Uitwerking studie stimulerende toets Embedded Signal Processing (ESP)

Transcriptie

1 Uitwerking studie stimulerende toets Embedded Signal Processing (ESP) Cursus code 259, Dinsdag 7 maart 29, 3:3h 7:h. U mag gebruiken: uw eigen aantekeningen, de uitgeprinte college sheets van Teletop en ten hoogste boek. Verder is het gebruik van een rekenmachine toegestaan, echter geen communicatie hulpmiddelen, geen helpdesk. Schrijf leesbaar, zelfs wij kunnen geen punten geven voor onleesbare kriebels. In totaal zijn er met deze toets punten te verdienen, puntenverdeling zoals aangegeven. Er zijn vijf opgaven op drie bladzijden. Lees a.u.b. de volgende regel: BEGIN ELKE OPGAVE OP EEN NIEUW VEL Opgaven:. () Bepaal en schets de impuls responsie en de frequentie responsie van onderstaand filter met voor filtercoëfficiënt b de waarde en voor b de waarde -: x(n) z - z - z - z - b y(n) Met x(n) = δ(n) is onmiddellijk af te lezen dat de impulsresponsie h(n) = δ(n) bδ(n-2) δ(n-4) met de volgende schets: h(n) b = h(n) 2 b = n n Frequentie responsie volgt uit de overdrachtsfunctie (z-getransformeerde van h(n)) H(z) = bz -2 z -4 Met b = wordt H(ω) = e -2jω e -4jω = e -2jω (e 2jω e -2jω ) = e -2jω ( 2cos2ω) H(ω) = 2cos2ω arg H(ω) = -2ω als ω < π/3; en π - 2ω als π/3 < ω < 2π/3 en 2π - 2ω als 2π/3 < ω < π Zie figuur:

2 2 b = Magnitude (db) Phase (degrees) Met b = - wordt H(ω) = - e -2jω e -4jω = e -2jω (e 2jω - e -2jω ) = e -2jω (2cos2ω - ) H(ω) = 2cos2ω - arg H(ω) = -2ω als ω < π/6; en π - 2ω als π/6 < ω < 5π/6 en 2π - 2ω als 5π/6 < ω < π Zie figuur: 2 b = - Magnitude (db) Phase (degrees) () Een FIR filter wordt beschreven door de differentie vergelijking: yn ( ) = xn ( ) xn ( ) a (5) Bepaal en schets de frequentie responsie. b (5) Bepaal de responsie op de ingangssignalen: met < n < ( ) 2π π ( n ). xn ( ) = cos n 3sin n π π π 3 2. xn ( ) = 5cos 5 2 Ad a Met x(n) = δ(n) volgt voor de impulsresponsie h(n) = δ(n) δ(n-) en de frequentie responsie is dus: H(ω) = ( e -jω ) = e -j5ω (e j5ω e -j5ω ) = 2cos5ω e -j5ω met de volgende schets: 2

3 2 y(n) = x(n) - x(n-) Magnitude (db) Phase (degrees) Ad b H(. π) = ; H(π/3) = 2cos5π/3 e -j5π/3 y(n) = 6cos5π/3 sin(πn/3 π/ - 5π/3) = 6cos5π/3 sin(πn/3 47π/3) H() = 2; H(.4π) = 2 y(n) = 2 cos(2πn/5 π/2) 3. () De eerste vijf punten van een 8-punts DFT van een rij reële getallen {a, b, c, d, e, f, g, h} zijn {A, B, C, D, E}. Bepaal de overige drie punten. Wat wordt uw antwoord als de getallen a-h complex zijn? Voor reële getallen a h volgt uit de definitie van de DFT dat: F = D *, G = C *, H = B *. Immers DFT: 7 j 2π X( k) = x( n) W8 met W8 = e en is W8 = W8 ; W8 = W8 ; W8 = W n= ( ) ( ) ( 8 ) kn n n n n n n Voor complexe getallen a-h kunnen we de overige punten niet op deze manier bepalen. 4. (2) Gegeven is een filter dat bestaat uit een cascade van H (z) en H 2 (z). H 2 (z) is weer een parallel schakeling van H 3 (z) en H 4 (z). De betreffende overdracht functies zijn gegeven door: 3 H( z) = z a H3( z) = z a b H ( z) = z e z e j π 3 j π 3 a (5) Bepaal de frequentie responsie van het filter. b (5) Teken de structuur van het filter met registers, optellers en vermenigvuldigers. c (5) Bepaal a, a en b zodanig dat het filter een reële impuls responsie heeft en dat de overdracht H() = 3 en H(2π/3) = 6 3j 3 d (5) Geef een FIR filter met dezelfde frequentie responsie als dit filter. Of kan dit niet omdat het filter IIR is? Beargumenteer uw antwoord. Ad a De overdracht van het systeem wordt gegeven door: a a b H( z) = ( z ) z z e z e De frequentie overdracht is dus: j π 3 j3 π 3

4 a a b H( ω) = ( e ) e e e e e Ad b Zie onderstaande figuur. 3 jω j j2 j2 jω 3 jω 3 ω π π z - x(n) y(n) z - z - z - - z z - - Ad c We maken gebruik van de vereenvoudiging: j π 3 j π 3 ( z ) = ( z )( z z ) = ( z )( z e )( z e ) H( z) wordt nu: j π 3 j π 3 j π 3 3 H( z) = a ( z e )( z e ) a ( z )( z e ) b( z )( z e ) j 2π 3 3 Met H() = 3 en H( e ) = 6 3 j 3 en met reele h( n) volgt: He ( ) = 6 3 j 3. π ( ) 2 2 j π 3 j π j2π j2π j4π j2π j2π j 2π H() = a ( z e )( z e ) = a 2 cos = 3a => a = He ( ) = a( e )( e ) = a( e )( e ) = 3a => a= 2 j 3 Netzo: b = 2 j z H( z) = ( z ) z z z j2π 4

5 Ad d De systeemfunctie is nu: 3 4 z 2 H( z) = ( z ) = z z ( z )(4 z ) 2 z z z = 5 4z 2z 2 jω Frequentie responsie: H( ω) = 5 4e 2e Eenvoudig te realiseren met het FIR filter: 2 jω x(n) z - z y(n) We hebben hier te maken met een soort van frequency sampling filter. Op de nulpunten van het eerste filter van de cascade worden polen gelegd om zo een gewenste response te krijgen. 5

6 5 (5) U wilt TV kijken op uw PC en besluit hiervoor een Digitale TV ontvanger te ontwerpen. De TV kanalen worden uitgezonden in kanalen van 5MHz bandbreedte in een spectrum van 8 MHz tot 9MHz. U besluit onderstaand schema te gebruiken. S is het antenne signaal (dus tussen de 8MHz en 9MHz) dat eerst word versterkt door een breedband antenne versterker. Vervolgens word het signaal aan een in frequentie afstembaar banddoorlaat filter aangeboden, dat het gewenste TV kanaal er uit filtert. De AD omzetter zet het signaal om naar het digitale domein, waar het verder gefilterd word, zodat de andere kanalen onder het kwantisatie-ruisnivo liggen. Het signaal S5 gaat tenslotte naar de digitale demodulator die er digitaal beeld en geluid van maakt, dat op uw PC kan worden weergegeven via een USB ingang. De versterking van de breedband spanningsversterker A ( spanning in en spanning uit) wordt zo gekozen dan het signaal S3 precies in het ingangsbereik van de AD omzetter past. De waarde van deze spanningsversterking is A en wordt voor alle TV kanalen gelijk gehouden. S S2 S3 S4 S5 A filter AD converter digital filter fig : meetsysteem Het banddoorlaat filter is gegeven in passieve LRC componenten (fig. 2). Aangezien het te ontwerpen systeem klein en elektronisch afstembaar moet zijn, wilt u het filter integreren op een chip. En omdat spoelen niet op een chip geïntegreerd kunnen worden, moet de analoge filter karakteristiek dmv actieve integratoren worden gerealiseerd. R Vout Vin C L R fig 2: passief bandpass filter a (5) Bepaal de toestandsvergelijking van het filter in de vorm: sv C = f ( VC, I L, Vin ) si L = f ( VC, I L, Vin ) V out = f ( VC, I L, Vin ) waarbij V C en I L respectievelijk de condensatorspanning en spoelstroom zijn. b (3) Welk type integrator heeft de voorkeur? ( RC integrator of gm-c integrator)? Licht uw keuze toe. c (5) Synthetiseer dit actieve filter m.b.v. het resultaat van vraag a) volgens de toestandsvergelijking methode. d (3) Hoe kunt u het filter in frequentie elektronisch afstembaar maken? e (3) De signaal-ruis verhouding van ieder TV kanaal is 6dB; Hoeveel bitten moet de AD omzetter hebben? ( u mag er van uitgaan dat het analoge filter slechts een kanaal tegelijk doorlaat) 6

7 f (3) Wat is de minimale sample-rate van de AD omzetter zodat het analoge signaal S3 in het digitale domein goed omgezet wordt voor alle mogelijke TV kanalen? g (3) Als de FoM van de AD omzetter.5pj/conversie is, schat dan het vermogen af van de AD omzetter. Bij veldproeven blijkt dat niet alle TV signalen even sterk zijn. Zo is er een TV signaal ( van de zender TV Oost) die een 2 db hogere spanning S heeft dan de andere kanalen. Veronderstel dat de versterking van de versterker A nog steeds op een vaste waarde wordt gehouden voor alle verschillende zenders: h (3) Hoeveel meer of minder versterking moet de versterker A hebben tijdens deze veldproeven? Het filter was ontworpen voor het geval dat alle zenders even sterk waren en de versterking van A gelijk was aan A. De ruis van het filter lag net ver genoeg onder de kwantisatieruis van de AD omzetter. Echter in de veldproeven is A van waarde veranderd om het sterke TV Oost signaal nog goed aan de AD omzetter aan te bieden. (zie vraag h) i (4) Hoe moet u het ruisnivo aan de uitgang van het filter aanpassen zodat alle kanalen toch goed worden ontvangen met 6dB signaal-ruis verhouding? Hoeveel meer/minder ruis mag er uit het filter komen? j) (4) Hoe gaat u dit nieuwe filter ontwerpen, op basis van het vorige filter? Hoeveel meer/minder vermogen dissipeert het nieuwe filter? k (4) Stel dat u de versterking A voor ieder TV kanaal zou kunnen instellen. ( De versterker A is verder ideaal). Hoe kunt u dan een zuiniger ontwerp maken, dat goed functioneert in de veldproeven? l () Ontwerp een systeem dat nog minder energie verbruikt en dat goed functioneert in de veldproeven. Geef de belangrijkste parameters weer. Geef ook aan hoeveel vermogen u bespaart t.o.v. het oorspronkelijke ontwerp. 7

8

9