De tweede wet van Newton

Transcriptie

1 5 De tweede wet van Newton De eerste wet van Newton zegt ons wat er gebeurt als er op een ssteem geen (resulterende) kracht werkt: het ssteem is dan in rust of voert een ERB uit ( v is constant). De tweede wet zegt ons wat er gebeurt als er op een ssteem wel een (resulterende) kracht werkt. Wie denk je dat er gelijk heeft in onderstaande conceptcartoon? CNO (Centrum Nascholing Onderwijs) Soms kunnen die twee effecten ook tegelijkertijd optreden, bv. een auto die tegen een boom botst, wordt vervormd en komt tot stilstand. In het derde jaar zag je dat een kracht een statisch of een dnamisch effect kan hebben. Voorbeeld Effect Plooien van een staaf. Statisch effect: de staaf wordt vervormd. Vertrek van een Space Shuttle. Dnamisch effect: de raket versnelt.

2 46 ] Kinematica en dnamica Een zwaan die landt op het water. Dnamisch effect: de zwaan vertraagt en komt tot stilstand. Zijwind. Dnamisch effect: de sterke zijwind kan een wagen van zijn rijrichting doen afwijken. De tweede wet van Newton gaat over het dnamisch effect van een kracht, het versnellen, vertragen en/of afbuigen van een ssteem door een kracht. In elk van die gevallen verandert de snelheidsvector v - versnellen: v wordt groter - vertragen: v wordt kleiner - afbuigen: v verandert van richting. Er is een snelheidsverandering v en dus een versnelling a! Kracht veroorzaakt versnelling! Dat leidt tot volgende onderzoeksvraag: ONDERZOEKSVRAAG Welke verband bestaat er tussen de (resulterende) kracht F op een ssteem en de versnelling a van het ssteem? We onderzoeken de vraag aan de hand van volgende twee voorbeelden.

3 47 Voorbeeld 1: de parachutesprong van Feli Baumgartner. Feli Baumgartner is een Oostenrijkse basejumper die in 01 als eerste door de geluidsmuur ging bij een vrije val. Hij sprong daarvoor uit een heliumballon vanop 39 km hoogte en haalde na ongeveer 40 s een snelheid van 100 km/h, de geluidssnelheid. Zijn snelheid liep daarna nog op tot 1357 km/h! Op 39 km hoogte is er nagenoeg geen lucht meer aanwezig. Daarom droeg hij een speciaal pak. Er is geen luchtweerstand: de zwaartekracht F z is de enige kracht die op hem werkte. Die kracht is verticaal en naar beneden gericht. KINEMATICA EN DYNAMICA Fz v 1 - v 1 v v a g Omdat hij uit een ballon sprong, was zijn baan rechtlijnig en verticaal. De figuur toont zijn snelheid op twee verschillende tijdstippen bij het begin van zijn sprong. v1 is de snelheid op ogenblik t 1. v is de snelheid op (het iets latere) ogenblik t. Zijn gemiddelde versnelling in dat tijdsinterval is ag = v t = v - v 1 t = v (- v 1 ) t Als je de vector a g bepaalt, zie je dat die verticaal en naar beneden gericht is zoals de zwaartekracht. Dat geldt ook voor de ogenblikkelijke versnelling a. v

4 48 ] Kinematica en dnamica Voorbeeld : het droppen van een voedselpakket. In conflictgebieden worden voedselpakketten gedropt om de burgerbevolking te helpen. Fw P F F z We bekijken de resulterende kracht op zo n pakket in punt P. Op het pakket werken twee krachten: de zwaartekracht F z en de luchtweerstand F w. De som van die twee vectoren geeft de resulterende kracht F zoals in de figuur. P v 1 Het pakket valt niet recht naar beneden maar volgt een kromlijnige baan. De figuur toont de snelheid van het pakket op twee verschillende tijdstippen rond punt P. v1 is de snelheid op ogenblik t 1. v is de snelheid op ogenblik t. v - v 1 v a g P v 1 De gemiddelde versnelling in dat tijdsinterval is ag = v t = v v 1 t = v (- v 1 ) t Als je de vector a g construeert, zie je dat die dezelfde richting en zin heeft als de resulterende kracht! Dat geldt ook voor de ogenblikkelijke versnelling a. v v

5 49 Uit deze twee voorbeelden blijkt dat de (resulterende) kracht F op een ssteem en de versnelling a van het ssteem (veroorzaakt door die kracht) dezelfde richting en zin hebben. Dat geldt algemeen: 7 De (resulterende) kracht F op een ssteem en de versnelling a van het ssteem hebben dezelfde richting en zin. (1) Daarmee weten we nog niet welk verband er bestaat tussen de grootte van de kracht en grootte van de versnelling. Eperimenteel blijkt dat: - de versnelling van een ssteem recht evenredig is met de kracht die op het ssteem werkt: hoe harder je duwt bij het vertrek met de fiets, hoe groter je versnelling. a ~ F - de versnelling van een ssteem omgekeerd evenredig is met de massa van het ssteem: met twee zware fietszakken op je fiets, is je versnelling kleiner dan zonder (als je dezelfde kracht uitoefent!). a a m = cte F = cte F KINEMATICA EN DYNAMICA a ~ 1 m Daaruit volgt a ~ F m of F m ~ a F m = cte a 1/m F = cte m a Door de keuze van de newton als eenheid van kracht in het SI-stelsel is de cte in deze formule gelijk aan 1 en onbenoemd. Als een ssteem met massa m een versnelling heeft met grootte a, werkt op het ssteem een (resulterende) kracht met grootte F = m a () Kracht wordt uitgedrukt in newton, smbool N: 1 N = 1 kg m/s De eigenschappen (1) en () kunnen samengevoegd worden: WET Als op een ssteem een (resulterende) kracht F werkt, heeft het ssteem een versnelling a en geldt F = m a Dat is de tweede wet van Newton.

6 50 ] Kinematica en dnamica De tweede wet van Newton geldt enkel voor puntmassa s. Reële voorwerpen kunnen als gevolg van de resulterende kracht ook een rotatieversnelling krijgen. 7 Als er op een voorwerp verschillende krachten inwerken, moet je alle krachten vectorieel samentellen. De kracht F is dan de resulterende kracht op het ssteem. F = Fi = m a F F 1 F 3 a F F 5 We laten de wrijvingskracht buiten beschouwing. 7 Als op een ssteem meerdere krachten inwerken, behouden die elk hun eigen uitwerking, onafhankelijk van elkaar. Dat staat bekend als het onafhankelijkheidsbeginsel. Volgende gedachteproef illustreert dat: hoog boven het aardoppervlak wordt vanuit een ballon in rust een speelgoedvliegtuigje gelanceerd. Het motortje oefent een constante en horizontale kracht F m uit. De zwaartekracht F z is verticaal en naar beneden gericht. Elk van die krachten heeft zijn effect: het vliegtuigje zal horizontaal versnellen door de motorkracht en verticaal naar beneden versnellen door de zwaartekracht. De figuur toont het resultaat. De baan is recht en het is alsof er één enkele kracht op het ssteem werkt, de resulterende kracht Fm 0 0 F 4 4,9 10 Fz F 19, , 50 Bekijk nu eens terug de conceptcartoon van p. 45. Wie heeft er gelijk? Ben je van mening veranderd? Zo ja, waar zat dan de fout in je redenering? WAT JE NA DIT HOOFDSTUK MOET KENNEN EN KUNNEN: de e wet van Newton formuleren, toelichten en illustreren met voorbeelden uit het dagelijkse leven het onafhankelijkheidsbeginsel uitleggen en illustreren met een voorbeeld

7 6 Kracht en beweging 6.1 Kracht als de beweging gekend is De beweging kan beschreven worden door een (t)- en (t)-tabel, door de bewegingsvergelijkingen of door de (t)- en (t)-grafiek. In dit voorbeeld werken we met de bewegingsvergelijkingen. De foto toont één beeld uit een video-opname van een crashtest. Door de positie van bv. het hoofd in elk frame te registreren, kun je de beweging daarvan vastleggen. Met die gegevens kun je de kracht op het hoofd en de invloed van bv. de kreukelzone, de gordel enz onderzoeken. In deze paragraaf leer je hoe je de kracht op een ssteem kunt bepalen als je de beweging van het ssteem kent. We volgen daarbij Stefanie die een pretpark bezoekt Stefanie op de achtbaan P Stefanie (massa 53,4 kg) doet een rit op de achtbaan (rollercoaster). We bekijken een deel van de baan dat in een verticaal vlak ligt rond een top. We kiezen het (, )-assenstelsel zoals in de figuur. De positie ( en -coördinaat) van Stefanie werd gemeten om de 0,1 s. De tabel geeft de resultaten rond de top. Ga na hoe v, v, v, a, a en a berekend werden. Rond voor de eenvoud af op decimalen. Interpreteer het teken (wat betekent het bv. dat a negatief is?). Op welk ogenblik overschrijdt Stefanie de top? Punt P t (s) (m) (m) v (m/s) v (m/s) v (m/s) a (m/s) a (m/s) a (m/s),80 13,77 6,17,90 14,6 6,1 4,93 0,3 4,94 3,00 14,76 6, 5,01-0,03 5,01 0,84 -,5,66 3,10 15,7 6,0 5,10-0,8 5,11 0,9 -,45,6 3,0 15,78 6,16 5,19-0,5 5, 1,00 -,39,59 3,30 16,30 6,10 5,30-0,76 5,35 1,07 -,3,56 3,40 16,84 6,01 5,41-0,98 5,50 1,15 -,6,53 3,50 17,39 5,90 5,53-1,1 5,66 1,3 -,19,51 3,60 17,95 5,77 5,66-1,4 5,83 1,31 -,1,49 3,70 18,5 5,6 5,79-1,63 6,0 3,80 19,10 5,45

8 5 ] Kinematica en dnamica De kracht F is de resulterende kracht! We berekenen de kracht F op Stefanie op 3,60 s. Ze bevindt zich dan in punt P juist na de top. F = m a = 53,4 kg 1,31 m/s ² = 70,0 N F = m a = 53,4 kg (-,1 m/s ) = -113 N F = F F = 133 N Denk er aan dat je (,)-assenstelsel orthonormaal moet zijn! Vermits je de componenten F en F nu kent, kun je de kracht in het punt P tekenen (fig a). 6,5 (m) 6,5 (m) P F P F t 5,5 5,5 F n t F F F 4,5 (m) 17,0 18,0 19,0 fig. a n 4,5 (m) 17,0 18,0 19,0 fig. b Je kunt nu ook de componenten F t en F n van F (grafisch) bepalen (fig b). Voor de component F t vind je F t = 95,5 N De tangentiële component F t is positief. Dat betekent dat de kracht F werkt in de zin waarin Stefanie beweegt: haar snelheid neemt toe! Dat klopt met de resultaten in de tabel. Vermits F = F t n F vind je voor de normaalcomponent Fn = F -Ft = ^133Nh - ^95, 5 Nh = 96, N Die component van de resulterende kracht zorgt voor de afbuiging.

9 Stefanie in draaiende ton (ECB) In het Engels spreekt men ook van een gravitron. DEFINITIE Stefanie wil de draaiende ton doen. In dat cilindervormig toestel moet ze zich samen met de andere deelnemers tegen de wand plaatsen. Het toestel begint dan rond te draaien. Bij een bepaalde draaisnelheid laat men de bodem naar beneden zakken en blijft iedereen tegen de wand hangen! Ze voert dan een cirkelvormige beweging uit waarbij de grootte van de snelheid constant is. Zo n beweging noemt men een eenparige cirkelvormige beweging. Definitie Een ssteem voert een eenparige cirkelvormige beweging (ECB) uit als - de baan cirkelvormig is; - de grootte van de snelheid constant is. KINEMATICA EN DYNAMICA Andere voorbeelden: een cd in een cd-lezer, een band van een auto die een EB uitvoert, de beweging van de aarde rond de zon Omdat het ssteem geen ERB uitvoert, is er een resulterende kracht. Dat leidt tot volgende onderzoeksvraag. ONDERZOEKSVRAAG Welke kenmerken (grootte, richting, zin) heeft de (resulterende) kracht op een ssteem dat een ECB uitvoert? We bepalen die kracht vanuit de beweging van het ssteem. r Hoeksnelheid We kiezen het (, )-vlak zo, dat de baan van het ssteem in dat vlak ligt en het in tegenwijzerzin beweegt. De oorsprong kiezen we in het middelpunt van de cirkel. De positiehoek θ is de hoek tussen de -as en de vector r. Die hoek meten we in tegenwijzerzin. Op t 1 is de positiehoek θ 1. Op t is de positiehoek θ. De afgelegde of doorlopen hoek in het tijdsinterval [t 1 ; t ] is Δθ = θ θ 1 r Vermits het voorwerp beweegt in tegenwijzerzin, is θ groter dan θ 1 en is Δθ positief. Vermits Δθ en Δt allebei positief zijn, zijn ω g en ω positief. De gemiddelde hoeksnelheid ω g in het interval Δt is ω g = θ t De ogenblikkelijke hoeksnelheid ω (t) is gelijk aan ω (t) = lim t0 θ t = dθ dt De hoeksnelheid kan uitgedrukt worden in /s of rad/s.

10 54 ] Kinematica en dnamica De periode T is de tijd nodig voor één omwenteling. De frequentie f is het aantal omwentelingen per seconde. Eén cclus per seconde noemt men een hertz (Hz). Tussen periode en frequentie bestaat het volgende verband: f = 1 T In het dagelijkse leven gebruikt men meestal het toerental i.p.v. de hoeksnelheid. Dat geeft het aantal toeren per minuut weer waarmee bv. een automotor ronddraait. Voorbeeld: Een boormachine doet 600 toeren per minuut. 600 toeren/1 min = 600 toeren/60 s = 10 toeren per s = 10 Hz De periode T bedraagt T = 1 f = 1 10 Hz = 0,10 s Positie Van een voorwerp dat een ECB uitvoert, verandert de - en de -coördinaat voortdurend. Voor de -coördinaat geldt We schrijven (t) en θ(t) om duidelijk te maken dat en θ veranderen met de tijd. (t) = r cos θ (t) want cos θ = r Deze formule geldt in elk kwadrant. Ga dat na (let op het teken!). r θ Voor de -coördinaat geldt (t) = r sin θ(t) Snelheid Voor de -component van de snelheid v geldt We gebruiken hier de kettingregel die je in de lessen wiskunde leerde. v = d dt = d dt dθ [r cos θ(t)] = r [-sin θ(t)] = -r sin θ ω dt Voor de -component geldt v = d dt = d dt [r sin θ(t)] = r [cos θ(t)] dθ dt = r cos θ ω

11 55 De oplossing v = -r ω, die wiskundig ook mogelijk is, kan fsisch niet omdat v, r en ω positief zijn. De grootte van de snelheid is v = v v = (-r ω sin θ) ( r ω cos θ) = r ω (sin θ cos θ) = r ω De snelheidsvector raakt in elk punt aan de cirkel. Dat zie je ook aan de vonken die wegvliegen bij een slijpschijf. v KINEMATICA EN DYNAMICA Eenheden van ω In de formule v = ω r kloppen de eenheden niet. In feite moet er staan v = ω r (1) rad Die 1 rad is afkomstig van de afgeleide van sin of cos en schrijft men meestal niet. (zie lessen wiskunde) Als je de hoeksnelheid ω uitdrukt in rad/s kloppen de eenheden wel: ω r rad /s m m v = = =... (1) rad (1) rad s Voor een voorwerp dat een ECB uitvoert, geldt voor de grootte van de snelheid v = ω r als je ω uitdrukt in rad/s. Vermits v = w r, hangt de snelheid v af van de afstand tot het middelpunt: hoe groter r, hoe groter v. Dat merk je op een paardenmolen: hoe verder je aan de buitenkant zit, hoe sneller je beweegt. De hoeksnelheid ω is wel gelijk voor iedereen die op de paardenmolen zit!

12 56 ] Kinematica en dnamica Uit de formule v = ω r leiden we nog volgende eigenschappen voor de ECB af: ω is constant Uit v = ω r volgt ω = v r. Vermits v en r constant zijn (definitie ECB), is ω ook constant. Wiskundig kan dat op dezelfde manier bewezen worden zoals bv. bij de EB bewezen werd dat v,g = v. ω g is constant en gelijk aan ω Als de hoeksnelheid op elk ogenblik dezelfde waarde heeft, is de gemiddelde hoeksnelheid daaraan gelijk. ω = π T ω = ω g (zie vorige eigenschap) = Δθ t (definitie) Als het voorwerp éénmaal de cirkelvormige baan doorloopt, is de afgelegde hoek Δθ = π (rad) en Δt = T. Dus: ω = π T Versnelling We gebruiken hier opnieuw de kettingregel. Voor de -component van de versnelling a geldt a = dv dt = d [-r w sin θ(t)] dt = -r w [cos θ(t) dθ dt ] = -r w cos θ Voor de -component geldt a = dv dt = d [r w cos θ(t)] dt = r w [-sin θ(t) dθ dt ] = -r ω sin θ De oplossing a = -r ω, die wiskundig ook mogelijk is, kan niet omdat a, r en ω positief zijn. De grootte van de versnelling is a= a a = (-r ω cos θ) ( r ω sin θ) = ω r

13 57 Voor de versnelling bij een ECB gelden nog volgende eigenschappen: De versnelling a is constant. v Dat volgt onmiddellijk uit a = ω r vermits ω en r constant zijn. Alhoewel de snelheid constant is, is er toch een versnelling! De oorzaak hiervan is dat versnelling de verandering van de snelheidsvector geeft (per s): de grootte van v is weliswaar constant, maar de richting van v verandert voortdurend! De versnellingsvector a is altijd gericht naar het middelpunt van de cirkel. KINEMATICA EN DYNAMICA a t a t a a n n De versnelling bij een ECB noemt men daarom ook de middelpuntzoekende of centripetale versnelling. Stel dat a niet naar het middelpunt zou gericht zijn, dan heeft a een tangentiële component a t verschillend van nul. Maar als a t verschilt van nul, verandert de grootte van de snelheid en dat is niet het geval. a = v r Uit v = ω r volgt: ω = v r Dat invullen in a = ω r geeft a = v r r = v r Voor een voorwerp dat een ECB uitvoert, is a = ω r = v r

14 58 ] Kinematica en dnamica Kracht bij een ECB Bij een ECB is de versnelling op elk ogenblik naar het middelpunt van de cirkel gericht. Omdat de resulterende kracht en de versnelling dezelfde richting en zin hebben, is de kracht op het ssteem op elk ogenblik ook naar het middelpunt gericht. Daarom noemt men die kracht de middelpuntzoekende (of centripetale) kracht, smbool F c. Voor de grootte van de versnelling geldt a = v r Daaruit volgt F = m a = m v r F c Op een ssteem dat een ECB uitvoert, werkt een kracht die steeds naar het middelpunt gericht is, de middelpuntzoekende of centripetale kracht. De grootte van die kracht is F c = m v /r Voorbeeld 1: een wagen die een bocht neemt Een wagen die op een horizontaal wegdek een cirkelvormige bocht neemt met constante snelheid voert een ECB uit. De resulterende kracht is de middelpuntzoekende kracht: die is horizontaal, gericht naar de binnenkant van de bocht en heeft als grootte F = m v r. De kracht die daarvoor zorgt, is de wrijvingskracht F w. Vermits F = m v r geldt: hoe groter de snelheid, hoe groter de kracht die nodig is. Vermits de wrijvingskracht echter begrensd is, is er een maimale snelheid waarmee je een bocht kunt nemen. Die snelheid hangt ook af van de kromtestraal van de bocht: hoe scherper de bocht, hoe kleiner r en hoe groter F moet zijn. Daarnaast speelt ook het wegdek een rol: bij ijzel is de wrijvingskracht zo klein dat je de bocht slechts met een zeer kleine snelheid kunt nemen. Als de wrijvingskracht nul is, kun je de bocht niet nemen en gaat de wagen rechtdoor (eerste wet van Newton). F w F w F w

15 59 Voorbeeld : hamerslingeren Na enkele omwentelingen kun je de beweging van de bol bij het hamerslingeren beschouwen als een ECB in een horizontaal vlak. De resulterende kracht F is de middelpuntzoekende kracht: die is horizontaal, gericht naar het middelpunt en heeft als grootte F = m v r. Als we de luchtweerstand buiten beschouwing laten, is die kracht het gevolg van twee krachten: de zwaartekracht F z en de kracht F a die de atleet via het touw uitoefent. Hoe sneller de bol wordt rondgezwierd, hoe groter de kracht van de atleet moet zijn. Als hij het touw loslaat, vliegt de bol weg rakend aan de cirkel (eerste wet van Newton). KINEMATICA EN DYNAMICA m F r F a F r F F z - OEFENING ECB van een ruimteveer Een ruimteveer beweegt op een hoogte van 300 km eenparig cirkelvormig rond de aarde in 90 minuten. Bereken de hoeksnelheid, de grootte van de snelheid en van de versnelling. Oplossing a) De hoeksnelheid is ω = π T π = 90 min = π s = 1, 10-3 (rad)/s r A 300 km Maak een tekening. Dan zie je zo dat r de afstand is tot het middelpunt van de aarde! b) De snelheid is v = ω r De afstand r is de hoogte de aardstraal: r = h r A = 300 km 6371 km = 6671 km = m Dus v = 1, 10-3 (rad)/s m = m/s (= 8,0 km/s = km/h) c) De versnelling is a = ω r = (1, 10-3 (rad)/s) m = 9,6 m/s

16 60 ] Kinematica en dnamica 6. Beweging als de kracht gekend is Reusachtige planetoïde zet koers richting aarde Een reusachtige planetoïde zet op dit moment koers richting de aarde. Dat laat ruimtevaartorganisatie NASA weten. Het hemellichaam zal op maandag 6 januari (015) rakelings onze planeet passeren. Volgens NASA hoeven we ons echter geen zorgen te maken. De planetoïde, 004 BL86 genaamd (omdat hij in 004 ontdekt werd) ( ) zal onze planeet op een veilige afstand passeren, al blijft het, in ruimtetermen, nog steeds dichtbij: het hemellichaam, dat ruim een halve kilometer diameter heeft, zal op slechts 1, miljoen kilometer van ons verwijderd langs de aarde scheren. Dat is ongeveer 3 keer de afstand van de aarde tot de maan. bron: De Standaard 0/01/015, National Geographic, NASA Planetoïden (ook asteroïden genoemd) zijn kleine stukken materie die - evenals de planeten - rond de Zon bewegen. De meeste bevinden zich tussen de planeten Mars en Jupiter. De grootste zijn bijna 1000 km groot, maar de overgrote meerderheid is minuscuul klein. Op zo n planetoïde werkt de gravitatiekracht (zie verder). De kracht die op de planetoïde werkt, bepaalt de baan en de beweging ervan. Zo kan op voorhand berekend worden wanneer en op welke afstand een planetoïde voorbij de aarde zal vliegen. In deze paragraaf leer je hoe je de baan en de beweging op de baan kunt bepalen als de kracht gekend is. We bekijken eerst het geval waarbij de kracht op het ssteem constant is, waarbij de grootte en de richting van de kracht dus niet veranderen. Een voorbeeld daarvan is de valbeweging Val in vacuüm Een valschermspringer bedoelt met een vrije val niet een val in vacuüm, maar de tijd vóór het openen van het valscherm. De zwaartekracht is op die hoogte ietsje kleiner, maar dat laten we buiten beschouwing. In 01 sprong Feli Baumgartner uit een ballon op 39 km hoogte. Op die hoogte is nagenoeg geen lucht aanwezig (vacuüm) en kunnen we de luchtweerstand verwaarlozen. Een val in vacuüm noemt men een vrije val. De resulterende kracht is dan de zwaartekracht. Die is constant en verticaal naar beneden gericht. We kiezen het (, )-assenstelsel zoals in de figuur. De oorsprong ligt waar zijn val begint. Zijn beginsnelheid is 0. Fz

17 61 Volgens de tweede wet van Newton geldt F = m a Projecteren van die wet geeft op de -as: F = m a op de -as: F = m a In dit geval geldt F = 0 en dus a = 0. Het ssteem versnelt niet t.o.v. de -as en voert dus een EB uit t.o.v. de -as. Omdat de beginsnelheid nul is, verandert zijn positie niet t.o.v. de -as en valt hij recht naar beneden. KINEMATICA EN DYNAMICA F = F z = constant en dus a = cte. Het ssteem heeft een constante versnelling t.o.v. de -as en voert dus een EVB uit t.o.v. de -as. De valversnelling en de zwaarteveldsterkte worden door hetzelfde smbool g voorgesteld. Verder zullen we aantonen dat die twee grootheden identiek zijn. De snelheid van het ssteem neemt lineair toe. De versnelling is constant en noemt men de valversnelling g. v a g t t Op de maan is er geen atmosfeer en vallen bv. een hamer en een pluimpje even snel. Dat werd in 1971 door astronaut David Scott gedemonstreerd tijdens één van de maanlandingen. Eperimenteel blijkt: De valversnelling in vacuüm is onafhankelijk van de massa of van de vorm van het voorwerp: alle voorwerpen vallen in vacuüm even snel. De valversnelling is afhankelijk van de plaats op aarde en van de hoogte. Meestal neemt men voor de valversnelling dicht bij het aardoppervlak de gemiddelde waarde 9,81 m/s. Dat is ook de waarde in onze streken. Ook op andere planeten is er een valversnelling. Bij een val in vacuüm voert het ssteem een EVRB uit. De valversnelling g is onafhankelijk van het voorwerp en bedraagt in onze streken 9,81 m/s.

18 6 ] Kinematica en dnamica 6.. Val in een fluïdum Een voorwerp dat boven het aardoppervlak wordt losgelaten, valt door de zwaartekracht F z naar beneden. Door wrijving met de lucht werkt op het ssteem ook een weerstandskracht F w. Vloeistoffen en vaste stoffen noemen we fluïda, omdat die kunnen vloeien. Weerstandskracht werkt ook op bv. een steen die in water naar beneden valt. Wanneer een voorwerp valt in een gas of een vloeistof, is er wrijving met die stof en spreekt men van een val in een fluïdum. Fw F Fz aarde aarde Fz en F w resulterende kracht Dat leidt tot volgende onderzoeksvraag. ONDERZOEKSVRAAG Hoe ziet de beweging (v (t)- en a (t)-grafiek) eruit voor een ssteem dat een val in een fluïdum uitvoert? De weerstandskracht is tegengesteld aan de snelheid v en is dus verticaal naar boven gericht. De resulterende kracht F is F = Fz F w Voor de grootte van F geldt F = F z - F w Zoals bij een val in vacuüm valt het voorwerp recht naar beneden en versnelt, maar de versnelling neemt geleidelijk aan af. Die eindsnelheid hangt af van de massa van het ssteem, de frontale oppervlakte en de middenstof. Voor een valschermspringer ligt de eindsnelheid rond 00 km/h. Voor een regendruppel ligt de eindsnelheid rond 0 km/h. Verklaring: In het begin van de val is de weerstandskracht nul en is de versnelling van het ssteem gelijk aan valversnelling g (9,81 m/s ). Naarmate het ssteem sneller beweegt, wordt de weerstandskracht groter en de resulterende kracht kleiner. De versnelling van het ssteem wordt dus kleiner: de snelheid neemt nog wel toe, maar minder snel. Op een bepaald moment is de snelheid zo groot dat de weerstandskracht gelijk wordt aan de zwaartekracht: de resulterende kracht is dan nul en het ssteem versnelt niet meer. Het ssteem bereikt zijn eindsnelheid en voert vanaf dat ogenblik een EB uit.

19 63 v a (m/s ) v, e 9,81 Fw t t KINEMATICA EN DYNAMICA Fz Bij een val in een fluïdum neemt de snelheid toe tot een bepaalde eindsnelheid. Het ssteem voert vanaf dat ogenblik een EB uit De horizontale worp Bewegingsvergelijking We bekijken de beweging van de pijl na de lancering. Waarom is het belangrijk het assenstelsel goed te kiezen? Een pijl die horizontaal wordt weggeschoten, beschrijft een horizontale worp. Laten we de luchtweerstand buiten beschouwing, dan is de zwaartekracht F z de resulterende kracht F. Die is constant en verticaal naar beneden gericht (fig.a). We kiezen het (,)-assenstelsel zoals in de figuur. De oorsprong ligt op de aarde en verticaal onder het vertrekpunt van de pijl. De beginhoogte van de pijl is h, de beginsnelheid v 0 (fig. b).

20 64 ] Kinematica en dnamica h v0 Fz aarde fig a fig b Volgens de tweede wet van Newton geldt F = m a Projecteren geeft: op de -as: op de -as: F = m a F = m a Vermits F = 0, is a = 0 en voert het ssteem een EB uit t.o.v. de -as. Vermits F = cte 0, is a = cte 0 en voert het ssteem een EVB uit t.o.v. de -as. F z F z EB t.o.v. de -as EVB t.o.v. de -as Een kracht zorgt enkel voor een versnelling in de richting en zin waarin ze werkt. Een ssteem dat een horizontale worp uitvoert en waarop enkel de zwaartekracht werkt, voert horizontaal een EB uit en verticaal een EVB.

21 65 Voor de (t)-functie geldt dan = o v (t t o ) ( 0 =) h v0 Invullen van de begingegevens o = 0 m (het ssteem vertrekt boven de oorsprong) v = v o t o = 0 s (we starten de chronometer als het ssteem vertrekt) geeft = 0 m v o (t 0 s) Voor de (t)-functie bij een horizontale worp geldt = v o t (1) a 0 (= 0 ) KINEMATICA EN DYNAMICA Dat is een eerstegraadsfunctie. De (t)-grafiek is een schuine rechte. T.o.v. de -as voert het ssteem een EVB uit. De versnelling a is dan constant. Die versnelling is gelijk aan de valversnelling g. De component a is negatief omdat het ssteem versnelt in de negatieve zin van de -as. Dus a = -g = -9,81 m/s Voor de (t)-functie geldt = o v o (t t o ) a (t t o) Invullen van de begingegevens o = h (het ssteem vertrekt op hoogte h) v o = 0 m/s t o = 0 s a = -g geeft = h 0 m/s (t 0 s) (-g) (t 0 s) t Voor de (t)-functie bij een horizontale worp geldt = h g h t () Dat is een tweedegraadsfunctie. De (t)-grafiek is dus een parabool. Het nulpunt van de (t)-parabool geeft het tijdstip waarop het voorwerp op de grond terecht komt. t De baan De baan is de ()-functie. Die functie krijg je door t te elimineren uit de vergelijkingen (1) en (). Uit (1) volgt t = v o Invullen in () geeft = h g ( v o )

22 66 ] Kinematica en dnamica Voor de baan bij een horizontale worp geldt = h g v o (3) Dat is een tweedegraadsfunctie. = c b a = h 0 -g v o Verwar de ()-functie niet met de (t)-functie. De ()-parabool geeft de baan van het ssteem weer, de (t)-parabool geeft de beweging van het ssteem weer t.o.v. de -as. Een ssteem dat een horizontale worp uitvoert, volgt dus een parabolische baan. Het nulpunt van de ()- parabool geeft de plaats aan waar het ssteem op de grond terecht komt. De -coördinaat van de top van de parabool wordt gegeven door -b top = a 0 = h = 0 Het vertrekpunt van het ssteem is de top van de parabool. v o In de functie = h g v o h hoogteverlies = g v o geeft de term g aan hoeveel hoogte het v o ssteem verloren heeft als de (horizontale) positie is. Dat hoogteverlies hangt af van de beginsnelheid v o en van de afstand. Hoe groter de beginsnelheid, hoe kleiner het hoogteverlies. Hoe groter de afstand die je beschouwt, hoe groter het hoogteverlies. Om het hoogteverlies bij het boogschieten zo klein mogelijk te maken, moet je de boog goed opspannen, zodat de pijl een grote beginsnelheid heeft. h v o Het bereik Het bereik of de dracht d is de horizontale afstand die het ssteem aflegt tijdens de horizontale worp, tot het op de grond terecht komt: d = e o en vermits o = 0 m d = e e is een nulpunt van de parabool: = h g e v o = 0 o d e h = g e v o

23 67 Dus e = v o h g e = v o h g ( e is positief) Voor het bereik (de dracht) bij een horizontale worp geldt h d = v o g Het bereik hangt af van de beginsnelheid v o en van de vertrekhoogte h. Hoe groter de beginsnelheid, hoe groter het bereik. Hoe groter de vertrekhoogte, hoe groter het bereik. KINEMATICA EN DYNAMICA Snelheid De snelheid v t.o.v. de -as is constant en is gelijk aan v o : v = v o Voor de snelheid v t.o.v. de -as geldt v = v o a (t t o ) Invullen van de gegevens v o = 0 m/s, t o = 0 s en a = - g geeft v = 0 m/s g (t 0 s) v = - g t De grootte van de snelheid t.o.v. de -as neemt toe met de tijd. h v o De grootte van de snelheidsvector v wordt gegeven door v = v v o = v (-g t) De snelheid v neemt toe met de tijd. Voor de grootte van de snelheid v bij een horizontale worp geldt o v = v g t

24 68 ] Kinematica en dnamica - OEFENING Een C-130 vliegt met een snelheid van 90 km/h en dropt een voedselpakket op een hoogte van 50 m. Hoe ver komt het pakket terecht en met welke snelheid? 90 km/h 50 m Oplossing Het voedselpakket beschrijft een horizontale worp. a) Voor de dracht geldt h 50 m d = vo = 90 km/h = 80,6 m/s 7,14 s= 575 m g 9,81 m/s b) De snelheid van het pakket is o v = v g t (*) We berekenen het tijdstip waarop het pakket op de grond komt met de (t)-functie: = h g t = 50 m 9,81 m/s t Op dat tijdstip is = 0 m. Dus 0 m = 50 m 9,81 m/s t Merk op dat je het tijdstip t = 7,14 s ook al in a) verkreeg. Kun je dat verklaren? Daaruit volgt 50 m t = = 7,14 s 9,81 m/s Invullen in (*) geeft Let op de eenheden. v = ( 90 km/h) (, 981 m/s ) ( 7,14 s) = 107 m/s= 385 km/h WAT JE NA DIT HOOFDSTUK MOET KENNEN EN KUNNEN: de resulterende kracht en het effect ervan op een ssteem bepalen als de beweging van het ssteem gekend is de definitie geven van een ECB, de geziene eigenschappen bewijzen en de kenmerken van de kracht geven de val van een ssteem in vacuüm en in fluïdum beschrijven en verklaren met de kracht(en) de definitie geven van de horizontale worp, de geziene eigenschappen bewijzen en de beweging verklaren met de kracht op het ssteem oefeningen en denkvragen m.b.t. de ECB, de valbeweging en de horizontale worp oplossen