Combinatoriek groep 1
|
|
- Filip van der Meer
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Combinatoriek groep 1 Recursie Trainingsweek, juni 009 Stappenplan homogene lineaire recurrente betrekkingen Even herhalen: het stappenplan om een recurrente betrekking van orde op te lossen: Stap 1. Bepaal de karakteristieke vergelijking. Voor een recurrente betrekking van de vorm a n+ = Aa n+1 + Ba n is dit λ Aλ B = 0. (Maar let op: de recurrente betrekking is niet altijd precies in deze vorm gegeven.) Stap. Bepaal de twee oplossingen λ 1 en λ van de karakteristieke vergelijking. Stap 3. Bepaal constanten C en D zodat a 0 = C + D en a 1 = Cλ 1 + Dλ. Stap 4. De directe formule is nu a n = Cλ n 1 + Dλ n. Stap 4a. Als λ 1 = λ, dan is de directe formule a n = Cλ n 1 + Dnλ n 1. Stap. Controleer je oplossing op rekenfouten door a op twee manieren uit te rekenen: met behulp van de gegeven recurrente betrekking en met behulp van de directe formule die je hebt gevonden. Inhomogene lineaire recurrente betrekkingen van orde Behalve homogene lineaire recurrente betrekkingen van orde (die we met een standaardtechniek altijd op kunnen lossen) bestaan er ook inhomogene. Een algemene lineaire inhomogene recurrente betrekking van orde met constante coëfficiënten B en C ziet er als volgt uit: a n+ Aa n+1 Ba n = f(n) voor alle n 0. (1) Hierbij is f(n) een of andere functie van n. Dit kan van alles zijn. Ook voor dit type recursie hebben we een standaardtechniek. Hiervoor lossen we eerst de homogene variant van de recurrente betrekking op, dus de betrekking a n+ Aa n+1 Ba n = 0. () We hebben al geleerd hoe dat moet. We krijgen een oplossing a n die nog van twee constantes C en D afhangt. We gaan nu niet meteen de beginwaarden invullen om C en D te bepalen. 1
2 We laten gewoon C en D even staan en noemen dit de algemene oplossing van de homogene recurrente betrekking (). De volgende stap is om een particuliere oplossing van de inhomogene recurrente betrekking te vinden. Dat wil zeggen één oplossing a n van (1). Hier is niet een techniek voor die altijd werkt, maar over het algemeen is het een goed idee om iets te kiezen dat lijkt op de functie f(n). Dus als f(n) een polynoom is, kies je een polynoom met dezelfde graad, en als f(n) een exponentiële functie is, kies je een exponentiële functie met hetzelfde grondtal. Alle oplossingen van de inhomogene recurrente betrekking worden nu gegeven door de som van de algemene oplossing van de homogene recurrente betrekking en de particuliere oplossing van de inhomogene recurrente betrekking. Hierin zitten nog steeds de constanten C en D die je vrij mag kiezen. Die kun je nu zo kiezen dat aan de beginwaarden voldaan wordt. Het stappenplan op een rijtje: Stap 1. Bepaal de algemene oplossing van de homogene recurrente betrekking, met daarin de constanten C en D. Stap. Probeer een particuliere oplossing van de inhomogene recurrente betrekking te vinden. Probeer hiervoor dingen die lijken op het inhomogene stuk van je betrekking. Stap 3. Tel de twee oplossingen van de vorige twee stappen op en kies C en D zodat aan de beginwaarden voldaan wordt. Stap 4. Controleer je oplossing op rekenfouten door a op twee manieren uit te rekenen: met behulp van de gegeven recurrente betrekking en met behulp van de directe formule die je hebt gevonden. Voorbeeld. Zij gegeven de rij a 0, a 1, a,... die als volgt met recursie is gedefinieerd: a 0 = 0, a 1 = 1, a n+ + a n+1 3a n = n voor alle n 0. Oplossing. De bijbehorende homogene recurrente betrekking is a n+ + a n+1 3a n = 0, met karakteristieke vergelijking λ + λ 3 = 0, ofwel (λ 1)(λ + 3) = 0. De algemene
3 oplossing is dus a n = C + D( 3) n. Voor de particuliere oplossing proberen we iets wat lijkt op n, dus bijvoorbeeld a n = E n. Dit vullen we in: Delen door n geeft: E n+ + E n+1 3E n = n. 4E + 4E 3E = 1, dus E = 1. De particuliere oplossing a n = 1 n voldoet dus. De algemene oplossing voor onze inhomogene recurrente betrekking is dus a n = 1 n + C + D( 3) n. Nu vullen we de beginwaarden in: 0 = a 0 = 1 + C + D en 1 = a 1 = + C 3D. Hieruit lossen we op C = 0 en D = 1. Uiteindelijk wordt onze oplossing dus a n = 1 n 1 ( 3)n. Ten slotte controleren we of we geen rekenfout hebben gemaakt door a op twee manieren uit te rekenen. Volgens de recursie geldt a = = 1. Volgens de directe formule geldt a = 4 9 = 1. Opgave 1 Zij gegeven de rij a 0, a 1, a,... die als volgt met recursie is gedefinieerd: a 0 = 0, a 1 = 1, a n+ + a n+1 + a n = 1 voor alle n 0. Opgave Zij gegeven de rij a 0, a 1, a,... die als volgt met recursie is gedefinieerd: a 0 = 0, a 1 = 1, a n+ 6a n+1 + 8a n = 3n voor alle n 0. Opgave 3 Zij gegeven de rij a 0, a 1, a,... die als volgt met recursie is gedefinieerd: a 0 = 3, a 1 =, 3
4 a n+ 3a n+1 + a n = 4n + 1 voor alle n 0. Opgave 4 Zij gegeven de rij a 0, a 1, a,... die als volgt met recursie is gedefinieerd: a 0 = 1, a 1 =, a n+ 6a n+1 + 9a n = 3 n+1 voor alle n 0. Toepassingen van recurrente betrekkingen Sommige problemen kunnen we oplossen door het opstellen van een geschikte recurrente betrekking. Vaak is die recurrente betrekking al genoeg om het probleem op te lossen; je kan dan immers de eerste termen van de rij gewoon met de hand uitrekenen. Soms echter is het ook nodig de algemene rangnummerformule te vinden. Definitie: een 01-rijtje is een niet-leeg rijtje dat bestaat uit de cijfers 0 en 1, zoals of 1111 of 0. Voorbeeld: Zij e n het aantal 01-rijtjes van lengte n. Bereken e 1, e, e 3 en e 4. Stel dan een recurrente betrekking op voor e n en los deze op (oftewel, geef de rangnummerformule voor e n ). Oplossing: Voor n = 1 zijn er twee mogelijkheden, namelijk 0 en 1, dus e 1 =. Voor n = (00, 01, 10, 11): e = 4. Verder e 3 = 8 en e 4 = 16. In het algemeen: stel dat we weten hoeveel 01-rijtjes van lengte n we hebben, zeg e n. Als we vóór zo n rijtje een 0 of een 1 voor zetten, dan krijgen we steeds een ander 01-rijtje van lengte n + 1. Er zijn dus minstens e n rijtjes van lengte n + 1: e n+1 e n. We moeten nog even kijken of we op deze manier daadwerkelijk alle 01-rijtjes van lengte n + 1 hebben geteld. Maar dat volgt uit net zo n argument: een 01-rijtje van lengte n+1 begint met een 0 of een 1 en als we dat eerste cijfer weglaten houden we een restrijtje (van lengte n) over. Er zijn dus minstens zoveel 01-rijtjes van lengte n als 01-rijtjes van lengte n + 1 die met een 0 beginnen en idem voor die die met een 1 beginnen, dus e n+1 e n. Conclusie: e n+1 = e n en we vinden direct e n = n. Voorbeeld: Zij a n het aantal 01-rijtjes van lengte n waarin geen twee opeenvolgende enen voorkomen. Bereken a 1, a, a 3 en a 4. Stel dan een recurrente betrekking op voor a n en los 4
5 deze op. Oplossing: We zien dat a 1 = (de correcte rijtjes zijn 0 en 1), a = 3 (00, 01 en 10), a 3 = (000, 001, 010 en 100, 101) en a 4 = 8 (0000, 0001, 0010, 0100, 0101 en 1000, 1001, 1010). We analyseren nu een correct rijtje van lengte n +. Als dat met een 0 begint, dan is de rest een correct rijtje van lengte n + 1. Als het echter met een 1 begint, moet vervolgens een 0 komen en is de rest een correct rijtje van lengte n. We concluderen dat a n+ a n+1 + a n. Omgekeerd leidt elke correct rijtje van lengte n + 1 met een 0 ervoor en elk correct rijtje van lengte n met 10 ervoor tot steeds weer een ander correct rijtje van lengte n +, dus a n+1 + a n a n+. De eindconclusie is dat a n+ = a n+1 + a n. Met de beginvoorwaarden a 1 = en a = 3 ligt de rij dus vast. We kunnen ook een stapje terug gaan, en zeggen dat de rij vastligt met de beginvoorwaarden a 0 = a a 1 = 1 en a 1 = ; dat zal straks het rekenen gemakkelijker blijken te maken. Het bijbehorende karakteristieke polynoom λ λ 1 = 0 heeft oplossingen λ = 1±, zeg λ 1 = 1+ en λ = 1. Oplossingen zijn dus van de vorm a n = A 1 λ n 1 + A λ n. Nu! moet a 0 = A 1 + A = 1 dus A = 1 A 1, en a 1 = A 1 λ 1 +A λ = A 1 +A = A 1 + A + A 1 A 1 = +A 1 1! =. Dus (na enig rekenen) blijkt dat A 1 = en bijgevolg A = 1 3 a n = ( ) ( 1 + ) n + ( ) ( 1 ) n. 10. Conclusie: Reken maar na dat deze formule daadwerkelijk a 4 = 8 geeft, hoe onwaarschijnlijk dat misschien ook lijkt door al die wortels. Op grond van de recursie weten we dat toch echt a n geheel moet zijn voor alle n. Nu kun je dat ook wel aan de formule zien; werk dan in gedachten de n-de machten uit met het binomium van Newton en maak onderscheid tussen de termen die wel bevatten en de termen die een geheel getal zijn (zoals ). Opgave (a) We willen van een trap met n treden elke trede rood, geel of blauw verven. Op hoeveel manieren kunnen we dit doen zodat er geen twee opeenvolgende treden blauw zijn? (b) Op hoeveel manieren kan je de trap verven zodat geen twee opeenvolgende treden dezelfde kleur hebben? Opgave 6 Het getal 4 is op manieren te schrijven als de som van een aantal 1 tjes en tjes: 4 = ; 4 = ; 4 = ; 4 = ; 4 = +. (a) Op hoeveel manieren is 10 te schrijven als som van een aantal 1 tjes en tjes? (b) Op hoeveel manier is 10 te schrijven als som van een aantal 1 tjes, tjes en 3 tjes?
6 Opgave 7 Op hoeveel manieren kan een n tegelpaadje bestraat worden met een n-tal 1 tegels? Opgave 8 Vind een recurrente betrekking voor het aantal manieren waarop een n tegelpaadje bestraat kan worden met 1 1 en 1 tegels. Opgave 9 Los op: a n+ = a n+1 + a n (n 0) en a 0 = 0; a 1 = 1. Opgave 10 (a) Los op: a n+ + 10a n a n = 0 (n 0) en a 0 = 3; a 1 = 6. (b) Los deze betrekking ook op voor algemene a 0 en a 1. Opgave 11 Los op voor a 0 = 0 en algemene a 1 : a n+ = a n+1 a n (n 0). Opgave 1 Op hoeveel manieren kun je de treden van een trap met n treden rood, geel of blauw verven, zodat het aantal blauwe en gele treden oneven is en het aantal rode treden even? Geef een directe formule. Opgave 13 Vind het aantal permutaties van {1,,..., n} waarbij elk even getal maximaal één plek is verschoven. 6
Combinatoriek groep 1 & 2: Recursie
Combinatoriek groep 1 & : Recursie Trainingsweek juni 008 Inleiding Bij een recursieve definitie van een rij wordt elke volgende term berekend uit de vorige. Een voorbeeld van zo n recursieve definitie
Nadere informatieCombinatoriek groep 2
Combinatoriek groep 2 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Homogene lineaire recurrente betrekkingen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een
Nadere informatieCombinatoriek groep 1
Combinatoriek groep 1 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Getallenrijen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een directe formule geeft a n in
Nadere informatieUitwerking vierde serie inleveropgaven
Uitwerking vierde serie inleveropgaven Opgave 1. Gegeven is dat G een permutatiegroep is; a is een willekeurig element. St(a) is de deelverzameling van G die alle permutaties π bevat waarvoor geldt π(a)
Nadere informatieDiscrete Wiskunde, College 5. Han Hoogeveen, Utrecht University
Discrete Wiskunde, College 5 Han Hoogeveen, Utrecht University Voorwaarde gebruik gewone genererende functie Algemene vorm genererende functie voor object q + 1: G q+1 (x) = a h x h h=0 Wanneer je nu wilt
Nadere informatien 2 + 2n + 4 3n 2 n + 4n n + 2n + 12 n=1
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 2 NWI-NP004B 6 april 205, 8.00 2.00 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten
Nadere informatie1 Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan
Nadere informatieExamen Discrete Wiskunde donderdag 7 maart, 2019
Examen Discrete Wiskunde 2018-2019 donderdag 7 maart, 2019 De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Gebruik hiervoor de ruimte onder de vraag; er is in principe genoeg
Nadere informatieOplossen van lineaire differentiaalvergelijkingen met behulp van de methode van Leibniz-MacLaurin
Oplossen van lineaire differentiaalvergelijingen met behulp van de methode van Leibniz-MacLaurin Calculus II voor S, F, MNW 7 november 2005 1 De n-de afgeleide van het product van twee functies Voor we
Nadere informatie2.0 Voorkennis. Rekenregels machten: 5) a 0 = 1. p p q p q a p q q. p q pq p p p. Willem-Jan van der Zanden
2.0 Voorkennis Voorbeeld: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = (a +b)(a2 + 2ab + b2) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b +2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Rekenregels machten: p p q pq a pq 1) a a
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L Habets HG 809, Tel: 040-2474230, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: Oplossing homogene DV ẋ = Ax Aanname: A is diagonaliseerbaar
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatieTweede college complexiteit. 12 februari Wiskundige achtergrond
College 2 Tweede college complexiteit 12 februari 2019 Wiskundige achtergrond 1 Agenda vanmiddag Floor, Ceiling Rekenregels logaritmen Tellen Formele definitie O, Ω, Θ met voorbeelden Stellingen over faculteiten
Nadere informatieExamencursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven VWO kan niet korter
Voorbereidende opgaven VWO Examencursus wiskunde A Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk hem dan
Nadere informatieTentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)
Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N
Nadere informatieGetaltheorie groep 3: Primitieve wortels
Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Trainingsweek juni 2008 Inleiding Voor a relatief priem met m hebben we de orde van a modulo m gedefinieerd als ord m (a) = min { n Z + a n 1 (mod m) }. De verzameling
Nadere informatieDiscrete Wiskunde, College 7. Han Hoogeveen, Utrecht University
Discrete Wiskunde, College 7 Han Hoogeveen, Utrecht University Sommatiefactor methode (niet in boek) Doel: oplossen van RBs als Basisidee: f n a n = g n a n 1 + c n ; 1 Vermenigvuldig de RB met een factor
Nadere informatiea) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.
. Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)
Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren
Nadere informatieDiscrete Wiskunde, College 6. Han Hoogeveen, Utrecht University
Discrete Wiskunde, College 6 Han Hoogeveen, Utrecht University JBF methode voor oplossen recurrente betrekkingen Op te lossen recurrente betrekking a n = c 1 a n 1 + c 2 a n 2 +... + c k a n k + f (n),
Nadere informatieGeldwisselprobleem van Frobenius
Geldwisselprobleem van Frobenius Karin van de Meeberg en Dieuwertje Ewalts 12 december 2001 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Afspraken 3 3 Is er wel zo n g? 3 4 Eén waarde 4 5 Twee waarden 4 6 Lampenalgoritme
Nadere informatieFaculteit, Binomium van Newton en Driehoek van Pascal
Faculteit, Binomium van Newton en Driehoek van Pascal 1 Faculteit Definitie van de faculteit Wisnet-hbo update aug. 2007 (spreek uit k-faculteit) is: k Dit geldt voor elk geheel getal k groter dan 0 en
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y65 Docent: L Habets HG 89, Tel: 4-247423, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y65 1 Herhaling: bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het
Nadere informatieExamen Discrete Wiskunde donderdag 8 maart, 2018
Examen Discrete Wiskunde 2017-2018 donderdag 8 maart, 2018 De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Gebruik hiervoor de ruimte onder de vraag; er is in principe genoeg
Nadere informatieRingen en Galoistheorie, 1e deel, 19 april 2012
Ringen en Galoistheorie, 1e deel, 19 april 2012 Bij dit tentamen mag het dictaat niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, studnr en naam practicumleider. Laat bij elke opgave zien hoe je aan je
Nadere informatieKerstvakantiecursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven VWO kan niet korter
Voorbereidende opgaven VWO Kerstvakantiecursus wiskunde A Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk
Nadere informatieDifferentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft
Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek WbMT2048 Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen WbMT2048 1 / 1 Het vinden van een particuliere oplossing Voor een
Nadere informatie2 Recurrente betrekkingen
WIS2 1 2 Recurrente betrekkingen 2.1 Fibonacci De getallen van Fibonacci Fibonacci (= Leonardo van Pisa), 1202: Bereken het aantal paren konijnen na één jaar, als 1. er na 1 maand 1 paar pasgeboren konijnen
Nadere informatieax + 2 dx con- vergent? n ln(n) ln(ln(n)), n=3 (d) y(x) = e 1 2 x2 e 1 2 t2 +t dt + 2
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NPB 8 januari 3, 8.3.3 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden. Maak uw redenering
Nadere informatie1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12
Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal
Nadere informatieopgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2.
opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): ℵ 0 #A, B = {b 0,..., b n 1 } voor een zeker natuurlijk getal
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op 6--,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij
Nadere informatie16.3 Opgaven hoofdstuk 4: 2-d partities
Opgave 4.1 b Voor het getal drie geldt dat het op drie manieren opgedeeld kan worden in gehele getallen volgens definitie 4.1. Het kan opgedeeld worden in één keer 3 of in één keer 2 en één keer 1 of in
Nadere informatieUitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen
Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Maandag 4 januari 216, 1: - 13: uur 1. Beschouw voor t > de inhomogene singuliere tweede orde vergelijking, t 2 ẍ + 4tẋ + 2x = f(t, (1 waarin f
Nadere informatie5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde.
5.0 Voorkennis Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. Vermenigvuldigen is eponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige
Nadere informatieOPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010
OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010 1. Zij V een vectorruimte en A = {v 1,..., v m } een deelverzameling van m vectoren uit V die voortbrengend is voor V, m.a.w. V = A.
Nadere informatieUITWERKINGEN 1 2 C : 2 =
UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatieInhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen
Inhoud college 5 Basiswiskunde 4.10 Taylorpolynomen 2 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Inleiding Gegeven is een functie f met punt a in domein D f. Gezocht een eenvoudige functie, die rond punt a op f lijkt
Nadere informatieHet vinden van een particuliere oplossing
Het vind van e particuliere oplossing Voor e lineaire differtiaalvergelijking met constante (reële) coëfficiënt a 0 y (n) (t) + a 1 y (n 1) (t) +... + a n 1 y (t) + a n y(t) = g(t), a 0 0 (1) geldt, dat
Nadere informatieStoomcursus. wiskunde A. Rekenregels voor vereenvoudigen. Voorbereidende opgaven VWO ( ) = = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) = = ( )
Voorbereidende opgaven VWO Stoomcursus wiskunde A Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in een van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk hem dan
Nadere informatieTentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur
Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.
Nadere informatieHoofdstuk 5: Machtreeksoplossingen van tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen
Hoofdstuk 5: Machtreeksoplossing van tweede orde lineaire differtiaalvergelijking 5.1. Machtreeks. In deze paragraaf word de belangrijkste eigschapp van machtreeks op e rijtje gezet. Zelf doorlez! Zie
Nadere informatieParagraaf 9.1 : Twee soorten groei
Hoofdstuk 9 Exponentiële Verbanden (H5 Wis A) Pagina 1 van 9 Paragraaf 9.1 : Twee soorten groei Les 1 Lineaire en exponentiele groei Definitie Lijn = LINEAIRE GROEI Algemene formule van een lijn : y =
Nadere informatieWI1708TH Analyse 2. College 5 24 november Challenge the future
WI1708TH Analyse 2 College 5 24 november 2014 1 Programma Vandaag 2 e orde lineaire differentiaal vergelijking (17.1) 2 1 e orde differentiaal vergelijking Definitie Een 1 e orde differentiaal vergelijking
Nadere informatieGenererende Functies K. P. Hart
genererende_functies.te 27--205 Z Hoe kun je een rij getallen zo efficiënt mogelijk coderen? Met behulp van functies. Genererende Functies K. P. Hart Je kunt rijen getallen op diverse manieren weergeven
Nadere informatieLineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen. 6 juni 2006
Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen 6 juni 6 i ii Inhoudsopgave Stelsels differentiaalvergelijkingen Opgaven Stelsels differentiaalvergelijkingen In deze paragraaf passen we onze kennis
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 22 februari 2009 INDUCTIE & RECURSIE Paragrafen 4.3-4.6 Discrete Structuren Week 3:
Nadere informatieOpgaven Fibonacci-getallen Datastructuren, 23 juni 2017, Werkgroep.
Opgaven Fibonacci-getallen Datastructuren, 3 juni 017, Werkgroep Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege Cijfer: Op een toets krijg je meestal zes tot acht
Nadere informatieFLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j
FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van
Nadere informatie14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]
4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )
Nadere informatieTweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen
Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 en opmerkingen November 10, 2009 Opgave 1 Gegeven een vectorruimte V met deelruimtes U 1 en U 2. Als er geldt dim U 1 = 7, dimu 2 = 9, en dim(u 1 U 2 ) = 4, wat
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatie3. Stelsels van vergelijkingen
. Stelsels van vergelijkingen We gaan de theorie van de voorgaande hoofdstukken toepassen op stelsels van lineaire vergelijkingen. Een voorbeeld: bepaal alle oplossingen (x,, ) van het stelsel vergelijkingen
Nadere informatieHertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur
Hertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele
Nadere informatieUitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 2017
Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 017 Opgave 1. a. Een pad van de wortel naar een blad stelt de serie achtereenvolgende arrayvergelijkingen voor die het algoritme doet op zekere invoer.
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De
Nadere informatieParagraaf 13.0 : Limieten en absolute waarde
Hoofdstuk 13 Limieten en Asymptoten (V6 Wis B) Pagina 1 van 13 Paragraaf 13.0 : Limieten en absolute waarde Definitie absoluuttekens pp = { p absoluut of de absolute waarde van p } pp = { altijd positief
Nadere informatieAlgebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies
Algebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies Trainingsweek juni 2008 Kwadraat afsplitsen Een kwadratische functie oftewel tweedegraads polynoom) px) = ax 2 + bx + c a 0) kan in verschillende
Nadere informatieExamen Discrete Wiskunde donderdag 12 april, 2018
Examen Discrete Wiskunde 2017-2018 donderdag 12 april, 2018 De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Gebruik hiervoor de ruimte onder de vraag; er is in principe genoeg
Nadere informatieDifferentiequotiënten en Getallenrijen
Lesbrief 4 Binomiaalcoëfficiënten, Differentiequotiënten en Getallenrijen Binomiaalcoëfficiënten Het is beend dat (a + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 en dat (a + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3. In het algemeen
Nadere informatie168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN
168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 5.7 Vraagstukken Vraagstuk 5.7.1 Beschouw de differentiaalvergelijking d2 y d 2 = 2 y. (i) Schrijf y = a k k. Geef een recurrente betrekking voor de coëfficienten a
Nadere informatieeerste en laatste cijfers Jaap Top
eerste en laatste cijfers Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 3-10 april 2013 (Collegecarrousel, Groningen) 1 laatste, eerste?! over getallen 2,..., 101,..., 2014,...... laatste cijfers hiervan: 2,...,
Nadere informatieVierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1
Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en
Nadere informatieBij het oplossen van een telprobleem zijn de volgende 2 dingen belangrijk: Is de volgorde van de gekozen dingen van belang?
4. tellen & kansen 4.1 Tellen Herkennen Je kunt een vraag over telproblemen herkennen aan signaalwoorden: - hoeveel mogelijkheden, manieren, routes, volgordes etc. zijn er?, - bereken het aantal mogelijkheden/manieren
Nadere informatieOpgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman
Opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Roland van der Veen Inleiding Deze reeks opgaven is bedoeld voor de werkcolleges van de vakantiecursus Wiskunde in Wording, Augustus 2013. 1
Nadere informatieIMO-selectietoets III zaterdag 4 juni 2016
IMO-selectietoets III zaterdag 4 juni 2016 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Zij n een natuurlijk getal. In een dorp wonen n jongens en n meisjes. Voor het jaarlijkse bal moeten
Nadere informatieDe partitieformule van Euler
De partitieformule van Euler Een kennismaking met zuivere wiskunde J.H. Aalberts-Bakker 29 augustus 2008 Doctoraalscriptie wiskunde, variant Communicatie en Educatie Afstudeerdocent: Dr. H. Finkelnberg
Nadere informatieSelectietoets vrijdag 10 maart 2017
Selectietoets vrijdag 10 maart 2017 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Zij n een even positief geheel getal. Een rijtje van n reële getallen noemen we volledig als voor elke gehele
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op -4-, 4.-7. uur. Opgave Gegeven is het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met parameters
Nadere informatieLineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten
Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten 1 Differentiaalvergelijkingen Als we een functie y : t y(t) expliciet, in formulevorm, kennen, dan is het niet zo moeilijk hiervan de afgeleide
Nadere informatieSet 1 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20)
1 Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Set 1 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20) 2014-2015 1. (Het sleutelprobleem) In een denkbeeldige wedstrijd kunnen deelnemers auto s
Nadere informatieDe pariteitstestmatrix van de (6,4) Hamming-code over GF(5) is de volgende: [ H =
Oplossing examen TAI 11 juni 2008 Veel plezier :) Vraag 1 De pariteitstestmatrix van de (6,4) Hamming-code over GF(5) is de volgende: H = [ 1 0 1 2 3 ] 4 0 1 1 1 1 1 (a) Bepaal de bijhorende generatormatrix
Nadere informatieHoofdstuk 1. Getallen tellen. 1.1 Gehele getallen. 1.2 Recursieve definities. 1.3 Het induktieprincipe
Hoofdstuk 1 Getallen tellen 1.1 Gehele getallen 1.1.1 Inleiding 1.1.2 De optelling en de vermeningvuldiging 1.1.3 De ordening van de gehele getallen 1.1.4 Het axioma van de goede ordening 1.2 Recursieve
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops
Nadere informatieLineaire dv van orde 2 met constante coefficienten
Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Homogene vergelijkingen We bekijken eerst homogene vergelijkingen van orde twee met constante coefficienten, d.w.z. dv s van de vorm a 0 y + a 1 y + a
Nadere informatieH9 Exponentiële verbanden
H9 Exponentiële verbanden Havo 5 wiskunde A Getal & Ruimte deel 3 PTA 1 Oefenmateriaal examens 2 Voorkennis Rekenen met procenten Formule van procentuele verandering Vermenigvuldigingsfactor Procent op
Nadere informatieCombinatoriek en rekenregels
Combinatoriek en rekenregels Les 3: Het vaasmodel (deze les sluit aan bij de paragrafen 5, 6 en 7 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)
Nadere informatieRekenen aan wortels Werkblad =
Rekenen aan wortels Werkblad 546121 = Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk zijn hoe de antwoorden
Nadere informatie3.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
3.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. y = -4x + 8 kan herschreven worden als y + 4x = 8 Dit is een lineaire vergelijking met twee variabelen. Als je
Nadere informatielogaritmen WISNET-HBO update jan Zorg dat je het lijstje met rekenregels hebt klaarliggen als je met deze training begint.
Training Vergelijkingen met logaritmen WISNET-HBO update jan. 0 Inleiding Voor deze training heb je nodig: de rekenregels van machten de rekenregels van de logaritmen Zorg dat je het lijstje met rekenregels
Nadere informatieOverzicht Discrete modellen 1/5
Overzicht Discrete modellen 1/5 Bij het onderwerp Discrete Modellen worden rijen bestudeerd. Een rij is een reeks getallen (termen genoemd) waarvan de volgorde kan worden vastgelegd door ze te nummeren.
Nadere informatieHet oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen
Nadere informatieV Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R. IV.0 Inleiding
V Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R IV.0 Inleiding V. Homogene kwadratische vormen Een vorm als H (, ) = 5 4 + 8 heet een homogene kwadratische vorm naar de twee variabelen en. Een vorm als K (,
Nadere informatieUitwerkingen toets 12 juni 2010
Uitwerkingen toets 12 juni 2010 Opgave 1. Bekijk rijen a 1, a 2, a 3,... van positieve gehele getallen. Bepaal de kleinst mogelijke waarde van a 2010 als gegeven is: (i) a n < a n+1 voor alle n 1, (ii)
Nadere informatieWerkboekje
Staartdeling Werkboekje www.roykenen.nl Inhoud Uitleg Staartdeling... 2 Opgave 1... 2 Opgave 2... 5 Deler is groter dan eerste cijfer deeltal... Opgave 3... Opgave... 8 Staartdeling met een rest... 9 Opgave
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra B
Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een
Nadere informatieopgaven formele structuren deterministische eindige automaten
opgaven formele structuren deterministische eindige automaten Opgave. De taal L over het alfabet {a, b} bestaat uit alle strings die beginnen met aa en eindigen met ab. Geef een reguliere expressie voor
Nadere informatie1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen
1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen 1.1 Algemene begrippen Een (gewone) differentiaalvergelijking heeft naast de onafhankelijke veranderlijke (bijvoorbeeld genoteerd als x), eveneens een onbekende functie
Nadere informatieOefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.
4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen
Nadere informatieVoorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus. Rekenregels voor vereenvoudigen ( ) = = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) = = ( )
Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in één van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk hem dan uit tot
Nadere informatieCombinatoriek en rekenregels
Combinatoriek en rekenregels Les 3: Het vaasmodel (deze les sluit aan bij de paragrafen 5, 6 en 7 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)
Nadere informatieComplexe e-macht en complexe polynomen
Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten
Nadere informatie11.3. Inhomogene randwaardeproblemen. We beschouwen eerst inhomogene Sturm- Liouville randwaardeproblemen van de vorm :
11.3. Inhomogene randwaardeproblemen. We beschouwen eerst inhomogene Sturm- Liouville randwaardeproblemen van de vorm : L[y] := [p(x)y ] + q(x)y = µr(x)y + f(x), < x < 1 (1) a 1 y() + a 2 y () =, b 1 y(1)
Nadere informatiePolynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2
Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van
Nadere informatieOplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave.
Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Opgave 6 Lesbrief, opgave 4.5 De getallen m en n zijn verschillende positieve gehele getallen zo, dat de laatste drie cijfers van 1978 m en 1978 n overeenstemmen.
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar
Nadere informatiedan verdwijnt een deel van het rijm, maar ook de raadselachtigheid van de tekst.
Uitwerking puzzel 94-4 Raad eens hoe we dat tellen moeten. Wobien Doyer Lieke de Rooij We begonnen met een oud rijmpje, dat een raadsel bevat: De boeren van het Kennemerland hebben tien vingers aan iedere
Nadere informatie