Hoofdstuk 3 Het wortellijnendiagram
|
|
- Greta de Smet
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Hoofdstuk 3 Het wortellijnendiagram 3. nleiding Het transiënt gedrag van een systeem wordt bepaald door de ligging van de wortels van de karakteristieke vergelijking (of door de polen van het gesloten systeem). De wortellijnenmethode (Eng.: `oot locus') is een grafische procedure die het verloop van de polen van het gesloten systeem in het p-vlak weergeeft (of later ook in het z-vlak zie cursus Automatisering, egeltechniek, deel ) bij wijzigende versterkingsfactor K. n feite onderzoeken we zo de invloed van een proportionele regelaar (P-regelaar) op het gedrag of op de stabiliteit van het gesloten systeem. De P-regelaar zal het verschil tussen gewenste en werkelijke waarde versterken en doorgeven aan het systeem als stuursignaal u, zoals figuur 3. aangeeft. Setwaarde + - e P-regelaar u Systeem K G ( p) Werkelijke waarde H ( p) Terugkoppeling-sensor Figuur 3. : egelkring voor het wortellijnendiagram. Het wortellijnendiagram wordt ook het Evans-diagram genoemd. De invloed van de poolpositie op het transiënt gedrag is al eerder besproken in de cursus systeemtheorie. Voor systemen met meerdere polen zijn de polen die het dichts bij de imaginaire as liggen de belangrijkste. We noemen dit de dominante polen. Naarmate de polen verder van de imaginaire as liggen, hebben ze minder invloed op het transiënt gedrag
2 Automatisering: egeltechniek 3. Voorbeeld: Analytische berekening van de polen Als voorbeeld van hoe we het later niet meer zullen doen en om aan te geven hoe krachtig de grafische methode van het wortellijnendiagram is, zullen we in wat volgt de polen van een gegeven gesloten systeem berekenen op de klassieke analytische manier. X ( p) + - e P-regelaar K u Systeem Y ( p) ( p+a ) p Figuur 3. : Voorbeeld. Neem het systeem uit figuur 3.. Dit is een tweede orde systeem en heeft steeds twee polen. De open-lus-tf is: G(p)= K p(p + a) = T(p) N(p) met K en a constanten. De twee polen van het open systeem zijn p = 0 en p = -a. De gesloten-lus-tf is: Q(p)= Y(p) X(p) = K p + pa + K = T(p) T(p)+N(p) De karakteristieke vergelijking is de noemer van de gesloten TF gelijkgesteld aan nul of: T(p)+N(p)=0 of p + pa + K = 0 Het dynamisch gedrag wordt bepaald door de wortels van de karakteristieke vergelijking (of de polen van het gesloten systeem). Deze wortels zijn: p, = a ± a 4K = a ± a K Als we a constant houden en K wijzigen van nul tot oneindig dan gaan de wortels van de karakteristieke vergelijking of de polen van het gesloten systeem een kromme beschrijven in het p-vlak. Deze kromme is per definitie het wortellijnendiagram. Zie figuur 3.3. We kunnen drie gevallen onderscheiden: 0 K < a de wortels zijn reëel en verschillend. n het bijzondere geval dat K = 0 zijn de polen van het gesloten systeem gelijk aan de polen van het open systeem: p = 0 en p = -a. Het gesloten systeem is overgedempt. (Niet voor K = 0)
3 Automatisering: egeltechniek K = a De wortels zijn reëel en gelijk: p = p = -a/. Het gesloten systeem is kritisch gedempt. a < K < De wortels zijn complex toegevoegd. Het reëel deel is constant en gelijk aan -a/. Het gesloten systeem is ondergedempt. De staprespons zal een oscillatie vertonen. P-vlak K = K = 0 K = 0 -a -a/ 0 K = (a/)² K = Figuur 3.3 : Wortellijnendiagram voor de regelkring uit figuur 3.. Uit figuur 3.3 kunnen we verder afleiden dat het gesloten systeem steeds absoluut stabiel zal zijn. Naar mate K echter naar oneindig gaat, zal het systeem relatief instabiel worden. (Er kunnen ook besluiten getrokken worden over de natuurlijke frequentie ω n en over de demping ζ van het gesloten systeem. Zie later.) n deze paragraaf hebben we het wortellijnendiagram getekend door de karakteristieke vergelijking op te lossen. Deze procedure is voor hogere-orde-systemen moeilijk en tijdrovend. Evans heeft een grafische techniek ontwikkeld om het wortellijnendiagram of Evans-diagram van hogere orde systemen te construeren. 3.3 Constructieregels Definities De meest algemene vorm van de karakteristieke vergelijking van een teruggekoppeld systeem wordt gegeven door: + G(p)H(p)=0 waarbij G(p)H(p) algemeen geschreven kan worden als
4 Automatisering: egeltechniek m G(p)H(p)= K L(p + z )(p + z )... K (p + z m ) L Π (p + zi ) (p + p )(p + p )... = i= n (p + p n ) (p + pj) met -z, -z... -z m de nulpunten van de open-lus-tf en -p, -p... -p n de polen van de open-lus-tf. De open-lus-tf kan ook gegeven worden als een breuk van polynomen: G(p)H(p)= b mp m + b m p m +... b p + b 0 a n p n + a n p n +... a p + a 0 Uit de gelijkstelling van de twee laatste formules volgt: Π j= K L = b m a n K L wordt de vermenigvuldigingsfactor genoemd (Eng.: multiplying constant of L-gain). n het nulpuntenpolenbeeld wordt deze waarde in een vierkantje vermeld zodanig dat de TF eenduidig bepaald is. (Zie als voorbeeld figuur 3.4). 5(p²+) GH = (p+)(p+4) x x o o 5 K = 5 L - Figuur 3.4 : Aanduiding van de waarde K L in het nulpuntenpolen beeld. Vaak zal men ook verwijzen naar de gelijkspanningsversterking K D (DC-versterkingsfactor of Eng.: DC-gain). ndien de coëfficiënten a 0 en b 0 verschillend zijn van nul, dan is K D = b 0 a 0 We vinden de DC-versterkingsfactor door p gelijk te stellen aan nul en in te vullen in de TF op voorwaarde dat de TF geen integrator of differentiator bevat. ndien de TF wel een integrator of een differentiator bevat, moet men gebruik maken van de algemene formule: K D = K L(z )(z )... (z m ) (p )(p )... (p n )
5 Automatisering: egeltechniek waarbij de polen p j = 0 of de nulpunten z i = 0 weggelaten worden. Modulus- en hoekvoorwaarde Het wortellijnendiagram wordt bepaald door de oplossing van de karakteristieke vergelijking van de regelkring volgens figuur 3. waarbij K varieert van nul tot oneindig. De karakteristieke vergelijking is: + KGH = 0 of KGH = Dit is een complexe vergelijking. Ze wordt daarom opgesplitst in een voorwaarde voor de absolute waarde en een voorwaarde voor de hoek van het linker- en rechterlid. en KH(p)G(p) = KG(p)H(p) = 80 + k 360 (Modulusvoorwaarde) (Hoekvoorwaarde) We zoeken nu alle complexe getallen p die voldoen aan deze twee vergelijkingen. Aan de eerste vergelijking wordt steeds voldaan door de juiste keuze van K. K = G(p)H(p) De hoekvergelijking is daarentegen onafhankelijk van de waarde K. (De hoek van een complex getal verandert niet bij vermenigvuldiging met een reële waarde): KG(p)H(p) = G(p)H(p) Bovendien is de totale hoek van GH gelijk aan de som van de hoeken uit de nulpunten minus de som van de hoeken uit de polen t.o.v. het beschouwde punt p of of G(p)H(p) = (p + z )... (p + z m ) (p + p )... (p + p n ) = (p + z ) (p + z m ) (p + p )... (p + p n ) G(p)H(p) = Σ (p + z i ) Σ (p + p j) Figuur 3.5 geeft aan hoe deze hoeken bepaald worden. Willekeurig punt p Vector evenwijdig met p+p j α p p+ α p j Vector evenwijdig met p + z i p β β p + z i p j z i Pool = -p j Nulpunt = -z i ( p+p j ) =α ( p + z ) =β Figuur 3.5 : Bepaling van de hoeken vanuit een pool en een nulpunt naar een willekeurig punt
6 Automatisering: egeltechniek Aan de hand van de bovenstaande vergelijkingen wordt nu een aantal eigenschappen en constructieregels voor het wortellijnendiagram afgeleid. Hierbij duidt m op het aantal nulpunten van GH. De parameter n geeft het aantal polen van GH. Aantal takken Het aantal takken van het wortellijnendiagram is gelijk aan het aantal polen van GH. De gesloten TF is immers steeds van dezelfde orde als de open-lus-tf bij een eenvoudige terugkoppeling zoals figuur 3. aangeeft. Voor elke waarde van K heeft het gesloten systeem n polen. Beginpunten De beginpunten van het wortellijnendiagram of beter de beginpunten van elke tak van het wortellijnendiagram worden gegeven door de polen die horen bij de waarde K = 0. Opdat voor K = 0 aan de modulusvoorwaarde voldaan is, moet G(p)H(p) oneindig zijn. Dit is zo voor de polen van GH. Er zijn evenveel beginpunten als takken, namelijk n. Besluit: De beginpunten zijn de polen van GH. Eindpunten De eindpunten van het wortellijnendiagram of beter de eindpunten van elke tak van het wortellijnendiagram worden gegeven door de polen die horen bij de waarde K =. Opdat ook hier aan de modulusvoorwaarde voldaan zou zijn, moet G(p)H(p) nul zijn. Dit is zo voor de nulpunten van GH. Er zijn echter minder eindpunten (m) dan takken (n). n-m takken zullen daarom naar oneindig lopen. We spreken daarom van n-m nulpunten van het open systeem op oneindig. Besluit: De eindpunten zijn de nulpunten van GH. Er liggen n-m eindpunten op oneindig. Er zijn bijgevolg n-m asymptoten. Takken op de reële as De hoek die een willekeurig punt op de reële as maakt met een reëel nulpunt of een reële pool van GH is steeds 0 of 80. De totale hoek van een willekeurig punt op de reële as met een complex paar nulpunten of polen is steeds 0. Figuur 3.6 geeft enkele voorbeelden Complex toegevoegde -a Pool of nulpunt Pool of nulpunt polen of nulpunten a Figuur 3.6 : Hoeken naar punten op de reële as. Hieruit kunnen we besluiten dat alle punten op de reële as die links gelegen zijn van een oneven aantal nulpunten of polen van GH, behoren tot het wortellijnendiagram omdat zij voldoen aan de hoek voorwaarde
7 Automatisering: egeltechniek Asymptotische richting ndien het aantal polen van GH groter is dan het aantal nulpunten van GH (n > m), dan zullen n-m takken naar oneindig lopen. De asymptotische richting van deze takken wordt gegeven door: θ= 80 + k 360 n m Het snijpunt σ van deze asymptoten met de reële as is het zwaartepunt van de polen en nulpunten van GH. σ= Σ p j Σ z i n m Figuur 3.7 geeft de asymptotische richtingen aan voor enkele waarden van n-m. n-m= 80 n-m= n-m= n-m= Figuur 3.7 : Asymptotische richtingen voor verschillende waarden van n-m. Breekpunten bij samenvallende polen of nulpunten (Breakaway points en Entry points) Wanneer een tak van het wortellijnendiagram de reële as verlaat, dan gebeurt dit steeds onder een hoek van ± 90. Het punt waar dit gebeurt is een breekpunt en geeft een dubbele pool weer. Deze punten kunnen bepaald worden door de afgeleide van K naar p gelijk te stellen aan nul en op te lossen: dk(p) dp = 0 Figuur 3.8 geeft een voorbeeld. Breekpunt Samenvallende pool Wortellijnendiagram GH= (p+a)p x x -a 0 Figuur 3.8 : Voorbeeld van een breekpunt
8 Automatisering: egeltechniek Hoek van vertrek Om het wortellijnendiagram nauwkeurig te kunnen tekenen is het soms nodig de hoek te kennen waarmee een tak vanuit een complexe pool of complex nulpunt vertrekt. Deze hoek van vertrek kan bepaald worden m.b.v. de hoekvoorwaarde. We nemen een willekeurig punt dat zeer dicht bij een complexe pool ligt. De richting van de vector vertrekkend uit de beschouwde complexe pool naar dit punt toe is de gezochte hoek. De hoeken van alle andere vectoren vertrekkende uit de overige nulpunten en polen naar het willekeurig punt toe kennen we wel omdat deze vectoren samenvallen met de vectoren uit de overige nulpunten en polen naar de beschouwde complexe pool toe. We kunnen deze hoeken grafisch aflezen of berekenen. Zie figuur 3.9. Beschouwde complexe pool Pool Willekeurig punt Φ hoek? -4+j4 6, (p+) GH = (p+8)(p²+8p+3) 3-4-j4 Figuur 3.9 : Hoek van vertrek. Voor het systeem gegeven in figuur 3.9 wordt de hoek van vertrek uit de pool -4+j4 volgens de hoekvoorwaarde: Σ nulpunten Σ polen = 6, Φ=80 Φ= 98, 4 = 6, 6 Vermits we steeds complex toegevoegde polen hebben zal het wortellijnendiagram symmetrisch zijn t.o.v. de reële as. De hoek van vertrek uit de pool -4-j4 is daarom gelijk aan 98,4. Het volledige wortellijnendiagram is gegeven in figuur ,6-4+j j4 3(p+) GH = (p+8)(p²+8p+3) 3-6,6 Figuur 3.0 : Wortellijnendiagram
9 Automatisering: egeltechniek 3.4 Eigenschappen De stabiliteit, de grootte van de demping ζ, de natuurlijke eigenpulsatie ω n, de responstijd t r en de 'settling time' t s van een systeem zijn afhankelijk van de polen van het systeem. De waarde van K zal de ligging van de polen van het gesloten systeem bepalen (zoals weergegeven in het wortellijnendiagram) en bepaalt dan ook de bovenvermelde eigenschappen. Stabiliteit Het gesloten systeem is stabiel indien alle polen gelegen zijn in het linker halfvlak. Het reëel deel van elke pool moet bijgevolg negatief zijn. Wanneer het systeem een pool bevat met een positief reëel deel, dan is dit systeem instabiel. Een systeem met een pool met reëel deel gelijk aan nul, is marginaal stabiel. Wanneer het wortellijnendiagram volledig in het linker halfvlak ligt, is het gesloten systeem steeds stabiel, dit is voor elke mogelijke versterkingswaarde K. ndien enkele takken van het wortellijnendiagram (eventueel gedeeltelijk) in het rechter halfvlak liggen, dan is het systeem voor bepaalde versterkingswaarden instabiel. We zoeken dan de versterkingswaarde waarvoor het systeem marginaal stabiel is. Dit is de K-waarde die hoort bij de snijpunten van het wortellijnendiagram met de imaginaire as. Bij deze K-waarde heeft het systeem een pool gelijk aan nul (p = 0) of zuiver complex toegevoegde polen (p = ±jω). Deze K-waarde wordt bepaald door p = 0 of p = jω in te vullen in de karakteristieke vergelijking: K rand_stabiliteit G(jω)H(jω) = Door gelijkstelling van complex deel, respectievelijk reëel deel uit linker en rechter lid van deze vergelijking, krijgen we een stelsel van twee vergelijkingen in twee onbekenden, nl. K en ω. Deze K-waarde geeft dan de maximale (of soms minimale) versterking die mag (moet) worden ingesteld in de regelkring (om de stabiliteit te garanderen). Voldoende demping (relatieve stabiliteit) Voor een tweede orde systeem met complex toegevoegde polen, kan juist bepaald worden hoe groot de dempingscoëfficiënt ζ is. De standaard TF is: TF eorde = Kω n p + ζω n p +ω n Het polendiagram overeenkomstig deze TF met ζ <, is gegeven in figuur 3.. De polen zijn: p, = ω n ζ±j ζ Zoals de figuur aangeeft, is de cosinus van de hoek φ gelijk aan de dempingscoëfficiënt van het systeem
10 Automatisering: egeltechniek cos φ=ζ X ω n ζ φ K ω n ζ X Figuur 3. : Polendiagram van een tweede orde systeem. Zo kunnen we lijnen tekenen voor polen met een constante dempingscoëfficiënt. Zie figuur 3.. Stijgende demping 0,5 0,3 0, 0,8 maginaire as: ζ = 0 0,9 0,97 eële as: ζ waarden Figuur 3. : Lijnen van constante demping en bijgevolg ook van constante doorschot. Natuurlijke eigenpulsatie ω n De natuurlijke eigenpulsatie ω n bepaalt de reactiesnelheid van het systeem. Des te groter ω n, des te sneller het systeem. Dit volgt rechtstreeks uit de formule voor de staprespons van het tweede orde systeem. Figuur 3.3 geeft lijnen van constante ω n. Stijgende natuurlijke eigenpulsatie ω n Stijgende gedempte eigenpulsatie ω p Figuur 3.3 : Lijnen van constante natuurlijke eignpulsatie (links). Figuur 3.4 : Lijnen van constante gedempte eignpulsatie (rechts). Gedempte eigenpulsatie ω p Het complex deel van de pool is gelijk aan de gedempte eigenpulsatie, die het oscillerend gedrag van het overgangsverschijnsel bepaalt. Figuur 3.4 geeft enkele lijnen van constante ω p
11 Automatisering: egeltechniek 'Settling' tijd Een indicatie voor de 'settling' tijd t s voor een afwijking van ± % (dit is de tijd die het systeem nodig heeft om binnen een band van ± % van de eindwaarde te komen) wordt gegeven door het reëel deel van de pool. Voor een systeem met een zuivere reële pool geldt: p + a e at Na de tijd t s moet deze exponentiële functie kleiner zijn dan 0,0 of 0, 0 = e a.ts t s = 4, 6/ a ndien t s gegeven is, kan uit bovenstaande formule de grenswaarde voor het reëel deel van de pool bepaald worden. Polen die meer negatief zijn zullen een kleinere t s waarde opleveren. ndien de polen in absolute waarde kleiner zijn, voldoet het systeem met deze polen niet aan de gestelde eisen. Figuur 3.5 geeft dit resultaat weer. -4,6/ t s 3. Gebied met polen met een een 'settling' tijd <. Lijn met polen met een een 'settling' tijd = t s t s 3. Gebied met polen met een een 'settling' tijd > t s Figuur 3.5 : Polen overeenkomstig een gegeven 'settling time' voor ± %. Opmerking: Bovenstaande eigenschappen werden afgeleid voor het geval dat het systeem één enkele reële pool heeft of twee toegevoegde complexe polen. Dit is voor eerste en tweede orde systemen. ndien het systeem van hogere orde is, zullen de polen die het dichts bij de imaginaire as gelegen zijn, het meest bijdragen tot de vorm van het overgangsverschijnsel. We noemen dit de dominante polen en het systeem dat hiermee overeenstemt het dominant tweede orde systeem. De polen met een sterk negatief reëel deel (dit zijn de polen die ver van de imaginaire as liggen) stemmen overeen met een snel uitdempend overgangsverschijnsel. Hun bijdrage in het geheel is verwaarloosbaar. Voor hogere orde systemen mogen we derhalve de bovenvermelde eigenschappen toetsen aan de dominante polen
Meet- en Regeltechniek
Meet- en egeltechniek Les 5: Het wortellijnendiagram Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit ndustriële ngenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium Meet- en egeltechniek:
Nadere informatieRegeltechniek. Les 6: Het wortellijnendiagram. Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot
Regeltechniek Les 6: Het wortellijnendiagram Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium Regeltechniek: Vakinhoud
Nadere informatieRegeltechniek Oefeningenbundel
KATHOLIEKE HOGESCHOOL LIMBURG Departement Industriële wetenschappen en technologie Regeltechniek Oefeningenbundel REG- REG Dr ir J. Baeten 3 jaar Academische Bachelor Elektronica 3 jaar Academische Bachelor
Nadere informatie0.1. INVLOED VAN DE K-WAARDE OP DE STABILITEIT VAN GESLOTEN KETENS Invloed van de K-waarde op de stabiliteit van gesloten ketens
0.1. INVLOED VAN DE K-WAARDE OP DE STABILITEIT VAN GESLOTEN KETENS1 Addendum 2 0.1 Invloed van de K-waarde op de stabiliteit van gesloten ketens We laten de K-waarde veranderen en kijken naar de stabiliteit.
Nadere informatieMeet- en Regeltechniek
Meet- en Regeltechniek Les 2: De regelkring Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium Meet- en Regeltechniek:
Nadere informatieMeet- en Regeltechniek
Meet- en Regeltechniek Les 4: De regelkring Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium Meet- en Regeltechniek:
Nadere informatieHoofdstuk 6 Systeemidentificatie en Regelaarsinstelling
Hoofdstuk 6 Systeemidentificatie en Regelaarsinstelling 6. Inleiding -- in aanmaak -- 6.2 Identificatie volgens Ziegler/Nichols, Instelling volgens Chien, Hrones en Reswick -- in aanmaak -- 6.3 Identificatie
Nadere informatieII: De proportionele regelaar
II: De proportionele regelaar Theoretische grondslagen. Inleiding Het algemeen schema van een proportionele regelaar die in de rechtstreekse tak staat is: X ( p) E ( p) G ( p) Y ( p ) Figuur II.: Proportionele
Nadere informatieV: Identificatie en regelaarsinstelling
1 Identificatie - algemeen Om een proces te kunnen regelen of te kunnen simuleren is het nodig de transfertfunctie te kennen. Deze transfertfunctie kan exact worden berekend indien alle onderdelen met
Nadere informatieSchriftelijke zitting Systeem- en regeltechniek 2 (WB2207) 29 januari 2009 van 14:00 tot 17:00 uur
Schriftelijke zitting Systeem- en regeltechniek 2 (WB2207) 29 januari 2009 van 14:00 tot 17:00 uur Onderstaande aanwijzingen nauwkeurig lezen. Vul op het voorblad uw naam, voorletters, studienummer en
Nadere informatie168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN
168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 5.7 Vraagstukken Vraagstuk 5.7.1 Beschouw de differentiaalvergelijking d2 y d 2 = 2 y. (i) Schrijf y = a k k. Geef een recurrente betrekking voor de coëfficienten a
Nadere informatie10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden
10.0 Voorkennis 5 1 6 6 cos( ) = -cos( ) = -½ 3 [cos is x-coördinaat] 5 1 3 3 sin( ) = -sin( ) = -½ 3 [sin is y-coördinaat] 1 Voorbeeld 1: Getekend is de lijn k: y = ½x 1. De richtingshoek α van de lijn
Nadere informatie6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1
WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We
Nadere informatieBerekenen van regelaars
Hoofdstuk 4 Berekenen van regelaars Doelstellingen 1. Regelaars kunnen berekenen voor stap- en sinusresponsies 2. Basiseigenschappen van een aantal regelaars kennen 4.1 Eigenschappen van een regelkring
Nadere informatieComplexe getallen: oefeningen
Complexe getallen: oefeningen Hoofdstuk 2 Praktisch rekenen met complexe getallen 2.1 Optelling en aftrekking (modeloplossing) 1. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = 2 + i en z 2 = 2 3i. Bereken de
Nadere informatieHoofdstuk 2 De regelkring
Hoofdstuk 2 De regelkring 2. Inleiding De cursus Systeemtheorie beschrijft het gedrag van een systeem. Deze kennins ligt aan de basis voor het regelen van een systeem. Bovendien kan men slechts besluiten
Nadere informatie8.1 Rekenen met complexe getallen [1]
8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn
Nadere informatieMeet- en Regeltechniek
Meet- en Regeltechniek Les 9: Systeemidentificatie en regelaarsinstelling Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium
Nadere informatieSchriftelijke zitting Systeem- en regeltechniek 2 (WB2207) 31 januari 2008 van 9:00 tot 12:00 uur
Schriftelijke zitting Systeem- en regeltechniek 2 (WB227) 31 januari 28 van 9: tot 12: uur Onderstaande aanwijzingen nauwkeurig lezen. Vul op het voorblad uw naam, voorletters, studienummer en opleiding
Nadere informatieDeeltentamen Meet en Regeltechniek 14 juni 1996
Deeltentamen Meet en Regeltechniek 14 juni 1996 R0281 C:\Job\MC-word\Tentamens\Tent9606.doc 1 Gegeven: Van een verwarmingssysteem van een kamer zijn de volgende gegevens bekend: t 'Tkamer K1 Q0dW Q0 Qin
Nadere informatie2.1 Lineaire functies [1]
2.1 Lineaire functies [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte
Nadere informatie1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE
E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Uiterste inleverdatum dinsdag oktober, voor het begin van het college N.B. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je moet het huiswerk
Nadere informatieHoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit
Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoewel we reeds vele methoden gezien hebben om allerlei typen differentiaalvergelijkingen op te lossen, zijn er toch nog veel differentiaalvergelijkingen
Nadere informatieAanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen
Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk
Nadere informatieGevorderde onderwerpen
Hoofdstuk 5 Gevorderde onderwerpen Doelstellingen 1. Weten wat M-cirkels voorstellen en de functie ervan begrijpen 2. Bodediagram van een algemene transfertfunctie kunnen tekenen 3. Begrijpen dat een regelaar
Nadere informatieComplexe e-macht en complexe polynomen
Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten
Nadere informatieExamen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica
Examen GO7E Wiskunde II (3sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Auditorium De Molen: A D Auditorium MTM3: E-Se Auditorium MTM39: Sh-Z Naam: Studierichting: Naam assistent:
Nadere informatieExamen G0O17D Wiskunde II (6sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-12:30 uur
Examen GO7D Wiskunde II (6sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Biochemie & Biotechnologie Bachelor hemie, Bachelor Geologie Schakelprogramma Master Biochemie & Biotechnologie en Schakelprogramma Master
Nadere informatie16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i
16.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i Voorbeeld 2: Los op in 4x 2 + 12x + 15 = 0 4x 2 + 12x + 9 + 6 = 0 (2x + 3) 2 + 6 = 0 (2x + 3) 2 = -6 (2x + 3) 2 = 6i 2 2x + 3 =
Nadere informatiePROJECT 1: Kinematics of a four-bar mechanism
KINEMATICA EN DYNAMICA VAN MECHANISMEN PROJECT 1: Kinematics of a four-bar mechanism Lien De Dijn en Celine Carbonez 3 e bachelor in de Ingenieurswetenschappen: Werktuigkunde-Elektrotechniek Prof. Dr.
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 18 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 31 Outline 1 Section I.1 Complex numbers K. P. Hart
Nadere informatie3.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
3.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. y = -4x + 8 kan herschreven worden als y + 4x = 8 Dit is een lineaire vergelijking met twee variabelen. Als je
Nadere informatieComplexe eigenwaarden
Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie
Nadere informatieOplossing. Vraag 1. De hoogte h(t) van het waterniveau wordt gegeven door. A met D(t) in [m³/s], h in [m] en A = 2m². Gegeven: D(t) = 6 (t-3)
Eamen -Systeemtheorie januari 7, 8.3u, 9 Het eamen is schriftelijk. De student krijgt 3 uur tijd, dus afgeven ten laatste om.3u. Er ijn 8 vragen, gespreid over bladen. Op elke vraag staan evenveel punten.
Nadere informatieMeet- en Regeltechniek
Meet- en Regeltechniek Les 11: Niet-lineaire regeltechniek en aan-uit regelaars Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven,
Nadere informatieRuimtemeetkunde deel 1
Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen
Nadere informatie1. Een magnetische levitatie systeem is schematisch weergegeven in figuur 1. r-- ~ rail
1. Een magnetische levitatie systeem is schematisch weergegeven in figuur 1. r-- ~ rail I FR.ir~.P Y D I ti t. I ~- ji ti! Fdist I I I I I magnat Fgray current i Figuur 1: Een schematische weergave van
Nadere informatie4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i
COMPLEXE GETALLEN Invoering van de complexe getallen Definitie Optellen en vermenigvuldigen Delen De complexe getallen zijn al behoorlijk oud; in de zestiende eeuw doken ze op bij het oplossen van algebraïsche
Nadere informatieLineaire algebra 1 najaar Complexe getallen
Lineaire algebra 1 najaar 2008 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 + 1 steeds
Nadere informatieSchriftelijke zitting Systeem- en regeltechniek 2 (WB2207) Oefententamen
Schriftelijke zitting Systeem- en regeltechniek 2 (WB2207) Oefententamen Onderstaande aanwijzingen nauwkeurig lezen. Vul op het voorblad uw naam, voorletters en studienummer in. Dit tentamen bestaat uit
Nadere informatieSamenvatting wiskunde B
Samenvatting wiskunde B Dit is een samenvatting van het tweede deel van Getal en Ruimte VWO wiskunde B. In deze samenvatting worden hoofdstuk 5, 6 en 7 behandeld. Ik hoop dat deze samenvatting je zal helpen!
Nadere informatieLes 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen
Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Pagina van Les Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen N = Natuurlijke getallen =,2,,.. Z
Nadere informatieSchriftelijke zitting Regeltechniek (WB2207) 3 november 2011 van 9:00 tot 12:00 uur
Schriftelijke zitting Regeltechniek (WB2207) 3 november 2011 van 9:00 tot 12:00 uur Onderstaande aanwijzingen nauwkeurig lezen. Vul op het voorblad uw naam, voorletters, studienummer en opleiding in. Dit
Nadere informatie8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3
8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar
Nadere informatieEE 2521: Digitale Signaalbewerking
EE 2521: Digitale Signaalbewerking 6. Programma: Week 1: Introductie, herhaling begrippen en eigenschappen (sampling, -transformatie, DTFT, convolutie) Week 2/3: Tijdsdiscrete filterstructuren (realisaties)
Nadere informatieKatholieke Hogeschool Limburg. Beknopte inleiding tot de regeltechniek
Katholieke Hogeschool Limburg Beknopte inleiding tot de regeltechniek Johan Baeten Cursus gedoceerd aan 3e jaar Industrieel Ingenieur Chemie 27 september 2003 c Katholieke Hogeschool Limburg Departement
Nadere informatieHertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur
Hertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatie13.0 Voorkennis. Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0.
Gegeven is de functie.0 Voorkennis Deze functie bestaat niet bij een van. Invullen van = geeft een deling door 0. De functie g() = heeft als domein R en is een ononderbroken kromme. Deze functie is continu
Nadere informatieRegeltechniek. Les 2: Signaaltransformaties. Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot
Regeltechniek Les 2: Signaaltransformaties Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium Regeltechniek: Tijdschema
Nadere informatieSchriftelijke zitting Systeem- en regeltechniek 2 (WB2207) 26 oktober 2010 van 14:00 tot 17:00 uur
Schriftelijke zitting Systeem- en regeltechniek 2 (WB2207) 26 oktober 2010 van 14:00 tot 17:00 uur Onderstaande aanwijzingen nauwkeurig lezen. Vul op het voorblad uw naam, voorletters, studienummer en
Nadere informatieBestaat er dan toch een wortel uit 1?
Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit CWI Vacantiecursus 2007 Wat zijn complexe getallen? Wat zijn
Nadere informatieAntwoorden. 1. Rekenen met complexe getallen
1. Rekenen met complexe getallen 1.1 a. 9 b. 9 c. 16 d. i e. 1 1. a. 1 b. 3 c. 1 d. 4 3 e. 3 4 1.3 a. 3 i b. 3 i c. i d. 5 i e. 15 i 1.4 a. 33 i b. 7 i c. 4 3 i d. 3 5 i e. 5 3 i 1.5 a. 1 ± i b. ± i c.
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :
Nadere informatieKatholieke Hogeschool Limburg. Beknopte inleiding tot de regeltechniek
Katholieke Hogeschool Limburg Beknopte inleiding tot de regeltechniek Johan Baeten Cursus gedoceerd aan 3e jaar Academische Bachelor Chemie / Biochemie Brugjaar Chemie 16 juni 2005 c Katholieke Hogeschool
Nadere informatie1. Orthogonale Hyperbolen
. Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies
Nadere informatieHoofdstuk 8 : Complexe getallen
1 Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen getallen : (1) N = Natuurlijke getallen = 1,2,3,.. (2) Z = Gehele
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.10, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 23 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline 1 2 3 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
Nadere informatieKwantummechanica HOVO cursus. Jo van den Brand Lecture 4: 13 oktober 2016
Kwantummechanica HOVO cursus Jo van den Brand Lecture 4: 13 oktober 2016 Copyright (C) VU University Amsterdam 2016 Overzicht Algemene informatie Jo van den Brand Email: jo@nikhef.nl 0620 539 484 / 020
Nadere informatieAutomatisering. Wat is een regelsysteem
Automatisering Analoge Regeltechniek: inleiding en modelvorming Wat is een regelsysteem In zijn eenvoudigste vorm geeft een regelsysteem een uitgangssignaal (responsie) voor een gegeven ingangssignaal
Nadere informatie1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]
1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2
Nadere informatieH. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie
H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische
Nadere informatietoelatingsexamen-geneeskunde.be Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld.
Wiskunde juli 2009 Laatste aanpassing: 29 juli 2009. Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld. Vraag 1 Wat is de top van deze parabool 2 2. Vraag
Nadere informatieDe Riemann-hypothese
De Riemann-hypothese Lars van den Berg 3 september 202 Laat ik je gelijk enthousiast maken om dit stukje te lezen: wie de Riemannhypothese oplost wint een miljoen. Wel zijn er waarschijnlijk eenvoudigere
Nadere informatieDe wortel uit min één. Jaap Top
De wortel uit min één Jaap Top IWI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 20 maart 2007 1 Marten Toonder, verhaal de minionen (1980) 2 3 4 5 Twee manieren om complexe getallen te beschrijven: algebraïsch, als uitdrukkingen
Nadere informatieKATHOLIEKE HOGESCHOOL LIMBURG. Automatisering. Regeltechniek. Deel I. Basis Regeltechniek. Dr ir J. Baeten. cursus gedoceerd aan
KATHOLIEKE HOGESCHOOL LIMBURG Departement Industriële wetenschappen en technologie Automatisering Regeltechniek Deel I Basis Regeltechniek Dr ir J. Baeten cursus gedoceerd aan 3 jaar Academische Bachelor
Nadere informatieUitgewerkte oefeningen
Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4
Nadere informatieJe moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.
6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale
Nadere informatieToepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten.
WIS8 8 Vectoren 8. Vectoren Vectoren Een vector met dimensie is een kolom bestaande uit twee reële getallen, bijvoorbeeld [ We kunnen deze meetkundig interpreteren als een pijl in het platte vlak van de
Nadere informatieStandaardfuncties. x c
Standaards Constante Parameter We geven in dit document een overzicht van een aantal veelvoorkomende s. We geven steeds het voorschrift en de grafiek. (Ter herinnering: het domein vermelden we niet, het
Nadere informatieAlgebra, Les 18 Nadruk verboden 35
Algebra, Les 18 Nadruk verboden 35 18,1 Ingeklede vergelijkingen In de vorige lessen hebben we de vergelijkingen met één onbekende behandeld Deze vergelijkingen waren echter reeds opgesteld en behoefden
Nadere informatie! Dit kernbetrekkingenblad heb ik voor eigen gebruik gemaakt en kan dus incompleet zijn en fouten bevatten! Efficiency
Kernbetrekkingen Mechatronisch Ontwerpen 280302 E. Boesveld 27062010! Dit kernbetrekkingenblad heb ik voor eigen gebruik gemaakt en kan dus incompleet zijn en fouten bevatten! Energie, vermogen, etc P=vermogen
Nadere informatieWiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie (BKI 316) Bernd Souvignier
Wiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie (BKI 316) Bernd Souvignier najaar 2004 Deel I Voortgezette Analyse Les 1 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat
Nadere informatieParagraaf 7.1 : Lijnen en Hoeken
Hoofdstuk 7 Lijnen en cirkels (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 7.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier y =
Nadere informatieVIDEO 4 4. MODULUSVERGELIJKINGEN
VIDEO 1 VIDEO 2 VIDEO 3 VIDEO 4 4. MODULUSVERGELIJKINGEN De modulus (ook wel absolute waarde) is de afstand van een punt op de getallenlijn tot nul. De modulus van zowel -5 als 5 is dus 5, omdat -5 ook
Nadere informatieMaterialen in de elektronica Verslag Practicum 1
Materialen in de elektronica Verslag Practicum 1 Academiejaar 2014-2015 Groep 2 Sander Cornelis Stijn Cuyvers In dit practicum zullen we de diëlektrische eigenschappen van een vloeibaar kristal bepalen.
Nadere informatieMatrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen
Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een
Nadere informatieMeet- en Regeltechniek
Meet- en Regeltechniek Les 7: De klassieke regelaars Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium Meet- en Regeltechniek:
Nadere informatieHOOFDSTUK II BIJZONDERE THEORETISCHE VERDELINGEN
HOOFDSTUK II BIJZONDERE THEORETISCHE VERDELINGEN. Continue Verdelingen 1 A. De uniforme (of rechthoekige) verdeling Kansdichtheid en cumulatieve frequentiefunctie Voor x < a f(x) = 0 F(x) = 0 Voor a x
Nadere informatief : z z 2 + c. x n = 1 2 z n dan krijgen we z n+1 = z 2 n + a 2 a2 4 De parameter c correspondeert dus met a middels c = a 2 a2 4
Juliaverzamelingen en de Mandelbrotverzameling In de eerste twee colleges hebben we gezien hoe het itereren van een eenvoudige afbeelding tot ingewikkelde verschijnselen leidt. Nu gaan we dit soort afbeeldingen
Nadere informatieG Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie. K Geologie, Informatica, Schakelprogramma s
Tussentijdse Toets Wiskunde I ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, Master Chemie donderdag 3 november 06, :00-3:00
Nadere informatieMore points, lines, and planes
More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)
Nadere informatie11.1 De parabool [1]
11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool:
Nadere informatieOvergangsverschijnselen
Hoofdstuk 5 Overgangsverschijnselen Doelstellingen 1. Overgangsverschijnselen van RC en RL ketens kunnen uitleggen waarbij de wiskundige afleiding van ondergeschikt belang is Als we een condensator of
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.9, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 13 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 41 Outline III.6 The Residue Theorem 1 III.6 The
Nadere informatieOefeningen analytische meetkunde
Oefeningen analytische meetkunde ) orte herhaling. Zij gegeven twee vectoren P en Q. Bewijs dat de loodrechte projectie P' van P op Q gegeven wordt door: PQQ P'. Q. De cirkel c y 4y wordt gespiegeld om
Nadere informatieDe pariteitstestmatrix van de (6,4) Hamming-code over GF(5) is de volgende: [ H =
Oplossing examen TAI 11 juni 2008 Veel plezier :) Vraag 1 De pariteitstestmatrix van de (6,4) Hamming-code over GF(5) is de volgende: H = [ 1 0 1 2 3 ] 4 0 1 1 1 1 1 (a) Bepaal de bijhorende generatormatrix
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieFiguur 1: Blok-schema van een DC motor, a) Geef de overdrachtsfuntie G(s) = T(s)/V(s). Schrijf G(s) in de vorm K B(s) A( s
1. Een blok-schema van een DC motor is gegeven in figuur 1. Vis) 1 m 1 Ls+R Js+b (0(5) K, Figuur 1: Blok-schema van een DC motor, a) Geef de overdrachtsfuntie G(s) = T(s)/V(s). Schrijf G(s) in de vorm
Nadere informatieAlgebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies
Algebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies Trainingsweek juni 2008 Kwadraat afsplitsen Een kwadratische functie oftewel tweedegraads polynoom) px) = ax 2 + bx + c a 0) kan in verschillende
Nadere informatieWiskundige Technieken
1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen 1ste Bachelor Fysica en Sterrenkunde Academiejaar 014-015 1ste semester 1 oktober 014 Wiskundige Technieken 1. Beschouw een scalaire functie f : R R en een vectorveld
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,
Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd
Nadere informatieOplossingen tentamen Systeemanalyse voor BMT (8E030) 26 januari 2007
Oplossingen tentamen Systeemanalyse voor BMT (8E3) 6 januari 7 Onderdelen die érg moeilijk bleken te zijn (< % juiste antwoord) zijn met een *) gemarkeerd. Hierbij wordt ook vermeld in welke oefenopgave(n)
Nadere informatieWetenschappelijk Rekenen
Wetenschappelijk Rekenen Eamen - Bacheloropleiding informatica Oefeningen 10 juni 2014 1. In de oefeninglessen hebben we gezien dat we de machine-epsilon bekomen bij het berekenen van ( 4 1) 1. Beschouw
Nadere informatie5.1 Constructie van de complexe getallen
Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder
Nadere informatie1.1 Lineaire vergelijkingen [1]
1.1 Lineaire vergelijkingen [1] Voorbeeld: Los de vergelijking 4x + 3 = 2x + 11 op. Om deze vergelijking op te lossen moet nu een x gevonden worden zodat 4x + 3 gelijk wordt aan 2x + 11. = x kg = 1 kg
Nadere informatieHet opstellen van een lineaire formule.
Het opstellen van een lineaire formule. Gegeven is onderstaande lineaire grafiek (lijn b). Van deze grafiek willen wij de lineaire formule weten. Met deze formule kunnen we gaan rekenen. Je kan geen lineaire
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.3, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 34 Outline 1 Conforme afbeeldingen 2 K. P. Hart TW2040:
Nadere informatieParagraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken
Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier
Nadere informatie