BIOFYSICA: WERKZITTING 1 (Oplossingen) KINEMATICA

Transcriptie

1 1ste Kandidatuur ARTS of TANDARTS Academiejaar Oefening 1 BIOFYSICA: WERKZITTING 1 (Oplossingen) KINEMATICA Kan de bewegingsrichting van een voorwerp, dat een rechte baan beschrijft, veranderen als de versnelling constant is? Ja, dat kan als de beginsnelheid tegengesteld is aan de versnelling. In dat geval zal het voorwerp afgeremd worden, tot stilstand komen en beginnen te bewegen volgens de richting van de versnelling. v v v v = 0 v v F F F F F F Figuur 1: De bewegingsrichting kan veranderen door de inwerking van een constante versnelling. Oefening Welke grafiek stelt een voorwerp in rust voor? Neem aan dat dit voorwerp enkel volgens een rechte kan bewegen (x-as). Het juiste antwoord is figuur B: de positie (op de x-as) verandert niet in functie van de tijd (op de t-as). Figuur A stelt geen fysische situatie voor: naarmate de tijd vordert, moet het voorwerp een bepaalde locatie x hebben, en deze is slechts voor één tijdstip weergegeven. Figuur C is eveneens geen fysische situatie: op een gegeven tijdstip is het voorwerp op meerdere locaties tegelijkertijd, hetgeen niet fysisch mogelijk is. Figuur D stelt een voorwerp voor dat met constante snelheid in de x-richting beweegt. 1

2 Oefening 3 Een blokje schuift over een rechte baan en ondervindt de eerste 10s een constante positieve versnelling. Daarna schuift het verder met een constante snelheid. Welke van de grafieken beschrijft deze beweging? Het juiste antwoord is figuur D. Dit kan je inzien door de formule voor de éénparig veranderlijke rechtlijnige beweging neer te schrijven (formule (1.5) uit de cursus): x(t) = 1 a x(t t 0 ) + v 0,x (t t 0 )+x 0 Wanneer het voorwerp constant versnelt, verandert de positie volgens een parabool met de tijd (omwille van de (t t 0 ) term). Wanneer de snelheid constant wordt, is de versnelling a x = 0, zodat de bovenstaande formule zich herleidt tot: x(t) =v 0,x (t t 0 )+x 0 hetgeen de uitdrukking voor een rechte in de x(t)-grafiek is. Je had het juiste antwoord ook kunnen bekomen door eliminatie: op de drie andere figuren verandert de positie x na een tijdje niet meer (het voorwerp staat stil), zodat deze figuren zeker geen verschuiving van het voorwerp kunnen weergeven. Oefening 4 Kandesomvantweevectorengelijkzijnaannul? Ja, als de twee vectoren gelijk zijn in grootte, maar tegengestelde richting hebben. Noteer de eerste vector A, en de tweede B = A, dan vind je: of, uitgeschreven in componenten: A + B =0 A + B =(A x,a y,a z )+(B x,b y,b z ) =(A x + B x,a y + B y,a z + B z ) =(A x A x,a y A y,a z A z ) =(0, 0, 0) = 0

3 Oefening 5 Is de lengte van twee vectoren altijd gelijk aan de som van de lengten van deze vectoren? Neen, dit is alleen waar als de vectoren in dezelfde richting liggen. In alle andere gevallen is de lengte van de twee vectoren samen steeds groter dan de lengte van de som: A + B A + B B A A+B Figuur : De som van de groottes van twee vectoren is over het algemeen groter dan de grootte van de som. Oefening 6 Kevin loopt van een plaats A naar B via een punt C. De verplaatsing van A naar C is 30 ten zuiden van het oosten met een grootte van 9 km, de verplaatsing van C naar B is noordwestelijk, 30 ten westen van het noorden en heeft een lengte van 15 km. Wat is de verplaatsing van A naar B (grafisch uitwerken)? Kies een x-as naar het oosten en een y-as naar het noorden. Bereken de componenten van de verplaatsing. De berekening gaat als volgt: de totale verplaatsingsvector AB is de som van de twee deelverplaatsingsvectoren AC en CB, of componentsgewijs: AB = AC + { (AB)x =(AC) CB x +(CB) x (AB) y =(AC) y +(CB) y De individuele componenten (AC) x, (AC) y,...kunnen berekend worden door de projecties op de x-as, respectievelijk de y-as, te maken: (AC) x = AC cos(30 ) (CB) x = CB sin(30 ) (AC) y = AC sin(30 ) (CB) y = CB cos(30 ) 3

4 y B 30 A 30 C x Figuur 3: De totale verplaatsing is de som van de twee deelverplaatsingsvectoren. Zodat in totaal: { (AB)x = AC cos(30 ) CB sin(30 ) = 9cos(30 ) 15 sin(30 ) km (AB) y = AC sin(30 )+( CB cos(30 ) { (AB)x =0, 3 km (AB) y =8, 5 km = 9 sin(30 )+15cos(30 ) km Oefening 7 Kan een voorwerp dat beweegt in twee of drie dimensies een versnelling hebben als de grootte van de snelheid constant is? Dat kan, als de versnellingsvector a alleen de richting van de snelheidsvector v verandert. Dit is het geval wanneer a v, zoals bijvoorbeeld het geval is met de eenparige cirkelbeweging. Oefening 8 Jan rijdt met zijn auto traag een cirkelvormige bocht in en versnelt tijdens het draaien. In welke figuur wordt de versnelling van de wagen correct voorgesteld? Het juiste antwoord is figuur A. Je vindt dit antwoord door de volgende redenering te maken: 4

5 Er moet al zeker en vast een normale component a n 0 van de versnelling zijn, die per definitie naar binnen gericht is. Zonder de normale component kan de wagen immers geen cirkelbeweging uitvoeren! Bovendien moet er ook een tangentiële component a t 0 meespelen, omdat de grootte van de snelheid verandert. Het is net de tangentiële component die de grootte van de snelheidsvector doet veranderen. Deze tangentiële component moet, om de snelheid te kunnen opdrijven, gericht staan volgens de snelheidsvector. Door beide componenten te combineren, vindt je een versnelling a die naar binnen gericht is, maar niet recht naar het middelpunt van de cirkel wijst (dan zou a t =0, wat hier niet toegelaten is). v a a t a n Figuur 4: De goede combinatie van de tangentiële en normale component levert de versnelling a. Oefening 9 In de grafieken wordt de snelheid als functie van de tijd weergegeven van een deeltje dat een rechte baan beschrijft. Maak de grafiek van de plaats en de versnelling als functie van de tijd. Het eenvoudigst is om steeds eerst de grafiek van de versnelling te maken. Dit doe je best door tijdstap per tijdstap apart de curve voor de snelheid v(t) te bestuderen. 5

6 t =0tott = De snelheid verandert gedurende de eerste twee seconden op dezelfde manier (uniform). Dit wil zeggen dat de versnelling gedurende deze tijd constant is. Deze constante versnelling kan bekomen worden door op het tijdsinterval de begin- en eindsnelheden te vergelijken: a = v t = m/s =m/s (voor t =0tott =) t =tott =5 De snelheid verandert niet, dus de versnelling (die de verandering van de snelheid aangeeft) is nul: a =0. t =5tott =7 De snelheid verandert niet, dus de versnelling (die de verandering van de snelheid aangeeft) is nul: a =0. t =7tott =8 De snelheid daalt uniform, zodat de (constante) versnelling gevonden wordt door: a = v t = m/s = 1 m/s (voor t =7tott =8) De grafiek voor de positie kan je best opstellen door de formule voor de eenparig veranderlijke beweging te gebruiken. Deze formule beschrijft immers hoe de positie x in functie van de tijd verandert voor een constante versnelling (merk op dat we voor elk tijdsinterval apart een constante versnelling hebben!): Voor elk tijdsinterval vind je zo: t =0tott = x(t) =x 0 + v x,0 (t t 0 )+ 1 a x (t t 0 ) Zowel de beginpositie x 0 = 0m, de beginsnelheid v 0 = 0 m s, als de versnelling a = m zjn gekend, dus door substitutie in de formule voor de eenparig s veranderlijke beweging vind je (met begintijd t 0 =0): x(t) =t (Voor t =0tott =) Dit is een parabool door de oorsprong. Na de twee seconden die hier beschouwd worden, bevindt het voorwerp zich op positie x() = =4m. 6

7 t =tott =5 Aangezien de versnelling a = 0, de beginsnelheid v 0 =4 m s,endebeginpositie voor dit tijdsinterval gegeven is door x 0 =4m, vind je dat de positie voor dit tijdsinterval beschreven is door een rechte (de begintijd t 0 =s): x(t) =4+4(t ) met als eindpositie (op t =5)x(5) = 16m De andere tijdsstippen kan je op identiek dezelfde manier neerschrijven. Voor deel (b) van de vraag kan je dezelfde methodes gebruiken om de figuren voor x(t) en a(t) op te stellen. Alternatieve methode Je kan ook de grafiek voor de positie x(t) construeren zonder expliciete berekeningen uit te voeren. Het verband tussen de snelheid en de plaats is gegeven door de integraal t v x (t)dt = x(t) x(t 0 ) t 0 De verplaatsing x = x(t) x(t 0 ) kan je dan ook uitwerken door oppervlaktes onder de grafiek van de snelheid in functie van de tijd te berekenen. In het algemeen is immers x f(x) x 1 f(x)dx = oppervlakte onder f(x) tussen x 1 en x x x 1 x Figuur 5: De integraal van f(x) tussen x 1 en x komt overeen met het aangeduide gebied. Vergeet echter niet dat de stukken grafiek onder de x-as een negatieve bijdrage leveren! 7

8 x(t) , v(t) t (s) 3 1 a(t) t (s) 1 t (s) Figuur 6: De resulterende figuren voor deel (a) van vraag 9. 8

9 x(t) 1,5 1 0,5-0,5 t (s) -1 v(t) t (s) -1 a(t) t (s) -1/ Figuur 7: De resulterende figuren voor deel (b) van vraag 9. 9

10 Oefening 10 Laagvlieger Jan rijdt voorbij een controlewagen aan een snelheid van 180 km/h. Hij ziet de wagen en remt met een versnelling waarvan de grootte 3m/s is. Hoe lang duurt het tot de snelheid van Jans wagen 10 km/h is? Welke afstand is dan afgelegd? Gegevens: v 0 = 180km/h =50m/s a = 3m/s Jan v 0 x = 0 0 remafstand x = x(t) - x 0 x(t) x Figuur 8: Een figuur die het probleem schetst. Omdat de versnelling a hier constant is, kan je de formules voor de eenparig veranderlijke beweging gebruiken. Voor de snelheid geldt de formule: v(t) =v 0 + a(t t 0 ) Omdat geweten is wat de beginsnelheid is (v 0 =50 m s ), wat de versnelling is (a = 3 m ), wat de begintijd is (t s 0 = 0s), en in welke snelheid je geïnteresseerd bent (v(t) = 10 km h =33, 33 m s ), is de enige onbekende in deze vergelijking nog het tijdsstip t waarop v(t) =33, 33 m s. Dit is net gevraagd, dus los deze vergelijking op naar t: t = t 0 + v(t) v 0 a = (33, 33 50) m s 3 m s =5, 56s De afstand die Jans wagen op die tijd aflegt, is gegeven door de formule x(t) =x 0 + v 0 (t t 0 )+ 1 a (t t 0) Door de oorsprong van de x-as bij de controlewagen te leggen, weet je dat de positie waarop Jan begint te remmen (zijn beginpositie voor dit probleem) gewoonweg x 0 =0 is. Op tijdsstip t =5, 56s is de positie gegeven door x(5, 56) = (5, 56) + 1 ( 3) (5, 56) = 31, 6m 10

11 Oefening 11 Een bus vertrekt aan de Naamsepoort richting Naamsesteenweg, en versnelt met een constante versnelling van m/s. Een jongen is op het moment van vertrek 15,0 m achter de bus en loopt met een constante snelheid van 8 m/s in de richting van de bus. (a) Hoe lang duurt het tot de jongen de achterkant van de bus bereikt? Als de jongen met dezelfde snelheid blijft lopen, hoe lang duurt het dan tot de achterkant van de bus weer voorbij de jongen gaat? (b) Wat is de maximale versnelling die de bus kan hebben zodat de jongen deze bus nog net kan inhalen? (a) Tijd die jongen nodig heeft om bus in te halen. Omdat je gelijktijdig iets wil zeggen over de posities van de jongen en de bus, is het belangrijk om beide posities ten opzichte van één en dezelfde referentie uit te drukken. Daarom kies je een oorsprong van een assenstelsel (in dit geval enkel de x-as) op een bepaalde plaats. Gemakkelijkheidshalve kan je de jongen aanvankelijk in de oorsprong plaatsen, x J 0 =0m, en de bus op 15m van de jongen: xb 0 =15m. v 0 0 x = 15 m Bus x Figuur 9: Een schets van de beginsituatie van het vraagstuk. Je kan nu alle gegevens mooi op een rijtje zetten: x J 0 =0m v J 0 =8m/s a J =0m/s x B 0 =15m v B 0 =0m/s a B =m/s Omdat de versnellingen voor zowel de jongen als de bus constant zijn, kan je beide posities op latere tijdstippen neerschrijven met behulp van de formule voor de eenparig veranderlijke beweging. Dit levert (met t 0 =0): x J (t) =x J 0 + v0 J t + 1 aj t { x J (t) =8t x B (t) =x B 0 + v0 B t + 1 ab t x B (t) = 15 + t 11

12 Deze twee vergelijkingen geven de positie in functie van de tijd van de jongen en de bus ten opzichte van de oorsprong op de x-as. Als de jongen de achterkant van de bus bereikt, wil dat gewoon zeggen dat de positie van de jongen en de bus samenvallen: x J (t) =x B (t). Dit levert een kwadratische vergelijking waaruit de tijden gehaald kunnen worden: x J (t) =x B (t) 8 t =15+t t 8 t +15=0 Deze vergelijking heeft als discriminant D =( 8) = = 4 zodat de twee oplossingen van de kwadratische vergelijking gegeven zijn door: t 1 = ( 8) D =3s t = ( 8) + D =5s De precieze betekenis van beide tijden kan je achterhalen door op een grafiek zowel x J (t) alsx B (t) uit te zetten: x(t) x (t) B x (t) J 15 0 t 1 t t Figuur 10: De posities van de jongen en de bus in functie van de tijd. 1

13 Hierop zie je dat tot t = t 1 de positie van de bus x B (t) groter is dan de positie van de jongen x J (t); de jongen heeft de bus nog niet ingehaald op dat ogenblik, maar naarmate de tijd korter bij t 1 komt, wordt de afstand x(t) =x B (t) x J (t) wel kleiner. Op t = t 1 haalt de jongen de bus voor het eerst in, maar omdat er verondersteld is dat de jongen aan een constante snelheid blijft lopen, loopt hij gewoon de bus voorbij. De bus zelf blijft echter versnellen met een constante versnelling a = m s zodat uiteindelijk de bus de jongen terug inhaalt op tijdstip t = t. (b) De maximale versnelling van de bus zodat de jongen de bus nog net kan inhalen. Met de voorgaande figuur is het nu duidelijk wat het wil zeggen dat de jongen de bus nog net kan inhalen: vanaf het moment dat de curve voor de bus x B (t) niet meer de curve voor de jongen x J (t) snijdt, kan voor geen enkel tijdstip x B (t) =x J (t). Wanneer de jongen de bus nog net kan inhalen, moeten de curves x B (t) enx J (t) elkaar dus nog net raken, d.w.z. dat ze één snijpunt hebben. x(t) x (t) B x (t) J 15 0 t = 1 t t Figuur 11: Wanneer de jongen de bus nog net inhaalt, snijden de curves in slechts één punt. Noteer de maximale (constante) versnelling die je zoekt als a B max, dan weet je dat de beweging van de bus beschreven is door de eenparig veranderlijke beweging: x J (t) =8t x J (t) =8t x B (t) =x B 0 + v0 B t + 1 ab max t 13 x B (t) = 15 + ab max t

14 De snijpunten van de curves kan je bekomen door de vergelijking x B (t) =x J (t) op te lossen, dus in dit geval vind je: x J (t) =x B (t) ab max t 8 t +15=0 Eisen dat er slechts één snijpunt mag zijn, komt neer op de eis dat de discriminant van deze tweedegraadsvergelijking gelijk is aan nul. Dit levert: D = ab max 15 = 0 a B max = 3 15 m/s Oefening 1 Een kogeltje wordt met een beginsnelheid met grootte 80 m/s afgevuurd en ondervindt een constante versnelling volgens een richting die loodrecht staat op de beginsnelheid. De grootte van de versnelling is 0 m/s. Bepaal de plaats van dit kogeltje als functie van de tijd. Je kan best beginnen met steeds een figuur te maken van dit soort problemen. In de beginsituatie werkt er een versnelling op het kogeltje (kies de versnelling bijvoorbeeld naar boven), en het kogeltje wordt met een bepaalde beginsnelheid afgevuurd (kies naar rechts als richting). Omdat je de positie van het kogeltje in functie van de tijd wil beschrijven, moet je een assenstelsel kiezen ten opzichte waarvan je de positie gaat uitdrukken. Het is het eenvoudigst om in deze situatie de oorsprong samen te laten vallen met de beginpositie van de kogel, de x-as volgens de beginsnelheid te kiezen en de y-as volgens de versnelling. y a 0 v 0 x Figuur 1: De beginsituatie van het probleem: op het kogeltje werkt een constante versnelling 14

15 Wanneer je de positie van het kogeltje wil vastleggen in functie van de tijd, moet je in principe de plaatsvector r(t) kennen. Omdat de versnelling a hier constant is, heb je hier weer te maken met een eenparig versnelde beweging (zij het deze keer in meerdere dimensies!). De x en y coördinaten worden gegeven door: x(t) =x 0 + v 0,x (t t 0 )+ 1 a x (t t 0 ) y(t) =y 0 + v 0,y (t t 0 )+ 1 a y (t t 0 ) Deze vergelijkingen kunnen verkort weergegeven worden in vectorvorm door r(t) = ( x(t),y(t) ) te stellen: r(t) = r 0 + v (t t 0 )+ 1 a (t t 0) Je kan nu alle gegevens uitschrijven in termen van de basis die je gekozen hebt: r 0 =(0, 0) v 0 =(v 0, 0) a =(0,a) x 0 =0 y 0 =0 v 0,x = v 0 v 0,y =0 a x =0 a y = a Invullen in de vergelijkingen voor x(t) eny(t) levert { x(t) =v 0 t x(t) =80t y(t) = 1 at y(t) =10t Als je wenst kan je de beweging ook terug in vectorvorm schrijven: r(t) = ( 80t, 10t ) 15

16 Oefening 13 In een bocht met straal 00 m verlaagt een autorenner zijn snelheid uniform van 90 m/s tot 75 m/s in s. Bereken de versnelling van de wagen op het ogenblik dat de snelheid 80 m/s is. Je hebt hier te maken met een cirkelbeweging, dus moet je een uitspraak doen over de tangentiële en de normale componenten van de versnelling a. Tangentiële component a t De tangentiële component verandert de grootte van de snelheidsvector. Er is in het vraagstuk informatie gegeven over deze grootteverandering: de snelheid daalt van 90 m s naar 75 m s op s en dit op een uniforme manier (hetgeen wil zeggen dat de daling van de snelheid steeds op dezelfde manier, dus met een constante grootte van versnelling, gebeurt). Omwille van de uniformiteit kan je de tangentiële component van de versnelling berekenen op de volgende manier: a t = v = m/s = 7, 5 m/s t Normale component a n Omdat de richting van de snelheidsvector ook verandert (de autorenner neemt een bocht), moet er ook een normale component van de versnelling in het spel zijn. Deze normale component is voor een cirkelbeweging gegeven door de centripetaalversnelling (formule 1.50 in cursus): a n = v R De totale grootte van de versnelling a =(a n,a t ) is daarom gegeven door: (v ) a = a n + a t = + R ( v ) t Omdat de versnelling gevraagd is op het ogenblik dat v =80 m s, vind je als antwoord: ( ) 80 a = + ( 7, 5 ) =3, 9 m/s 00 16

17 Oefening 14 De aarde kan bij benadering beschouwd worden als een bol met straal 6, km. Bereken de versnelling van een punt P dat in rust is op het aardoppervlak op 40 noorderbreedte. De oefening wordt vrij eenvoudig als je je realiseert dat het punt P ten gevolge van de aardrotatie een cirkelbeweging uitvoert: y ω r R P 40 v x ω R v z P Figuur 13: Rechts is het bovenaanzicht van de figuur links weergegeven. Om iets over de versnelling te zeggen moet je opnieuw iets zeggen over de normale en de tangentiële component: Normale component a n Omwille van de cirkelbeweging is er een centripetale versnelling die meespeelt: a n = v R = Rω De straal R die hier nodig is, is de straal van de cirkelbeweging, en deze is niet gelijk aan de aardstraal r! Met behulp van driehoeksmeetkunde kan je inzien dat de straal voor de cirkelbeweging gegeven is door: R = r cos(40 ) De normale component is derhalve gegeven door: a n = r cos(40 ) ω 17

18 Tangentiële component a t Het punt P is ten opzichte van de aarde in rust, hetgeen wil zeggen de snelheid ten opzichte van de aarde niet verandert. Dit wil echter niet zeggen dat de snelheid van het punt P nul is! Voor een waarnemer in het middelpunt van de aarde beweegt het punt P immers! Dat P in rust is ten opzichte van de aarde wil zeggen dat de grootte van de snelheidsvector v niet verandert. De tangentiële component is derhalve nul. De versnelling a is dus gegeven door a =(a n, 0), zodat a = a n. Om nu nog een numerieke waarde te bekomen, moet je de waarde van de hoeksnelheid ω berekenen. Aangezien de aarde volledig rond haar as draait op (ongeveer) één dag, legt ze een hoek van π radialen af in s. Met andere woorden: π ω = =7, rad/s De grootte van de versnelling is gegeven door: a = a n = r cos(40 )ω = ( 6, m ) cos(40 ) ( 7, ) m/s =0, 06 m/s Oefening 15 Geef de algebraïsche vorm van de trilling voorgesteld in de figuur weer. Je moet de onbekenden A, ω en φ bepalenomindeformule x(t) =Asin ( ωt + φ ) in te vullen. De amplitude A is de maximale uitwijking van de trilling, in dit geval A =5m. De beginfase φ is de fasefactor ten opzichte van de uitdrukking Asin(ωt), in dit geval φ = 0. De hoekfrequentie ω kan je berekenen omdat je de periode T kan aflezen: ω = π T rad/s = π rad/s = πrad/s De uitdrukking voor de trilling is dus gegeven door: Oefening 16 x(t) =5sin ( πt ) m Van een trilling weet men het volgende: de amplitude is 0,005 m, de amplitude van de snelheid is 1,5 m/s en op t=0 s is de snelheid nul. Geef een algebraïsche uitdrukking voor deze trilling. 18

19 Je moet opnieuw de onbekenden A, ω en φ bepalenomindeformule x(t) =Asin ( ωt + φ ) in te vullen: Amplitude A is gegeven in het vraagstuk: A =0, 005m. Hoekfrequentie ω: Als de positie x(t) harmonisch met de tijd verandert, dan is dit ook zo voor de snelheid v(t). In het algemeen kan je dus de volgende twee formules voor harmonische trillingen neerschrijven: { x(t) =Asin(ωt + φ) v(t) =A cos(ωt + φ) A = Aω De amplitude van de snelheid is gegeven door A =1, 5m/s. Uit de verbanden voor de amplitudes van de plaats en de snelheid kan je de hoekfrequentie bepalen: Beginfase φ: ω = A A = 1, 5 m/s 0, 005 m = 500 rad/s Omdat je weet dat op t = 0 de snelheid nul is, vind je: v(t =0)=0 Aω cos(φ) =0 cos(φ) =0 φ = ± π De trilling is derhalve beschreven door de volgende algebraïsche vergelijking: ( x(t) =0, 005 sin 500t ± π ) = ± 0, 005 cos ( 500t ) Tim Jacobs - 18 oktober 00 19