Derde serie opdrachten systeemtheorie

Transcriptie

1 Derde serie opdrachten systeemtheorie Opdracht 1. We bekijken een helicopter die ongeveer stilhangt in de lucht. Bij benadering kan zo n helicopter beschreven worden door het volgende stelsel vergelijkingen x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t), Σ y(t) = Cx(t), x(0) = x. De tijd t loopt met stappen van een seconde. De toestand x(t) heeft drie kentallen. Het eerste, x 1 (t), geeft de horizontale snelheid van de helicopter in meters per seconde op tijd t weer (positief is vooruit en negatief is achteruit). Het tweede, x 2 (t), de verandering van de hellingshoek in radialen per seconde, en het derde, x 3 (t), de hellingshoek zelf in radialen. We werken dus onder de vereenvoudigende aanname dat de helicopter alleen voorwaarts en achterwaarts kan vliegen en alleen voorover en achterover kan hellen. De piloot en een automatische stabilisator bedienen de rotor die voor- of achterover kan worden bewogen. De input is dus de hellingshoek van de rotor, u(t) in radialen. Van het model is verder gegeven dat het de helicopter redelijk beschrijft als de snelheid onder de 20 meter per seconde blijft, x 1 (t) < 20, en als verder x 2 (t) < 0,5 en x 3 (t) < 0,5. De matrices van het systeem zijn de volgende. A = C = ( )., B = Met de bij deze opdracht horende file op de web-pagina maak je in matlab de benodigde data: de matrices A, B en C, de startvector x0 (x 0 ), het karakteristieke polynoom pf (p F ), nodig voor het bepalen van de feed-back, de ruis EE (ɛ) voor de onderdelen 6, 7, 8 en 9, en de matrices Q en R voor onderdeel 8. Maak daarvoor eerst de kolom Snummer van jullie studentnummers in matlab. Vragen 1. We voeren een paar experimenten uit met het model van de helicopter. Neem aan dat de begintoestand gegeven is door x(0) = x 0. Bekijk in een grafiek en becommentarieer de snelheid van de helicopter gedurende (maximaal) één minuut die volgt uit de verschillende acties van de piloot, beschreven door de volgende inputfuncties u. 1,

2 (a) u(t) = 0 voor alle t. (b) u(t) = 1 πt sin voor t = 0, 1, Voor later gebruik: bereken in geval (a) een matrix X waarvan de kolommen de vectoren x(0), x(1),..., x(60) zijn en een matrix Y met als kolommen y(0), y(1),..., y(60). Wat valt er in geval (a) over de toestand (niet alleen de snelheid) van de helicopter op te merken? 2. Op basis van de resultaten van het vorige onderdeel zou men kunnen vermoeden dat A niet stabiel is. Ga na of A stabiel is, en of het systeem waarneembaar en bestuurbaar is. 3. We gaan een rijvector F construeren zó dat de matrix A + BF stabiel is. Daartoe leiden we eerst een formule af voor de feedback F in termen van de karakteristieke polynomen en p F (z) van respectievelijk A en A + BF. (a) We geven dat 1 F (zi A) 1 B = p F (z). Met andere woorden, 1 p F (z) het systeem is de overdrachtsfunctie (transferfunction) van { z(t + 1) = Az(t) + Bu(t), y(t) = F z(t), (De formule voor p F (z) is analoog aan die uit de inleiding van serie 2). (b) Zij nu p F (z) = α 1 z 1 + α 2 z 2 + α 3 z 3 + z 3 R 3 (z) met lim z R 3 (z) = 0. Toon aan dat F ( B AB A 2 B ) = ( F B F AB F A 2 B ) = ( α 1 α 2 α 3 ). (Aanwijzing: bedenk wat dit met impulsresponsmatrices te maken heeft.) (c) Het polynoom pf, dat je in matlab maakt, wordt het karakteristieke polynoom van de matrix A+BF. Bereken daarmee de F. Wat zijn nu de eigenwaarden van A+BF en stemmen die overeen met je verwachting? Aan welke voorwaarde moet (A, B) voldoen opdat de boven beschreven berekeningen met succes kunnen worden uitgevoerd? 2

3 4. Bepaal nu een toestandswaarnemer (state observer) voor Σ: door R te berekenen. z(t + 1) = Az(t) + Bu(t) + R ( y(t) Cz(t) ), Aanwijzing: Bepaal R door het algorithme voor de bepaling van F in onderdeel 3 aan te passen voor rijen in plaats van kolommen. Je moet nu zelf een karakteristiek polynoom p R voor A RC kiezen. Het polynoom p F uit het vorige onderdeel heeft eigenwaarden die voor een toestandswaarnemer een wat grote absolute waarde hebben. Kies dus zelf geschikte nulpunten voor het karakteristiek polynoom van A RC. Nuttig is daarbij de matlab-functie poly die ondermeer bij voorgeschreven nulpunten een bijbehorend polynoom kan produceren. Controleer de eigenwaarden van A RC. We kiezen de waarden van u(t) en y(t) zoals berekend in vraag 1(a), en gaan hiermee doe toestanden x(t) schatten. We berekenen dus de z(t) voor een aantal waarden van t uitgaande van z(0) = 0. Lijkt inderdaad x(t) z(t) naar nul te gaan? (x(t) was bij vraag 1(a) bewaard!) 5. Maak nu een automatische stabilisator voor de helicopter, die door terugkoppeling van de snelheid y naar de rotorhoek u de helicopter stabiliseert. Bereken dus het resulterende closed loop systeem x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t), t = 0, 1,..., Hier: Σ cl y(t) = Cx(t), t = 0, 1,..., u(t) = F z(t), t = 0, 1,..., z(t + 1) = Az(t) + Bu(t) + R ( y(t) y(t) ), t = 0, 1,..., y(t) = Cz(t), t = 0, 1,.... x(t) is de (onbekende) toestand van het systeem; y(t) is de (gemeten) output van het systeem; z(t) is de (bekende) schatting van de toestand van het systeem; u(t) is de berekende input van het systeem; y(t) is de (berekende) schatting van de output, gebaseerd op de geschatte toestand; R is de matrix bepaald bij de vorige vraag; F is de feedback bepaald bij vraag 3. Elimineer u(t), y(t), en y(t) uit Σ cl. Er komt Σ cl { x(t + 1) = Ax(t) + BF z(t), t = 0, 1,..., z(t + 1) = RCx(t) + (A RC + BF )z(t), t = 0, 1,... 3

4 Bereken in matlab de matrices in deze vorm van het gesloten systeem. Boven is bekeken wat het effect is van x(0) = x 0 (in matlab x0) zonder ingrijpen van de piloot. Hier nemen we aan dat we wel de snelheid kennen maar niet de andere componenten van de toestand. Begin daarom met x(0) = x 0 en z(0) = ( x 0 (1) 0 0 ) T en ga na wat het verloop van de toestand x is gedurende een minuut. 6. Het model dat we bekijken is niet precies. In de eerste plaats is het een benadering. Daarnaast zijn er kleine storingen door bijvoorbeeld wind en speling in het mechaniek. We gaan deze onnauwkeurigheden simuleren met een verstoring ɛ(t), die in matlab als de 3 61 matrix EE wordt gegenereerd. Bewaar de tijdreeks ɛ voor later gebruik! Kies nu u(t) = 0 voor alle t en x = 0. Het systeem wordt dan x(t + 1) = Ax(t) + ɛ(t), y(t) = Cx(t), x(0) = 0. Bekijk het verloop van x(t) gedurende een minuut door het in grafieken voor de drie componenten weer te geven. Voorzie die grafieken van commentaar (wat zie je, hoe komt dat, etc.). 7. Nu doen we hetzelfde als bij het vorige onderdeel maar nu met het door ouputterugkoppeling gestabiliseerde closed loop-systeem: x(t + 1) = Ax(t) + BF z(t) + ɛ(t), t = 0, 1,..., z(t + 1) = RCx(t) + (A RC + BF )z(t), t = 0, 1,... x(0) = 0. z(0) = 0. Bekijk het verloop van de toestand gedurende een minuut. Wat is het verschil met de vorige vraag? 8. We willen nu dat onze stabiliserende terugkoppeling extra eigenschappen heeft. We willen niet dat de helling groot wordt of te veel verandert. Met andere woorden, we kiezen er voor om in de eerste plaats de helicopter horizontaal te houden. Daarom voeren we een kostenfunctie in bij het berekenen van de terugkoppeling. We kiezen voor de kosten J(x(0), u) = Q(1, 1)x 1 (t) 2 + Q(2, 2)x 2 (t) 2 + Q(3, 3)x 3 (t) 2 + Ru(t) 2. t=0 Bereken nu een voor deze kostenfunctie optimale terugkoppeling. Herhaal nu met deze terugkoppeling het experiment uit van vraag 7. Vergelijk de resultaten en geef aan of de kostenfunctie het gewenste resultaat heeft gehad. 4

5 9. Neem nu zelf een andere kostenfunctie, leg de achtergronden van je keuze uit, en experimenteer met de daarbij horende terugkoppeling. Ga na of de terugkoppeling het beoogde effect heeft gehad. 5