De comfortabele auto
|
|
- Karolien Christiaens
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 De comfortabele auto 1e Matlab practicum Inleiding Wiskundige Systeemtheorie (156056) (inleveren tot en met vrijdag 13 Maart 2009, via Teletop). Dit is de eerste van twee verplichte Matlab/Simulink-practica voor het vak Inleiding Wiskundige Systeemtheorie (IWS). Op vrijdag 6 maart (1+2 uren) kan er onder begeleiding aan worden gewerkt (Zilverling, ZI 4054a,b,c). De week daarop dient het practicum in eigen tijd te worden afgerond. Miklós Vajta begeleidt de practica. Voor deze practica is Matlab noodzakelijk (Simulink komt pas in de tweede opdracht aan bod). Pas op: Maple kan niet gebruikt worden. Op TeleTop (Archief) staan enkele beknopte handleidingen Matlab. De practica mag in groepjes van hooguit twee personen worden uitgevoerd (en per groepje één verslag). Maak een voorpagina met titel, practicumnummer, uw naam (of namen), datum, studentnummer. Houd het verslag bondig, maar wel met inleiding, duidelijke beschrijving van de door jullie gemaakte stappen inclusief wiskundige afleiding en plots en Matlab-code. Geef een duidelijke uitleg van de verschillende stappen inclusief vergelijkingen. Het verslag moet uiterlijk op vrijdag 13 maart (2009) worden ingeleverd via TeleTop (als word of pdf). De practica worden beoordeeld (van 0 t/0) en de beoordeling beïnvloedt je eindcijfer (zie Teletop). 1
2 1 De comfortabele auto Figuur 1 geeft in drie niveaus van abstractie een rijdende auto weer. In dit practicum gaat het over de analyse van het gedrag van deze auto, in het bijzonder hoe de auto (carrosserie) en de stoel reageren (trillen) als gevolg van een hobbelig wegdek. We vatten de auto in dit verband op als opgebouwd uit twee componenten: de carrosserie en de stoel. De positie (hoogte) van het wegdek geven we aan met u(t) dat is de ingang van ons systeem de positie van de carrosserie geven we aan met ȳ 1 + y 1 (t) en de positie van de stoel met ȳ 2 + y 2 (t). Hierbij zijn ȳ 1 = 0.3, ȳ 2 = 0.6 de evenwichtsposities voor het geval dat u(t) 0. De y 1 (t) en y 2 (t) geven derhalve de afwijking t.o.v. deze evenwichtsposities weer. k 2 d 2 y 2 (t) k 1 d 1 y 1 (t) ȳ 2 = 0.6 u(t) ȳ 1 = 0.3 (c) Figuur 1: De comfortabele auto De carrosserie modelleren we als een zware massa die via demper d 1 en veer k 1 contact maakt met het wegdek. Netzo modelleren we de stoel (inclusief passagier) als een massa die via demper d 2 en veer k 2 verbonden is met de carrosserie. Dit geeft, analoog aan voorbeeld (p.25), de systeemvergelijkingen ÿ 1 + d 1 (ẏ 1 u) + k 1 (y 1 u) d 2 (ẏ 2 ẏ 1 ) k 2 (y 2 y 1 ) = 0, ÿ 2 + d 2 (ẏ 2 ẏ 1 ) + k 2 (y 2 y 1 ) = 0. (1) 2
3 u y 1 y 2 Σ y carrosserie Σ stoel 2 Figuur 2: Schematische weergave van de comfortable auto De evenwichten ȳ 1 en ȳ 2 komen in deze vergelijkingen niet voor. We gaan ervan uit dat de autobanden altijd contact houden met het wegdek. Opdracht-1 Schrijf het systeem in de vorm [ P11 ( d dt ) P 12( d dt ) ] [y1 ] [ Q11 ( d dt P 21 ( d dt ) P 22( d dt ) = ) ] u (2) y 2 0 en ga na m.b.v. lemma (p.76) dat het systeem asymptotisch stabiel is voor = d 1 = k 1 = 4 en = d 2 = k 2 = 1. [Hint: in Matlab kun je nulpunten van een polynoom p(s) = 2s 2 +10s+12 uitrekenen m.b.v. het commando roots([ ]). Afhankelijk van de aanwezige toolboxen kun je ook s=tf( s ); zero(2*s^2+10*s+12) proberen. Je mag natuurlijk ook Routh-Hurwitz gebruiken.] Opdracht-2 Het is prettig om het systeem opgebouwd te denken uit twee deelsystemen, namelijk de carrosserie en de stoel, zie figuur 2. De stoel vatten we hier op als een systeem met ingang y 1 (t) en als uitgang y 2 (t). De carrosserie vatten we op als een systeem met ingang u(t) en y 2 (t). Voor deze twee deelsystemen kunnen we de waarnemercanonieke vormen bepalen (lemma 3.2.3, p.66): ] [ [ẋ1 = Σ carrosserie : ẋ 2 y 1 = x 2 ] [ [ẋ3 = Σ stoel : ẋ 4 y 2 = x 4 0 k 1+k 2 1 d 1+d 2 0 k 2 1 d 2 ] [x1 x 2 ] [x3 ] + x 4 ] [ k1 + k 2 d 1 d 2 [ ] k2 d 2 y 1 ] [ ] u y 2 (3) Elimineer y 1 en y 2 uit deze vergelijkingen en bepaal daarmee de totale toestandsrepresentatie (d.w.z. bepaal A,B,C): ẋ = Ax + Bu, y = Cx (4) met x = [x 1,x 2,x 3,x 4 ] T en y = [y 1,y 2 ] T. [Hint: ter controle: de eigenwaarden van de A-matrix moeten gelijk zijn aan de nulpunten van det(p(s)) van de vorige opgave. In Matlab bepaal je eigenwaarden met eig(a).] 3
4 Opdracht-3 Franse auto slappe stoel. Neem als constanten = 1400, d 1 = 1000, k 1 = 1000, = 100, d 2 = 50, k 2 = 50. en simuleer nu de toestand x(t) voor u(t) 0 [vlakke weg] en begintoestand x(0) = (0, 0.2, 0, 0) carrosserie begint laag en daarna voor x(0) = (0, 0, 0, 0.2) stoel begint laag In beide gevallen plot de posities ȳ 1 +y 1 (t) en ȳ 2 +y 2 (t) in één figuur voor t [0,20]. Is het verschil in reactie op de twee begintoestanden logisch? Bepaal vervolgens de eigenwaarden van de matrix A en relateer dit aan de gesimuleerde bewegingen van stoel-carrosserie. [Hint: zie appendix A.4 (p.169) van het dictaat.] [Hint: in Matlab kun je meerdere grafieken in een plot bijv. zo maken: plot(t,sin(t),t,cos(t), rg ) of zo: plot(t,sin(t), r ); hold on; plot(t,cos(t), g ); hold off.] Opdracht-4 De stugge stoel. Verhoog de demper en veerconstante van de stoel: = 1400, d 1 = 1000, k 1 = 1000, = 100, d 2 = 200, k 2 = 100 Als in de vorige opgave simuleer de toestand x(t) voor u(t) 0 en begintoestand x(0) = (0, 0.2,0,0) en plot ȳ 1 +y 1 (t) en ȳ 2 +y 2 (t) in één figuur. Relateer wederom de bewegingen aan de eigenwaarden van de A-matrix. [Opmerking: tegenwoordig kun je in de duurste klasse auto s de hardheid van de schokdempers tijdens het rijden aanpassen met een zgn. sportknop.] Opdracht-5 Oplossing met de exponentiaalmatrix. In het dictaat is afgeleid (p.31) dat de oplossing van de toestandsvergelijking t x(t) = e A(t t0) x 0 + e A(t τ) Bu(τ)dτ t 0 (5) waar x 0 = x(0). Bereken m.b.v. Matlab de toestand x(t), t [0,20] voor begintoestand x(0) = (0, 0.2,0,0) met t 0 = 0 en u(t) 0. Plot alle toestandsvariabelen voor t [0,20]. [Pas op: matrix A hoeft niet gediagonaliseerd te worden.], [Hint: in Matlab kun je de exponentiaalmatrix berekenen met expm. Zie ook dictaat, p.169.] 4
5 Opdracht-6 Parametervariaties reverse engineering. Om realistische waarden voor de demper d 1 van de carrosserie te vinden gaan we na hoe de carrosserie trilt voor verschillende d 1 als het wegdek ineens één eenheid toeneemt: h = 0.05; % simulatiestap t = 0:h:20; % d.w.z. dat t=[0 h 2h... 20] u = real(t>1); % u=[ ] plot(t,u); % laat wegdek zien Bepaal de uitwijking y 1 (t) voor bovenstaande ingang en x(0) = (0,0,0,0) en de parameterwaarden van opgave 4 maar varieer daarbij d 1 over alle d 1 {250,500,750,...,2000}. Geef de 8 uitwijkingen y 1 (t) in één figuur weer voor t [0,20]. Is het gedrag van een zachte demper (d 1 klein) en hard demper (d 1 groot) naar verwachting? Opdracht-7 De verkeersdrempel. Tot dusver gingen we uit van een egaal vlakke weg (u(t) 0). We gaan nu onderzoeken wat er gebeurt als we over een verkeersdrempel rijden. Eerst nemen we aan dat de drempel een sinus-profiel heeft. Gebruik de hieronder aangegeven Matlab-code. h = 0.05; % simulatiestap t = 0:h:14; % d.w.z. dat t=[0 h 2h... 14] v = 3.0; % snelheid in [m/sec] (=10.8km/uur) Lhob = 4.5; % lengte drempel in [m] Hhob = 0.20; % hoogte drempel in [m] ah = 2.0; % tijd begin drempel in [sec] bh = ah + Lhob/v; % tijd einde drempel in [sec] T = bh - ah; % tijd op drempel u = Hhob*sin(pi*(t-ah)/T).*(t > ah).*(t < bh); plot(t,u); Gebruik de parameters van opdracht 4 (stugge stoel): = 1400, d 1 = 1000, k 1 = 1000, = 100, d 2 = 200, k 2 = 100 met x(0) = (0,0,0,0) en laat in één plot de drie posities u(t),ȳ 1 + y 1 (t),ȳ 2 + y 2 (t) zien als functie van tijd t [0,14]. De hoogte van de drempel is 20 cm. Bepaal de maximale uitwijking van stoel en carrosserie ten opzichte van hun evenwichtspositie. Opdracht-8 Twee hobbels de stuiterende passagier. In sommige gevallen zijn er twee hobbels (van de vorm zoals in de vorige opgave) achter mekaar, dus twee hobbels elk met amplitude 0.20, zoiets als dit: 0.20 z Herhaal de vorige opgave en neem eerst z = 1.5 [m]. Wat zien we? Wat is het effect van de tweede hobbel? Bepaal de twee (lokaal) maximale afwijkingen van stoel en carosserie, en ook het tijdstip waarop dat gebeurt. De volgende vraag is: wat er gebeurt als de afstand tussen de hobbels korter wordt? Herhaal de simulatie met bijvoorbeeld z = 0. Bepaal nu de maximale afwijkingen van carrosserie en stoel en vergelijk met de vorige simulatie (met z = 1.5). Wegens fysische redenen is de maximale uitrek (uitwijking) van een schokdemper gelimiteerd. De schokdemper kan beschadigd raken als deze boven een maximale 5
6 waarde wordt uitgerekt. Bepaal de minimale afstand (met simulatie) tussen twee hobbels als de maximale afwijking van de demper max(y 1 (t)) = 15 [cm] is. Wat zijn nu de (lokale) maximale afwijkingen van stoel en carrosserie? [Hint: maak een serie van simulatie met verschiellende afstand z tussen de twee hobbels an plot het simulatieresultaat op een plaatje.] [Opmerking: Twee hobbels direct achter elkaar zijn geen uitzonderingen. Een goede voorbeeld is te zien op de Zwavertsweg in Hengelo-Noord.] Opdracht-9 Langzaam of snel over de verkeersdrempel. Ga weer uit van de enkele sinushobbel (opdracht 7) maar verhoog nu de snelheid van v=3 [m/s] naar v=10 [m/s] ( 36 [km/uur]). Toon weer het effect op carrosserie en stoel. Durf je de stelling aan dat hardrijden over een hobbel beter voor de bestuurder is dan langzaam? Opdracht-10 De snelheid van de stoel. Als ẋ = Ax + Bu en y = Cx dan volgt dat ẏ = Cẋ = CAx + CBu. (6) Gebruik dit om de snelheid van stoel en carrosserie te plotten voor de u(t) van de vorige opgave. Is de snelheid van de carrosserie differentieerbaar (als functie van tijd)? Is de snelheid van de stoel differentieerbaar? 6
Tweede Programmeeropgave Numerieke Wiskunde 1 De golfplaat Uiterste inleverdatum : vrijdag 16 mei 2003
Tweede Programmeeropgave Numerieke Wiskunde 1 De golfplaat Uiterste inleverdatum : vrijdag 16 mei 2003 I Doelstelling en testcase In deze programmeeropgave zullen we een drietal numerieke integratiemethoden
Nadere informatieOpdracht 3: Baanintegratie: Planeet in een dubbelstersysteem
PLANETENSTELSELS - WERKCOLLEGE 3 EN 4 Opdracht 3: Baanintegratie: Planeet in een dubbelstersysteem In de vorige werkcolleges heb je je pythonkennis opgefrist. Je hebt een aantal fysische constanten ingelezen,
Nadere informatieDerde serie opdrachten systeemtheorie
Derde serie opdrachten systeemtheorie Opdracht 1. We bekijken een helicopter die ongeveer stilhangt in de lucht. Bij benadering kan zo n helicopter beschreven worden door het volgende stelsel vergelijkingen
Nadere informatieTentamen Systeemanalyse (113117)
Systeemanalyse (113117) 1/6 Vooraf Tentamen Systeemanalyse (113117) 17 augustus 2010, 8:45 12:15 uur Dit is een open boek tentamen, hetgeen betekent dat gebruik mag worden gemaakt van het dictaat Systeemanalyse
Nadere informatieIntroductie. Wiskunde in actie : Bungeejumpen met een rugzak!
Introductie Wiskunde in actie : Bungeejumpen met een rugzak! Kees Lemmens, Email: C.W.J.Lemmens@Ewi.TUDelft.nl, Faculty of Electrotechnical Engineering, Mathematics and Computer Science, Delft University
Nadere informatie6 Ongelijkheden. Verkennen. Uitleg. Theorie en voorbeelden. Los het probleem rond de huur van een kopieermachine op.
6 Ongelijkheden Verkennen Ongelijkheden Inleiding Verkennen Los het probleem rond de huur van een kopieermachine op. Uitleg Ongelijkheden Theorie Opgave 1 In de Uitleg zie je hoe de ongelijkheid 0,05v
Nadere informatieHoe vliegt een waterraket? Werkblad Do It 8.2. Datum
Klas Voor/achternaam: Voor/achternaam: Hoe vliegt een waterraket? Datum Afspraak: - Inleveren via N@Tschool bereikbaar via www.orionelo.nl - Te laat inleveren heeft invloed op je punt - Telt mee als PW-punt
Nadere informatiePracticumverslag ingeleverd op
Verslag door Anke 914 woorden 12 juni 2017 8 28 keer beoordeeld Vak Methode NaSk Nova racticum uitgevoerd op 21-09- 16 Practicumverslag ingeleverd op 01-11- 16 1. Inleiding Om een veer uit te kunnen laten
Nadere informatieCase Simulink EE4- Building a SSV - Team PM1 21 maart 2014
Case Simulink EE4- Building a SSV - Team PM1 21 maart 2014 Inhoudsopgave Inhoudsopgave... 1 Figurenlijst... 1 Inleiding... 2 Gedrag van het zonnepaneel gekoppeld aan een weerstand... 2 Gedrag van de DC-motor
Nadere informatieInleiding Wiskundige Systeemtheorie
Inleiding Wiskundige Systeemtheorie 156056 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/32 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Definitie Een ingang-uitgang systeem H heet een
Nadere informatie3 Bijzondere functies
3 Bijzondere functies Verkennen grafieken Bijzondere functies Inleiding Verkennen Probeer de drie vragen te beantwoorden. Uitleg grafieken Bijzondere functies Uitleg Opgave 1 Bekijk de eerste pagina van
Nadere informatie4,4. Praktische-opdracht door een scholier 2528 woorden 23 juni keer beoordeeld. Natuurkunde. De Veer. Het bepalen van de veerconstante,
Praktische-opdracht door een scholier 2528 woorden 23 juni 2004 4,4 127 keer beoordeeld Vak Natuurkunde De Veer Het bepalen van de veerconstante, Het bepalen van de trillingstijd van een veer, Het bepalen
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,
Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd
Nadere informatieStatistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening
Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Inleveren: 12 januari 2011, VOOR het college Afspraken Serie 1 mag gemaakt en ingeleverd worden in tweetallen. Schrijf duidelijk je naam, e-mail
Nadere informatieEerste serie opgaven Systeemtheorie
Eerste serie opgaven Systeemtheorie Deze serie bestaat uit oefeningen en opdrachten. De oefeningen zijn bedoeld om je wegwijs te maken in Matlab en de toepassingen in de wiskunde. De opdrachten moet je
Nadere informatieNaam: examennummer:.
Naam: examennummer:. Geef de uitwerking van de opgaven steeds op de lege zijde rechts naast de opgave. Geef duidelijk de onderdelen aan. De vragen moeten op de stencils beantwoord worden. Lever geen andere
Nadere informatieTentamen Inleiding Meten Vakcode 8E020 22 april 2009, 9.00-12.00 uur
Tentamen Inleiding Meten Vakcode 8E april 9, 9. -. uur Dit tentamen bestaat uit opgaven. Indien u een opgave niet kunt maken, geeft u dan aan hoe u de opgave zou maken. Dat kan een deel van de punten opleveren.
Nadere informatieHoofdstuk 8 - Periodieke functies
Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde Hoofdstuk 8 - Periodieke functies ladzijde 8 V-a c Na seconden = slagen per minuut ca., millivolt V-a Ja, met periode Nee Mogelijk, met periode = en amplitude
Nadere informatieBIOFYSICA: Toets I.4. Dynamica: Oplossing
1 ste jaar Bachelor BIOMEDISCHE WETENSCHAPPEN Academiejaar 006-007 BIOFYSICA: Toets I.4. Dynamica: Oplossing 1 Opgave 1 Een blokje met massa 0, kg heeft onder aan een vlakke helling een snelheid van 7,
Nadere informatieOpgave 1 Golven op de bouwplaats ( 20 punten, ) Een staalkabel met lengte L hangt verticaal aan een torenkraan.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Opleiding Elektrotechniek EE1200-B - Klassieke en Kwantummechanica - deel B Hertentamen 13 maart 2014 14:00-17:00 Aanwijzingen:
Nadere informatieModelleren 1A, TW1050-A
Modelleren 1A, TW1050-A Probleemstelling Conclusies Valideren Modelvorming Rekenmethode Vandaag: Wat is modelleren? Organisatie practicum College stelsels differentiaalvergelijkingen Eerste college Modelleren
Nadere informatie7. Hamiltoniaanse systemen
7. Hamiltoniaanse systemen In de moleculaire dynamica, maar ook in andere gebieden zoals de hemelmechanica of klassieke mechanica, worden oplossingen gezocht van het Hamiltoniaanse systeem van differentiaalvergelijkingen
Nadere informatieInleiding Wiskundige Systeemtheorie 156056
Inleiding Wiskundige Systeemtheorie 156056 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Evenwichtspunt.x 0 ; y 0 ; u 0 / heet een evenwichtspunt
Nadere informatieTentamen Simulaties van Biochemische Systemen - 8C110 en 8CB19 4 Juli uur
Tentamen Simulaties van Biochemische Systemen - 8C0 en 8CB9 4 Juli 04-900-00 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 7 opgaven verdeeld over pagina s Op pagina 4 staat voor iedere opgave
Nadere informatieTheorie: Snelheid (Herhaling klas 2)
Theorie: Snelheid (Herhaling klas 2) Snelheid en gemiddelde snelheid Met de grootheid snelheid geef je aan welke afstand een voorwerp in een bepaalde tijd aflegt. Over een langere periode is de snelheid
Nadere informatieSchriftelijke zitting Systeem- en regeltechniek 2 (WB2207) 29 januari 2009 van 14:00 tot 17:00 uur
Schriftelijke zitting Systeem- en regeltechniek 2 (WB2207) 29 januari 2009 van 14:00 tot 17:00 uur Onderstaande aanwijzingen nauwkeurig lezen. Vul op het voorblad uw naam, voorletters, studienummer en
Nadere informatieSchriftelijk examen 2e Ba Biologie Fysica: elektromagnetisme 2011-2012
- Biologie Schriftelijk examen 2e Ba Biologie 2011-2012 Naam en studierichting: Aantal afgegeven bladen, deze opgaven niet meegerekend: Gebruik voor elke nieuwe vraag een nieuw blad. Zet op elk blad de
Nadere informatievwo: Het maken van een natuurkunde-verslag vs 21062011
Het maken van een verslag voor natuurkunde, vwo versie Deze tekst vind je op www.agtijmensen.nl: Een voorbeeld van een verslag Daar vind je ook een po of pws verslag dat wat uitgebreider is. Gebruik volledige
Nadere informatieVOORBLAD SCHRIFTELIJKE TOETSEN
VOORBLAD SCHRIFTELIJKE TOETSEN OPLEIDING : MECHATRONICA TOETSCODE : UITWERKINGEN MECH5-T GROEP : MEH2 TOETSDATUM : 4 APRIL 206 TIJD : :00 2:30 AANTAL PAGINA S (incl. voorblad) : 9 DEZE TOETS BESTAAT UIT
Nadere informatieAlgoritmen en programmeren: deel 1 - overzicht
Algoritmen en programmeren: deel 1 - overzicht Ruud van Damme Creation date: 15 maart 2005 Update: 3: september 2006, 5 november 2006, 7 augustus 2007 Overzicht 1 Inleiding 2 Algoritmen 3 Programmeertalen
Nadere informatiem C Trillingen Harmonische trilling Wiskundig intermezzo
rillingen http://nl.wikipedia.org/wiki/bestand:simple_harmonic_oscillator.gif http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/simple_harmonic_motion_animation.gif Samenvatting bladzijde 110: rilling
Nadere informatieTENTAMEN NATUURKUNDE
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN NATUURKUNDE TENTAMEN NATUURKUNDE tweede voorbeeldtentamen CCVN tijd : 3 uur aantal opgaven : 5 aantal antwoordbladen : 1 (bij opgave 2) Iedere opgave dient op een afzonderlijk
Nadere informatieRespons van een voertuig bij passage over een verkeersdrempel
Respons van een voertuig bij passage over een verkeersdrempel G. Lombaert en G. Degrande. Departement Burgerlijke Bouwkunde, K.U.Leuven, Kasteelpark Arenberg 40, B-3001 Leuven 1 Formulering van het probleem
Nadere informatieTheorie: Het maken van een verslag (Herhaling klas 2)
Theorie: Het maken van een verslag (Herhaling klas 2) Onderdelen Een verslag van een experiment bestaat uit vier onderdelen: - inleiding: De inleiding is het administratieve deel van je verslag. De onderzoeksvraag
Nadere informatie2.1 Twee gekoppelde oscillatoren zonder aandrijving
Hoofdstuk Twee gekoppelde oscillatoren.1 Twee gekoppelde oscillatoren zonder aandrijving We beschouwen als voorbeeld van een systeem van puntmassa s die gekoppeld zijn aan elkaar en aan twee vaste wanden
Nadere informatieLessen in Krachten. Door: Gaby Sondagh en Isabel Duin Eckartcollege
Lessen in Krachten Door: Gaby Sondagh en Isabel Duin Eckartcollege Krachten werken op alles en iedereen. Sommige krachten zijn nodig om te blijven leven. Als er bijv. geen zwaartekracht zou zijn, zouden
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 21 juni uur
Eamen VW 017 tijdvak woensdag 1 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 74 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met
Nadere informatie5 Lineaire differentiaalvergelijkingen
5 Lineaire differentiaalvergelijkingen In veel toepassingen in de techniek en de exacte wetenschappen wordt gewerkt met differentiaalvergelijkingen om continue processen te modelleren. Het gaat dan meestal
Nadere informatie1. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + 1) = 1.
Tentamen-wiskunde?. De basiswiskunde. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + ) =. Oplossing : ln(x + 2) = + ln(x + ) x + 2 = ln + x + 3 = ln dus x =
Nadere informatieTentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C110 3 juli uur
Tentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C0 3 juli 0-4.00-7.00 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over 3 pagina s. Op pagina 3 staat voor iedere opgave het
Nadere informatieHoofdstuk 1 Beweging in beeld. Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal
Hoofdstuk 1 Beweging in beeld Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal 1.1 Beweging vastleggen Het verschil tussen afstand en verplaatsing De verplaatsing (x) is de netto verplaatsing en de
Nadere informatieProgrammeren en Wetenschappelijk Rekenen in Python. Wi1205AE I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 6 mei 2014
Programmeren en Wetenschappelijk Rekenen in Python Wi1205AE, 6 mei 2014 Bijeenkomst 5 Onderwerpen Het maken van een model Numerieke integratie Grafische weergave 6 mei 2014 1 Voorbeeld: sprong van een
Nadere informatieSimulink. Deel1. Figuur 1 Model van het zonnepaneel in Simulink.
Simulink Deel1 In dit deel van het ontwerp simuleren we het gedrag van onze zonnepanneel bij weerstanden tussen 10 Ohm en 100 Ohm. Een beeld van hoe het model in Simulink is opgesteld is in figuur 1 opgenomen.
Nadere informatieVoorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 13.30 16.30 uur
wiskunde B Eamen VW Voorbereidend Wetenschappelijk nderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 3.30 6.30 uur 20 05 Voor dit eamen zijn maimaal 86 punten te behalen; het eamen bestaat uit 9 vragen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieUitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra 1, najaar y y = 2x. P x. L(P ) y = x. 2/3 1/3 en L wordt t.o.v de standaardbasis gegeven door
Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra, najaar 007. Gegeven is de lineaire afbeelding L : R R, die een punt P = (x, y) langs de lijn y = x projecteert op de lijn y = x: y y = x P x L(P ) y = x Bepaal
Nadere informatieSchriftelijke zitting Regeltechniek (WB2207) 3 november 2011 van 9:00 tot 12:00 uur
Schriftelijke zitting Regeltechniek (WB2207) 3 november 2011 van 9:00 tot 12:00 uur Onderstaande aanwijzingen nauwkeurig lezen. Vul op het voorblad uw naam, voorletters, studienummer en opleiding in. Dit
Nadere informatiewiskunde B pilot vwo 2017-II
wiskunde B pilot vwo 017-II Formules Goniometrie sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin(
Nadere informatieTentamen optimaal sturen , uur. 4 vraagstukken
Tentamen optimaal sturen 12-7- 00, 9.00-12.00 uur 4 vraagstukken Vraag 1 a) Beschrijf wiskundig de algemene vorm van een optimaal besturingsprobleem in de discrete tijd. Hierin komen o.a. de symbolen J,
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1. tijdvak 1 dinsdag 2 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VWO 009 tijdvak dinsdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieAnalyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 2005-2006 1ste semester 31 januari 2006
1ste semester 31 januari 2006 Analyse I 1. Onderstel dat f : [a, b] R continu is, en dat f(a)f(b) < 0. Toon aan dat f minstens 1 nulpunt heeft gelegen in het interval (a, b). 2. Gegeven is een functie
Nadere informatieNATUURKUNDE. Bepaal de frequentie van deze toon. (En laat heel duidelijk in je berekening zien hoe je dat gedaan hebt, uiteraard!)
NATUURKUNDE KLAS 5 PROEFWERK HOOFDSTUK 15: TRILLINGEN OOFDSTUK 15: TRILLINGEN 22/01/2010 Deze toets bestaat uit 4 opgaven (29 punten). Gebruik eigen grafische rekenmachine en BINAS toegestaan. Denk er
Nadere informatied. Bereken bij welke hoek α René stil op de helling blijft staan (hij heeft aanvankelijk geen snelheid). NB: René gebruikt zijn remmen niet.
Opgave 1 René zit op zijn fiets en heeft als hij het begin van een helling bereikt een snelheid van 2,0 m/s. De helling is 15 m lang en heeft een hoek van 10º. Onderaan de helling gekomen, heeft de fiets
Nadere informatieNUMERIEKE METHODEN VOOR DE VAN DER POL VERGELIJKING. Docent: Karel in t Hout. Studiepunten: 3
NUMERIEKE METHODEN VOOR DE VAN DER POL VERGELIJKING Docent: Karel in t Hout Studiepunten: 3 Over deze opgave dien je een verslag te schrijven waarin de antwoorden op alle vragen zijn verwerkt. Richtlijnen
Nadere informatieInvoegen van een auto in een platoon op de snelweg
Universiteit Twente Bacheloroprdracht Invoegen van een auto in een platoon op de snelweg Eveline Koster Begeleider: Anton Stoorvogel 30 juni 2017 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 1.1 Probleemstelling...........................
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops
Nadere informatieInleiding tot de natuurkunde
OBC Inleiding tot de Natuurkunde 01-09-2009 W.Tomassen Pagina 1 Inhoud Hoofdstuk 1 Rekenen.... 3 Hoofdstuk 2 Grootheden... 5 Hoofdstuk 3 Eenheden.... 7 Hoofdstuk 4 Evenredig.... 10 Inleiding... 10 Uitleg...
Nadere informatieTentamen Modellen en Simulatie (WISB134)
Tentamen Modellen en Simulatie (WISB4) Vrijdag, 7 april 5, :-6:, Educatorium Gamma Zaal Schrijf op elk vel dat je inlevert je naam en op het eerste vel je studentnummer en het totaal aantal ingeleverde
Nadere informatieHoofdstuk 4 Trillingen en cirkelbewegingen. Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal
Hoofdstuk 4 Trillingen en cirkelbewegingen Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal U (V) 4.1 Eigenschappen van trillingen Harmonische trilling Een electrocardiogram (ECG) gaf het volgende
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1,2
wiskunde B1,2 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 13.30 16.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te behalen; het examen bestaat uit 19 vragen.
Nadere informatieNATIONALE NATUURKUNDE OLYMPIADE. Eindronde practicumtoets A. 5 juni beschikbare tijd: 2 uur (per toets A of B)
NATONALE NATUURKUNDE OLYMPADE Eindronde practicumtoets A 5 juni 00 beschikbare tijd: uur (per toets A of B) Bepaling van de grootte van het gat tussen de geleidingsband en de valentieband in een halfgeleider
Nadere informatieMeting zonnepaneel. Voorbeeld berekening diodefactor: ( ) Als voorbeeld wordt deze formule uitgewerkt bij een spanning van 7 V en 0,76 A:
Meting zonnepaneel Om de beste overbrengingsverhouding te berekenen, moet de diodefactor van het zonnepaneel gekend zijn. Deze wordt bepaald door het zonnepaneel te schakelen aan een weerstand. Een multimeter
Nadere informatieUitwerkingen van de opgaven in Basisboek Natuurkunde
opgave (blz 4) Uitwerkingen van de opgaven in Basisboek Natuurkunde De zwaarte-energie wordt gegeven door de formule W zwaarte = m g h In de opgave is de massa m = 0(kg) en de energie W zwaarte = 270(Joule)
Nadere informatieUitwerkingen oefeningen hoofdstuk 3
Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 3 3.4.1 Basis Tijd meten 1 Juli heeft 31 dagen. Wanneer 25 juli op zaterdag valt, valt 31 juli dus op een vrijdag. Augustus heeft ook 31 dagen. 1 augustus valt dus op
Nadere informatieTrillingen. Welke gegevens heb je nodig om dit diagram exact te kunnen tekenen?
Inhoud... 2 Harmonische trilling... 3 Opgave: Bol aan veer... 5 Resonantie... 6 Opgave: in een vrachtauto... 7 Energiebehoud... 9 Energiebehoud in een massaveersysteem... 9 Energiebehoud in de slinger...
Nadere informatieb. Stop het model na 4 perioden. Bepaal de amplitude meteen na drie perioden. Na drie perioden is de amplitude gelijk aan: 0, m
Aanwijzingen: 1. Open het wordbestand en het Coachmodel (Een veer met een schokbreker) dat je vindt op de memoriestick (bij de training vind je de bestanden op www.agtijmensen.nl) 2. Dubbelklik hierboven
Nadere informatieKeCo-opgaven mechanica (arbeid en energie) HAVO4
KeCo-opgaven mechanica (arbeid en energie) HVO KeCo-opgaven mechanica (arbeid en energie) HVO M.. en bepaald type aterpomp is in staat om in redelijk korte tijd 30 liter ater omhoog te pompen over een
Nadere informatieVoorbeeldexamen HAVO. natuurkunde. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Voorbeeldexamen HAVO 215 natuurkunde Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 31 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten
Nadere informatieUitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen
Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Maandag 4 januari 216, 1: - 13: uur 1. Beschouw voor t > de inhomogene singuliere tweede orde vergelijking, t 2 ẍ + 4tẋ + 2x = f(t, (1 waarin f
Nadere informatieJe geeft de antwoorden op deze vragen op papier, tenzij anders is aangegeven.
Examen HAVO 2009 tijdvak 1 donderdag 28 mei totale examentijd 3 uur tevens oud programma natuurkunde Compex natuurkunde 1,2 Compex Vragen 15 tot en met 23 In dit deel van het examen staan vragen waarbij
Nadere informatieWat doen we ermee? Een gesprek over de aanloop naar de moeilijke opgaven Fokke Munk 1
Wat doen we ermee? Een gesprek over de aanloop naar de moeilijke opgaven 29-11-2018 Fokke Munk 1 programma Voorstellen Positiebepaling Keus voor drie soorten contexten: snelheid, inhoud en schaal Analyse
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
5 bladzijde 9 ab f g h i j functie nr 5 Domein [ 0, 0, Bereik [ 0, [ 0, 0, c D k B k, 0 0, d Spiegelen in de -as geeft het tegengestelde bereik, dus, 0]. e u ( ) en yu ( ) u f D q, 0 0, ; B q 0, a [, b
Nadere informatieSamenvatting Natuurkunde Samenvatting 4 Hoofdstuk 4 Trillingen en cirkelbewegingen
Samenvatting Natuurkunde Samenvatting 4 Hoofdstuk 4 rillingen en cirkelbewegingen Samenvatting door Daphne 1607 woorden 15 maart 2019 0 keer beoordeeld Vak Methode Natuurkunde Natuurkunde overal Samenvatting
Nadere informatieSchriftelijke zitting Systeem- en regeltechniek 2 (WB2207) 31 januari 2008 van 9:00 tot 12:00 uur
Schriftelijke zitting Systeem- en regeltechniek 2 (WB227) 31 januari 28 van 9: tot 12: uur Onderstaande aanwijzingen nauwkeurig lezen. Vul op het voorblad uw naam, voorletters, studienummer en opleiding
Nadere informatieHOGESCHOOL ROTTERDAM:
HOGESCHOOL ROTTERDAM: Toets: Natuurkunde Docent: vd Maas VERSIE B Opgave A: Een kogel wordt vertikaal omhoog geschoten met een snelheid van 300km/h. De kogel heeft een gewicht van 10N. 1. Wat is de tijd
Nadere informatieExamen HAVO en VHBO. Wiskunde B
Wiskunde B Examen HAVO en VHBO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Vooropleiding Hoger Beroeps Onderwijs HAVO Tijdvak 1 VHBO Tijdvak 2 Dinsdag 23 mei 13.30 16.30 uur 00 Dit examen bestaat uit 19 vragen.
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B1,2
wiskunde 1, Examen HVO Hoger lgemeen Voortgezet Onderwijs ijdvak 1 Vrijdag 19 mei 1.0 16.0 uur 0 06 Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te behalen; het examen bestaat uit vragen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieHoofdstuk 1 boek 1 Formules en grafieken havo b klas 4
Hoofdstuk 1 boek 1 Formules en grafieken havo b klas 4 1. Lineair verband. 1a. na 1 min 36 cm, na min. 3 cm, daling 4 cm per minuut. b. h = 40 4t h in cm en t per minuut b. k: rc = -3 m: rc = 0.5 p: rc
Nadere informatieMonitoraatssessie Wiskunde
Monitoraatssessie Wiskunde 1 Overzicht van de cursus Er zijn drie grote blokken, telkens voorafgegaan door de rekentechnieken die voor dat deel nodig zullen zijn. Exponentiële en logaritmische functies;
Nadere informatieChecklist Wiskunde B HAVO HML
Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten
Nadere informatieTentamen Inleiding Meten en Modelleren 8C120-2011 6 april 2011, 09:00-12:00
Tentamen Inleiding Meten en Modelleren 8C20-20 6 april 20 09:00-2:00 Dit tentamen bestaat uit 4 opgaven. Indien u een opgave niet kunt maken geeft u dan aan hoe u de opgave zou maken. Dat kan een deel
Nadere informatie( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong
Hoofdstuk 4 Verloop van functies Met DERIVE is het mogelijk om tal van eigenschappen van functies experimenteel te ontdekken. In een eerste paragraaf onderzoeken we het verband tussen de grafieken van
Nadere informatieBrede opgaven bij hoofdstuk 2
Brede opgaven bij hoofdstuk 2 Opgave 1 In Zeeland heeft een ingenieur een wegdek bedacht dat de snelheid van auto s moet beperken: de kantelweg. Het wegdek loopt afwisselend naar links en naar rechts af
Nadere informatieFiguur 1: Blok-schema van een DC motor, a) Geef de overdrachtsfuntie G(s) = T(s)/V(s). Schrijf G(s) in de vorm K B(s) A( s
1. Een blok-schema van een DC motor is gegeven in figuur 1. Vis) 1 m 1 Ls+R Js+b (0(5) K, Figuur 1: Blok-schema van een DC motor, a) Geef de overdrachtsfuntie G(s) = T(s)/V(s). Schrijf G(s) in de vorm
Nadere informatieTentamen Inleiding Meten Vakcode 8E april 2009, uur
Tentamen Inleiding Meten Vakcode 8E00 april 009, 9.00 -.00 uur Dit tentamen bestaat uit 4 opgaven. Indien u een opgave niet kunt maken, geeft u dan aan hoe u de opgave zou maken. Dat kan een deel van de
Nadere informatienatuurkunde (pilot) Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Examen HAVO 21 tijdvak 1 donderdag 22 mei 13.3-16.3 uur natuurkunde (pilot) Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Nadere informatieHavo 4 - Practicumwedstrijd Versnelling van een karretje
Havo 4 - Practicumwedstrijd Versnelling van een karretje Vandaag gaan jullie een natuurkundig experiment doen in een hele andere vorm dan je gewend bent, namelijk in de vorm van een wedstrijd. Leerdoelen
Nadere informatieTitel: De titel moet kort zijn en toch aangeven waar het onderzoek over gaat. Een subtitel kan uitkomst bieden. Een bijpassend plaatje is leuk.
Het maken van een verslag voor natuurkunde Deze tekst vind je op www.agtijmensen.nl: Een voorbeeld van een verslag Daar vind je ook een po of pws verslag dat wat uitgebreider is. Gebruik volledige zinnen
Nadere informatie1. Een magnetische levitatie systeem is schematisch weergegeven in figuur 1. r-- ~ rail
1. Een magnetische levitatie systeem is schematisch weergegeven in figuur 1. r-- ~ rail I FR.ir~.P Y D I ti t. I ~- ji ti! Fdist I I I I I magnat Fgray current i Figuur 1: Een schematische weergave van
Nadere informatieQuantum Chemie II 2e/3e jaar
Quantum Chemie II e/3e jaar Universiteit Utrecht Faculteit Bèta Wetenschappen Departement Scheikunde Vakgroep Theoretische Chemie 008 Het college Quantumchemie wordt met wisselende omvang en naam, al sinds
Nadere informatieJuli blauw Fysica Vraag 1
Fysica Vraag 1 Een rode en een zwarte sportwagen bevinden zich op een rechte weg. Om de posities van de wagens te beschrijven, wordt een x-as gebruikt die parallel aan de weg georiënteerd is. Op het ogenblik
Nadere informatie2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax
00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten
Nadere informatieNatuurkunde. theorie. vwo. INKIJKEXEMPlAAR. WisMon examentrainer
Natuurkunde vwo theorie INKIJKEXEMPlAAR WisMon examentrainer NATUURKUNDE VWO Examentrainer theorie 1 Eerste Druk, Utrecht, 2017 ISBN 978-90-826941-4-7 Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave
Nadere informatieExamen HAVO. natuurkunde. tijdvak 1 donderdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen HAVO 2014 tijdvak 1 donderdag 22 mei 13.30-16.30 uur natuurkunde Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 28 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te behalen. Voor
Nadere informatieOpgave 1 Afdaling. Opgave 2 Fietser
Opgave 1 Afdaling Een skiër daalt een 1500 m lange helling af, het hoogteverschil is 300 m. De massa van de skiër, inclusief de uitrusting, is 86 kg. De wrijvingskracht met de sneeuw is gemiddeld 4,5%
Nadere informatieHoofdstuk 4 Trillingen en cirkelbewegingen. Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal
Hoofdstuk 4 Trillingen en cirkelbewegingen Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal U (V) 4.1 Eigenschappen van trillingen Harmonische trilling Een electrocardiogram (ECG) gaf het volgende
Nadere informatieModelleren C Appels. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both. 2 april 2010. 1 Inleiding 2. 3 Data 3. 4 Aanpak 3
Modelleren C Appels Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both 2 april 2010 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Probleembeschrijving 2 3 Data 3 4 Aanpak 3 5 Data-analyse 4 5.1 Data-analyse: per product.............................
Nadere informatiePracticum algemeen. 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag
Practicum algemeen 1 Diagrammen maken 2 Lineair verband en evenredig verband 3 Het schrijven van een verslag 1 Diagrammen maken Onafhankelijke grootheid en afhankelijke grootheid In veel experimenten wordt
Nadere informatieHERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D00. Datum: vrijdag 3 juni 008. Tijd: 09:00-:00. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer
Nadere informatieInleiding tot de natuurkunde
OBC Inleiding tot de Natuurkunde 01-08-2010 W.Tomassen Pagina 1 Hoofdstuk 1 : Hoe haal ik hoge cijfers. 1. Maak van elke paragraaf een samenvatting. (Titels, vet/schuin gedrukte tekst, opsommingen en plaatsjes.)
Nadere informatie