TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

Transcriptie

1 TU/e 2DD50: Wiskunde 2 () Tussentoets 26 november, tijdens de instructies Zaal: paviljoen (study hub) Time: 90min Tentamenstof: colleges 4 (LP; Simplex; dualiteit; complementaire slackness) Oude tentamens: Voor gedetailleerde informatie en college materiaal:

2 2DD50: Wiskunde 2 (2) Tussentoets Bij de tussentoets mag een eenvoudige (niet programmeerbare) rekenmachine meegenomen worden, en tweezijdig A4-tje met daarop handgeschreven aantekeningen die men nodig denkt te hebben bij het maken van de toets geen boeken, geen kopieën Als een antwoord twee verschillende oplossingen bevat dan krijg je nul punten. Als een langere berekening (zoals toepassen van de simplexmethode of het oplossen van een transportprobleem) een fout bevat, dan krijg je alleen punten voor het deel voorafgaand aan de fout.

3 Waar waren we ook al weer gebleven? Vorige keer Dualiteit Vandaag Transportproblemen Toewijzingsproblemen

4 Transportproblemen () Beschouw volgende situatie: m producenten, met aanbod s, s 2,..., s m van product n consumenten, met vraag d, d 2,..., d n naar product Transportkosten van producent i naar consument j bedragen c i,j (per eenheid product) Probleem Bepaal hoeveelheid product x i,j dat van producent i naar consument j moet worden getransporteerd zodanig dat:. Totale transportkosten minimaal zijn 2. Aanbod van iedere producent volledig wordt benut 3. Vraag van iedere consument volledig wordt vervuld Neem voor nu aan dat totale aanbod gelijk is aan totale vraag: S = m i= s i = n j= d j = D

5 Transportproblemen: eerste voorbeeld Vervoer van ijzererts van Noord Amerika naar Europa Aanbod Transportkosten Vraag Boston Amsterdam 20 New York Londen 80 Miami Lissabon 20 Probleem Hoeveelheid ijzererts moet tussen elk tweetal havens worden verscheept zodanig dat totale transportkosten worden geminimaliseerd?

6 Transportproblemen tweede voorbeeld Bank beschikt over twee afdelingen om overboekingen uit te voeren Afdeling kan hoogstens 9000 overboekingen uitvoeren Afdeling 2 kan hoogstens 6000 overboekingen uitvoeren Drie typen overboekingen Buitenlandse overboekingen Spoed overboekingen Zakelijke overboekingen overboekingen van elk type Kosten voor uitvoeren van overboekingen bedragen: afdeling afdeling 2 Buitenlands 5 cent 3 cent Spoed 4 cent 4 cent Zakelijk 2 cent 5 cent

7 Transportproblemen tweede voorbeeld (2) Probleem Hoeveel overboekingen van elk type moet door beide afdelingen worden uitgevoerd zodanig dat de totale verwerkingskosten worden geminimaliseerd? Aanbod Kosten Vraag Afdeling 9000 Afdeling Buitenlandse overboekingen Spoed overboekingen Zakelijke overboekingen

8 Transportproblemen tweede voorbeeld (3) LP formulering: x ij : aantal overboekingen van type j (j =, 2, 3) dat wordt uitgevoerd door afdeling i (i =, 2) minimaliseer 5x + 4x 2 + 2x 3 + 3x 2 + 4x x 23 onder voorwaarden x + x 2 + x 3 = 9000 aanbod x 2 + x 22 + x 23 = 6000 aanbod x + x 2 = vraag x 2 + x 22 = vraag x 3 + x 23 = vraag x ij 0 i =, 2 j =, 2, 3

9 Transportproblemen tweede voorbeeld (4) Stel nu dat afdeling meer overboekingen kan uitvoeren, namelijk 0000 in plaats van 9000 Totale aanbod stijgt van naar 6000, maar vraag blijft We moeten probleem weer in balans brengen Introduceer nieuw type overboekingen: dummy (nep) overboekingen 000 dummy overboekingen om probleem weer in balans te brengen Verwerkingskosten van dummy overboekingen zijn 0 in beide afdelingen

10 Transportproblemen tweede voorbeeld (5) Na introduceren van dummy overboekingen verkrijgen we: minimaliseer 5x + 4x 2 + 2x 3 + 3x 2 + 4x x 23 onder voorwaarden x + x 2 + x 3 = 0000 aanbod x 2 + x 22 + x 23 = 6000 aanbod x + x 2 = vraag x 2 + x 22 = vraag x 3 + x 23 = vraag x 4 + x 24 = 000 dummy vraag x ij 0 i =, 2 j =, 2, 3, 4

11 Algemene LP formulering minimaliseer onder voorwaarden m n i= j= c ijx ij n j= x ij = s i m i= x ij = d j x ij 0 i =... m (aanbod) j =... n (vraag) i =... m, j =... n

12 Transportprobleem is gebalanceerd indien: S = m s i = i= n d j = D j= Hoe kunnen we willekeurig transportprobleem gebalanceerd maken? Als totale aanbod totale vraag overstijgt (S > D), voeg dan dummy consument n + toe met vraag d n+ = S D transportkosten c i,n+ = 0 voor alle producenten i Als totale vraag totale aanbod overtreft (S < D), voeg dan dummy producent m + toe met aanbod s m+ = D S transportkosten c m+,j = 0 voor alle consumenten j

13 Aanbod Boston 00 Transport 00 Vraag Amsterdam 20 New York Londen 80 Miami Lissabon 20 Cruciale observatie Als x, x 2,..., x mn optimale oplossing is (en andere variabelen nul zijn), dan vormen overeenkomstige lijnen in figuur forest (verzameling van bomen), dat wil zeggen, deze bevatten géén cycle Waarom Anders kan oplossing worden verbeterd door in cycle waarden van x i,j afwisselend te vergroten/verkleinen

14 Terug naar voorbeeld van bank Mogelijke toewijzing: Aanbod Afdeling 9000 Afdeling Transport Vraag Buitenlandse overboekingen Spoed overboekingen Zakelijke overboekingen Totale verwerkingskosten bedragen Maar deze toewijzing bevat een cycle!

15 Betere toewijzing is: x = 3000 a (c = 5) x 2 = a (c 2 = 4) x 3 = 3000 x 2 = a (c 2 = 3) x 22 = 2000 a (c 22 = 4) x 23 = 2000 We kunnen a maximaal 2000 maken Dan worden de totale verwerkingskosten 53000

16 Aanbod Afdeling 9000 Afdeling Transport 3000-a 3000+a a 2000-a 2000 Vraag Buitenlandse overboekingen Spoed overboekingen Zakelijke overboekingen Afwisselend verhogen en verlagen van het transport over de cycle

17 Aanbod Afdeling 9000 Afdeling Transport Vraag Buitenlandse overboekingen Spoed overboekingen Zakelijke overboekingen We krijgen nu deze toewijzing

18 Aanbod Afdeling 9000 Afdeling Transport Vraag Buitenlandse overboekingen Spoed overboekingen Zakelijke overboekingen De toewijzing bevat nog steeds een cycle!

19 Aanbod Transport Vraag Afdeling 9000 Afdeling a 4000+a 000-a 2000-a Buitenlandse overboekingen Spoed overboekingen Zakelijke overboekingen We kunnen weer afwisselend verhogen en verlagen over de cycle

20 Aanbod Transport Vraag Afdeling 9000 Afdeling Buitenlandse overboekingen Spoed overboekingen Zakelijke overboekingen We krijgen nu deze toewijzing

21 Aanbod Transport Vraag Afdeling 9000 Afdeling Buitenlandse overboekingen Spoed overboekingen Zakelijke overboekingen Deze toewijzing bevat geen cycle meer! Maar is hij optimaal?

22 Een basis bestaat uit m + n variabelen zodanig dat overeenkomstige lijnen in figuur géén cycle bevatten Variabelen in basis worden basis variabelen genoemd Alle andere variabelen worden niet-basis variabelen genoemd In een toegelaten basis oplossing zijn de niet-basis variabelen allemaal 0 Als er basis variabelen nul zijn dan wordt de oplossing gedegenereerd genoemd Oplossingsalgoritme: Vindt toegelaten basis oplossing Gaat van toegelaten basis oplossing naar volgende toegelaten basis oplossing totdat een optimale oplossing is gevonden.

23 Het is handig om met transport tableau te werken in plaats van grafische representatie C C2 C 3 X X 2 X3 C2 C 22 C23 X2 X22 X23 C3 C32 C33 X3 X32 X 33 supply S S 2 S 3 demand D D 2 D3

24 Vinden van toegelaten basis oplossing Algemene procedure om toegelaten basis oplossing te vinden Herhaal volgende stappen: Kies variabele x ij uit overgebleven rijen en kolommen Noord-West hoek regel Minimale-kosten regel Maak x ij zo groot mogelijk x ij heeft dan resterend aanbod or resterende vraag in zijn rij en kolom uitgeput Elimineer betreffende rij of kolom (maar niet beide in geval x ij zowel resterend aanbod in rij als resterende vraag in kolom tegelijkertijd heeft uitgeput) Als nog slechts één rij of één kolom overblijft kunnen we de overgebleven getallen gemakkelijk invullen.

25 Noord-West hoek regel Herhaal volgende stappen:. Neem cell in Noord-West hoek (linksboven) van overgebleven rijen en kolommen 2. Maak overeenkomstige variabele zo groot mogelijk 3. Als variabele resterend aanbod in rij of column heeft uitgeput, elimineer dan deze rij of column (maar niet beide) Als nog slechts één rij of één kolom overblijft kunnen we de overgebleven getallen gemakkelijk invullen

26 Minimale-kosten regel Herhaal volgende stappen:. Neem cell met minimale kosten van overgebleven rijen en kolommen 2. Maak overeenkomstige variabele zo groot mogelijk 3. Als variabele resterend aanbod in rij of column heeft uitgeput, elimineer dan deze rij of column (maar niet beide) Als nog slechts één rij of één kolom overblijft kunnen we de overgebleven getallen gemakkelijk invullen

27 Wanneer is optimale oplossing gevonden? Bereken getallen u, u 2,..., u m en v, v 2,..., v n zodanig dat: c ij = u i + v j voor elke basis variabele x ij

28 Wanneer is optimale oplossing gevonden? Bereken getallen u, u 2,..., u m en v, v 2,..., v n zodanig dat: c ij = u i + v j voor elke basis variabele x ij Neem rij of kolom l die grootste aantal basis-variabelen bevat Als dat een rij is, kies dan u l = 0; als het een kolom is, kies dan v l = 0 Bepaal resterende u i s en v j s supply u i demand v j 5 4 5

29 Stelling Als voor elke variabele x ij geldt c ij u i + v j dan is oplossing optimaal Voor elke basis variabele x ij geldt c ij u i v j = 0 Als er variabele x ij is waarvoor c ij u i v j < 0, dan kan oplossing worden verbeterd Getallen u i, v j zijn te interpreteren als duale variabelen

30 Stap om van toegelaten basis oplossing naar volgende toegelaten basis oplossing te gaan voeg variabele toe aan basis verwijder variabele uit basis zodanig dat nieuwe oplossing niet slechter is dan oude oplossing Aantal basis variabelen blijft m + n

31 Keten reacties Reeks van minstens vier cellen wordt keten reactie genoemd indien:. elk paar opeenvolgende cellen behoort tot zelfde rij of kolom 2. geen enkel drietal opeenvolgende cellen behoort tot dezelfde rij of kolom 3. laatste cel komt overeen met eerste cel In grafische representatie, correspondeert keten reactie met cycle In schaakspel, rondreis van toren die afwisselend rijen en kolommen volgt

32 Voorbeeld keten reactie

33 Algemeen algoritme Bereken u,..., u m en v,..., v n Als cij u i v j 0 voor alle i en j, dan is oplossing optimaal Neem anders xij zodanig dat c ij u i v j < 0: dit wordt de nieuwe basis variabele

34 Algemeen algoritme Bereken u,..., u m en v,..., v n Als cij u i v j 0 voor alle i en j, dan is oplossing optimaal Neem anders xij zodanig dat c ij u i v j < 0: dit wordt de nieuwe basis variabele Vind keten reactie voor nieuwe basis variabele Label cellen in keten reactie afwisselend met + en ; Nieuwe basis variabele moet label + krijgen

35 Algemeen algoritme Bereken u,..., u m en v,..., v n Als cij u i v j 0 voor alle i en j, dan is oplossing optimaal Neem anders xij zodanig dat c ij u i v j < 0: dit wordt de nieuwe basis variabele Vind keten reactie voor nieuwe basis variabele Label cellen in keten reactie afwisselend met + en ; Nieuwe basis variabele moet label + krijgen Bepaal minimum van x ij over alle cellen in keten reactie met label : noteer dat met θ Voor elke variabele x ij in cell, neem x ij := x ij θ Voor elke variabele x ij in + cell, neem x ij := x ij + θ

36 Algemeen algoritme Bereken u,..., u m en v,..., v n Als cij u i v j 0 voor alle i en j, dan is oplossing optimaal Neem anders xij zodanig dat c ij u i v j < 0: dit wordt de nieuwe basis variabele Vind keten reactie voor nieuwe basis variabele Label cellen in keten reactie afwisselend met + en ; Nieuwe basis variabele moet label + krijgen Bepaal minimum van x ij over alle cellen in keten reactie met label : noteer dat met θ Voor elke variabele x ij in cell, neem x ij := x ij θ Voor elke variabele x ij in + cell, neem x ij := x ij + θ Verwijder één van variabelen die nul zijn geworden uit de basis

37 Algemeen algoritme Bereken u,..., u m en v,..., v n Als cij u i v j 0 voor alle i en j, dan is oplossing optimaal Neem anders xij zodanig dat c ij u i v j < 0: dit wordt de nieuwe basis variabele Vind keten reactie voor nieuwe basis variabele Label cellen in keten reactie afwisselend met + en ; Nieuwe basis variabele moet label + krijgen Bepaal minimum van x ij over alle cellen in keten reactie met label : noteer dat met θ Voor elke variabele x ij in cell, neem x ij := x ij θ Voor elke variabele x ij in + cell, neem x ij := x ij + θ Verwijder één van variabelen die nul zijn geworden uit de basis Totale kosten gereduceerd met (c ij u i v j )θ

38 Label cellen in keten reactie afwisselend met + en De cellen met + worden verhoogd en de cellen met verlaagd

39 Voorbeeld supply u i demand v j Basis variabelen zijn: x, x 2, x 22, x 23 Totale kosten bedragen Voor x 3 krijgen we c 3 u v 3 = = 3

40 Voorbeeld supply u i demand v j Basis variabelen zijn: x, x 2, x 22, x 23 Totale kosten bedragen Voor x 3 krijgen we c 3 u v 3 = = 3 Voor x 2 krijgen we c 2 u 2 v = = 2

41 Voorbeeld supply u i demand v j Basis variabelen zijn: x, x 2, x 22, x 23 Totale kosten bedragen Voor x 3 krijgen we c 3 u v 3 = = 3 Voor x 2 krijgen we c 2 u 2 v = = 2 De oplossing is niet optimaal We kiezen x 3 als nieuwe basis variabele

42 demand v j supply u i Keten reactie: x 3 x 23 x 22 x 2 x 3 θ = min{4000, } = 4000

43 demand v j supply u i Keten reactie: x 3 x 23 x 22 x 2 x 3 θ = min{4000, } =

44 Nieuwe basis variabelen: x, x 3, x 22, x 23 Totale kosten bedragen Nog niet optimaal Na enkele verdere stappen wordt optimale oplossing gevonden met totale kosten 4

45 Stelling Als waarden van elk aanbod s i en elke vraag d j geheeltallig zijn, dan heeft transportprobleem optimale oplossing die geheeltallig is.

46 Samenvatting transportproblemen Vindt toegelaten basisoplossing met Noord-Westhoek regel of Minimale-kosten regel

47 Samenvatting transportproblemen Vindt toegelaten basisoplossing met Noord-Westhoek regel of Minimale-kosten regel Bepaal u i en v j zodanig dat c ij = u i + v j voor alle basisvariabelen

48 Samenvatting transportproblemen Vindt toegelaten basisoplossing met Noord-Westhoek regel of Minimale-kosten regel Bepaal u i en v j zodanig dat c ij = u i + v j voor alle basisvariabelen Als c ij u i v j < 0 voor een (niet-basis) variabele x ij dan kunnen we die variabele de basis inbrengen door een keten reactie

49 Samenvatting transportproblemen Vindt toegelaten basisoplossing met Noord-Westhoek regel of Minimale-kosten regel Bepaal u i en v j zodanig dat c ij = u i + v j voor alle basisvariabelen Als c ij u i v j < 0 voor een (niet-basis) variabele x ij dan kunnen we die variabele de basis inbrengen door een keten reactie Als c ij u i v j 0 voor alle (niet-basis) variabelen dan is de oplossing optimaal

50 Toewijzingsprobleem () Beschouw volgende situatie: n medewerkers n taken kosten c ij om medewerker i taak j te laten uitvoeren Schilderen Wassen Behangen Jan Karin Ben Probleem Hoe moeten taken aan medewerkers worden toegewezen zodanig dat totale kosten worden geminimaliseerd?

51 Toewijzingsprobleem (2) Merk op: toewijzingsprobleem is speciaal geval van transportprobleem, met aanbod (van elke medewerker/producent) vraag (van elke taak/consument) evenveel producenten/medewerkers als consumenten/taken

52 Toewijzingsprobleem (3)

53 Toewijzingsprobleem (3) Minimale-kosten regel geeft start oplossing:

54 Toewijzingsprobleem (4) v u 0 6

55 Toewijzingsprobleem (4) v u 0 6 We vinden keten reactie: u v 5 0 9

56 Toewijzingsprobleem (5) u 0 2 v 0 9 Optimale toewijzing is: Jan Wassen Karin Schilderen Ben Behangen