Inleiding Wiskundige Systeemtheorie

Transcriptie

1 Inleiding Wiskundige Systeemtheorie Docent : Anton Stoorvogel [email protected] 1/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

2 Tx D Ax; x.t/ 2 R 2 x D 0 is een evenwichtspunt; beginnen we in x D 0 dan blijven we daar. Hoe kan het gedrag van het systeem er uit zien voor verschillende keuzes voor de matrix A? 2/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

3 Stabiele knoop T 1 λ 1 z 2 λ 2 x 2 T 2 z 1 x 1 3/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

4 Zadelpunt T 1 λ 1 λ 2 z 2 x 2 T 2 z 1 x 1 4/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

5 Instabiele knoop T 1 λ 1 λ 2 z 2 x 2 T 2 z 1 x 1 5/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

6 Stabiele focus λ 1 z 2 x 2 λ 2 z 1 x 1 6/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

7 Centraal punt λ 1 z 2 x 2 λ 2 z 1 x 1 7/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

8 Instabiele focus λ 1 z 2 x 2 λ 2 z 1 x 1 8/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

9 Systeem met oplossing x.t; x 0 /. Tx D f.x/; x.0/ D x 0 9/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

10 Evenwichtspunt Tx D f.x/; x.0/ D x 0 Een punt x met de eigenschap f.x/ D 0 wordt een evenwichtspunt genoemd. 10/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

11 Stabiliteit Een evenwichtspunt x wordt stabiel genoemd als: Voor elke " > 0 is er een ı > 0 zodanig dat: kx 0 xk < ı ) kx.t; x 0 / xk < " voor alle t > 0 11/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

12 Asymptotische stabiliteit Een evenwichtspunt x wordt asymptotisch stabiel genoemd als: x is stabiel Er is een ı > 0 zodanig dat: kx 0 xk < ı ) x.t; x 0 /! x als t! 1 12/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

13 Geen stabiliteit Een evenwichtspunt x wordt niet stabiel genoemd als het evenwichtspunt niet stabiel is. 13/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

14 Tx D Ax Asymptotisch stabiel als alle eigenwaarden in het open linker halfvlak liggen Niet stabiel als er eigenwaarden in het open rechter halfvlak liggen 14/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

15 Tx D Ax Stabiel als alle eigenwaarden in het gesloten linker halfvlak liggen eigenwaarden op de imaginaire as hebben een gelijke algebraïsche en geometrische multipliciteit. Niet stabiel als er eigenwaarden op de imaginaire as zijn met een algebraïsche multipliciteit die hoger is dan de geometrische multipliciteit 15/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

16 i J i D 0 : : : :: : :: : :: : : :: : :: : :: 0 : :: : :: i 16/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

17 met J i 2 C dd. e J it D e i t 1 t t 2 2Š t d 1.d 1/Š 0 : : : : :: : :: : : : :: : :: : :: t 2 2Š : : :: : :: t /27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

18 Routh test Voor asymptotische stabiliteit moeten de eigenwaarden allemaal in het open linkervlak liggen. We kijken naar: 0 D det.i A/ D n C a n 1 n 1 C C a 0 Alle nulpunten moeten in het open linker halfvlak liggen. 18/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

19 Routh tabel 1 a n 2 a n 4 a n 6 a n 1 a n 3 a n 5 a n 7 b 1 b 2 b 3 b 4 c 1 c 2 c 3 c 4 : : k 1 k 2 l 1 m 1 Stabiliteit als de elementen in de eerste kolom allemaal positief zijn. 19/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

20 b 1 D 1 a n 2 ˇa n 1 a n 3 ˇ b 2 D 1 a n 4 ˇa n 1 a n 5 ˇ c 1 D a n 1 a n 3 ˇ b 1 b 2 ˇ c 2 D a n 1 a n 5 ˇ b 1 b 3 ˇ d 1 D b 1 b 2 ˇc 1 c 2 ˇ d 2 D b 1 b 3 ˇc 1 c 3 ˇ 20/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

21 Alternatieve representatie: P 0.s/ D a n n C a n 1 n 1 C C a 0 P 1.s/ D P 0.s/ ˇ1 a n 1 n 1 C a n 3 n 3 C D b n 1 n 1 C b n 2 n 2 C C b 0 P 2.s/ D P 1.s/ ˇ2 b n 2 n 2 C b n 4 n 4 C D c n 2 n 2 C c n 3 n 3 C C c 0 Stabiliteit als de leidende coëfficiënten van deze n C 1 polynomen gelijk teken hebben. 21/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

22 4 C 5 3 C 10 2 C 10 C 4 D 0 heeft alle nulpunten in het open linker halfvlak. 5 C C 4 D 0 heeft niet alle nulpunten in het open linker halfvlak. 22/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

23 Evenwichtspunt.x 0 ; y 0 ; u 0 / heet een evenwichtspunt van het stelsel: Tx.t/ D f.x.t/; u.t/; t/ y.t/ D h.x.t/; u.t/; t/ als f.x 0 ; u 0 ; t/ D 0; h.x 0 ; u 0 ; t/ D y 0 voor alle t > 0. 23/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

24 Taylor approximatie We kunnen de functies f en h benaderen via de Taylor approximatie: en f.x; u/ D f.x 0 ; u 0 / 0;u 0 x 0 / 0;u 0 u 0 / C o.x x 0 ; u u 0 / h.x; u/ D h.x 0 ; u 0 / 0;u 0 x 0 / 0;u 0 u 0 / C o.x x 0 ; u u 0 / 24/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

25 Linearisatie Zij zx, zu en zy een oplossing van: Tzx.t/ D f.zx.t/; zu.t//; zx.0/ D x 0 zy.t/ D h.zx.t/; zu.t// Dan voldoen yx D x zx, yu D u zu en y D y zy bij benadering aan: Tyx.t/ D A.t/yx.t/ C B.t/yu.t/; yx.0/ D x 0 y.t/ D C.t/yx.t/ C D.t/yu.t/ 25/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

26 met: A.t/ C.t/ zu.t//; B.t/ D.t/ D.zx.t/; 26/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

27 Linearisatie Tx 1 D x 2 ; Tx 2 D ux 1 C x 2 2 x 1 1; y D x 2 1 C u3 Een linearisatie rond: u.t/ D sin t; x 1.t/ D sin t; x 2.t/ D cos t 27/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI