EE 2521: Digitale Signaalbewerking

Transcriptie

1 EE 2521: Digitale Signaalbewerking 6. Programma: Week 1: Introductie, herhaling begrippen en eigenschappen (sampling, -transformatie, DTFT, convolutie) Week 2/3: Tijdsdiscrete filterstructuren (realisaties) Week 4: DFT, sampling en reconstructie Week 5: Digitaal filterontwerp Week 7: Multirate filters; kwantisatie Week 8: Uitloop/oefensessie 1

2 Continue-tijd filterfuncties Algemene vorm: Stabiliteit: polen van in linker halfvlak nulpunten van in linker halfvlak Frequentiespectrum: Demping: meestal in db gespecificeerd: ; 2 db " $ " $

3 Praktisch ontwerp We beperken ons tot amplitude-georiënteerde ontwerpprocedures We beginnen met laagdoorlaatfilters (andere types worden hiervan afgeleid). Specificaties: net als eerder, maximale amplitude-kwadraat ( minimale demping) in stopband stopbandfrequentie minimale amplitude-kwadraat in doorlaatband, ofwel maximale demping doorlaatbandfrequentie 3

4 afgeleiden nul in afgeleiden nul in Butterworth filter Laten we vertrekken van de volgende gegevens zodat is een even functie is rationaal, orde Het Butterworth filter wordt verkregen als we eisen dat is voor en : ofwel 4 maximaal vlak " "

5 $ " Voorbeeld ontwerp Butterworth filter Filterparameters zijn en ; maar meestal wordt gespecificeerd Parameter is de afsnij- (cutoff) frequentie: db We kunnen hierop zodanig ontwerpen dat aan de specs voldaan wordt: Voorbeeld (of genormaliseerde Butterworth filter): We gebruiken meestal deze vorm voor het ontwerp: 5

6 voor het Butterworth filter? Wat is Uit volgt De polen van Deze liggen op een cirkel met straal s-vlak Stabiel: polen van zijn de linkerhalfvlak waarden in het 6 worden verkregen als

7 " $ Voorbeeld 1: Ontwerp Butterworth filter Bepaal de minimale orde van het Butterworth filter met doorlaatbandfrequentie db, stopbandfrequentie " $ " $ " $ " $ met khz, maximale demping in doorlaatband khz, en minimale demping in stopband db Oplossing: We gaan uit van Uit leiden we af: Uit, en leiden we de minimale af: 7

8 Het Butterworth filter heeft een maximale fout in de doorlaatband op In de doorlaatband moet gelden:. Hierbuiten: Chebyshev filter, verder is de fout kleiner. Misschien kan de filterorde kleiner (of een scherper filter voor dezelfde orde) door de fout in de doorlaatband meer uniform te verdelen? We houden de maximale vlakheid in : afgeleiden nul in In het geval van Chebyshev wordt dit meer specifiek geschreven als is een even of oneven polynoom van orde (omdat even moet zijn) 8

9 Chebyshev filter Normaliseer vanaf nu de doorlaatband tot. met 9

10 van orde Chebyshev polynomen Idee: Hoe ontwerpen we ( met zodat een even of oneven polynoom van orde is? Uit de eigenschap en Herhaaldelijke toepassing leidt tot is een even of oneven polynoom in als ) 10 volgt de recursie moet oscilleren tussen -1 en 1 in de doorlaatband, stel daarom

11 Chebyshev polynomen De recursie wordt dan: : 2 T T T T ω 11

12 Resulterende filters: 12

13 voor het Chebyshev filter? Wat is Zoals bij het Butterworth filter zoeken we Polen van Deze blijken op een ellips te liggen. Polen van zijn de polen in het linkerhalfvlak voldoen aan s-vlak Berekening van de cutoff frequentie (3 db punt): 13 waarvoor

14 leiden we de minimale orde Voorbeeld 2: Ontwerp Chebyshev filter Bepaal de minimale orde van het Chebyshev filter met doorlaatbandfrequentie db, stopbandfrequentie " $ " $ " $ khz, maximale demping in doorlaatband khz, en minimale demping in stopband db Oplossing: We gaan uit van met Uit leiden we af: Uit, en af: 14

15 Elliptisch filter Veralgemening van het Chebyshev filter: met een willekeurige rationale functie in 15

16 Frequentie-tranformaties laagdoorlaat naar laagdoorlaat: verschuif een frequentie van naar : laagdoorlaat naar hoogdoorlaat: mapping, en 16

17 laagdoorlaat naar banddoorlaat: ( ) ( en schaalfactor ) Bandmidden worden berekend op basis van de gewenste en : ( ( ) ) Banddoorlaatkarakteristiek is geometrisch symmetrisch rond : 17

18 Afleiding Na transformatie moet gelden: omdat dan. We vinden hieruit ( ) 18

19 berekend op basis van laagdoorlaat naar bandsper ( ) ( ) en ( ( ) ) en : Bandsperkarakteristiek is geometrisch symmetrisch rond : 19

20 Voorbeeld 3: Frequentie-transformaties Ontwerp een bandddoorlaat Chebyshev filter met een doorlaatband van khz tot khz, maximale demping db in de doorlaatband, en minimale demping db voor khz en khz. Oplossing: Bepaal het geometrisch midden van de doorlaatband en de schaalfactor: Bepaal de strengste dempingsvoorwaarde (vanwege geom. symmetrie): db, khz db, khz db, khz db, We berekenen onze laagdoorlaatkarakteristiek op basis van ( ) ( ) khz khz: Zoals hiervoor vinden we dan voor het Chebyshev filter: en 20

21 Transformatie naar digitaal filter Na het ontwerp van een analoog filter kunnen we dit transformeren naar een digitaal filter. We hebben de volgende transformaties gezien: impuls-invariantie (niet geschikt voor hoogdoorlaat/bandstop) bilineaire transformatie Alternatief: ontwerp eerst een laagdoorlaat filter, transformeer naar digitaal filter, pas een frequentietransformatie toe in het digitale domein. Zie lijst van transformaties in Proakis, sec Ook geschikt voor hoogdoorlaat/bandstop Niet equivalent, behalve voor bilineaire transformatie Ontwerpspecificaties voor een digitaal filter kunnen eerst vertaald worden naar die voor een analoog filter, en na het ontwerp gaan we weer terug naar digitaal. 21

22 Voorbeeld: ontwerp mbv digitale specificaties Ontwerp een eerste orde digitaal laagdoorlaatfilter met 3-dB bandbreedte op. Oplossing: Bilineaire transformatie van naar analoge frequentiedomein: Eerste orde Butterworth filter: Verifieer: Bilineaire transformatie van terug naar,. 22