Discrete Wiskunde, College 5. Han Hoogeveen, Utrecht University

Transcriptie

1 Discrete Wiskunde, College 5 Han Hoogeveen, Utrecht University

2 Voorwaarde gebruik gewone genererende functie Algemene vorm genererende functie voor object q + 1: G q+1 (x) = a h x h h=0 Wanneer je nu wilt bewijzen dat je het product van de afzonderlijke genererende functies mag nemen, dan moet je bewijzen dat f (q + 1, k) = k a h f (q, k h), h=0 waarbij f (q, k) het aantal mogelijkheden is voor typen 1,..., q voor parameter k (dus f (q, k) is de coëfficiënt van x k in de gezamenlijke genererende functie voor typen 1,..., q). Alleen indien deze voorwaarde geldt mag je het product nemen van de afzonderlijke genererende functies.

3 Voorwaarde gebruik exponentieel genererende functie Algemene vorm exponentieel genererende functie voor type q + 1: x h G q+1 (x) = g h h! h=0 Wanneer je nu wilt bewijzen dat je het product van de afzonderlijke exponentieel genererende functies mag nemen, dan moet je bewijzen dat ( ) k k f (q + 1, k) = g h f (q, k h), h h=0 waarbij f (q, k) het aantal mogelijkheden is voor typen 1,..., q en parameter k (dus f (q, k) is de coëfficiënt van x k /k! in de gezamenlijke exponentieel genererende functie voor typen 1,..., q). Alleen als dit geldt mag je het product nemen van de afzonderlijke exponentieel genererende functies.

4 Herkenbare ballen in herkenbare, niet-lege dozen Bepaal het aantal mogelijkheden om n herkenbare ballen te verdelen over p herkenbare dozen, waarbij geen enkele doos leeg mag zijn. Dit komt overeen met n voorwerpen met p typen. Geldt hiervoor ( ) n n f (p + 1, n) = g g f (p, n g)? g g=0 Hierbij geldt g g is het aantal mogelijkheden voor die ene doos. Wat is de exponentieel genererende functie per doos?

5 Stirling getal tweede soort Er geldt g 0 = 0 (doos mag niet leeg zijn), g n = 1 voor alle n 1. Dus G j (x) = x + x 2 2! + x 3 3! +... = ex 1 j = 1,..., p Toepassen kloon van Stelling 5.5. levert ( ) p p G 1:p (x) = (e x 1) p = ( 1) l e x(p l) (Binomium). l Uitwerken e-macht: e x x n = n! n=0 l=0 e x(p l) = (p l) n x n n!. n=0 Invullen in G 1:p (x) en coëfficiënt van x n n! bepalen levert ( ) p p ( 1) l (p l) n = p!s(n, p) l l=0

6 H6: Recurrente betrekkingen Definieer a n als het aantal mogelijkheden in geval van een parameter n (net als bij de genererende functies); er geldt dat n geheeltallig en niet-negatief. Stel dat de volgende recurrente betrekking geldt: a n = c 1 a n 1 + c 2 a n c k a n k + f (n), waarbij c 1,..., c k gegeven constanten zijn en f (n) een functie die alleen van n afhangt; f (n) wordt de dwangterm genoemd. De recurrente betrekking ligt pas vast wanneer de beginwaarden a 0,..., a k 1 zijn gegeven. Doel: vind een gesloten uitdrukking voor a n. Zie ook het hoofdstuk uit een oud dictaat op de website!

7 Voorbeeld: torens van Hanoi Er zijn drie grote staken, A, B, en C. Rond staak A zitten n ringen, die alle verschillen in grootte. Ze zitten in volgorde van grootte; grootste onder. De pinnen moeten worden verplaatst van A naar B, waarbij de volgende regels gelden: Je mag maar één ring per keer verplaatsen; deze moet om een staak worden geplaatst. Nooit mag een grotere ring op een kleinere worden geplaatst. Definieer a n als het aantal verplaatsingen dat nodig is. Bepaal een recurrente betrekking voor a n. Hint: kijk wat er aan de hand is voor lage waarden van n (think small).

8 Voorbeeld: Botsende robots Situatie: n robots lopen een steeg in die doodloopt op een solide muur die loodrecht staat op de looprichting. De robots lopen in een keurige rij met gelijke snelheid achter elkaar aan. Wanneer een robot botst, dan beweegt hij daarna de andere kant uit. Na verloop van tijd zijn alle robots uit de steeg gekomen. Definieer a n als het aantal botsingen dat heeft plaatsgevonden (zowel met de muur als onderling). Bepaal een recurrente betrekking voor a n.

9 Voorbeeld: konijnen van Fibonacci In periode 0 begint het met 1 paar jonge konijnen. Jonge konijnen worden na 1 periode volwassen. Ieder paar volwassen konijnen krijgt 1 paar nakomelingen per maand. Konijnen hebben het eeuwige leven. Definieer a n als het aantal paren konijnen in periode n. Bepaal een recurrente betrekking voor a n.

10 Oplossen recurrente betrekkingen: eerst f (n) = 0 Geen dwangterm (f (n) = 0); dit wordt de homogene recurrente betrekking genoemd. Algemene vorm: a n = c 1 a n c k a n k ; neem aan dat er beginwaarden a 0,..., a k 1 bekend zijn. Definieer H(a n ) = a n c 1 a n 1... c k a n k ; je zoekt dus een reeks a n waarvoor geldt H(a n ) = 0. Stelling. H(a n ) is een lineaire operator, dus H(a n + b n ) = H(a n ) + H(b n ); H(λa n ) = λh(a n ) waarbij λ een scalair is.

11 Oplossen homogene recurrente betrekking (1) Claim: Een oplossing van H(a n ) = 0 heeft de vorm a n = x n ; bewijs met behulp van genererende functies (volgt later). Wil H(a n ) = 0, dan moet gelden: x n c 1 x n 1... c k x n k = 0. Delen door x n k leidt tot de vergelijking x k c 1 x k 1... c k = 0. De bovenstaande vergelijking heet de karakteristieke vergelijking. Stelling. Stel dat x 0 een nulpunt van de karakteristieke vergelijking is met multipliciteit µ. Dan geldt H(a n ) = 0 voor a n = x n 0, a n = nx n 0,..., a n = n µ 1 x n 0.

12 Oplossen homogene recurrente betrekking (2) Los de karakteristieke vergelijking op. Stel dat x 0,..., x d de nulpunten zijn met multipiciteit µ 0,..., µ d. Dan geldt dat de oplossing gelijk is aan a n = λ 00 x n λ 0,µ0 1n µ 0 1 x n λ d0 x n d λ d,µd 1n µ d 1 x n d ; De waarden λ 00,..., λ d,µd 1 kunnen worden gevonden op basis van de gegeven beginwaarden a 0,..., a k 1.

13 Oplossen algemene recurrente betrekking (1) Er geldt dus a n = c 1 a n 1 + c 2 a n c k a n k + f (n); neem aan dat a 0,..., a k 1 bekend zijn (dus je kunt a n uitrekenen voor iedere waarde van n). Definieer weer H(a n ) = a n c 1 a n 1... c k a n k ; zonder dwangterm! Oplosmethode: 1 los de homogene recurrente betrekking op (dus met f (n) = 0); dit levert b n op met H(b n ) = 0. Bepaal nog niet λ 00,..., λ d,µd 1. 2 bepaal één particuliere oplossing p n met H(p n ) = f (n) (maakt niet uit welke p(n)). 3 nu geldt a n = b n + p n, waarna je de correcte waarden van de parameters λ 00,..., λ d,µd 1 kunt vinden op basis van de gegeven beginwaarden a 0,..., a k 1.

14 Bepaling particuliere oplossing p(n) Uit de theorie van de genererende functies volgt dat p n er hetzelfde uitziet als f (n): probeer p n op basis van f (n). Bijv. als f (n) = 3 2 n, probeer p n = 2 n. Stel dit geeft H(2 n ) = c2 n ; dan geldt dus H(3p n)/c) = 3 2 n (mits c 0). Als H(p n)) = 0, probeer dan n p n, net zolang tot het lukt. Als f (n) uit verschillende delen is opgebouwd, bijv. f (n) = 2 n + n, zoek dan eerst q n waarvoor geldt H(q n ) = 2 n en daarna r n waarvoor geldt H(r n ) = n; hieruit volgt dan dat H(q n + r n ) = f (n).