Discrete Wiskunde, College 12. Han Hoogeveen, Utrecht University

Transcriptie

1 Discrete Wiskunde, College 12 Han Hoogeveen, Utrecht University

2 Dynamische programmering Het basisidee is dat je het probleem stap voor stap oplost Het probleem moet voldoen aan het optimaliteitsprincipe van Bellman: een volledige oplossing kan alleen optimaal zijn indien iedere deeloplossing optimaal is. Je begint met het kleinst mogelijke probleem (1 piraat, bijv.) Wanneer je het probleem voor parameter j hebt opgelost, dan los je het daarna op voor parameter j + 1, waarbij je gebruik maakt van de oplossing voor parameter j (die sla je dus op). Houd alleen de informatie bij van oplossing j die je nodig hebt; dit doe je in een toestandsvariabele (bijv. de verdeling van de goudstukken). Een toestandsvariabele kun je afhankelijk maken van zoveel parameters als nodig is, bijv. f j of f j (t) of f j (t 1, t 2 ).

3 Voorbeeld: productieplanning Handelsfirma X levert iedere periode uit voorraad; beginvoorraad is Q. Vraag in periode t is D t ; D t is geheeltallig. In periode t kun je maximaal P t eenheden produceren; dit kost c t per eenheid. Deze productie kun je gebruiken om aan D t te voldoen. Je kunt een voorraad van maximaal M aanhouden: dit kost q per eenheid per periode. Probleem: vind het optimale productie plan voor T perioden. Is het optimaal om alleen geheeltallige productie hoeveelheden te bekijken? Uitbreiding: je kunt ook naleveren (maximaal B eenheden) tegen prijs x per eenheid per periode.

4 Volgorde van toevoegen items Bij het Knapzak probleem maakt de volgorde van toevoegen niet uit. Bij het fietstocht probleem (vorig college) wel. Algemeen: het is nodig om de items (perioden, stappen) in de goede volgorde te doorlopen indien 1 je anders cykels krijgt in je berekening; 2 je alleen op deze wijze efficiënt de essentiële informatie in een suboplossing kunt opslaan.

5 Voorbeeld: gewogen wachttijd minimaliseren Eén docent moet n studenten helpen. Op tijdstip t = 0 zijn alle studenten beschikbaar. Iedere student vertrekt zodra hij/zij geholpen is; de wachttijd is gelijk aan het tijdstip waarop hij/zij klaar is (notatie C j ). Het afhandelen van student j duurt p j tijd (j = 1,..., n). Niet alle studenten zijn even belangrijk: het gewicht van student j is w j (j = 1,..., n). Het doel is het minimaliseren van n w j C j j=1 Uitbreiding: niet één maar twee docenten. Dit maakt het veel moeilijker.

6 Grafen: notatie en begrippen Een graaf G bestaat uit een verzameling punten V ; V = n. Tussen twee punten v en w met {v, w} V kan een kant {v, w} of een pijl (v, w) en/of (w, v) bestaan. Een kant is niet gericht; een pijlen is wel gericht; pijl (v, w) wijst van v naar w. E is de verzameling kanten; A is de verzameling pijlen. Meestal wordt m gebruikt voor het aantal kanten of pijlen (over het algemeen zijn er niet zowel kanten als pijlen). Een pad van v naar w bestaat een verzameling opeenvolgende pijlen/kanten beginnend in v en eindigend in w. Notatie (v, v 0, v 1,..., v k, w); dit pad bestaat uit de pijlen/kanten (hier notatie met pijlen): (v, v 0 ), (v 0, v 1 ),..., (v k, w). Als v = w, dan is het bovenstaande pad een cykel. Een graaf heet samenhangend indien G een pad bevat tussen ieder tweetal punten. Een graaf heet acyclisch als G geen cykel bevat.

7 Minimale opspannende boom Gegeven is een graaf G met punten verzameling V en kanten verzameling E. Iedere kant e E heeft een positieve lengte c(e). Gezocht: een deelverzameling T van de verzameling van kanten E zodanig dat G(V, T ) samenhangend is. T wordt een opspannende boom (Spanning Tree) genoemd. Minimum Spanning Tree (Minimale Opspannende Boom) probleem: bepaal de opspannende boom van minimale lengte. Hoeveel kanten bevat T? Is T acyclisch?

8 Algoritme van Kruskal (1) Sorteer de kanten in E op volgorde van lengte; hernummer de kanten zodanig dat c(e 1 ) c(e 2 )... c(e m ) Bij twee of meer gelijke lengtes zet je deze kanten willekeurig op volgorde. Begin met T en k = 1 (T en k worden steeds aangepast). Indien k m, voer steeds het volgende uit: 1 Voeg e k toe aan T. 2 Controleer of T nu een cykel bevat. Zo ja, verwijder e k uit T. 3 Verhoog k met 1.

9 Algoritme van Kruskal (2) Stelling. Het algoritme van Kruskal vindt een opspannende boom van minimale lengte, en binnen deze verzameling van optimale opspannende bomen de boom waarvoor geldt dat de som van de indices minimaal is. Aanpak voor bewijs? Observatie (bewijs op werkcollege): Wanneer je een extra kant toevoegt aan een opspannende boom, dan krijg je een cykel. Wanneer je uit dit cykel een willekeurige kant weglaat, dan houd je weer een opspannende boom over.

10 Algoritme van Prim Kies een willekeurig punt v V als beginpunt; de deelboom begint hier. Definieer V als de punten die al in de deelboom zitten; V {v}. Definieer T als de kanten die al zijn gekozen; T. Indien V < n, voer steeds het volgende uit: 1 Bepaal de kortste kant {s, t} waarvoor geldt dat s V en t / V. 2 Voeg t toe aan V en voeg {s, t} toe aan T. Stelling. Het algoritme van Prim vindt ook een opspannende boom van minimale lengte (bewijs is opgave op werkcollege).