Toegepaste wiskunde. voor het hoger beroepsonderwijs. Deel 2 Derde, herziene druk. Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 7.

Transcriptie

1 Drs. J.H. Blankespoor Drs.. de Joode Ir. A. Sluijter Toegepaste wiskunde voor het hoger beroepsonderwijs Deel Derde, herziene druk herhalingsopgaven hoofdstuk 7 augustus 009 HBuitgevers, Baarn Toegepaste wiskunde, deel en herhalingsopgaven hoofdstuk 7 Pagina van

2 Toegepaste wiskunde voor het hbo, deel paragraaf 7. (herhalingsopgaven van hoofdstuk 7 Opgave Gegeven: ( dy + = y. Bepaal y (. d ( dy + = y dy = d of y d y + dy = d of y y + ( ln y ln of y 0 ( = + + = ln y ln + + e = e of y ln + y = e e of y ( y e of y 0 y A,met A = ± + = = + R In de laatste stap is gebruikt dat ln ( ( ( arctan( arctan( + = +, omdat + niet negatief kan zijn. Opgave Los de differentiaalvergelijking ( + dy = y op door scheiding van de variabelen. d ( dy + = y dy = d of y d y + dy = d of y y + ln y = arctan + of y y + e = e of y y = e e of y arctan( arctan( y = ± e e of y y = A e,met A R Opgave Van een functie v( u is gegeven u ln u v 0 du = ( u > 0 en v ( = ln 9. Bepaal v( u. We bepalen eerst de algemene oplossing van de d.v. u ln ( u v u ln ( u = v = d u of v du du v u ln ( u = d u of v v ln ( u u = d ln ( u of v v ln ( u

3 ln v = ln ( ln ( u + of v ln v ln( ln( u + e = e of v ln( ln( u v = e e of v v = ± e ln ( u of v v ( u = Aln ( u, met A R Nu verwerken we de voorwaarde v ( = ln 9 : ln ( ln ( v( = ln ( 9 Aln ( = ln ( 9 A = A = A = ln ( ln ( Dus gel: v( u = ln ( u, met A R Opgave d y dy Bepaal de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking + = 5e + sin. d d Reduceren van de d.v. geeft: d y dy + d d De karakteristieke vergelijking is: λ + λ λ + λ λ ( λ + λ of λ = i of λ = i De oplossing van de gereduceerde d.v. is dan: y ( = e + e cos( + e sin ( y ( ( ( = + cos + sin We zoeken een iculiere oplossing en proberen op grond van het rechterlid van de gegeven d.v.: y ( = Ae + B cos + sin De constanten A, B en bepalen we met de methode van de onbepaalde coëfficiënten. y ( = Ae B sin + cos y ( = Ae B cos sin y ( = Ae + Bsin cos Invullen in de gegeven d.v. levert: Ae + B sin cos + ( Ae B sin + cos = 5e + sin ( A + A e + ( B B sin + ( + cos = 5e + sin 5Ae Bsin + cos = 5e + sin Dit geeft: 5A = 5 A = B = B = Dus y ( = e cos De algemene oplossing van de gegeven d.v. is dan: y ( = y ( + y ( = + cos( + sin ( + e cos alg

4 Opgave 5 d u Bepaal de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking 9u 9sin ( v + =. Reduceren van de d.v. geeft: d u + 9u De karakteristieke vergelijking is: λ + 9 λ + 9 λ = i of λ = i De oplossing van de gereduceerde d.v. is dan: 0v 0v u ( v = e cos( v + e sin ( v u ( ( ( v = cos v + sin v We zoeken een iculiere oplossing en proberen op grond van het rechterlid van de gegeven d.v.: u ( ( ( ( ( ( = v Acos v + Bsin v = Avcos v + Bvsin v Let op de factor v, vanwege het feit dat sin ( v als term voorkomt in u. De constanten A en B bepalen we met de methode van de onbepaalde coëfficiënten. u ( ( ( ( ( = Acos v Avsin v + Bsin v + Bvcos v = ( A + Bv cos( v + ( B Av sin ( v u ( ( ( ( ( ( ( ( = Bcos v A + Bv sin v + A sin v + B Av cos v = ( B + B 9Av cos( v + ( A 9Bv A sin ( v = ( 6B 9Av cos( v + ( 6A 9Bv sin ( v d u Invullen in de gegeven d.v. + 9u = 9sin ( v levert: ( 6B 9Av cos( v + ( 6A 9Bv sin ( v + 9 Avcos ( v + Bvsin ( v = 9sin v ( 6B 9Av + 9Av cos( v + ( 6A 9Bv + 9Bv sin ( v = 9sin ( v 6Bcos( v 6Asin ( v = 9sin ( v Dit levert: 6B A = 6A = 9 B Dus u ( = v cos ( v ( ( De algemene oplossing van de gegeven d.v. is dan: u ( v = u ( v + u ( v = cos( v + sin ( v vcos( v alg ( ( ( v cos v sin v = + Opgave 6 Los de volgende differentiaalvergelijkingen op: d y dy a = e d d d y b y = e + e d

5 onderdeel a Reduceren van de d.v. geeft: d y dy d d De karakteristieke vergelijking is: λ λ λ λ λ ( λ λ of λ = De oplossing van de gereduceerde d.v. is dan: 0 y ( ( = e + e y = + e We zoeken een iculiere oplossing en proberen op grond van het rechterlid van de gegeven d.v.: y ( = A e Let op de factor, die nodig is omdat e in de oplossing van de gereduceerde d.v. voorkomt. De constante A bepalen we met de methode van de onbepaalde coëfficiënten. y = Ae + Ae = A + A e ( ( ( ( ( y = Ae + A + A e = A + A e Invullen in de gegeven d.v. levert: A + A e A + A e = e ( ( ( A A A A A A + e = e e = e = Dus y ( = e De algemene oplossing van de gegeven d.v. is dan: y = y + y = + e + e = + + e ( ( ( ( alg onderdeel b. d y y = e + e d Reduceren van de d.v. geeft: d y y d De karakteristieke vergelijking is: λ λ λ λ + ( ( ( λ ( λ ( λ ( λ + i + i λ = of λ = of λ = i of λ = i De oplossing van de gereduceerde d.v. is dan: 0 0 y ( = e + e + e cos + e sin y ( = e + e + cos + sin We zoeken een iculiere oplossing en proberen op grond van het rechterlid van de gegeven d.v.: y ( = Ae + B e Let op de factor bij zowel e als e die nodig is omdat e en e beide in de oplossing van de gereduceerde d.v. voorkomt. De constanten A en B bepalen we met de methode van de onbepaalde coëfficiënten.

6 y ( = Ae + Be ( e e e e ( e ( e ( ( ( ( ( ( e ( e e ( e ( e e ( e ( e e e ( e + B + B y = A + A + B B = A + A + B B y = Ae + A + A e Be B B e = A + A e + B + B e y = A + A + A B B + B = A + A B y = A + A + A B + B = A + A ( e Invullen in de gegeven d.v. levert: d y y = e + e d Dit geeft: ( A A ( B B ( A B ( A A A ( B B B + e + + e e + e = e + e + e + + e = e + e B = 8 e e 8 Ae Be = e + e A = en Dus: y ( = De algemene oplossing van de gegeven d.v. is dan: y ( = y ( + y ( = e + e + cos + sin + e e alg ( ( ( y = + e + e + cos + sin alg 8 Opgave 7 d z dz Los op: z. De d.v. is ogeen, reduceren hoeft dus niet. De karakteristieke vergelijking (k.v. is: λ λ ( ( D = = 8 De oplossingen van de k.v. zijn: ± 8 ± λ = = = ± De oplossing van de d.v. is dan: ( ( + t ( t ( t t t = e + e = e e + e z t 8 Opgave 8 Bepaal de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking De d.v. is ogeen, reduceren hoeft dus niet. De karakteristieke vergelijking (k.v. is: λ λ + 5 ( 5 6 = = D De oplossingen van de k.v. zijn d u du + 5u.

7 ± 6 ± λ = =, waaruit volgt λ = = of λ = = De oplossing van de d.v. is dan: 5 v v u ( v = e + e Opgave 9 Bepaal de oplossing r ( van de differentiaalvergelijking ( dr + + ( + r = met d beginvoorwaarde r ( =. We delen linker- en rechterlid van de d.v. door ( + en krijgen: dr + r = d ( + We zien dat de d.v. een inogene, lineaire eerste orde d.v. is en gebruiken de methode van variatie van constante om deze op te lossen. We reduceren de d.v. en krijgen: dr + r d Deze ogene d.v. lossen we op via scheiden van variabelen: dr dr + r = r dr = d of r d d r dr = d of r r ln r = ln + of r ln r ln + e = e of r e r = of r ln e e r = ± of r r = A met A R We variëren de constante en proberen ( We bepalen de afgeleide van r ( : A ( A( ( ( r = = A ( A ( Invullen in de oorspronkelijke d.v. geeft: ( dr + + ( + r = d ( A ( ( ( ( + A A + + = ( A ( A( A( ( A ( A ( A( r = A als oplossing van de gehele d.v = + = = = d + +

8 We bepalen de integraal in het rechterlid. + + d = d = d = d = arctan ( + + A = arctan + We hebben dus A ( berekend: ( ( ( We vullen dit in de voorgestelde oplossing ( = A r in en vinden: A( arctan ( + r ( = = = arctan ( + Opgave 0 In een L-netwerk is L,0 H, 0,0 F = en u ( t =,6cos ( 8 t V. Op t gel i ( 0 A en q ( 0. Bepaal de ladingsfunctie q ( t van de condensator en teken de grafiek ervan. De vergelijking horend bij een RL-netwerk staat in paragraaf 7.7.: d q dq L + R + q = u ( t In deze vergelijking kiezen we L,0, R,,0 en u ( t =,6cos ( 8t. We krijgen: d q dq 0, q =,6cos ( 8t 0,0 d q + 00q = 6cos( 8t Dit is een tweede orde lineaire d.v. met constante coëfficiënten. We reduceren deze vergelijking en stellen de karakteristieke vergelijking op: De karakteristieke vergelijking is: λ + 00 λ + 00 λ = 0i of λ = 0i De oplossing van de gereduceerde d.v. is dan: 0t 0t q ( t = e cos( 0t + e sin ( 0t q ( ( ( t = cos 0t + sin 0t We zoeken een iculiere oplossing en proberen op grond van het rechterlid van de gegeven d.v.: q ( ( ( t = Acos 8t + Bsin 8t De constanten A en B bepalen we met de methode van de onbepaalde coëfficiënten. q ( t = Acos( 8t + Bsin ( 8t q ( t = 8Asin ( 8t + 8Bcos( 8t q ( t = 6Acos ( 0t 6Bsin ( 0t Invullen in de gegeven d.v. levert:

9 d q + 00q = 6cos( 8t 6A cos ( 8t 6B sin ( 8t + 00 A cos( 8t + B sin ( 8t = 6 cos 8t ( + ( = ( 6Acos 8t 6B cos 8t 6cos 8t ( ( Dit levert: 6A = 6 A = 6B B Dus q ( ( ( t = cos 8t + 0 sin 8t = cos ( 8t De algemene oplossing van de gegeven d.v. is dan: q t = q t + q t = cos 0t + sin 0t + cos 8t ( ( ( ( ( ( alg We verwerken de beginvoorwaarden. Gegeven is q ( 0 Invullen in de algemene oplossing geeft: cos 0 + sin 0 + cos 0 + = ( ( ( Gegeven is ook i ( 0 A. d We weten dat i ( t = q, dus d i ( t = ( ( cos 0t sin 0 cos ( 8 0 sin 0 0 cos 0 8sin 8 d + t + t = t + t t t Invullen van i ( 0 A geeft: 0 sin ( cos ( 0 8sin ( 0 ( ( ( ( 0 De gevraagde oplossing die voldoet aan de beginvoorwaardenis dus: q t = cos 0t + 0 sin 0t + cos 8t ( ( ( ( = cos ( 0t + cos( 8t De gevraagde grafiek staat hiernaast. Opgave Een verticaal hangende schroefveer heeft een veerconstante van 00 N/m. Onder aan de veer hangt een lichaam met een massa van,00 kg. De luchtweerstand laten we buiten beschouwing. Het lichaam heeft een beginsnelheid van,0 m/s in de evenwichtsstand. a Bepaal de uitslag als functie van de tijd, als de gegeven kracht 6sin ( 8 t N is. b Dezelfde vraag als bij a, maar nu als de endige kracht 6sin ( 0 t N is. c Teken de grafieken van de functies die in a en b gevonden zijn. algemeen We doen de volgende aannamen: De richting naar beneden kiezen we positief. De ijking vanuit de evenwichtsstand noemen we. Op het lichaam werkt een aantal krachten. o De zwaartekracht F z, waarvoor gel: Fz = mg, waarbij g de zwaartekrachtsversnelling is. o De veerkracht F v, waarvoor gel: Fv = kz, waarbij k de veerconstante en z de uitrekking van de veer is. Ten gevolge van de zwaartekracht rekt de veer uit over een afstand s totdat de

10 evenwichtsstand is bereikt. Daar gel: Fz = F v, dus mg = ks. De totale uitrekking van de veer is: s +. Omdat de veerkracht omhoog gericht is gel: F = = ( + v kz k s o De dempingskracht is gelijk aan nul (geen luchtweerstand o De gegeven endige kracht F Voor de resultante Fres van de krachten gel: Fres = Fz + Fv + Fdemp + F Voor de veerkracht gel (zie boven: F = ( + v k s Zoals hierboven aangegeven gel bovendien ks = mg. Daarmee gel: F = k ( s + = ks k = mg k en dus: v F = F + F + F + F = mg mg k F = k + F res z v demp d Voor de resultante van de krachten gel: Fres = ma = m. d t De endige kracht is ook gegeven: F = 6sin ( 8t Bovendien is de veerconstante gegeven: Dit geeft: F = k + F res d d m = 00 + F + 00 = F Tot zover het algemene deel. k = 00 N/m en ook de massa van het lichaam: m =. onderdeel a: Als endige kracht is gegeven: F = 6sin ( 8 t Dit geeft: d + 00 = 6sin ( 8t Deze vergelijking lijkt sterk op die van opgave 0. De karakteristieke vergelijking is: λ + 00 λ = 0i of λ = 0i Er gel dus: ( ( ( t = cos 0t + sin 0t We zoeken een iculiere oplossing en proberen: ( ( ( t = Acos 8t + Bsin 8t De constanten A en B bepalen we met de methode van de onbepaalde coëfficiënten. ( t = Acos( 8t + Bsin ( 8t ( t = 8Asin ( 8t + 8Bcos( 8t ( t = 6Acos ( 0t 6Bsin ( 0t Invullen in de opgestelde d.v. levert: d + 00 = 6sin ( 8t 6Acos ( 8t 6Bsin ( 8t + 00 Acos( 8t + Bsin ( 8t = 6sin 8t ( + ( = ( 6Acos 8t 6Bcos 8t 6sin 8t Dit levert: 6A A 6B = 6 B = ( (

11 Dus: ( t = ( t + ( t = ( t 0 cos 8 sin 8 sin 8 De algemene oplossing van de gegeven d.v. is dan: t = t + t = cos 0t + sin 0t + sin 8t ( ( ( ( ( ( alg We verwerken de beginvoorwaarden. De beginvoorwaarden zijn ( 0 0 = en ( v ( ( 0 geeft: ( ( ( cos 0 + sin 0 + sin 0 We bepalen ( t : t = 0 sin 0t + 0 cos 0t + 8cos 8t ( ( ( alg ( ( 0 = levert: ( ( ( 0 sin cos 0 + 8cos 0 = = =. De gevraagde uitslag is daarmee: t cos 0t + sin 0t + sin 8t = sin 8t sin 0t ( ( ( ( ( ( ( onderdeel b Alleen de endige kracht wijzigt ten opzichte van onderdeel a. Er gel nu: F = 6sin ( 0 t N De vergelijking is nu: d + 00 = 6sin ( 0t De oplossing van de gereduceerde vergelijking is gelijk aan die in onderdeel a: ( ( ( t = cos 0t + sin 0t We zoeken een iculiere oplossing en proberen : ( ( ( t = t Acos 0t + Bsin 0t ( Let op de factor t, deze is nodig omdat sin ( 0t een term is van ( t. ( t = t Acos( 0t + Bsin( 0t = At cos 0t + Bt sin 0t ( ( ( ( cos( 0 0 sin ( 0 sin( 0 0 cos( 0 = ( A + 0Bt cos( 0t + ( B 0At sin( 0t ( ( 0 0 cos( 0 ( 0 ( 0 sin ( 0 ( 0 0 sin ( 0 ( 0 0cos( 0 = ( 0B + 0B 00At cos( 0t + ( 0A 00Bt 0A sin( 0t = ( 0B 00At cos( 0t + ( 0A 00Bt sin( 0t t = A t At t + B t + Bt t t = + B t + A + Bt t + A t + B At t Invullen in de opgestelde d.v. levert: d + 00 = 6sin ( 0t 0B 00At cos 0t + 0A 00Bt sin 0t + 00 Atcos 0t + Btsin 0t = 6sin 0t (( ( ( ( ( ( ( ( ( 0B 00At + 00At cos( 0t + ( 0A 00Bt + 00Bt sin( 0t = 6sin( 0t 0Bcos( 0t 0Asin ( 0t = 6sin ( 0t Dit geeft: 0B A =,8 0A = 6 B Dus: ( ( ( ( t = At cos 0t + Bt sin 0t =,8t cos 0t En daarmee: ( t = ( t + ( t = cos( 0t + sin ( 0t,8t cos( 0t alg

12 We verwerken de beginvoorwaarden. De beginvoorwaarden zijn ( 0 0 = v 0 =. en ( ( ( 0 geeft: ( ( ( cos 0 + sin 0,8 0 cos 0 0 We bepalen ( t t = 0 sin 0t + 0 cos 0t,8cos 0t + 8tsin 0t ( ( ( ( ( alg ( 0 = levert: 0 ( ( sin cos 0,8cos ( sin ( 0 =. 0,8 = = 0, 0 De gevraagde uitslag is daarmee: ( t cos( 0t + ( 0,0 sin ( 0t,8t cos( 0t = 0,0sin ( 0t,8t cos( 0t c grafiek bij onderdeel a geafiek bij onderdeel b Opgave Een man met een massa van 80 kg zit in een bootje met buitenboordmotor met een massa (inclusief motor van 0 kg. De buitenboordmotor van het bootje levert een constante kracht van 80 N. De weerstand die het zeewater op de boot uitoefent, is evenredig met de snelheid van de boot. Bij een snelheid van,0 m/s is deze weerstand 60 N. Voor de zwaartekrachtsversnelling gel g = 9,8 m/s. a Wat is de maimale snelheid die de boot kan bereiken? b Bepaal de snelheid als functie van de tijd, als de boot op tijdstip t nog stil lag. algemeen Op het bootje werken twee krachten. Een constante kracht Fbb waarvoor gel: F bb = 80N, die geleverd wor door de buitenboordmotor. De richting van deze kracht kiezen we positief. Ook werkt op het bootje een weerstandskracht F weerst, die tegengesteld is aan F bb. F weerst is evenredig met de snelheid v van de boot, dus gel: F = c v Verder is gegeven dat voor v = gel: F = 60. weerst weerst Dit geeft: 60 = c, dus c = 0 en daarmee F = 0v. Voor de resultante Fres van de krachten gel: Fres = Fbb + Fweerst = 80 0v Voor F res gel bovendien Fres = ma = m. d t Ook is de totale massa bekend: m + 80 = 00 Dus gel: weerst

13 Fres = 80 0v m = 80 0v v = , v =,8 We lossen deze e orde d.v. op. De karakteristieke vergelijking is: λ + 0,, dus λ = 0,. 0, Dus: ( = e t v t Als mogelijke iculier oplossing kiezen we een constante, omdat het rechterlid van de d.v. een constante is. Dus: v ( t = A Dan gel: v ( t. Invullen in de d.v. geeft: d v 0,,8 0 0,,8 7 d + v = + A = A t =. 0, We weten nu de algemene oplossing: v ( ( ( lg = + = e t a t v t v t + 7 onderdeel a Als we er van uitgaan dat de snelheid gedurende het varen toeneemt, dan gel: 0,t v ( t = lim v ( t = lim( e + 7 = = 7 ma t alg t De maimale snelheid bedraagt dus 7 m/s. onderdeel b Als etra is nu gegeven v ( 0. 0, We weten: v ( lg = e t a t + 7. Er gel daarom: 0, 0 0 = e = + 7 = 7 Dit geeft: 0, 0, 0, v( t = e + 7 = 7e + 7 = 7 7e t t t