x 1 (t) = ve rt = (a + ib) e (λ+iµ)t = (a + ib) e λt (cos µt + i sin µt) x 2 (t) = ve rt = e λt (a cos µt b sin µt) ie λt (a sin µt + b cos µt).

Transcriptie

1 76 Complexe eigenwaarden Ook dit hebben we reeds gezien bij Lineaire Algebra Zie: Lay, 57 Als xt ve rt een oplossing is van de homogene differentiaalvergelijking x t Axt, dan moet r een eigenwaarde van de matrix A zijn en v een bijbehorende eigenvector Wat als r / R? We zullen alleen matrices A met reële elementen beschouwen Omdat alle elementen van de matrix A reëel zijn, heeft de karakteristieke vergelijking A ri dus alleen reële coëfficiënten Dat betekent dat niet-reële nulpunten eigenwaarden van A dus alleen in complex geconjugeerde paren kunnen voorkomen Dat wil zeggen: als r λ+iµ met λ, µ R en µ een eigenwaarde van A is, dan is r λ iµ ook een eigenwaarde van A Verder weten we dat de bijbehorende eigenvectoren ook complex geconjugeerden van elkaar zijn Dus: als x t ve rt een oplossing is van x t Axt, dan is x t ve rt ook een oplossing Er geldt nu: en dus x t ve rt a + ib e λ+iµt a + ib e λt cos µt + i sin µt e λt a cos µt b sin µt + ie λt a sin µt + b cos µt x t ve rt e λt a cos µt b sin µt ie λt a sin µt + b cos µt Volgens het superpositieprincipe is nu xt γ x t + γ x t ook een oplossing van x t Axt voor iedere γ, γ C We zijn echter alleen geïnteresseerd in de reële oplossingen Die kunnen dus geschreven worden in de vorm xt c e λt a cos µt b sin µt + c e λt a sin µt + b cos µt met c, c R Voorbeeld x t Axt met A 5 3 Dan volgt: A ri r 5 3 r r + 4r + 3 r r ± 3i Verder volgt: r + 3i : 3i 5 3i v 3i De complexe oplossing is dus: xt γ ve rt + γ ve rt γ 3i e +3it + γ + 3i e 3it met γ, γ C Nu geldt: ve rt 3i e +3it cos 3t cos 3t + 3 sin 3t 3i e t + i e t cos 3t + i sin 3t sin 3t sin 3t 3 cos 3t e t

2 Hieruit volgt dat de reële oplossing geschreven kan worden als: cos 3t xt c e t sin 3t + c cos 3t + 3 sin 3t e t sin 3t 3 cos 3t met c, c R Voorbeeld x t Axt met A 3 Los eerst de karakteristieke vergelijking A ri op: 3 r A ri r r r r r r r r r r + r [ r + + ] Dus: de eigenwaarden van A zijn r en r,3 ± i Verder volgt: en r : r 3 i : Nu volgt: + i i e t cos t i sin t + i + i i cos t + sin t cos t sin t v v 3 e t + i + i i cos t sin t sin t cos t e t Hieruit volgt, dat: xt c e t + c cos t + sin t cos t sin t e t + c 3 cos t sin t sin t cos t e t In het geval van een -matrix kunnen de banen van de oplossingen van x t Axt getekend worden in het fasevlak In het geval van niet-reële eigenwaarden wordt de oorsprong wel een spiraalpunt genoemd Als het reële deel van de beide eigenwaarden negatief is, is de oorsprong een aantrekker attractor of een put sink Als het reële deel positief is, is de oorsprong een afstoter repellor of een bron source

3 77 Fundamentaalmatrices Als {x t,, x n t} een fundamentaalverzameling is van oplossingen van x t Axt met A een n n-matrix, dan heet de matrix Ψt x t x n t wel een fundamentaalmatrix voor het stelsel x t Axt Hiervoor geldt dat: Ψ t AΨt Immers: Ψ t x t x nt A x t x n t Ax t Ax n t AΨt In plaats van de vorm xt c x t + + c n x n t met c,, c n R, kunnen we dan de algemene oplossing van x t Axt schrijven in de compacte vorm c xt Ψtc met c R n De waarde van de constante vector c wordt hierbij vastgelegd door de keuze van een beginvoorwaarde xt x R n voor zekere t I Hieruit volgt: Ψt c x c Ψ t x en dus xt Ψtc ΨtΨ t x, mits de matrix Ψt inverteerbaar is Als echter {x t,, xt} een fundamentaalverzameling is, dan is deze verzameling lineair onafhankelijk op het interval I en geldt: W x,, x n t x t x n t voor alle t I en dus ook voor t Hieruit volgt dat de matrix Ψt inverteerbaar is Voorbeeld 3 x t Axt met A Ψt 5 3 c n Dan volgt zie voorbeeld dat e t cos 3t e t sin 3t e t cos 3t + 3 sin 3t e t sin 3t 3 cos 3t 3

4 een fundamentaalmatrix is Stel dat A een n n-matrix is en dat x t Axt met x x Als dan Ψt een fundamentaalmatrix is van x t Axt, dan geldt: xt Ψtc met c Ψ x Stel nu dat Ψ I, de eenheidsmatrix, dan is ook Ψ I en volgt eenvoudig dat De fundamentaalmatrix Ψt die voldoet aan wordt aangeduid met Hierbij geldt: e At : n xt Ψtx Ψ t AΨt en Ψ I Ψt expat e At At n I + At + n! A t + 6 A3 t 3 + Merk op dat elke term in deze som een n n-matrix is Men kan aantonen dat elk element van de som van deze matrices voor elke t convergeert als n We kunnen deze som dan termsgewijs differentiëren naar t: d dt eat Verder geldt: n A n t n n! e At t A + A t + A3 t + A I + At + A t + A At n n I + At + A t + 6 A3 t 3 + t I n! Ae At Deze matrix e At is dus inderdaad de unieke oplossing van Voorbeeld 4 x t Axt met A Ψ t AΨt en Ψ I 4 A λi λ 4 λ λ + λ 6 λ λ + 3 λ en λ 3 λ : v

5 en λ 3 : De algemene oplossing is dus: xt c Dus is bijvoorbeeld Ψt Maar wat is nu e At? 4 4 e t + c 4 e t e 3t e t 4e 3t v 4 e 3t met c, c R een fundamentaalmatrix van x t Axt Voor e At moet dus gelden: e At x t x t met x en x, waarbij x t en x t oplossingen zijn van x t Axt Dus: x t a e t + a e 3t met a 4, a R en x t b Nu moet dus gelden dat a + a 4 e t + b 4 e 3t met b, b R en b + b 4 We kunnen deze twee vectorvergelijkingen tegelijkertijd oplossen: Hieruit volgt: { a 4/5 en dus: en Hieruit volgt dat x t 4 5 x t 5 e At a /5 en e t e t 5 4 { b /5 b /5 4 e 3t 5 et + 5 e 3t 4 5 et 4 5 e 3t 5 et 5 e 3t e 3t 4 5 et + 5 e 3t 5 et 5 e 3t 4 5 et 4 5 e 3t 5 et e 3t 5 5 et e 3t

6 Stel nu x t Axt, waarbij de n n-matrix A diagonaliseerbaar is Dat wil zeggen: A P DP oftewel AP P D voor zekere inverteerbare matrix P en diagonaalmatrix D Als nu P v v n en D diagλ,, λ n, dan geldt dus Av i λ i v i voor i,,, n Dus: Stel nu xt P yt, dan volgt: xt c v e λ t + + c n v n e λnt met c,, c n R x t Axt P y t AP yt y t P AP yt Dyt, want P is inverteerbaar Dit proces wordt wel ontkoppelen genoemd De differentiaalvergelijking x t Axt stelt in het algemeen een stelsel gekoppelde differentiaalvergelijkingen voor, terwijl de vergelijking y t Dyt een stelsel niet-gekoppelde of ontkoppelde differentiaalvergelijkingen weergeeft Immers: y t Dyt y t λ y t y nt λ n y n t en dus: e Dt diage λt,, e λnt Hieruit volgt dat Ψt P e Dt v v n e λ t e λnt y t c e λ t y n t c n e λnt v e λ t v n e λnt een fundamentaalmatrix is van x t Axt Dit betekent dus dat xt Ψtc c v e λ t + + c n v n e λnt met c,, c n R Verder zien we nu eenvoudig dat e At P e Dt P, want P IP P P I Dus: als de matrix A diagonaliseerbaar is en A P DP met P een inverteerbare matrix en D diagλ,, λ n een diagonaalmatrix, dan is e At P e Dt P, waarbij e Dt diage λ t,, e λnt Voorbeeld 5 In het vorige voorbeeld hebben we gezien dat A P DP 4 met P en D diag, Dus: e At P e Dt P 4 e t e 3t 5 e t 4e 3t e t e 3t e t + e 3t e t e 3t 4e t 4e 3t e t + 4e 3t

7 Voorbeeld 6 x t Axt met A 5 3 A λi λ Dan volgt: ve λt i 5 3 λ λ + i : λ + λ + λ + + λ ± i i 5 i e t cos t + i sin t cos t cos t + sin t Hieruit volgt dat bijvoorbeeld e Ψt t cos t e t sin t e t cos t + sin t e t sin t cos t een fundamentaalmatrix is van x t Axt v i e t + i sin t sin t cos t cos t sin t cos t + sin t sin t cos t e t e t In dit geval is de matrix A dus niet reëel diagonaliseerbaar Om nu e At te bepalen, berekenen we vul t in: Voor de eerste kolom van e At vinden we dus: cos t e t sin t + cos t + sin t sin t cos t En voor de tweede kolom vinden we: cos t e t cos t + sin t Dus: e At cos t + sin t sin t 5 sin t cos t sin t sin t sin t cos t e t cos t + sin t 5 sin t e t sin t cos t sin t e t e t e t e t cos t + sin t e t sin t 5e t sin t e t cos t sin t 78 Meervoudige eigenwaarden Als een matrix A meervoudige eigenwaarden heeft, dan kan zich een probleem voordoen als er niet voldoende lineair onafhankelijke eigenvectoren van A gevonden kunnen worden Uit de Lineaire Algebra weten we dat als de algebraïsche multipliciteit van elke eigenwaarde van A gelijk is aan de meetkundige of geometrische multipliciteit, dan is de matrix A diagonaliseerbaar en is er in feite geen probleem Voorbeeld x t Axt met A A λi λ λ λ λ λ λ λ λ 7

8 Dus: λ en λ tweemaal en λ λ 3 : Dus: λ : xt c e t + c v e t + c 3 v en v 3 e t met c, c, c 3 R Dit is de algemene oplossing, want de Wronskiaan van de drie oplossingen is gelijk aan e t e t e t e t e t et e t e t e t et e 3t e 4t Als een matrix niet reëel diagonaliseerbaar is omdat er niet-reële eigenwaarden optreden, dan is er ook geen probleem en passen we de methode van 76 toe Als een matrix A een meervoudige eigenwaarde heeft, waarvan de algebraïsche multipliciteit strikt groter is dan de meetkundige of geometrische multipliciteit, dan is er een serieus probleem De matrix A wordt in dat geval wel defect genoemd Hoe vinden we in die situatie van een defecte matrix voldoende lineair onafhankelijke oplossingen om een fundamentaalverzameling of een fundamentaalmatrix voor x t Axt te kunnen opstellen? Voorbeeld x t Axt met A 3 A λi λ 3 λ λ 4λ + 4 λ λ tweemaal Dus: A heeft slechts één eigenwaarde λ met algebraïsche multipliciteit Nu volgt: λ : v Dit betekent dat de meetkundige of geometrische multipliciteit van de eigenwaarde λ gelijk is aan De matrix A is dus defect en derhalve niet diagonaliseerbaar We weten nu dus dat x t ve λt e t een oplossing is De vraag is nu: hoe vinden we een tweede oplossing x t zodat {x t, x t} lineair onafhankelijk en dus een fundamentaalverzameling van x t Axt is? 8

9 Analoog aan de methode van onbepaalde coëfficiënten in hoofdstuk 3 en hoofdstuk 4 zouden we een oplossing van de vorm xt ute t kunnen proberen Dan geldt: x t ut + e t Invullen geeft dan: ut + e t Aute t u o Hoewel dit correct is levert dit geen niet-triviale oplossing waarmee we een fundamentaalverzameling kunnen vormen Als we echter een oplossing van de vorm xt u te t + u e t proberen, dan lukt het wel We vinden dan: x t u t + e t + u e t Invullen geeft dan: Hieruit volgt: oftewel u te t + u + u e t Au te t + Au e t Au u en Au u + u A Iu o en A Iu u De vector u is dus een eigenvector van A behorende bij de eigenwaarde, bijvoorbeeld u Voor de vector u vinden we dan: u We zien dus dat er oneindig veel oplossingen voor de vector u zijn, zoals bijvoorbeeld: u Zo n vector heet wel een gegeneraliseerde eigenvector van A behorende bij de eigenwaarde Dit betekent dus dat x t u te t +u e t te t + e t ook een oplossing is Voor de Wronskiaan van deze twee oplossingen vinden we: W x, x t e t t e t e t te t te4t + te 4t e 4t e 4t Dus: {x t, x t} is een fundamentaalverzameling van x t Axt De algemene oplossing kan dus geschreven worden als: [ ] xt c x t + c x t c e t + c te t + e t met c, c R Dit proces met gegeneraliseerde eigenvectoren kan worden uitgebreid tot situaties waarin A een eigenwaarde λ heeft met algebraïsche multipliciteit 3 en meetkundige of geometrische multipliciteit Zie ook opgave 7 Dan geldt: x t ue λt is een oplossing, waarbij A λiu o Dus: u is een eigenvector van A behorende bij de eigenwaarde λ Verder is dan x t ute λt + ve λt ook een oplossing, waarbij A λiv u Dus: v is een gegeneraliseerde eigenvector van A behorende bij de eigenwaarde λ Verder is dan ook x 3 t ut e λt + vte λt + we λt een oplossing, waarbij 9

10 A λiw v Ook w wordt dan een gegeneraliseerde eigenvector van A genoemd Zo kan men eventueel doorgaan met x 4 t 6 ut3 e λt + vt e λt + wte λt + ze λt, enzovoorts Voorbeeld 3 x t Axt met A A λi 3 λ λ 3 λ λ 4 3 λ 3 λ + λλ + λ + + λ 3 λ λ λ 3 λ + λ λ 4 3 λ Dus: λ is de enige eigenwaarde van A met algebraïsche multipliciteit 3 Vervolgens bepalen we de eigenvectoren van A bij de eigenwaarde λ : u 3 De eigenwaarde λ heeft dus meetkundige of geometrische multipliciteit Stel nu xt ut + ve t, dan volgt: Hieruit volgt: ut + u v e t Aut + ve t Au u en Av u v { A + Iu o A + Iv u oftewel A + I v o en u A + Iv Nu volgt: A + Iv u : 3 Er zijn dus vele mogelijkheden voor v, bijvoorbeeld v Stel vervolgens xt ut + vt + w e t, dan volgt: ut + ut vt + v w e t A ut + vt + we t Au u, Av u v en Aw v w

11 Hieruit volgt: A + Iu o A + Iv u A + Iw v oftewel A + I 3 w o, v A + Iw en u A + Iv Nu volgt: A + Iw v : 3 Er zijn dus vele mogelijkheden voor w, bijvoorbeeld w xt c + c 3 e t + c t e t + te t + te t + e t De oplossing is dus: e t, met c, c, c 3 R Ook in de situatie van een defecte matrix A waarbij een eigenwaarde λ algebraïsche multipliciteit 3 heeft en meetkundige of geometrische multipliciteit maakt men gebruik van gegeneraliseerde eigenvectoren In dat geval dient men echter de eigenvectoren wat zorgvuldiger te kiezen Als u dan een eigenvector van A is behorende bij de eigenwaarde λ, dan heeft A λiv u niet altijd een oplossing voor v Wel als de eigenvector u geschikt wordt gekozen Voorbeeld 4 x t Axt met A A λi λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λλ λ + λλ λ 3 Dus: λ is de enige eigenwaarde van A met algebraïsche multipliciteit 3 Vervolgens bepalen we de eigenvectoren van A bij de eigenwaarde λ : v en v

12 De eigenwaarde λ heeft dus meetkundige of geometrische multipliciteit Stel nu xt u t + u e t, dan volgt: u t + u + u e t Au t + u e t Au u en Au u + u Hieruit volgt: { A Iu o Nu moet u α A Iu u oftewel A I u o u A Iu + β Kies dus bijvoorbeeld α β : u zo gekozen worden dat A Iu u oplosbaar is: α α + β β Kies nu uit vele mogelijkheden bijvoorbeeld u homogene differentiaalvergelijking x t Axt: xt c t + et + c Via A I u o kan ook: A I α β α + β, dan luidt de oplossing van de e t + c 3 e t O Men kan dan u willekeurig kiezen De bijbehorende u volgt dan uit u A Iu De oplossing van x t Axt ziet er dan zo uit: xt c {u t + u } e t + c e t + c 3 e t In voorbeeld hebben we gezien dat x t e t en x t te t + e t

13 oplossingen zijn van x t Axt met A 3 t Ψt t Hieruit volgt dat bijvoorbeeld e t een fundamentaalmatrix is voor x t Axt Dan geldt: Ψ en Dus: Ψ Hieruit volgt dat e At ΨtΨ t e t t t e t t t + t Voor een diagonaliseerbare matrix A geldt: als A P DP voor zekere inverteerbare matrix P en diagonaalmatrix D, dan is e At P e Dt P, waarbij e Dt diage λt,, e λnt als D diagλ,, λ n Alle kolommen van P zijn dan eigenvectoren van de matrix A De matrix A is echter defect en dus niet diagonaliseerbaar Maar wel geldt: 3 A P JP met P en J Immers: P JP 3 A 3 De eerste kolom van P is een eigenvector van A, terwijl de tweede kolom een gegeneraliseerde eigenvector van A is De matrix J is geen diagonaalmatrix, maar op de hoofddiagonaal staan wel de eigenwaarden van A Zo n matrix J wordt wel de Jordan normaalvorm van A genoemd In zo n Jordan normaalvorm staan de eigenwaarden van A op de hoofddiagonaal en bevat de diagonaal daarboven op zekere plaatsen een en is de rest nul Zo n komt te staan boven een eigenwaarde waarvan de algebraïsche multipliciteit groter is dan de meetkundige of geometrische multipliciteit, maar alleen als er geen lineair onafhankelijke eigenvector meer bij gevonden kan worden Stel nu xt P yt, dan volgt: x t Axt P y t AP yt y t P AP yt Jyt In dit geval is het nieuwe stelsel differentiaalvergelijkingen weliswaar niet ontkoppeld, maar wel eenvoudiger dan het oorspronkelijke stelsel: { y t y t + y t { y t c e t + c te t y t Jyt y t y t y t c e t 3

14 en dus: yt y t y t c e t + c te t c e t c e t + c t e t Hieruit volgt dat Ψt t e t een fundamentaalmatrix is voor y t Jyt Merk op, dat Ψ e Jt ΨtΨ Ψt t e t Ten slotte vinden we dan e At P e Jt P t e t t t e t t t e t t + t Voor de matrix A 3 P uit voorbeeld 3 geldt: A P JP met en J I Dus: De eerste kolom van P is een eigenvector van A, terwijl de tweede en derde kolom gegeneraliseerde eigenvectoren van A zijn En voor de matrix A P uit voorbeeld 4 geldt: A P JP met en J Hier zijn de eerste twee kolommen eigenvectoren van de matrix A en is de derde kolom een gegeneraliseerde eigenvector Maar in dit geval dient men de eigenvectoren wel geschikt te kiezen Merk op dat de tweede kolom precies de eigenvector is waarmee we de gegeneraliseerde eigenvector in de derde kolom konden vinden 4