Wiskunde 1 Samenvatting deel /2018

Transcriptie

1 Inleiding Dit is een preview van onze samenvatting voor het vak Wiskunde 1. Wij hopen met hiermee te laten zien dat onze samenvattingen volledig, gestructureerd en gemakkelijk te begrijpen zijn. In deze preview wordt besproken: 1. polynomen (waaronder de polynomiale deling). impliciete differentiatie besproken. Wij baseren onze samenvattingen op oude tussentoetsen en tentamens. De tussentoets bestond afgelopen 3 jaar voor 1% uit opgaven over dit zowel polynomen als impliciet differentiëren en de tentamens en hertentamens van afgelopen 3 jaar bestonden voor.% uit vragen over polynomen en voor 3.3% uit vragen over impliciet differentieren. Na deze preview door te werken zou je dus al % van de tussentoets en 5.5% van het tentamen moeten kunnen maken! Voor niet-geregistreerde bezoekers van onze site staan enkel de uitleg en de opgaven uit onze samenvatting online. Als je (gratis) registreert zal je een document vinden waarin ook de uitwerkingen van de bijbehorende opgaven staan (zie: > Home > Economie). Actie Aangezien wij nieuw zijn willen wij jullie aan de hand van onze samenvatting van wiskunde 1 kennis laten maken met onze werkwijze en kwaliteit. Wij zullen onder de studenten die vóór maandag 5 september 15: onze samenvatting (wiskunde deel 1) hebben gekocht 5 samenvattingen verloten! De winnaars zullen de keuze krijgen tussen (1) hun geld terugkrijgen of () gratis deel van onze samenvatting ontvangen. Heb je vragen met betrekking tot onze samenvattingen, kijk even in de FAQ ( Frequently Asked Questions ), te vinden onder Over Azzo, of stuur een naar info@azzo.nl. Wij wensen je veel succes met de voorbereidingen voor de tussentoets! 1 D D 3 d 1

2 3.8 Polynomen Polynomen hebben de volgende kenmerken: Kenmerk Polynomen Algebraïsche vorm y = a + a 1 x 1 + a x + + a n x n (met n als het grootste gehele getal waarvoor geldt a n ) Maximum domein (, ) Bijbehorend bereik [d, ) of (, e] (, ) (als n een even getal is, voorbeeld: de kwadratische functie) (als n een oneven getal is, voorbeeld: de lineaire functie)* Met a, a 1, a,, a n en n als constanten en met n > * De lineaire en kwadratische functies vallen beide in de categorie polynomen. De constante n wordt ook wel de graad van de polynoom genoemd. Als gevolg noemen we [F3.1] een polynoom van graad 3, [F3.] een polynoom van graad en [F3.3] een polynoom van graad 5. Functie De graad No. f(x) = 6x + 5x + x 3 3 e graads polynoom [F3.1] g(x) = x + 3x e graads polynoom [F3.] h(x) = 1 6x + 5x + 5x 3 5x + x 5 5 e graads polynoom [F3.3] Met betrekking tot de snijpunten met de assen geldt het volgende: [F3.1; Functie 3.1] Het snijpunt Uitleg Snijpunt met de y-as (, a ) De y-waarde hiervan is gelijk aan de alleenstaande constante. Snijpunt met de x-as verschillend Zie afdeling voor de wortel(s) van een polynoom De wortel(s) De wortel (het snijpunt met de x-as) is weer te vinden door de functie gelijk te stellen aan nul. Ook bij polynomen maak je gebruik van factorisatie. Van 3 e - en e -graads polynomen zoals [F3.1] en [F3.] moet je de wortel(s) kunnen vinden. Van andere polynomen hoeft dit niet, hier komen namelijk regels bij kijken die buiten dit vak vallen. De wortels van [F3.1] en [F3.] vind je als volgt: Functie [F3.1] f(x) = 6x + 5x + x 3 = Berekening van de wortel(s) factoriseer (deel 1) x(x + 5x + 6) = factoriseer (deel ) x(x + )(x + 3) = antwoord x = x = x = 3 [F3.] g(x) = factoriseer x + 3x = factoriseer (u + )(u 1) = antwoord (x = ) (x = 1) u = x u + 3u = u = x (x + )() = u = x (n. v. t. ) (x = 1 x = 1) u = x x = 1 x = toets: 1% tentamen:.% (alle rechten voorbehouden)

3 Y-waarden Y-waarden Y-waarden Wiskunde 1 Samenvatting deel 1 17/ Een illustratie De grafieken van de 3 genoemde polynomen zien er als volgt uit: [F3.1] (y (, )) [F3.] (y (, )) [F3.3] (y (, )) De graad van een polynoom geeft ook het maximale aantal wortels dat een polynoom kan hebben. Een polynoom van graad 3 heeft dus maximaal 3 wortels. De polynoom kan ook minder wortels hebben dan de graad, dit is bijvoorbeeld het geval voor [F3.] en [F3.3] De polynomiale staartdeling Als er sprake is van een breuk waarbij een polynoom wordt gedeeld door een andere polynoom (van een kleinere graad), dan kan deze breuk over het algemeen worden versimpeld. De polynoom in de teller (of een gedeelte ervan) kan dan vaak uit de breuk worden gehaald. Neem ter illustratie de volgende breuken (waarin de polynomen in de teller volledig uit de breuk kunnen worden gehaald): Herschrijving: de teller uit de breuk halen No. x + x + x + 1 x + x + x + 1 x() + (x + 1) x + x x 1 x + 1 [B3.1]* x() () x 1 [B3.] met x als variabele. *[B3.1] = 3.1 Het is vaak moeilijk te zien of en hoe een dergelijke breuk kan worden versimpeld. De polynomiale staartdeling komt in zo n geval goed van pas. De staartdeling gebruik je namelijk om stapje voor stapje, steeds de hoogste graad van de polynoom uit de breuk te werken. Als geheugensteuntje zal eerst de normale staartdeling worden geïllustreerd voor aan de hand van [B3.3] en dan de polynomiale staartdeling aan de hand van [B3.] en [B3.] x No. [B3.3] [B3.] Uitwerkingen: [B3.3] = = = restwaarde: ( 7) ( 7) = = 99 antwoord: 1 1 = 99 Bij een normale staartdeling vermenigvuldig je de noemer met machtsverheffingen van 1, om zo eerst de honderdtallen weg te werken, dan de tientallen en ten slotte de eenheden. Dit doe je tot je niks - of een getal lager dan de noemer overhoudt (de restwaarde). 3.8 toets: 1% tentamen:.% 3

4 [B3.] x + 1 x + x x x(x + 1) = x + x x 1 (x + x) = x 1 x (x + 1) = x 1 = x 1 + x 1 restwaarde: ( x 1) ( x 1) = antwoord: x 1 Bij een polynomiale staartdeling vermenigvuldig je de noemer met machtsverheffingen van x, om steeds de hoogste graad van de polynoom in de teller uit de breuk te werken. Dit doe je tot je niks of een polynoom met een lagere graad dan de noemer overhoudt (de restwaarde). Je wilt in dit geval dus eerst de x uit de breuk halen, dan de x 1 en dan houd je een polynoom over van graad nul (een lagere graad dan de polynoom in de noemer). Dit is de restwaarde. [B3.] x + 1 x x + x x x(x + 1) = x + x x x (x + x) = x x (x + 1) = x 1 1 x 1 restwaarde: ( x ) ( x 1) = 1 antwoord: x 1 = x Opgaven Beschouw de volgende polynomen: f(x) = x 3 + 5x g(x) = = 8 + x + x h(x) = x x + 8x 6 Noteer van de functies f(x), g(x) en h(x) het volgende: a) De graad. b) Het snijpunt met de y-as. c) Het snijpunt met de x-as (de wortel). Los de volgende polynomiale delingen op: d) x e) f) x 3 x 1 x 3 +5x 7x+31 x+ d 3.8 toets: 1% tentamen:.% (alle rechten voorbehouden)

5 .9 Impliciet differentiëren Tot nu toe zijn steeds enkel functies gedifferentieerd. Impliciete differentiatie maakt het mogelijk om vergelijkingen te differentiëren (zonder ze eerst te herschrijven als functie). Bij impliciet differentiëren gelden de volgende voorschriften: 1. Differentieer aan beide kanten van het = teken.. Differentieer y-waarden met de kettingregel (zie y als het eerste deel van een samengestelde functie; dus alsof het de u is in de kettingregel). 3. Isoleer de afgeleide y-waarde (y ). Beschouw ter illustratie de volgende vergelijking: Vergelijking Herschreven als functie Afgeleide van herschreven functie No. x y = 15 y = 15x 1 y = 15x [V.1] Ter illustratie wordt een vergelijking gebruikt die gemakkelijk te herschrijven als functie, dit is niet altijd het geval. Juist als een vergelijking niet makkelijk te herschrijven is, komt impliciete differentiatie van pas Vergelijking Impliciet differentiëren No. x y = 15 (1 y) + (x y ) = x y = y y = yx 1 [V.1] Omdat we deze vergelijking als herschreven functie én impliciet hebben gedifferentieerd, kan worden gecheckt of de impliciete differentiatie wel goed is gegaan door y te substitueren in de impliciete afgeleide.: Check: y = yx 1 substitueer y = 15x 1 y = (15x 1 )x 1 = 15x Als je nu de snelheid van verandering (y ) van een bepaald punt (a, b) te weten wilt komen, kan simpelweg gebruik worden gemaakt van de impliciete afgeleide: Vergelijking Snelheid van verandering in het punt (3, 5) No. x y = 15 Met de normale afgeleide: y = 15 x = 15 (3) = 15 Met de impliciete afgeleide: y = y x = = 5 3 [V.1] Het enige nadeel van de impliciete afgeleide is dat de x- en y-waarde allebei nodig zijn, voor de normale afgeleide is alleen de x-waarde nodig om de snelheid van verandering te berekenen. Opgaven De volgende vergelijkingen beschrijven impliciet y als functie van x (y = f(x)): (a) y x e x = 31 (, ) (b) y 3 x + x 3 ye x = 1 (, 1) a) Bereken van vergelijking (a) de waarde y in het punt (, ). (maak gebruik van impliciet differentiëren) b) Bereken van vergelijking (b) de waarde y in het punt (, 1). (maak gebruik van impliciet differentiëren) De volgende vergelijking beschrijft impliciet p als functie van Q (p = g(q)): (c) (p + 1)e Q = p Q 3 + p + Q c) Bereken van vergelijking (c) de waarde p in het punt (Q, p) = (, 3). (maak gebruik van impliciet differentiëren).9 toets: 1% tentamen: 3.3% 5