Tentamen Systeemanalyse (113117)

Transcriptie

1 Systeemanalyse (113117) 1/6 Vooraf Tentamen Systeemanalyse (113117) 17 augustus 2010, 8:45 12:15 uur Dit is een open boek tentamen, hetgeen betekent dat gebruik mag worden gemaakt van het dictaat Systeemanalyse (editie 2009/2010) of van het dictaat Inleiding Systeem- en Regeltechniek (edities 2007/2008 en 2008/2009), alsmede van afdrukken van de college sheets. Hierin mogen eigen aantekeningen zijn aangebracht. Het is uitdrukkelijk NIET toegestaan gebruik te maken van ander materiaal zoals werkcollege- en oude tentamenopgaven en/of -uitwerkingen daarvan. Er mag gebruik gemaakt worden van een (eenvoudige) rekenmachine. Het gebruik van een (geavanceerde) programmeerbare rekenmachine of laptop is NIET toegestaan. In onderstaande tabel staat bij elke opgave tussen haakjes hoeveel punten voor elk onderdeel en de gehele opgave kunnen worden behaald. 1 (20): 1a (6), 1b (4), 1c (10) 2 (30): 2a (1), 2b (5), 2c (10), 2d (4), 2e (10) 3 (20): 3a (10), 3b (10) 4 (30): 4a (10), 4b (10), 4c (10) Uit het totaal aantal behaalde punten wordt eerst een niet-afgerond eindcijfer berekend. Hierbij levert 0 punten een 1.0 en 100 punten een De grens tussen onvoldoende en voldoende is vastgelegd op 55 punten die dus een 5.5 opleveren. Tussen deze drie scores wordt lineair geïnterpoleerd, waarna het uiteindelijke eindcijfer wordt berekend door afronding. In de regel wordt het gebruiken van een fout antwoord uit een vorig onderdeel van de opgave niet bestraft. Er wordt wel verwacht dat uit een antwoord blijkt hoe dit tot stand is gekomen. Bij opgaven waarin expliciet een motivatie wordt gevraagd, worden geen punten toegekend voor een antwoord zonder motivatie. Bij een aantal vragen is een herstart mogelijk, m.a.w. deze kunnen ook worden beantwoord zonder informatie uit voorafgaande onderdelen. Vergeet niet het antwoordvel (pagina 5 en 6) in te leveren voorzien van naam en studentnummer Opgave 1 Van een reëel signaal u(t) is de Discrete Fouriergetransformeerde gegeven. Hiervoor is het signaal gedurende 4 seconden met 128 Hz bemonsterd. De Fouriergetransformeerde blijkt voor het grootste deel te bestaan uit coëfficiënten die gelijk zijn aan nul. Een aantal uitzonderingen zijn: U 0 = 512, U 8 = i, U 24 = i, (1) a. Zijn er nog meer coëfficiënten van de Fouriergetransformeerde met zekerheid ongelijk aan nul? Zo ja, geef aan welke coëfficiënten dat zijn en waaraan ze gelijk zijn. Motiveer het antwoord. In de rest van deze opgave wordt aangenomen dat de coëfficiënten van de Fouriergetransformeerde nul zijn, tenzij dat uit de opgave tot nu toe anders is gebleken. b. Schets in figuur 4 op het antwoordvel (pagina 5) het vermogensspectrum (Engelse term: Power Spectral Density (PSD)) van dit signaal. Denk aan het aangeven van de grootheden, alsmede de eenheden op de assen. c. Geef een uitdrukking voor een tijd-continu signaal u(t) dat na bemonstering met de gegeven instellingen een Discrete Fouriergetransformeerde heeft zoals hierboven beschreven. Dit signaal mag geen frequenties boven de Nyquistfrequentie bevatten. Motiveer het antwoord.

2 Systeemanalyse (113117) Tentamen 17-aug /6 Opgave 2 Van een SISO dynamisch systeem zijn de toestandsmatrices gegeven [ ] [ ] A =, B =, [ ] [ ] C = , D = 0. (2) a. Wat is de orde van het dynamische systeem? Motiveer uw antwoord. b. Bepaal de polen van het dynamisch systeem uit de juiste matrix, c.q. matrices en laat zien dat de pool/polen de oplossing(en) zijn van (s + 1)(s ) = 0. (3) Is dit een stabiel of instabiel systeem? Motiveer uw antwoord. c. Noem de ingang(svector) van het systeem u, de uitgang(svector) y en de toestand(svector) x en stel de toestandvergelijkingen op. Leid vervolgens uit deze toestandsvergelijkingen de overdrachtsfunctie, van ingang u naar uitgang y, van dit systeem af en toon aan dat deze (na nummeriek afronding van wat coëfficienten) gelijk is aan G(s) = 1000s s s (4) d. Bereken uit deze overdrachtfunctie de polen en eventuele nulpunten van het dynamische systeem en schets vervolgens een polen-nulpuntenplaatje. e. Schets het Bode diagram van overdrachtsfunctie G(s) in figuur 5 op het antwoordvel (pagina 5). Geef daarbij aan hoe u dit Bode diagram heeft geconstrueerd.

3 Systeemanalyse (113117) Tentamen 17-aug /6 Opgave 3 Figuur 1 geeft een foto (links), alsmede een schematische weergave (rechts) van een trein en een stootblok op de rails aan het einde van een spoor (op station Arnhem). Een stootblok is een blokkade die Figuur 1: Foto (links, bron: Wikipedia) en een schematisch weergave (rechts, langsdoorsnede) van een trein en een stootblok op de rails. Figuur 2: Een trein brak op 25 juli 2010 door een stootblok en reed dwars door een winkel van het Friese plaatsje Stavoren. (Foto: NU.nl/Bram van de Biezen). geplaatst wordt aan het einde van sporen als noodmaatregel om een trein tot stilstand brengen. Bij een botsing wordt het stootblok naar achteren geduwd. De kinetische energie van de trein wordt hierbij omgezet in warmte t.g.v. de wrijving van het stootblok met de rails. Deze wrijving kan (hier) worden gemodelleerd als visceuze wrijving met dempingsconstante D s. De massa van het stootblok is m s. De stijfheid van het stootblok wordt oneindig verondersteld. De trein, met massa m t, ondervindt een te verwaarlozen wrijving met de rails. Vóór op de trein zitten twee, naast elkaar geplaatste, buffers. Elke buffer kan worden gekarakteriseerd met een veer (met stijfheid k b ) en een demper (met dempingsconstante D b ). De massa m b van elke buffer wordt geconcentreerd gedacht aan de voorzijde van de buffer. Aangezien de massa van de trein vele malen groter is dan de massa van het stootblok, zal, vanaf het moment van de botsing, de buffermassa in contact zijn (en blijven) met het stootblok. Wanneer het stootblok en/of de buffers niet goed ontworpen zijn; en/of de snelheid van de trein te groot is, kunnen er ongelukken plaatsvinden zoals in Stavoren op 25 juli j.l. zie figuur 2. Van het systeem willen we daarom graag een model hebben met als ingang de (begin)snelheid v 0 van de trein (d.w.z. de snelheid van de trein op het moment dat de (massa s van de) buffers het stootblok raken) en de verplaatsing van het stootblok als uitgang. a. Stel één of meer vrijlichaamsdiagrammen op van dit mechanische systeem. Geef uitdrukkingen voor de optredende krachten. b. Stel een blokschema op vanuit het/de vrijlichaamsdiagram(men) van dit systeem, met v 0 als ingang en en de verplaatsing van het stootblok als uitgang.

4 Systeemanalyse (113117) Tentamen 17-aug /6 Opgave 4 Figuur 3 toont een elektromagnetisch netwerk met een spanningsbron U(t), een weerstand R, een condensator C en een spoel. Deze laatste wordt gekenmerkt door een zelfinductie L. De spoel is (helaas) Figuur 3: Elektromagnetisch netwerk behept met een weerstand van de koperen windingen ter grootte van R L, vandaar dat de spoel grijsgearceerd is weergeven in de figuur. De numerieke waarden van de componenten zijn R = 5000 Ω C = F L = 0.1 H R L = 5 Ω. (5) a. Stel een model op, in de vorm van blokschema, van het elektromagnetisch circuit. Beschouw de stroom door de spoel als uitgang van het systeem. b. Bepaal met behulp van het blokschema uit onderdeel 4a hierboven, de overdrachtsfunctie G(s) van de spanningsbron U(t) naar de stroom door de spoel. Toon aan dat deze kan worden geschreven als G(s) = 1 s 2 RLC + s(rr L C + L) + R + R L. (6) c. Schets de eenheidsstapresponsie van overdrachtsfunctie G(s) in figuur 6 op het antwoordvel (pagina 6)

5 Systeemanalyse (113117) Tentamen 17-aug /6 Antwoordvel bij het tentamen Systeemanalyse van 17 augustus 2010 Naam: Studentnummer: Vermogensspectrum Figuur 4: Vermogensspectrum behorend bij opgave 1. Figuur 5: Bode diagram behorend bij opgave 2.

6 Systeemanalyse (113117) Tentamen 17-aug /6 Antwoordvel bij het tentamen Systeemanalyse van 17 augustus 2010 (vervolg) Naam: Studentnummer: Step Response Amplitude Time (sec) Figuur 6: Stap responsie behorend bij opgave 4.