Uitwerking Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie. Galileitransformaties. versie 1.3, januari 2003

Transcriptie

1 Uitwerking Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Galileitransformaties versie 1.3, januari 003

2 Inhoudsopgave 0.1Galileitransformatie Twee inertiaalsystemen Een paraboolbaan Tennissen Botsende deeltjes Massa-middelpunt Versnellende auto Michelson en Morley voor geluid

3 1 Galileitransformatie 1.1 Twee inertiaalsystemen a. Als x = 0 dan is x = 3t. Voor een punt in S neemt x dus toe als functie van t. Dat betekent dat S beweegt in de positieve x-richting t.o.v. S. b De transformatieformules voor de snelheidscomponenten zijn dus: v x = dx dt = dx dt + 3 = v x + 3 v y = v y v z = v z Stelsel S beweegt t.o.v. S met snelheid v = 3 in de negatieve x-richting. c. De versnelling in S en S is hetzelfde, dus: a = a = m/s. Aangezien zowel in S als in S geldt F = ma, is F = F = m (N) In de start situatie, op positie x = 0 en tijdstip t = 0 geldt: x = x + 3t = x = 0 v x = v x + 3 = = 7m/s In de eind situatie, op positie x = 1 en tijdstip t = 3 geldt: d. In S wordt v(t) = v(0) + at: In S wordt v t = v (0) + at: x = x + 3t = = 30m v x = v x + 3 = = 13m/s t = 0, v(0) = = 4m/s t = 3, v(3) = = 10m/s t = 0, v (0) = = 7m/s t = 3, v (3) = = 13m/s Ja, de wetten van de mechanica blijven hetzelfde na een Galileitransformatie.

4 e. Nee, in S is de arbeid: terwijl in S W = F x = ma x = m(1 0) = 4m W = F x = ma x = m(30 0) = 60m f. Nee: In S is de toename in kinetische energie; terwijl in S E k = ( 1 mv ) = 1 m (v ) = 1 m(10 4 ) = 4m E k = 1 m (v ) = 1 m(13 7 ) = 60m g. Ja. Bovendien de wetten van de mechanica blijven hetzelfde na een Galileitransformatie. Vergelijk de antwoorden op vraag e) en f). h. Grootheden kunnen een andere waarde krijgen na een Galileitransformatie, maar de onderlinge formules houden dezelfde vorm. In andere woorden: De wetten van de mechanica blijven hetzelfde na een Galileitransformatie. 1. Een paraboolbaan De Galileitransformatie van S naar S is: x = x vt y = y Als de paraboolbaan in S transformeert naar een verticale rechte lijn in S dan moet gelden: x = 0 x = vt en dus y = y = x + 0 = v t + 0 (1) We moeten nu de snelheid v van S t.o.v. S uitrekenen. Er geldt : y = 1 gt 3

5 Met y = 0 m en g = 10 m/s volgt dus: 0 = 5t t = 4 Dus t = s als y = 0 m. Invullen in 1 levert dan 0 = 4v + 0 v = 5m/s De gevraagde Galileitransformatie wordt dan : x = x 5t y = y 1.3 Tennissen Neem de positieve x-as van stelsel S van de toeschouwer in de richting van de beginsnelheid van de bal. De Galileitransformatie van stelsel S naar stelsel S van het racket is dan: x = x vt y = y De snelheid van het racket (stelsel S ), t.o.v. de toeschouwer (stelsel S) is v 0, dus v = v 0. De x-component van een snelheid transformeert dus van S naar S volgens: V x = V x + v 0 a. De beginsnelheid van de bal in S is v b = v b + v 0. De eindsnelheid van de bal in S is v e = v e + v 0. b. Bij een elastische botsing is snelheid van de bal in S vóór de botsing gelijk maar tegengesteld aan de eindsnelheid van de bal : v e = v b = (v b + v 0 ) Terugtransformeren van v e naar S levert: v e = v e v 0 = (v b + v 0 + v 0 ) = (v b + v 0 ). c. In S is de verandering in kinetische energie E k = 1 m(v e v b ) = 1 m(v e v b )(v e + v b ) Aangezien v e = (v b +v 0 ) is dus v e +v b = v 0 en v e v b = (v b +v 0 ) en dus is E k = mv 0 (v b + v 0 ) 4

6 d. In S is v e = v b en de verandering in kinetische energie: e. In S is x = 0 en dus is: E k = 1 m(v e v b ) = 0 F x = 0 = E k In S is x = v 0 t en dus is F x = F v 0 t = mav 0 t = v mv 0 t = mv t 0 v Aangezien v = v e v b = (v b + v 0 ) is F x = mv 0 (v b + v 0 ), en weer geldt E k = F x. 1.4 Botsende deeltjes De Galileitransformatie van S naar S is : De snelheden in S zijn : x = x vt y = y z = z v 1A = v 1A + v v 1B = v 1B + v v A = v A + v v B = v B + v De wet van behoud van impuls in S is : m A v 1A + m B v 1B = m A v A + m B v B Nu is : m A v 1A + m B v 1B = m A v 1A + m A v + m B v 1B + m B v = m A v 1A + m B v 1B + (m A + m B )v m A v A + m B v B = m A v A + m A v + m B v B + m B v = m A v A + m B v B + (m A + m B )v = m A v 1A + m B v 1B + (m A + m B )v Dus geldt de wet van behoud van impuls ook in S : m A v 1A + m B v 1B = m A v A + m B v B 5

7 1.5 Massa-middelpunt a. Voor het massa-middelpunt geldt : In het L-systeem is: In het M-systeem is: M = m A + m B = = 5kg v M = m A M v A + m B M v B = = 8m/s v A,M = v A v M = 10 8 = m/s v B,M = v B v M = 0 8 = 8m/s p A,M + p B,M = m A v A,M + m B v B,M = = 0kgm/s b. Na de botsing heeft A in het M-systeem een beweging met p A = 8 kgm/s en v A = m/s (langs de positieve y-as). B heeft p B = 8 kgm/s en v B = 8 m/s (langs de negatieve y-as). In het L-systeem komt daar een snelheid v M bij: v A = va,m + v m = = 68 tgα = 8 v B = vb,m + v m = = 8 tgα = 8 8 = Versnellende auto a. Het traagheidsprincipe van Galilei (de eerste wet van Newton) geldt. b. De auto rijdt in de richting van de positieve x-as. Als x = 0 is x = 1 at. Voor een punt in S neemt x dus toe als functie van t. Het plus teken in : x = x + 1 at. c. In S geldt F x = ma x = m dvx (S is een inertiaalsysteem). Aangezien er dt geen kracht werkt op de bal is: F x = 0 a x = 0 dvx = 0 v dt x is constant v x = 0, want de bal had op t = 0 een snelheid v = 0. 6

8 d. In S : x = x + 1 at x = x 1 at v x = dx dt = d(x 1 at ) dt v x = v x at = at = dx dt at e. Hoewel er geen F x is, is er in S toch een versnelling a x = a. Er werkt een inertiaalkracht, de bal blijft door zijn traagheid achter bij de versnelling. 1.7 Michelson en Morley voor geluid a. Uit de x-richting : t = Uit de y-richting : t = Geen verschil dus. b. Heen: t h = l Terug: t t = Dus v l +v en met β = v c : t = t h + t t = l v + 1 v c g = l + v = 1 β c g v c. Heen; t h = l l y = c g v Terug: t t = Dus l c g v t = t h + t t = c g v = 1 v c g = 1 β d. Maak geluid en meet het verschil in tijd waarmee de echo van de muurtjes terug komt. t x t y = 1 β 1 β 7

9 = 1 ( 1 β 1 ) = (1 + β 1 β 1 β ) = lβ met l = 340 m, v = 0 m/s en c = 340 m/s : = lv c 3 g t x t y = 1 89 s 8