Tussentoets Analyse 1

Transcriptie

1 Tussentoets Analyse Maandag 0 oktober 008, u Schrijf op ieder vel je naam en studentnummer, de naam van de docent S. Hille, O. van Gaans en je studierichting. Geef niet alleen antwoorden, leg elke stap uit die je maakt. Een grafische rekenmachine is toegestaan. Een formuleblad niet. Bedenk wel, dat exacte antwoorden worden gevraagd, tenzij anders vermeld staat! Dit tentamen bestaat uit twee opgaven. Succes!. Beschouw de functie gegeven door { x 4 x fx, voor x 0, x, ex, voor x < 0. a Bepaal de horizontale, verticale en scheve asymptoot van f. b Laat zien, dat f continu is in 0. c Laat zien, dat f niet differentieerbaar is in 0. d Bepaal de aard minimum, maximum, lokaal, globaal, plaats en grootte van de extremen van f.. Beschouw de functie g gegeven door gx lnx + x +. a Beargumenteer, dat g gedefinieerd is op heel R en dat g op dit domein continu is. b Laat zien dat g strict stijgend is op R. c Bepaal op welke intervallen g convex of concaaf is en bepaal de buigpunten van g. d Laat zien dat e Bepaal het bereik van g. f Bereken de inverse functie g. Hint: gebruik dat e gx x x + x x + x + 0.

2 []a fx x x ex x e x 0. Dus y is een horizontale asymptoot van f voor x. Voor grote positieve x is Dus fx x 4 x xx + x 4 x fx x + x x x + + x. x 0 en daarom is y x + een scheve asymptoot van f voor x. x 4 x 4 Verder is + en x x x x. Dus x is een verticale asymptoot van f voor x en x. b De functie x x 4 is een rationale functie, dus continu op zijn domein R \ x {}. Hieruit volgt dat x 4 fx x 0 x 0 x 4 4. Ook geldt f0 4. Verder, fx x 0 x 0 ex 4, want x ex is continu op R. Dus fx fx f0 en dus is f continu in x 0. x 0 x 0 c De rechteriet van het differentiequotient in 0 is fh f0 x 0 h h 0 h 4 h 4 h h 4 4h h 0 h h 6h 8h h 0 6h 9h 6h 8 h 0 6h

3 De linkeriet van het differentiequotient in 0 is fh f0 eh 4 h 0 h h 0 h h 0 eh h d dx ex h 0 e h h x0 e0. Deze twee ieten zijn niet gelijk, dus f is niet differentieerbaar in 0. ALTERNATIEF ARGUMENT: De functies x x 4 en x x ex zijn beide differentieerbaar in 0. Dus fh f0 d x 4 h 0 h dx x 4x x + 8 x0 x 8 x0 9 en fh f0 d h 0 h dx ex x0. Deze zijn niet gelijk en f is dus niet differentieerbaar in 0. NOG EEN ALTERNATIEF ARGUMENT: De functies x x 4 en x x ex hebben beide afgeleiden die continu zijn op een open interval om 0. De rechteriet van het differentiequotient van f in 0 is dus gelijk aan x 0 f x en de linkeriet gelijk aan x 0 f x. Voor x > 0 hebben we f x 4x x + 8 x en voor x < 0 hebben we f x ex. We vinden dus x 0 f x 8 en 9 x 0 f x. Deze zijn niet gelijk, dus f is niet differentieerbaar in 0. d We bepalen eerst de kritieke punten en de singuliere punten. Randpunten zijn er niet. Voor x > 0 is f x 4x x + 8 x voor x, dus f x 0 x x + 0 x x 0 x of x.

4 Omdat de noemer van de formule voor f x altijd positief is zien we dat f x kleiner dan nul is tussen en maar niet bestaat in x / en groter dan nul tussen 0 en en rechts van. Er is dus een lokaal maximum in x en f, een lokaal minimum in x en f 4. De extremen zijn niet globaal, want we hebben al gezien dat x fx. x fx + en Voor x < 0 is f x ex en ex 0 heeft geen oplossingen. Er zijn dus geen extremen op, 0. f heeft een singulier punt in x 0. Links van 0 is f x ex < 0 en rechts van 0 is zie boven f x > 0. f heeft dus een lokaal minimum in 0 en f0 4. []a Voor iedere x R geldt x + > x x. Dus x + x + > x + x 0 voor alle x R. Dus lnx+ x + is gedefinieerd voor alle x R. g is een samenstelling van continue functies en dus continu. b We berekenen g x x + + x + x + x x + x + x + x + x + x + x + x + x +. x + + x x + We zien dat g x > 0 voor alle x R, dus g is strict stijgend op R. c g x d x + x dx x + x. x + De noemer is altijd > 0 dus g x < 0 voor x > 0 en g x > 0 voor x < 0. Hieruit volgt dat g strict convex is op, 0] en strict concaaf op [0,. In 0 is er dus een buigpunt. d Met de worteltruc vinden we x + x + x + x + x x + x x x x + x x + x x x + x x neem y x x + y y + y + 0

5 want y + y + als y. e We hebben dat x x + x + + en x x + x + 0. Omdat volgt dat y ln y + en ln y y 0 gx + en gx. x x Omdat g continu is neemt g dus alle waarden aan tussen en + wegens de Tussenwaardestelling. Het bereik van g is dus R. f Laat y gx. We proberen x op te lossen. Uit y lnx + x + volgt e y x + x +. Door de hint komen we op het idee dit om te werken tot e y x x + ofwel e y x x +. Haakjes uitwerken geeft e y xe y + x x + ofwel e y xe y. Dit is een lineaire vergelijking in x die we oplossen door om te schrijven tot xe y e y en delen door e y geeft Er geldt dus x ey e y ey e y. g x ex e x.