Programmeren en Wetenschappelijk Rekenen in Python. Wi1205AE I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 6 mei 2014

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Programmeren en Wetenschappelijk Rekenen in Python. Wi1205AE I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 6 mei 2014"

Frank Bosmans
8 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Programmeren en Wetenschappelijk Rekenen in Python Wi1205AE, 6 mei 2014

2 Bijeenkomst 5 Onderwerpen Het maken van een model Numerieke integratie Grafische weergave 6 mei

3 Voorbeeld: sprong van een rots Wanneer iemand van een rots springt valt die naar beneden. Zijn snelheid wordt steeds groter maar deze neemt steeds minder snel toe door de luchtwrijving. We stellen een krachtenbalans op: Op de persoon werken twee krachten: de gravitatiekracht (zwaartekracht) F grav en de weerstandskracht F w. Volgens de tweede wet van Newton is de resulterende kracht F tot gelijk aan de som van deze twee krachten. 6 mei

We stellen een krachtenbalans op: Op de persoon werken twee krachten: de gravitatiekracht (zwaartekracht) F

4 We kiezen de valrichting als de positieve richting. Neem aan: g is de valversnelling [m/s 2 ] k is de wrijvingscoëfficiënt [N/(m/s 2 )] m is de massa van de vallende persoon [kg] Veronderstel verder dat a ([m/s 2 ]) de versnelling, v ([m/s]) de snelheid en s ([m]) de positie is van de vallende persoon en dat de wrijvingskracht kwadratisch toeneemt met de snelheid. 6 mei

massa van de vallende persoon [kg] Veronderstel verder dat a ([m/s 2 ]) de versnelling, v

5 Strict genomen zijn deze krachten vectoren en hebben ze een x, y en soms een z component. Omdat de bewegingsrichting verticaal is hoeven we alleen rekening te houden met de krachten in de verticale richting. 6 mei

6 We vinden: met F tot = F grav + F w F grav = mg en F w = kv 2 zodat m a = m g k v 2 en dv dt = a = g k m v 2 6 mei

7 Dit is een eerste orde differentiaalvergelijking in v, die exact kan worden opgelost door de variabelen te scheiden (zie: [3, 9.3]) Maar nu gaan we een numerieke integratiemethode toepassen (Voorwaarts Euler (zie: [3, 9.2] en [4, chapter 6]) Er zijn veel integratiemethoden! Wij bekijken de eenvoudigste maar die levert niet altijd goede resultaten op. 6 mei

3]) Maar nu gaan we een numerieke integratiemethode toepassen (Voorwaarts Euler (zie: [3, 9.

8 Veronderstel dat s(t) en v(t) op een zeker tijdstip t bekend zijn. Dan a(t) = g k m v(t)2 en daarmee kunnen we een schatting van v(t + t) en s(t + t) bepalen. Namelijk: s(t + t) = s(t) + v(t + t) = v(t) + t+ t t t+ t t v(s)ds v(t) t en a(s)ds a(t) t 6 mei

9 Hieruit volgt: Zijn t 0 = 0, s 0 = s(0), v 0 = v(0), a 0 = a(0) (kan worden berekend!) en t i+1 = t i + t, verder s i, v i, a i benaderingen van s(t i ), v(t i ) en a(t i ) i = 1, 2,... dan: s i+1 = s i + v i t v i+1 = v i + a i t i = 0, 1,... 6 mei

10 vb5-1 m = 80 gewicht vallende persoon g = 9.81 valversnelling k = 0.30 weerstandsconstante s(0) = 500 hoogte val (in m) v(0) = 0 dt = 0.01 stapgrootte methode Stopcriterium: aankomst op de grond, hoe lang dat duurt is onbekend. We stoppen als s i+1 < 0 en s i 0. 6 mei

01 stapgrootte methode Stopcriterium: aankomst op de grond, hoe lang

11 Voorbeeld: massa-veer-dempersysteem We bekijken de situatie hiernaast en vragen ons af wat het effect is van een drempel in het wegdek op verschillende wielen en dempers. c k 6 mei

12 Er werken op dit systeem drie krachten: de gravitatiekracht (zwaartekracht) F grav en c de dempingskracht F d en de veerkracht F v. k Deze krachten werken alleen in verticale richting! Toepassing van de tweede wet van Newton geeft dat de resulterende kracht F tot gelijk is aan de som van deze drie krachten. 6 mei

k Deze krachten werken alleen in verticale richting!

13 Neem aan: g is de valversnelling [m/s 2 ] k is de dempingscoëfficiënt [N/(m/s 2 )] c is de veerconstante [N/m] m is de massa op de demper en de veer [kg] Veronderstel verder dat a ([m/s 2 ]) de versnelling, v ([m/s]) de snelheid en s ([m]) de positie is van de massa, dat de dempingskracht evenredig is met de vertikale snelheid en de veerkracht evenredig is met de verticale verplaatsing. 6 mei

de versnelling, v ([m/s]) de snelheid en s ([m]) de positie is van de massa, dat de dempingskracht

14 [ x ] [ vx ] [ ax ] Laat s = y, v = v y en a = a y met x, v x en a x de verplaatsing, snelheid en versnelling in horizontale richting en en y, v y en a y de verplaatsing, snelheid en versnelling in verticale richting. Als de veer door oplegging van de massa y 0 m is ingekort dan vinden we dat in verticale richting geldt: F tot = F grav + F d + F v 6 mei

snelheid en versnelling in verticale richting.

15 met F grav = mg, F d = k(y y0) en F v = c(y y 0 ) Er geldt dus: m (y y 0 ) = m g k (y y 0 ) c(y y 0 ) Omdat het systeem op tijdstip t = 0 in evenwicht is geldt: 0 = mg + cy 0 zodat m a y = k v cy en dv dt = a y = k m v y c m y 6 mei

16 Beweegt het wiel over de weg met een constante snelheid dan a x = 0 en v x is constant. Hieruit volgt: is t 0 = 0, [ ] [ ] [ ] [ ] x0 x(0) vx0 vx (0) =, =, y 0 y(0) vy 0 v y (0) [ ] [ ] ax0 ax (0) = en t i+1 = t i + t en zijn ay 0 a y (0) [ ] [ ] [ ] xi vxi axi,, benaderingen van y i vy i ay i [ ] [ ] [ ] x(ti ) vx (t i ) ax (t i ),, i = 1, 2,... dan: y(t i ) v y (t i ) y y (t i ) 6 mei

ax0 ax (0) = en t i+1 = t i + t en zijn ay 0 a y (0) [ ] [ ] [ ] xi vxi axi,, benaderingen van y i

17 x i+1 = x i + vx i t y i+1 = y i + vy i t vx i+1 = vx i + ax i t vy i+1 = vy i + ay i t i = 0, 1,... 6 mei

18 vb5-2 m = 20 gewicht dat rust op demper en veer [kg] c = 10 veerconstante [N/m] k = 10 dempingsconstante [N/(m/s 2 )] sx = sy = 0 startpositie [m] vx = 100 snelheid wiel [Hz] (aantal omwentelingen wiel per min) omtrek = omtrek wiel [cm] vy(0) = 0 beginsnelheid in verticale richting [m]) s0 = 50 afstand tot de drempel [m] s end = 100 totale afstand die wordt afgelegd [m] h = 0.05 hoogte van de drempel [m] dt = 0.01 stapgrootte methode [m] 6 mei

33 omtrek wiel [cm] vy(0) = 0 beginsnelheid in verticale richting [m]) s0 = 50 afstand tot de drempel [m] s end =

19 Stopcriterium: aankomst op de grond, hoe lang dat duurt is onbekend. We stoppen als s i+1 < 0 en s i 0. 6 mei

20 Weerstand D x D = V x V D x = D V V x en D y D = V y V D y = D V V y De weerstandskracht is tegengesteld aan de snelheid, let op het min-teken! 6 mei

21 Gravitatie Pas op, de gravitatiekracht hangt van de plek af! 6 mei

22 En heb je pech... dan moeten rechthoekige coördinaten worden omgezet in poolcoördinaten of omgekeerd. x = r cos(θ) met r 0 y = r sin(θ) (Zie: [3, 10.3]) 6 mei

23 Gebruik de opdracht atan2(y, x) uit de math module om de hoek bij gegeven x en y uit te rekenen! Er wordt dan een hoek gevonden in het interval [ π, π ) De opdracht atan(x) geeft de hoek in tangens x is. ( π 2, π ) waarvan de 2 6 mei

24 Opdracht Bewaar de oplossing van het ballistische probleem voor donderdag. Dan kan het goed gebruikt worden voor het vervolg hiervan. 6 mei

25 Jacco Hoekstra: Programming and Scientific Computing in Python (Version 3.10), Artikelnummer: David C. Lay: Linear Algebra and Its Applications (fourth edition), Pearson (2013), ISBN-13: James Stewart: Calculus, Early Transcedentals (seventh edition), Cengage Learning (2012), ISBN-13: C.Vuik, P. van Beek, F. Vermolen en J.van Kan: Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, VSSD (2007), ISBN-13: ISBN mei

Vergelijkbare documenten

Programmeren en Wetenschappelijk Rekenen in Python. Wi1205AE I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 13 mei 2014

Programmeren en Wetenschappelijk Rekenen in Python Wi1205AE, 13 mei 2014 Bijeenkomst 7 Onderwerpen Tips met betrekking tot boolse variabelen en loops Numpy Lijsten, tuples, arrays, matrices Wat is het