties. versie 1.3, januari 2003
Uitwerking Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Galileitransformaties versie 1.3, januari 003 Inhoudsopgave 0.1Galileitransformatie 0.1.1 Twee inertiaalsystemen...................... 0.1. Een paraboolbaan.........................
Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.
6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel
Inwerken onderwijssystemen
Als je op de Universiteit Twente gaat studeren zijn er een paar onderwijssystemen (lees websites) die je zal gaan gebruiken: - Blackboard: Hier kan je je opdrachten, vak informatie, deelcijfers en berichten
Snelle glijbanen. Masterclass VWO-leerlingen juni Emiel van Elderen en Joost de Groot NWD Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde
Masterclass VWO-leerlingen juni 2008 Snelle glijbanen Emiel van Elderen en Joost de Groot NWD 2009 1 Technische Universiteit Delft Probleemstelling Gegeven: een punt A(0,a) en een punt B(b, 0) met a 0.
Schriftelijke zitting Systeem- en regeltechniek 2 (WB2207) 29 januari 2009 van 14:00 tot 17:00 uur
Schriftelijke zitting Systeem- en regeltechniek 2 (WB2207) 29 januari 2009 van 14:00 tot 17:00 uur Onderstaande aanwijzingen nauwkeurig lezen. Vul op het voorblad uw naam, voorletters, studienummer en
Tentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C April uur
Tentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C 3 April - 9- uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over 3 pagina s Op pagina 3 staat voor iedere opgave het maximale
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op dinsdag 6 januari 2009, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
n 2 + 3n + 6 4n 3 3 n + 8n n + 3n + 16 n=1 Indien convergent, bepaal dan ook de waarde van de reeks.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP004B januari 05,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Scientific Computing
WISB356, Utrecht, 10 september 2012 Scientific Computing Gerard Sleijpen Rob Bisseling Alessandro Sbrizzi Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Docenten Gerard Sleijpen WG
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica Tentamen Fysica in de Fysiologie (8N7) deel A1, blad 1/4 maandag 1 oktober 27, 9.-1.3 uur Het tentamen
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.4, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 9 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 40 Outline 1 f : [a, b] C f : C C Primitieven 2 K.
Bachelor project in de numerieke wiskunde
Bachelor project in de numerieke wiskunde Kees Vuik Voorlichting BSc-projecten, 2012 2013 / Numerical Analysis Kees Vuik, November, 2012, p.1/10 Werkwijze: 1. Bestuderen van literatuur: Wat is het fysisch
Tentamen Fysica in de Fysiologie (8N070) deel AB herkansing, blad 1/5
ECHNISCHE UNIVERSIEI EINDHOVEN Faculteit Biomedische echnologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica entamen Fysica in de Fysiologie (8N070) deel AB herkansing, blad 1/5 vrijdag 3 februari 2012, 9.00-12.00
Vectoranalyse voor TG
college 1 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 1 25 september 214 28 1 2 3 4 otatie Green De wet van Faraday 1 VA vandaag 4.5.6 ection 16.7 telling Vergeleijking (4.62) Theorem 6 Het
WEEK 1: Rekenen met Ongelijkheden bij Foutschattingen
WEEK 1: Rekenen met Ongelijkheden bij Foutschattingen 1. Beschouw twee stukken touw met lengten, respectievelijk L 1 = 7m en L 2 = 6m. Over deze lengten bestaat onzekerheid: L 1 kan fluctueren met maximaal
Tentamen Modellen en Simulatie (WISB134)
Tentamen Modellen en Simulatie (WISB4) Vrijdag, 7 april 5, :-6:, Educatorium Gamma Zaal Schrijf op elk vel dat je inlevert je naam en op het eerste vel je studentnummer en het totaal aantal ingeleverde
Aanvullingen van de Wiskunde / Partiële Differentiaalvergelijkingen
de Bachelor EIT 2de en de Bachelor Wiskunde Academiejaar 215-216 1ste semester 26 januari 216 Aanvullingen van de Wiskunde / Partiële Differentiaalvergelijkingen 1. Gegeven een homogene lineaire partiële
Differentiaalvergelijkingen Wi1909TH. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 november 2018
Differentiaalvergelijkingen Wi1909TH, 12 november 2018 Inleiding van Mourik Broekmanweg 6, kamer 3.W.700 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn
Schriftelijke zitting Systeem- en regeltechniek 2 (WB2207) 31 januari 2008 van 9:00 tot 12:00 uur
Schriftelijke zitting Systeem- en regeltechniek 2 (WB227) 31 januari 28 van 9: tot 12: uur Onderstaande aanwijzingen nauwkeurig lezen. Vul op het voorblad uw naam, voorletters, studienummer en opleiding
Proeftoets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober (Leids) studentnummer: A (Keijzer) / B (Kooij) / C (Weber) / D (van den Dries)
Proeftoets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober 2017 Technische Universiteit Delft, Delft Institute of Applied Mathematics Naam: Groep (omcirkel): (Leids) studentnummer: A (Keijzer) / B
Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft
Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek WbMT2048 Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen WbMT2048 1 / 1 Het vinden van een particuliere oplossing Voor een