BIOFYSICA: WERKZITTING 2 (Oplossingen) DYNAMICA

Transcriptie

1 1ste Kandidatuur ARTS of TANDARTS Academiejaar -3 Oefening 6 BIOFYSICA: WERKZITTING (Oplossingen) DYNAMICA Een blok met massa kg rust op een horizontaal vlak. De wrijvingscoëfficiënt tussen de blok en het vlak is,6. Wat is de grootte van de minimale horizontale kracht die het blok in beweging kan brengen? Met de minimale horizontale krachtgrootte wordt de grootte van de kracht bedoeld waarmee je aan het blok moet trekken om het net in beweging te brengen (d.w.z. een heel klein beetje minder hard trekken zou het blok niet doen bewegen, en een klein beetje meer zou het blok wel doen bewegen). Op dat ogenblik balanceren alle krachten elkaar uit, met andere woorden: F tot = N F W F G Figuur 1: De krachten die op de blok werken zijn de trekkracht F, de wrijvingskracht F W, de zwaartekracht G en de normaalkracht N. De krachtcomponenten ten opzichte van het getekende assenstelsel zijn gegeven 1

2 door: G = (, mg ) ( ) N =,N F = ( F, ) FW = ( fn, ) De som van alle krachten is gegeven door: F tot = G + N + F + F W = Gx + N x + F x + ( ) F W x = G y + N y + F y + ( F W )y = fn+ F = mg + N = F = fn N = mg zodat de vereiste grootte F van de trekkracht gegeven is door: Oefening 7 F = fmg =(, 6) 9, 81 N = 118 N Twee blokjes, een met massa m 1 en het andere met massa m staan tegen elkaar op een horizontaal vlak. Er is geen wrijving tussen het vlak en de blokjes. We duwen met een horizontale kracht F tegen het blokje met massa m 1. Wat is de grootte van de kracht die het blokje met massa m 1 uitoefent op het blokje met massa m? m 1 F m Figuur : Er wordt tegen het grote blok geduwd met een kracht F. Je kan best dit probleem opsplitsen in twee problemen voor elk blokje apart. Hierbij moet je echter wel opletten dat je de derde wet van Newton niet vergeet

3 toe te passen om de actie- en reactiekrachten in rekening te brengen. De volgende krachten werken op elk blokje in: 3

4 N 1 m 1 F 1 F N m F 1 G 1 G Figuur 3: De krachten die op de blok m 1 werken zijn de duwkracht F,dezwaartekracht G 1 en de normaalkracht N 1. Bovendien is er wegens de derde wet van Newton een reactiekracht F 1 van het blokje m op de eerste blok m 1. Op het blokje m werkt horizontaal enkel de reactiekracht F 1. De reactiekracht F 1 is net de kracht die blokje 1 op blokje uitoefent. Het is de bedoeling de grootte van deze kracht te bepalen. Je kan hiervoor best de tweede wet van Newton voor elk blokje apart uitschrijven: Blokje met massa m 1 F tot = m 1 a 1 F + F 1 + N 1 + G 1 = m 1 a 1 F F1 = m 1 a 1,x N 1 m 1 g = m 1 a 1,y Blokje met massa m F tot = m a F 1 + N + G = m a F 1 = m a,x N m g = m a,y Wegens de derde wet van Newton weet je dat F 1 = F 1. Als je de twee vergelijkingen voor de x-componenten optelt vind je daarom: F F 1 = m 1 a x,1 + F 1 = m a x, F = m 1 a x,1 + m a x, Bovendien weet je dat a 1,x = a,x. Als de versnellingen verschillend zouden zijn, bijvoorbeeld als de versnelling a,x van het tweede blokje groter zou zijn dan die 4

5 van het eerste blokje, dan zou het tweede blokje sneller wegbewegen dan het eerste (een grotere versnelling wil ook zeggen dat de snelheid vlugger toeneemt!). Omdat je enkel tegen het eerste blokje duwt, verwacht je niet dat het tweede blokje zomaar er vandoor kan gaan. Noteer de versnelling van de blokjes in de x-richting door a x = a 1,x = a,x,dan vind je dus: F =(m 1 + m )a x Uit de x-vergelijking voor blokje weet je echter dat F 1 = m a x, dus kan je a x in de bovenstaande formule vervangen: F =(m 1 + m ) F 1 m Zodat je als eindresultaat voor de grootte F 1 vindt dat: Oefening 8 F 1 = m m 1 + m F Een kubus met massa 8 g start vanuit rust en glijdt zonder wrijving van een helling die een hoek van 3 maakt met het horizontaal vlak. Aan de voet van de helling heeft de kubus een snelheid van 1 m/s. De hoogte van dit eindpunt van de helling is 4 m. Wat is de versnelling van de kubus op het hellend vlak? Wat is de lengte van de helling? Waar treft de kubus de grond na de val? 3 x Figuur 4: Het blokje glijdt van de helling, en valt daarna vanop een hoogte van 4 m naar beneden. 5

6 Je kan best het probleem opsplitsen in twee deelproblemen: eerst beschrijf je de beweging op de schuine helling, en daarna bestudeer je los daarvan de valbeweging. 1. De beweging op de helling De krachten die op het systeem werken zijn de zwaartekracht G en de normaalkracht N (die loodrecht op het bewegingsvlak staat en dus hier de zwaartekracht niet volledig compenseert!). Om de berekeningen eenvoudig te houden, kies je het assenstelsel waarin je het probleem gaat oplossen best op het vertrekpunt van het blokje, met de x-as volgens de helling en de y-as er loodrecht op. y N 3 x G L Figuur 5: Wanneer het blokje van de helling glijdt, werken enkel de zwaartekracht G en de normaalkracht N op het blokje. De lengte van de helling wordt met L genoteerd. In dit assenstelsel hebben de vectoren de volgende componentschrijfwijze: N = (,N ) G = ( mg cos(6 ), mg sin(6 ) ) De tweede wet van Newton kan je dus uitschrijven in componenten: F = G + N = m a mg cos(6 )+=ma x mg sin(6 )+N = ma y Aangezien het deeltje alleen volgens de x-as beweegt en zo blijft bewegen mag er geen versnelling in de y-richting zijn, dus je weet bovendien dat a y =. Uit de tweede wet van Newton haal je zo dat: ax = g cos(6 ) a y = 6

7 Aangezien deze twee componenten van de versnelling constant zijn in de tijd, is ook de hele versnellingsvector a constant in de tijd. Je mag dus de formules voor de eenparig veranderlijke beweging gebruiken: r(t) = r + v t + at v(t) = v + at In componenten zijn deze vergelijkingen x(t) =x + v,x t + a xt vx (t) =v,x + a x t y(t) =y + v,y t + a yt v y (t) =v,y + a y t Omdat je de oorsprong van het assenstelsel op de beginpositie van het blokje gekozen hebt, is r =,ofincomponenten: x = en y =. Ook de beginsnelheid v =, omdat we aannemen dat het blokje vanuit rust vertrekt. De uitdrukkingen voor de versnellingscomponenten zijn ook gekend, dus je kan de vergelijkingen expliciet uitschrijven: x(t) = g cos(6 ) t vx (t) =g cos(6 )t y(t) = v y (t) = Noteer het tijdstip waarop het blokje het einde van de helling bereikt als t f. Je weet dat op dat ogenblik de snelheid als grootte 1 m/s heeft, maar omdat de snelheid in de y-richting altijd nul is, weet je ook dat v(t f ) = v(t f )= v x (t f ) = 1 m/s. Op tijdstip t f geldt met andere woorden dat: v x (t f )=gcos(6 )t f t f = v x(t f ) g cos(6 ) De x-positie op dat tijdstip is gegeven door x(t f ). Op het moment dat het blokje het einde van de helling bereikt, heeft het echter in de x-richting net de lengte van de helling afgelegd. Immers, de lengte van de helling L = x(t f ) x() = x(t f ) (aangezien x() = door de keuze van het assenstelsel). De lengte van de helling is daarom gegeven door: L = x(t f ) = g cos(6 ) = g cos(6 ) t f ( vx (t f ) g cos(6 ) ) v x (t f ) = g cos(6 ) (1 m/s) = (9, 81 m/s ) cos(6 ) = 14, 7m 7

8 . De valbeweging Tijdens het vallen werkt enkel de zwaartekracht G op het blokje. Om deze beschrijving eenvoudig te maken, kan je hier het assenstelsel zodanig kiezen dat de x-as horizontaal loopt en de y-as vertikaal. Dit kan je doen omdat je de valbeweging los van de schuifbeweging (waar een ander assenstelsel gebruikt werd) beschrijft. y 3 v 1 x G x Figuur 6: Het blokje begint de valbeweging met de eindsnelheid v 1 van de schuifbeweging op de helling. Daarna werkt enkel de zwaartekracht G op het blokje. Uit de tweede wet van Newton haal je meteen dat a x =ena y = g. De versnellingsvector a is met andere woorden ook hier constant, en je mag opnieuw de formules van de eenparig veranderlijke beweging gebruiken: x(t) =x + v,xt + a xt x(t) =v,xt y(t) =y + v,yt + a yt y(t) =v,yt gt Hierbij is gebruikt dat x = y = omdat je de oorsprong van het assenstelsel weer op de vertrekpositie van het blokje gelegd hebt. Je moet nu nog een uitdrukking vinden voor de beginsnelheid v. Het blokje begint echter de valbeweging als de beweging op de schuine helling afgelopen is, dus de eindsnelheid v(t f ) bij de schuifbeweging is net gelijk aan de beginsnelheid v van de valbeweging. Je weet dus dat de beginsnelheid een vector is met grootte 1 m/s, die een hoek van 3 graden maakt met de horizontale, volgens de schuine helling. Deze vector is daarom gegeven door: v = ( 1 cos(3 ), 1 sin(3 ) ) 8

9 De positie van het blokje bij het vallen wordt dus beschreven door: x(t) = 1 cos(3 )t y(t) = 1 sin(3 )t gt Uit de vergelijking voor y(t) kan je de tijd t v halen die het blokje nodig heeft om op de grond te vallen. Je weet immers dat ten opzichte van de gekozen oorsprong het blokje 4 m lager terechtkomt, dus als het de grond raakt is de y- coördinaat van het blokje gelijk aan y(t v )= 4 m. Detijdt v kan dan berekend worden als volgt: y(t v )= 4 m 1 sin(3 )t v gt v = 4 gt v +1sin(3 )t v 4= t v = 1 sin(3 ) ± (1 sin(3 )) +8g g 1, 7 s t v =, 48 s Aangezien het blokje de grond niet kan raken voor het begonnen is met vallen, moet je de oplossing 1, 7 s verwerpen. Nudat de tijd gekend is die het blokje nodig heeft om te vallen, kan je ook de x-positie van het blokje berekenen op het ogenblik dat het de grond raakt. Deze positie is gegeven door x(t v ), maar deze positie is net gelijk aan de gezochte afstand x. Met andere woorden: Oefening 1 x = x(t v ) = 1 cos(3 )t v = (1 cos(3 ) m/s)(, 48 s) = 4, 99 m In de figuur wordt een schema gegeven van een experiment. Een α-deeltje ( 4 He-kern) wordt met een snelheid van m/s in een elektrisch veld met grootte 4 N/C geschoten en hierdoor afgebogen. Even later valt het deeltje in op een trefplaatje. Bereken de afstand Y als d = 5mmen D = 3cm. Je kan ook hier best het probleem opsplitsen in twee deelproblemen: eerst bestudeer je wat er gebeurt wanneer het α-deeltje zich in het elektrisch veld bevindt, en daarna hoe het deeltje verder beweegt als het het elektrisch veld verlaten heeft. 9

10 Y v E d D Figuur 7: Met een gegeven beginsnelheid buigt het α-deeltje af in het elektrisch veld. Eens het deeltje het veld verlaten heeft, volgt het een rechte (aangezien de snelheid constant blijft). Als je wil berekenen op welke hoogte Y het deeltje de plaat treft, moet je weten met welke beginpositie en -snelheid het deeltje uit het elektrisch veld komt. Buiten het elektrisch veld werkt er immers geen kracht meer op het deeltje 1 zodat je wegens de eerste wet van Newton weet dat het deeltje buiten het veld volgens een rechte lijn gaat bewegen. Kennis van de beginsnelheid en -positie is voldoende om dan te weten waar het deeltje terecht zal komen. 1. Binnen het elektrisch veld E De afbuiging van het deeltje ten gevolge van het elektrisch veld kan berekend worden met de tweede wet van Newton. De kracht op een deeltje met lading q in een elektrisch veld E is immers gegeven door F = q E. De tweede wet van Newton levert: F = m a a = q m E Aangezien het elektrisch veld constant is, is ook de versnelling constant. Je 1 De zwaartekracht wordt hier verwaarloosd. Je weet immers dat de zwaartekracht voor een 4 Hekern van grootte mg 4m pg N is. Binnen het elektrisch veld E is de krachtgrootte ongeveer qe =ee 1 14 N. De invloed van de zwaartekracht is dus ongeveer 1 1 keer kleiner, en de zwaartekracht in rekening brengen levert dus maar een verbetering van 1 1 op de nauwkeurigheid van de berekening (d.w.z. dat je al 1 cijfers na de komma moet narekenen vooraleer je een verschil ziet). 1

11 mag dus de formules voor een eenparig veranderlijke beweging gebruiken: x(t) =x + v t v x (t) =v y(t) =y + qe m t v y (t) = qe m t aangezien E =(,E)en v =(v, ) in het gekozen assenstelsel (zie figuur). y v f v x E d Figuur 8: In het elektrisch veld wordt het deeltje afgebogen door de kracht F = q E. De snelheid verandert, en bij het verlaten van het elektrisch veld noteren we de snelheid van het deeltje v f. Om te weten op welke positie het deeltje het elektrisch veld verlaat, moet je enkel de y-positie nog bepalen (aangezien het elektrisch veld stopt op x = d). Daarvoor heb je de tijd t f nodig die het deeltje in het elektrisch veld doorbrengt. Je weet echter dat het deeltje op een tijd t f in de x-richting een afstand d aflegt, dus: x(t f )=d v t f = d t f = d v De positie r f waarop het deeltje het veld verlaat is dus gegeven door: r f = ( x(t f ),y(t f ) ) = ( d, qe m Het α-deeltje verlaat het veld met een snelheid v f gegeven door: v f = ( v x (t f ),v y (t f ) ) ( = v, qe ) d m d v v ) 11

12 . Buiten het elektrisch veld E Er werken hier geen krachten op het α-deeltje, zodat uit F = m a volgt dat a =. De versnelling is hier dus weer een constante vector, dus je kan weer de formules voor de eenparig veranderlijke beweging gebruiken. Kies het assenstelsel in de beginpositie van het deeltje (in deze situatie is dat de eindpositie binnen het elektrisch veld), dan weet je dat de beginpositie gegeven is door r = en de beginsnelheid door v f (= de eindpositie binnen het elektrisch veld). x(t) =(vf ) x t x(t) =v t y(t) =(v f ) y t y(t) = qe d t m v y v f Y Y x Y 1 E D Figuur 9: Buiten het elektrisch veld werken er geen krachten meer op het deeltje. De snelheid v f die het deeltje heeft bij het verlaten van het elektrisch veld blijft tijdens de resterende beweging behouden. De tijd t i die het deeltje nodig heeft om de afstand tussen het veld en de trefplaat te overbruggen, kan je bepalen door je te realiseren dat het deeltje op die tijd t i in de x-richting een afstand D overbrugt: x(t i )=D t i = D v De totale verandering in de y-richting buiten het veld is daarom gegeven door: Y = y(t i )= qe m d v D v 1

13 De plaats waar het deeltje de trefplaat raakt is in de y-richting gegeven door Y = Y 1 + Y, waarbij Y 1 de afbuiging in de y-richting is door het elektrische veld. Het eindresultaat is daarom: X = d + D Y = qe d m v + qe d D = qed ( ) d +D m v v mv Om een numerieke uitkomst te vinden moet je nog weten wat de lading en de massa van een 4 He-kern zijn. Omdat een 4 He-kern bestaat uit protonen (elk met lading +e en massa m p ) en neutronen (met lading en massa m n m p ), weet je dat de lading q = e en de massa ongeveer 4m p. Gebruik makend van het feit dat e =1, C en m p =1, kg vind je: X =3, 5 1 m Oefening 11 Y =8 1 m Een boogschutter mikt naar een doelwit op ooghoogte dat 5 m ver staat. De beginsnelheid van een pijl is 7 m/s. Onder welke hoek met de horizontale moet de pijl gericht worden om het doel te raken? Wat is de grootste hoogte van de pijl? Hoe lang doet de pijl erover om het doelwit te bereiken? y v α x Figuur 1: De hoek α moet zodanig zijn dat de pijl het doelwit in de roos raakt. De enige kracht op de pijl is de zwaartekracht G. De tweede wet van Newton geeft daarom een versnelling a x = en een versnelling a y = g. Door de keuze van het assenstelsel (zie figuur) is de beginpositie x = y = en de beginsnelheid 13

14 (v ) x = v cos(α) en(v ) y = v sin(α). De versnelling is constant dus de formules voor de eenparig versnelde beweging mogen gebruikt worden: x(t) =v cos(α)t y(t) =v sin(α)t g t Uit de formule voor x(t) kan je een uitdrukking voor de tijd t i die de pijl nodig heeft, vinden. Je weet immers dat op het tijdstip van impact t i de pijl in de x-richting een afstand van 5 m heeft afgelegd. Daarom: x(t i )=5 t i = 5 v cos(α) Op het moment van impact t i weet je bovendien dat de hoogte van de pijl y(t i )= m. Door de formule voor t i in te vullen in de uitdrukking voor y(t) vindje: y(t i )= v sin(α)t i gt i = Gebruik nu dat sin(α) = sin(α) cos(α): 5 v sin(α) v cos(α) = g ( sin(α) = g 5 v cos(α) sin(α) cos(α) = 5g v 5 v cos(α) ) sin(α) cos(α) = 5g v sin(α) = 5g v α = 1 ( ) 5g Bgsin v Deze laatste vergelijking heeft twee oplossingen voor α: α1 =, 87 α =87, 1 De grootste hoogte kan je vonden door te kijken wanneer de kromme y(t) een maximum heeft. Het zoeken van een maximum doe je door de afgeleide gelijk aan nul te stellen: =. Merk op dat dit overeenkomt met het zoeken naar het punt dy dt Dat er twee oplossingen moeten zijn kan je inzien als volgt: de fysisch mogelijke waarden voor α zijn deze waarbij α [, π ]. Hieruit volgt echter dat α [,π]. Op het interval [,π] komen echter met een gegeven sinuswaarde a = sin(α) tweewaardenvanα overeen (schets de sinus en overtuig jezelf ervan dat er twee hoeken in [,π] zijn die op de y-as een waarde a [, 1] aannemen). Twee oplossingen voor α betekent natuurlijk ook twee oplossingen voor α zelf. 14

15 waarop de snelheid in de y-richting nul is! Het tijdstip t h waarop de pijl op z n hoogst is, vind je uit v y (t h )= v sin(α) gt h = t h = v sin(α) g De maximum hoogte y(t h ) is dan gegeven door y(t h )=v sin(α)t h g t h y(t h )=v sin(α) v sin(α) g ( ) v sin(α) g g ( v sin(α) ) y(t h )= g y(th )=, 6 m Voor α =, 87 y(t h ) = 49, 1 m Voor α =87, 1 Oefening 13 Een rotor is een kermisattractie waarin personen plaatsnemen tegen de want van een holle cilinder. Die wordt daarna met een grote snelheid aan het draaien gebracht om de cilinderas. Als de snelheid voldoende groot is, laat men de vloer zakken, en blijven de personen tegen de wand plakken. Welke hoeksnelheid moet een rotor moet straal 5 m hebben opdat de personen niet naar beneden zouden schuiven? De wrijvingscoëfficiënt tussendepersonenendewandis,4. Kies een assenstelsel op de persoon in de rotor, waarbij de x-as steeds in de normale richting ligt en de y-as omhoog gericht is. De krachten die op de persoon inwerken zijn de zwaartekracht G, de normaalkracht N en de wrijvingskracht F w. De wrijvingskracht voorkomt dat personen naar beneden schuiven, dus moet deze naar boven gericht staan. De tweede wet van Newton uitschrijven in het gekozen assenstelsel levert: F tot = m a G + N + F w = m a N = ma n fn mg = ma y (normale richting, x-as) (vertikale richting, y-as) Aangezien de persoon niet naar beneden schuift, is de versnelling in de y-richting gelijk aan nul. Bovendien weet je dat in de normaalrichting de grootte van de (centripetaal)versnelling gegeven is door a n = Rω aangezien het hier om een cirkelbeweging gaat. Invullen in de vergelijkingen levert: N = mrω fn mg = mrω = N = mg f 15 ω = g fr

16 ω y F w F w F n x F n G G Figuur 11: De krachten op de persoon zijn de zwaartekracht G, de centripetaalkracht F n en de wrijvingskracht F w. Zodat je als eindresultaat vindt dat, om alle krachten te balanceren zodat a y =,de hoekfrequentie van de rotor gegeven moet zijn door g ω = =, 1 rad/s fr Merk op dat deze hoekfrequentie overeenkomt met een snelheid v = ωr van ongeveer 11 m/s 4 km/h. Tim Jacobs - 7 oktober 16

17 Appendix: Werkschema voor problemen in de dynamica 1. Schets figuur. Teken krachten 3. Kies assenstelsel 4. Schrijf F = m a uit componenten ten opzichte van het gekozen assenstelsel 5. Los deze vergelijkingen op Voor het eigenlijke oplossen geldt de volgende bemerking: Als a een constante vector is (d.w.z. dat beide componenten constant zijn in de tijd, en niet alleen de grootte a = a!!!), dan kan je de formules voor de eenparig versnelde beweging gebruiken: x(t) =x + v,x t + a xt vx (t) =v,x + a x t y(t) =y + v,y t + a yt v y (t) =v,y + a y t Als a niet constant is in de tijd (omdat er bijvoorbeeld een tijdsafhankelijke kracht op het systeem werkt), dan moet je expliciet de integralen voor de snelheid en de positie uitwerken: t v x (t) =v,x + a x (t)dt v y (t) =v,y + x(t) =x + y(t) =y + t t t a y (t)dt v x (t)dt = x + v,x t + v y (t)dt = y + v,y t + t t ( ) t a x (t)dt dt ( ) t a y (t)dt dt Merk op dat wanneer a x (t) ena y (t) gewoon constant zijn, dat je ze dan voor de integraal mag brengen. Je vindt dan bijvoorbeeld voor de dubbele integraal in x(t): ( t ) t ( t ) t t t a x dt dt = a x ds dt = a x tdt = a x en dit geeft precies de formule voor de eenparig veranderlijke beweging. 17