De eerste wet van Newton

Transcriptie

1 3 De eerste wet van Newton Een whiplash is een tpisch letsel aan de nek en/ of rug voor inzittenden van een auto die langs achter wordt aangereden. Het hoofd krijgt daarbij een slag naar achteren. Er kan daarbij een beschadiging aan zachte weefsels en structuren in de nek optreden, die aanleiding tot klachten geeft. De meeste slachtoffers herstellen op korte termijn, maar een whiplash kan ook blijvende last veroorzaken. Een whiplash is een pijnlijke illustratie van de eerste wet van Newton. 3. De eerste wet van Newton Ook zonder whiplash krijg je in het dagelijkse leven voortdurend te maken met de eerste wet van Newton. Als je rechtstaat in een bus die bruusk vertrekt, vlieg je naar achteren. Misschien zag je ooit de demonstratie waarbij een tafelkleed snel onder een servies wordt weggetrokken. Je kunt met één hand een blaadje van de wc-rol trekken, als je dat doet met een snelle beweging. In elk van die voorbeelden is het ssteem (jij, servies, wc-rol) in rust en tracht het in rust te blijven. Als je in een bus zit die plots remt, vlieg je naar voren. Bij een crashtest houdt de gordel de dumm op de zetel, maar armen, benen en hoofd bewegen naar voren. Een hamerkop kun je vastzetten door de steel op de grond te kloppen. Een vrachtwagen die een bocht neemt, kan in die bocht zijn lading verliezen. In elk van die voorbeelden heeft het ssteem (jij, de dumm, de hamerkop, de lading) een bepaalde snelheid (grootte en richting) en tracht het die te behouden. Scania Een voorwerp komt niet vanzelf in beweging of tot rust, of buigt niet uit zichzelf af. Daarvoor is er een uitwendige invloed nodig. In het 3e jaar leerde je reeds dat we zo n uitwendige invloed kracht noemen. De eerste wet van Newton zegt hoe een ssteem beweegt als de resulterende kracht erop nul is. + WET Die wet noemt men ook de wet van de traagheid, omdat een voorwerp zich lijkt te verzetten tegen een verandering van bewegingstoestand. Als er op een voorwerp geen (resulterende) kracht wordt uitgeoefend, behoudt het zijn bewegingstoestand: is het voorwerp in rust, dan blijft het in rust; beweegt het voorwerp, dan blijft het bewegen met constante snelheid en in dezelfde richting en zin. Dat is de eerste wet van Newton. Een ssteem waarop geen resulterende kracht werkt, voert dus een eenparige rechtlijnige beweging (ERB) uit. Die beweging, die je reeds leerde kennen in het derde jaar, bekijken we in de volgende paragraaf. Omdat op een voorwerp op aarde altijd de zwaartekracht werkt (en meestal ook wrijving), kun je die wet op aarde niet aantonen. In de ruimte lukt dat wel: als er geen zwaartekracht is, kan een ruimtetuig blijven voortbewegen zonder dat de motoren werken. In de beschreven eperimenten, bv. het blad onder het glas wegtrekken, werkt de kracht gedurende zo een korte tijd dat ze nauwelijks effect heeft.

2 9 raktische toepassing: de airbag Om de bestuurder en passagier te beschermen, zijn hedendaagse wagens uitgerust met airbags. Zo n airbag vervangt de gordel niet, maar vangt de knik van het hoofd op bij een frontaal ongeval, zodat bv. letsels aan de nekwervels voorkomen kunnen worden. De airbag is een dunne opgeplooide zak die in het stuurwiel of dashbord opgeborgen zit. De crash -sensor registreert wanneer de bag moet opgeblazen worden. Er bestaan verschillende tpes van deze sensoren, maar allemaal steunen ze op de wet van de traagheid. KINEMATICA EN DYNAMICA Een veel gebruikt tpe werkt als volgt: in een buisje zit een stalen bol die door een magneet wordt vastgehouden. Bij een frontale botsing komt de knikker los van de magneet (wet van de traagheid) en vliegt tegen een schakelaar. Daardoor wordt een elektrisch circuit gesloten en de ontsteking geactiveerd. Door de ontsteking gebeurt er een chemische reactie tussen NaN 3 en KNO 3 en ontstaat N -gas waardoor de airbag in ongeveer 0,03 s wordt opgeblazen. Het omhulsel van de airbag haalt hierbij een snelheid tot 300 km/h! bewegingsrichting Onmiddellijk daarna ontsnapt het gas uit de kleine poriën in de bag, zodat de bestuurder terug vrij kan bewegen. Het poeder dat ontsnapt, is meestal talk en gebruikt men om de airbag in samengevouwen vorm soepel te houden.

3 30 ] Kinematica en dnamica 3. De eenparige rechtlijnige beweging (ERB) t.o.v. de -as v 3.. Definitie Bij grote verkeersdrukte op de autosnelweg geeft de wegenpolitie opdracht tot blokrijden. Hierbij rijden alle wagens met een constante snelheid. t t t + DEFINITIE Een ssteem voert in het tijdsinterval [t ; t ] een eenparige beweging (EB) uit t.o.v. de -as als de snelheid v constant is. De v (t)-grafiek is in dat interval een horizontale rechte. 3.. Eigenschappen We bewijzen volgende eigenschappen voor een voorwerp dat een EB uitvoert t.o.v. de -as. 7 De versnelling a is nul Dat volgt onmiddellijk uit de definitie: v (t) = cte De versnelling is a (t) = dv dt = 0 Je kunt een EB dus beschouwen als een bijzonder geval van een EVB met a = 0. Dikwijls kiezen we het begintijdstip t o gelijk aan 0 s. Dan geldt = o + v t 7 Voor de positie op het ogenblik t geldt = o + v (t t o ) We vertrekken van de formule voor (t) van een EVB = o + v o (t t o ) + a (t t o) Vermits a = 0 en v = cte = v o is = o + v (t t o ) () Dat is een eerstegraadsfunctie. De (t)-grafiek is een schuine rechte: = m + q 0 t 0 t

4 3 7 De gemiddelde snelheid v,g is dezelfde voor elk tijdsinterval Δt en is gelijk aan v Dit kun je ook vaststellen met een fietscomputer: als je gedurende een bepaalde tijd met een constante snelheid van 0 km/h fietst, is je gemiddelde snelheid in dat tijdsinterval ook 0 km/h. 7 De gemiddelde snelheid in een tijdsinterval Δt is Δ v,g = Δt = t t Invullen van () geeft v,g = o + v (t t o ) [ o + v (t t o )] t t Dat uitwerken geeft v,g = v () Voor de verplaatsing Δ in een tijdsinterval Δt geldt Δ = v Δt Uit v,g = Δ (definitie) volgt Δt Δ = v,g Δt KINEMATICA EN DYNAMICA Dan geldt volgens () Δ = v Δt Maak ook dit jaar een formularium met alle geziene definities en eigenschappen. De verplaatsing Δ in een interval Δt is dus recht evenredig met Δt. In gelijke tijdsintervallen verandert de positie met dezelfde waarde. 50 km/h 50 km/h 50 km/h 50 km/h 50 km/h 50 km/h OEFENING Tijdens de Ronde van Frankrijk heeft een kopgroep op een bepaald ogenblik een voorsprong van,00 km op een groepje achtervolgers met daarin gele trui Chris Froome. De kopgroep rijdt aan 48,0 km/h, de achtervolgers aan 54,0 km/h. Het parcours is een lange rechte weg. a) Na hoeveel tijd halen de achtervolgers de kopgroep in? b) De kopgroep bevindt zich op dat ogenblik op,0 km van de aankomst. Halen de achtervolgers de kopgroep in voor de streep? Zo nee, hoeveel m komen ze te kort?

5 3 ] Kinematica en dnamica Oplossing: a) We kiezen de -as zoals in de figuur en leggen de oorsprong waar de groep achtervolgers zich bevindt bij aanvang van de achtervolging. achtervolgers kopgroep,00 km,00 km 0 Beide groepen voeren een ERB uit. De bewegingsvergelijking van de kopgroep is k(t) = o + v (t - to) =,00 km + 48,0 km/h (t - 0 s) =,00 03 m + 3,3 m/s t De bewegingsvergelijking van de groep achtervolgers is a(t) = o + v (t - to) = 0 km + 54,0 km/h (t - 0 s) = 5,0 m/s t Het tijdstip waarop de achtervolgers de kopgroep inhalen, noemen we ti. Op dat ogenblik is de positie dezelfde voor beide groepen: k(t i) = a(t i),00 03 m + 3,3 m/s t i = 5,0 m/s t i Daaruit ti berekenen geeft Het is niet nodig de eenheden om te zetten: de eenheid km valt weg en je verkrijgt de tijdsduur onmiddellijk in uur. t i = 8 0 s = 9,7 min b) We berekenen de tijdsduur die de kopgroep nodig heeft om de finish te bereiken. Uit v = Δ Δ,0 km volgt = = 0,50 h = 0,5 60 min = 5,0 min = Δt v 48,0 km/h De kopgroep bereikt de streep na 5,0 min. De achtervolgers hebben 9,7 min nodig om de groep in te halen. Ze komen dus bijna 5 min te kort. De achtervolgers bevonden zich op 4,0 km van de meet bij aanvang van de achtervolging. Als de kopgroep de meet bereikt, hebben ze 5,0 min achtervolgd aan 54,0 km/h. In die tijdsduur is: = v = 5,0 m/s 5,0 min = 5,0 m/s 900 s = 35 0 m = 3,5 km Ze komen 4,0 km - 3,5 km = 0,5 km te kort. WAT JE NA DIT HOOFDSTUK MOET KENNEN EN KUNNEN: de e wet van Newton formuleren, toelichten en illustreren met voorbeelden uit het dagelijkse leven de definitie geven van een ERB t.o.v. de -as en de geziene eigenschappen bewijzen oefeningen op de EB t.o.v. de -as oplossen

6 4 De kromlijnige beweging In het dagelijkse leven voeren de meeste sstemen, zoals bv. een skischansspringer, geen rechtlijnige maar een kromlijnige beweging uit, waarbij het ssteem versnelt, vertraagt, afbuigt. In dat geval werkt op het ssteem een kracht, zoniet zou het een eenparige rechtlijnige beweging uitvoeren. In dit hoofdstuk beschrijven we de kromlijnige beweging. Voor de eenvoud beperken we ons tot tweedimensionale kromlijnige bewegingen, d.w.z. bewegingen in een vlak. Het (, )-assenstelsel kiezen we in dat vlak. 4. ositie- en verplaatsingsvector + DEFINITIE De positie van het ssteem op een tijdstip t geven we weer met de positievector (of plaatsvector) r. e en e zijn respectievelijk de eenheidsvectoren volgens de - en de -as e r r 4 e r r e 3 e fig. a fig. b In drie dimensies wordt de positie van het voorwerp op het ogenblik t bepaald door drie coördinaten:, en z. De vector r heeft componenten r en r (fig. a). De componenten r en r op een ogenblik t zijn gelijk aan de coördinaten en van het punt waar het ssteem zich op dat tijdstip bevindt.

7 34 ] Kinematica en dnamica Voorbeeld: In fig. b heeft als coördinaten = 3 = 4 De plaatsvector r heeft als componenten r = +3 r = +4 Als het ssteem een baan beschrijft in het (, )-vlak, verandert de richting en/of de grootte van de vector r. We bekijken de beweging van het ssteem van het tijdstip t tot t. Op het tijdstip t is de positievector r, op tijdstip t is die vector r. = r + ( r ) r r r r + DEFINITIE De afgelegde weg Δs is de afstand die het ssteem in die tijd langs de baan aflegt. Δs is een getal en is altijd positief. De verplaatsing Δ r = r - r = r + ( r ). Dat is een vector die wijst van punt naar punt. Als het tijdsinterval Δt klein is, is de grootte van Δ r ongeveer gelijk aan de afgelegde weg Δs. De vector Δ r geeft dan bij benadering de richting, zin en afgelegde weg weer als het ssteem van naar beweegt. Voor de componenten van de vector Δ r geldt Δ r = r r = ( ; ) = (Δ; Δ) De componenten van Δ r komen dus overeen met de verplaatsing Δ en Δ t.o.v. respectievelijk de - en de -as, zoals vroeger gedefinieerd. In nevenstaande figuur is Δ positief en Δ negatief. (zie appendi)

8 35 4. De snelheidsvector 7 Gemiddelde snelheid + DEFINITIE Is de vector v g = Δ r /Δt groter of kleiner dan de vector Δ r? Je kunt die twee verschillende grootheden niet vergelijken, zoals je ook niet kunt zeggen wat het grootst is: 5 s of 0 kg. De lengte van de vector v g hangt af van de schaal die je gebruikt voor de snelheid! (bv. cm = m/s). De gemiddelde snelheid v g in een tijdsinterval Δt definiëren we als r vg = Dat is een vector met de richting en de zin van Δ r, vermits Δt positief is. v g = KINEMATICA EN DYNAMICA Als Δt klein is, is de grootte van de verplaatsingsvector ongeveer gelijk aan de afgelegde weg: v g Δs Δt Dat is de gemiddelde snelheid van het ssteem (in tijdsinterval Δt) zoals die gebruikt wordt in het dagelijkse leven. Voor de componenten van de vector v g geldt r vg = = ; (zie appendi) = (v,g ; v,g ) De componenten van v g komen dus overeen met de gemiddelde snelheid v,g en v,g t.o.v. respectievelijk de - en de -as, zoals vroeger gedefinieerd. In onderstaande figuur is v,g positief en v,g negatief. vg v,g v,g

9 36 ] Kinematica en dnamica 7 + DEFINITIE Ogenblikkelijke snelheid De ogenblikkelijke snelheid v is gedefinieerd als v r dr = lim = 0 dt v g v v v v Dat de snelheidsvector raakt aan de baan leerde je al in het 3e jaar. Om de snelheid v in punt te bepalen, laten we punt (tijdstip t ) naderen tot punt (tijdstip t ). De snelheid v is de limietvector. De vector v raakt aan de baan en wijst in de zin van de beweging. Dat geldt algemeen. Δt (s) grootte van r (m) v g (m/s) 0,40 3,305 8,756 0,0,758 8,790 0,0 0,880 8,799 0,0 0,76 8,80 0 s 0 m v(t) Voor de componenten van de vector v geldt r v = lim = lim ; 0 0 = lim ; lim 0 t 0 d d = ; = ( v; v) dt dt Let op het correct gebruik van de vectorpijltjes! v is de snelheidsvector, v is de grootte van de vector. De groottte van de snelheid v noemt men ook de baansnelheid. De componenten van v komen dus overeen met de ogenblikkelijke snelheid v en v t.o.v. respectievelijk de - en de -as, zoals vroeger gedefinieerd. Voor de grootte van v geldt v = v + v

10 De versnellingsvector 7 Gemiddelde versnelling + DEFINITIE Waarom heeft a g dezelfde richting en zin als v? De gemiddelde versnelling a g in een tijdsinterval Δt definiëren we als v v ag = v - = v + (- v ) = Dat is een vector met de richting en zin van Δ v. KINEMATICA EN DYNAMICA = v v v v g v v v v v In de figuur zie je dat de vector a g naar de binnenkant van de baan wijst. Dat geldt algemeen. a,g a g = a,g Voor de componenten van a g geldt v ( v v) ag = = v v v v = ; = v v ; = ( a ; a ),g,g De componenten van a g komen dus overeen met de gemiddelde versnelling a,g en a,g t.o.v. respectievelijk de - en de -as, zoals vroeger gedefinieerd.

11 38 ] Kinematica en dnamica + 7 Ogenblikkelijke versnelling De ogenblikkelijke versnelling a definiëren we als v dv a = lim = 0 dt a a a Om de versnelling in punt te verkrijgen, bepalen we de gemiddelde versnelling a g in het interval [t ; t ] rond en laten we naar nul gaan. De versnelling a is de limietvector. De vector a wijst naar de binnenkant van de baan. Dat geldt algemeen. Voor de componenten van de vector a geldt v v v v v dv a = lim = lim ; = lim ; lim = ; dt dv = ( a; a) dt De componenten van a komen dus overeen met de ogenblikkelijke versnelling a en a t.o.v. respectievelijk de - en de -as, zoals vroeger gedefinieerd. In bovenstaande figuur zijn a en a positief. De grootte van een vector is altijd positief! + Voor de grootte van a geldt a= a + a De positievector r heeft als componenten (, ). De snelheidsvector v raakt aan de baan, wijst in de zin van beweging en heeft als componenten v = d en v = d dt d t. Voor de grootte van de snelheid geldt: v = v + v De versnellingsvector a wijst naar de binnenkant van de baan en heeft als componenten v v a = d en a = d dt d t. Voor de grootte van de versnelling geldt: a = a + a

12 Het frenetstelsel Het frenetstelsel is een assenstelsel dat hoort bij het punt waar het voorwerp zich op dat ogenblik bevindt. Het bestaat uit een t-as (tangentiële as) en een n-as (normaalas). De t-as raakt aan de baan in dat punt en wijst in de zin van de beweging. De t-as valt samen met de snelheidsvector v in dat punt. De n-as staat loodrecht op de t-as en wijst naar de binnenkant van de baan. n n KINEMATICA EN DYNAMICA a a n a t a v t t In het frenetstelsel heeft de vector a de componenten a t en a n. De component a t is de tangentiële versnelling en geeft aan hoe de grootte van de snelheid v van het ssteem rond punt verandert: als a t > 0 neemt de snelheid rond toe als a t = 0 blijft de grootte van de snelheid rond constant als a t < 0 neemt de snelheid rond af Waarom kan de component a n niet negatief zijn? + De component a n is de normaalversnelling en geeft aan hoe de richting van de snelheid v van het ssteem rond punt verandert: als a n > 0 verandert de bewegingsrichting van het ssteem rond : het ssteem buigt af als a n = 0 verandert de bewegingsrichting van het ssteem rond niet: het ssteem beweegt daar rechtlijnig Voor de grootte van de versnelling geldt t n a= a + a De tangentiële versnelling a t in een punt geeft informatie over de verandering van de grootte van de snelheid rond dat punt. De normaalversnelling a n in een punt geeft informatie over de verandering van de richting van de snelheid rond dat punt.

13 40 ] Kinematica en dnamica - OEFENING Een auto rijdt in het ravijn en maakt een kromlijnige beweging in het (, )-vlak. Om de 0,0 s werd de - en de -positie bepaald (zie tabel). (m) t(s) (m) (m) 40 0,00 0,00 35,00 0,0,0 34,95 0,0,40 34,80 0,30 3,60 34, ,40 4,80 34, 0,50 6,00 33,78 0,60 7,0 33,4 0,70 8,40 3,60 0,80 9,60 3,86 0 0,90 0,80 3,03,00,00 30,0,0 3,0 9,07,0 4,40 7,94 0,30 5,60 6,7,40 6,80 5,40,50 8,00 3,98,60 9,0,46,70 0,40 0, (m),80,60 9, ,90,80 7,3,00 4,00 5,40,0 5,0 3,39,0 6,40,8,30 7,60 9,08,40 8,80 6,78,50 30,00 4,38,60 3,0,88 Je kunt die functies opstellen door met bv. je grafisch rekentoestel een functiefit te doen voor de (, t)- en de (, t)-waarden. Verder zul je zien dat deze beweging een horizontale worp is. Na analse blijkt dat beweging t.o.v. de -as gegeven wordt door =,00 (m/s) t De beweging t.o.v. de -as wordt gegeven door = -4,90 (m/s ) t + 35,00 (m) Bepaal de positie, de snelheid v, de versnelling a, de componenten a t en a n op t =,00 s. Bepaal eveneens het soort beweging t.o.v. de - en de -as.

14 4 Oplossing a) De beweging t.o.v. de -as wordt gegeven door =,00 m/s t (m) 40 De -coördinaat op t =,00 s is =,00 m/s,00 s =,0 m De beweging t.o.v. de -as wordt gegeven door = -4,90 m/s t + 35,00 m De -coördinaat op t =,00 s is = -4,90 m/s (,00 s) + 35,00 m = 30, m Op het ogenblik t =,00 s is het voorwerp in punt (,0 m; 30, m). 30, 0 0 r KINEMATICA EN DYNAMICA b) De snelheid v heeft componenten v en v. Voor v geldt v = d dt = d (,00 m/s t) =,00 m/s dt 0 0 0, (m) De snelheid t.o.v. de -as is constant. De snelheid v op t =,00 s is v =,00 m/s Je kunt v en v ook benaderen met de tabel door / en / te bepalen voor een klein interval rond,00 s. Bv. = (9,07 m 3,08 m) (,0 s 0,90 s) = -9,8 m/s Voor de -component geldt v = d dt = d dt (-4,90 m/s t + 35,00 m) = -9,80 m/s t De snelheid v op t =,00 s is v = -9,80 m/s,00 s = -9,80 m/s De snelheidsvector v in het punt heeft als componenten (+,00 m/s; -9,80 m/s). De grootte van de vector v is v v = v + = 5, 5m/s Als je die vector tekent, zie je dat hij aan de baan raakt.

15 4 ] Kinematica en dnamica 40 (m) v =,00 m/s Denk eraan dat je een eenvoudige schaal kiest om v en v te kunnen tekenen. 5 0 m 9,80 = v v s cm 0 m/s (m) c) De versnelling a heeft componenten a en a. Voor a geldt a = dv dt = d dt (,00 m/s) = 0 m/s Voor a geldt dv a = dt = d dt (-9,80 m/s t) = -9,80 m/s De versnellingsvector a in het punt heeft als componenten (0 m/s ; -9,80 m/s ). De grootte van de vector is a= a + a = 9,80 m/s Als je a tekent, zie je dat die vector naar de binnenkant van de baan en verticaal naar beneden wijst. 40 (m) Denk eraan dat je een bruikbare schaal kiest om a en a te kunnen tekenen a 3 cm 0 m/s (m) 35

16 43 Je moet dan wel werken in een orthonormaal assenstelsel! d) We bepalen de componenten a t en a n grafisch door de vector a te projecteren in het frenetstelsel van dat punt. Voor de component a t vind je a t = + 6,0 m/s De tangentiële component a t is positief. Dat betekent dat de snelheid van de auto rond het tijdstip,00 s toeneemt. 40 (m) KINEMATICA EN DYNAMICA a t 5 a n n a t 5 0 (m) e) Uit a= a + a volgt t n a = a a n t = ( 9,80 m/s ) ( 6,0 m/s ) = 7,59 m/ s

17 44 ] Kinematica en dnamica f) De snelheid t.o.v. de -as wordt gegeven door v =,00 m/s Vermits de snelheid constant is, voert het ssteem een EB uit t.o.v. de -as (m) De snelheid t.o.v. de -as wordt gegeven door v = -9,80 m/s t Dat is een eerstegraadsfunctie; de snelheid verandert lineair met de tijd. Het ssteem voert dus een EVB uit t.o.v. de -as (m) WAT JE NA DIT HOOFDSTUK MOET KENNEN EN KUNNEN: de definitie en kenmerken geven van de vectoren positie, verplaatsing, gemiddelde en ogenblikkelijke snelheid, gemiddelde en ogenblikkelijke versnelling en die zowel wiskundig als grafisch bepalen de definitie geven van het frenetstelsel de componenten van de geziene vectoren bepalen (op -as, -as, t-as, n-as) en de betekenis ervan geven oefeningen op vectoren en de kromlijnige beweging oplossen