TU/e 2DD50: Wiskunde 2
|
|
|
- Robert van Dam
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Tussentoets: 26 november, tijdens de instructies Tentamenstof: LP; Simplex; dualiteit (= colleges 1 4) Bij de tussentoets mag een eenvoudige (niet programmeerbare) rekenmachine meegenomen worden, en 1 tweezijdig A4-tje met daarop handgeschreven aantekeningen die men nodig denkt te hebben bij het maken van de toets geen boeken, geen kopieën November 19 and 26: Hoorcollege alleen in AUD 1 Voor gedetailleerde informatie en college materiaal:
2 Waar waren we ook al weer gebleven? Vorige keer Twee methoden om optimale oplossing te vinden voor willekeurige LP problemen 2-Fasen methode Big-M methode Voorbeelden van LP problemen die onbegrensd zijn, die geen toegelaten oplossingen hebben, en die meerdere optimale oplossingen hebben Vandaag Bepalen van bovengrenzen voor LP problemen via zwakke dualiteit Opstellen van duaal probleem voor willekeurige LP problemen
3 Ondergrens voor optimale waarde LP probleem Beschouw LP probleem: maximaliseer Z = 120x 1 +80x 2 onder voorwaarden x 1 40 x x 1 +10x x 1, x 2 0 Merk op: x 1 = 20, x 2 = 10 is toegelaten oplossing, dus ondergrens voor optimale waarde is = 3200.
4 Bovengrens voor optimale waarde LP probleem maximaliseer Z = 120x 1 +80x 2 onder voorwaarden x 1 40 x x 1 +10x x 1, x 2 0 Bovengrens is bijvoorbeeld 5600, omdat 120x x = Dus optimale waarde is hoogstens 5600.
5 Betere bovengrens maximaliseer Z = 120x 1 +80x 2 onder voorwaarden x 1 40 x x 1 +10x x 1, x 2 0 Betere bovengrens voor optimale waarde van dit LP probleem is 3200: 120x 1 +80x 2 = 20x 2 +6(20x 1 +10x 2 ) = In combinatie met eerdere ondergrens, concluderen we dat 3200 Z 3200 Z = 3200.
6 Hoe vinden we bovengrenzen? Stel we nemen y 1, y 2, y 3 zodat dan y 1 +20y y 2 +10y 3 80 y 1, y 2, y x x 2 (y y 3 )x 1 + (y y 3 )x 2 = y 1 x 1 + y 2 x 2 + y 3 (20x x 2 ) 40y y y 3. Dus voor elke toegelaten oplossing x 1, x 2 en elke toegelaten oplossing y 1, y 2, y 3 geldt: 120x x 2 40y y y 3.
7 Wat is scherpste (kleinst mogelijke) bovengrens? We nemen 40y y y 3 zo klein mogelijk, terwijl nog steeds wordt voldaan aan restricties: minimaliseer W = 40y 1 +10y y 3 onder voorwaarden y 1 +20y y 2 +10y 3 80 y 1, y 2, y 3 0 Als W optimale waarde van bovenstaande LP probleem is, dan geldt: Z W.
8 Bovengrenzen via dualiteit (1) Beschouw LP probleem maximaliseer Z = 120x 1 +80x 2 onder voorwaarden x 1 40 x x 1 +10x x 1, x 2 0 Beschouw verder LP probleem minimaliseer W = 40y 1 +10y y 3 onder voorwaarden y 1 +20y y 2 +10y 3 80 y 1, y 2, y 3 0 Voor optimale waarden Z en W van deze twee problemen geldt: Z W.
9 Bovengrenzen via dualiteit (2) Namelijk y y 3 120, y y 3 80 en x 1 40, x 2 10, 20x x impliceert 120x x 2 (y y 3 )x 1 + (y y 3 )x 2 = y 1 x 1 + y 2 x 2 + y 3 (20x x 2 ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + (20x x 2 )y 3 40y y y 3
10 Duale LP probleem (1) Laten we nu het algemene principe bekijken. LP probleem maximaliseer onder voorwaarden Z = n j=1 c jx j n j=1 a ijx j b i, i = 1,..., m x j 0 heeft duaal LP probleem minimaliseer onder voorwaarden W = m i=1 b iy i m i=1 a ijy i c j, j = 1,..., n y i 0 Oorspronkelijke LP probleem wordt ook wel primale LP probleem genoemd.
11 Duale LP probleem (2) We kunnen ook matrix notatie gebruiken. LP probleem maximaliseer Z = c T x onder voorwaarden Ax b x 0 heeft duaal LP probleem minimaliseer W = b T y onder voorwaarden A T y c y 0 Oorspronkelijke LP probleem wordt ook wel primale LP probleem genoemd.
12 Duale LP probleem (3) Om duale probleem op te stellen, moeten we primale LP probleem verticaal lezen : coëfficiënten in kolommen (per variabele) van primale probleem worden coëfficiënten in rijen (per restrictie) in duale probleem. Variabelen in duale probleem corresponderen met restricties in primale probleem. Primale kostencoëfficiënten rechterzijde constanten i-de functionele restrictie variabele x j Duale rechterzijde constanten kostencoëfficiënten variabele y i j-de functionele restrictie
13 Voorbeeld (1) Beschouw (primale) LP probleem: maximaliseer Z = 3x 1 +5x 2 onder voorwaarden x 1 4 2x x 1 +2x 2 18 x 1, x 2 0 Doelstelling in duale probleem is minimaliseren. Primale LP probleem heeft 3 functionele restricties Duale probleem heeft 3 beslissingsvariabelen Primale probleem heeft 2 beslissingsvariabelen Duale probleem heeft 2 functionele restricties
14 Voorbeeld (2) Doelstelling in duale probleem is minimaliseren. Primale LP probleem heeft 3 functionele restricties Duale probleem heeft 3 beslissingsvariabelen Primale probleem heeft 2 beslissingsvariabelen Duale probleem heeft 2 functionele restricties Duale probleem is: minimaliseer W = 4y 1 +12y 2 +18y 3 onder voorwaarden y 1 +3y 3 3 2y 2 +2y 3 5 y 1, y 2, y 3 0
15 Zwakke dualiteitsstelling eenvoudige LP problemen (1) Zwakke dualiteitsstelling Voor elke toegelaten oplossing x 1,..., x n van primale LP probleem en elke toegelaten oplossing y 1,..., y m van duale probleem geldt: c 1 x c n x n b 1 y b m y m Bewijs m a ij y i c j en i=1 impliceert n a ij x j b i j=1 n c j x j j=1 = n m [ a ij y i ]x j j=1 i=1 m n [ a ij x j ]y i i=1 j=1 m b i y i i=1
16 Zwakke dualiteitsstelling eenvoudige LP problemen (2) Zwakke dualiteitsstelling Voor elke toegelaten oplossing x 1,..., x n van primale LP probleem en elke toegelaten oplossing y 1,..., y m van duale probleem geldt: c 1 x c n x n b 1 y b m y m Consequenties Als primale probleem onbegrensd is, dan heeft duale probleem geen toegelaten oplossingen. Als duale probleem onbegrensd is, dan heeft primale probleem geen toegelaten oplossingen.
17 Voorbeeld Beschouw (primale) LP probleem: maximaliseer Z = x 1 +x 2 onder voorwaarden x 1 +2x 2 1 x 2 1 x 1, x 2 0 Dit probleem is onbegrensd: x 1 kan willekeurig groot zijn. Duale probleem is: minimaliseer W = y 1 +y 2 onder voorwaarden y 1 1 2y 1 +y 2 1 y 1, y 2 0 Dit probleem heeft geen toegelaten oplossingen: tegenstrijdige voorwaarden voor y 1.
18 Duale van willekeurige LP problemen (1) Niet-positiviteitsrestricties Wat is duale probleem van volgende LP probleem? maximaliseer Z = 5x 1 +6x 2 onder voorwaarden x 1 +x 2 3 2x 1 4x 2 5 x 1, x 2 0 let op! Substitutie van x 1 = x 1 en x 2 = x 2 geeft: maximaliseer Z = 5x 1 6x 2 onder voorwaarden x 1 x 2 3 2x 1 +4x 2 5 x 1, x 2 0
19 Duale van willekeurige LP problemen (2) maximaliseer Z = 5x 1 6x 2 onder voorwaarden x 1 x 2 3 2x 1 +4x 2 5 x 1, x 2 0 Het duale van bovenstaande probleem is: minimaliseer W = 3y 1 +5y 2 onder voorwaarden y 1 2y 2 5 y 1 +4y 2 6 y 1, y 2 0
20 Duale van willekeurige LP problemen (3) minimaliseer W = 3y 1 +5y 2 onder voorwaarden y 1 2y 2 5 y 1 +4y 2 6 y 1, y 2 0 We kunnen dit herschrijven als: minimaliseer W = 3y 1 +5y 2 onder voorwaarden y 1 +2y 2 5 y 1 4y 2 6 y 1, y 2 0
21 Duale van willekeurige LP problemen (4) Dus primale LP probleem maximaliseer Z = 5x 1 +6x 2 onder voorwaarden x 1 +x 2 3 2x 1 4x 2 5 x 1, x 2 0 heeft als duale probleem: minimaliseer W = 3y 1 +5y 2 onder voorwaarden y 1 +2y 2 5 y 1 4y 2 6 y 1, y 2 0 Conclusie Als doelstelling maximaliseren is, dan geeft variabele x i 0 in duale probleem -functionele restrictie.
22 Duale van willekeurige LP problemen (5) Vrije variabelen Wat is duale probleem van volgende LP probleem? maximaliseer Z = 5x 1 +6x 2 onder voorwaarden x 1 +x 2 3 2x 1 4x 2 5 let op: vrije variabelen! Substitutie van x 1 = x 1 x 1 en x 2 = x 2 x 2 geeft maximaliseer Z = 5x 1 5x 1 +6x 2 6x 2 onder voorwaarden x 1 x 1 +x 2 x 2 3 2x 1 2x 1 4x 2 +4x 2 5 x 1, x 1, x 2, x 2 0
23 Duale van willekeurige LP problemen (6) maximaliseer Z = 5x 1 5x 1 +6x 2 6x 2 onder voorwaarden x 1 x 1 +x 2 x 2 3 2x 1 2x 1 4x 2 +4x 2 5 x 1, x 1, x 2, x 2 0 Het duale van bovenstaande probleem is: minimaliseer W = 3y 1 +5y 2 onder voorwaarden y 1 +2y 2 5 y 1 2y 2 5 y 1 4y 2 6 y 1 +4y 2 6 y 1, y 2 0
24 Duale van willekeurige LP problemen (7) minimaliseer W = 3y 1 +5y 2 onder voorwaarden y 1 +2y 2 5 y 1 2y 2 5 y 1 4y 2 6 y 1 +4y 2 6 y 1, y 2 0 We kunnen dit herschrijven als: minimaliseer W = 3y 1 +5y 2 onder voorwaarden y 1 +2y 2 = 5 y 1 4y 2 = 6 y 1, y 2 0
25 Duale van willekeurige LP problemen (8) Dus primale LP probleem maximaliseer Z = 5x 1 +6x 2 onder voorwaarden x 1 +x 2 3 2x 1 4x 2 5 heeft als duale probleem: minimaliseer W = 3y 1 +5y 2 onder voorwaarden y 1 +2y 2 = 5 y 1 4y 2 = 6 y 1, y 2 0 Conclusie Als doelstelling maximaliseren is, dan geeft vrije variabele x i in duale probleem =-functionele restrictie.
26 Duale van willekeurige LP problemen (9) =-functionele restricties Wat is duale probleem van volgende LP probleem? maximaliseer Z = 5x 1 +6x 2 onder voorwaarden x 1 +x 2 3 2x 1 4x 2 = 5 x 1, x 2 0 Als we gelijkheidsrestrictie 2x 1 4x 2 = 5 vervangen door 2x 1 4x 2 5 2x 1 + 4x 2 5 dan verkrijgen we: maximaliseer Z = 5x 1 +6x 2 onder voorwaarden x 1 +x 2 3 2x 1 4x 2 5 2x 1 +4x 2 5
27 Duale van willekeurige LP problemen (10) maximaliseer Z = 5x 1 +6x 2 onder voorwaarden x 1 +x 2 3 2x 1 4x 2 5 2x 1 +4x 2 5 x 1, x 2 0 Het duale van bovenstaande probleem is: minimaliseer W = 3y 1 +5y 2 5y 2 onder voorwaarden y 1 +2y 2 2y 2 5 y 1 4y 2 +4y 2 6 y 1, y 2, y 2 0
28 Duale van willekeurige LP problemen (11) minimaliseer W = 3y 1 +5y 2 5y 2 onder voorwaarden y 1 +2y 2 2y 2 5 y 1 4y 2 +4y 2 6 y 1, y 2, y 2 0 We kunnen dit herschrijven als: minimaliseer W = 3y 1 +5y 2 onder voorwaarden y 1 +2y 2 5 y 1 4y 2 6 y 1 0
29 Duale van willekeurige LP problemen (12) Dus primale LP probleem maximaliseer Z = 5x 1 +6x 2 onder voorwaarden x 1 +x 2 3 2x 1 4x 2 = 5 x 1, x 2 0 heeft als duale probleem: minimaliseer W = 3y 1 +5y 2 onder voorwaarden y 1 +2y 2 5 y 1 4y 2 6 y 1 0 Conclusie Als doelstelling maximaliseren is, dan geeft =-functionele restrictie in duale probleem vrije variabele.
30 Duale van willekeurige LP problemen (13) Doelstelling is minimaliseren Wat is duale probleem van volgende LP probleem? minimaliseer 5x 1 +6x 2 onder voorwaarden x 1 +x 2 3 2x 1 4x 2 5 x 1, x 2 0 We kunnen dit herschrijven als: maximaliseer 5x 1 6x 2 onder voorwaarden x 1 +x 2 3 2x 1 4x 2 5 x 1, x 2 0
31 Duale van willekeurige LP problemen (14) maximaliseer 5x 1 6x 2 onder voorwaarden x 1 +x 2 3 2x 1 4x 2 5 x 1, x 2 0 Het duale van bovenstaande probleem is: minimaliseer 3y 1 +5y 2 onder voorwaarden y 1 +2y 2 5 y 1 4y 2 6 y 1, y 2 0
32 Duale van willekeurige LP problemen (15) minimaliseer 3y 1 +5y 2 onder voorwaarden y 1 +2y 2 5 y 1 4y 2 6 y 1, y 2 0 We kunnen dit herschrijven als: minimaliseer 3y 1 +5y 2 onder voorwaarden y 1 2y 2 5 y 1 +4y 2 6 y 1, y 2 0
33 Duale van willekeurige LP problemen (16) minimaliseer 3y 1 +5y 2 onder voorwaarden y 1 2y 2 5 y 1 +4y 2 6 y 1, y 2 0 Substitutie y 1 = y 1 en y 2 = y 2 geeft minimaliseer 3y 1 5y 2 onder voorwaarden y 1 +2y 2 5 y 1 4y 2 6 y 1, y 2 0
34 Duale van willekeurige LP problemen (17) minimaliseer 3y 1 5y 2 onder voorwaarden y 1 +2y 2 5 y 1 4y 2 6 y 1, y 2 0 We kunnen dit herschrijven als: maximaliseer 3y 1 +5y 2 onder voorwaarden y 1 +2y 2 5 y 1 4y 2 6 y 1, y 2 0
35 Duale van willekeurige LP problemen (18) Dus primale LP probleem minimaliseer 5x 1 +6x 2 onder voorwaarden x 1 +x 2 3 2x 1 4x 2 5 x 1, x 2 0 heeft als duale probleem: maximaliseer 3y 1 +5y 2 onder voorwaarden y 1 +2y 2 5 y 1 4y 2 6 y 1, y 2 0 Conclusie Als doelstelling minimaliseren is, dan geven -functionele restricties in duale probleem niet-positiviteitsrestricties y i 0, en niet-negativiteits restricties x j 0 geven in duale probleem -functionele restricties.
36 Duale van willekeurige LP problemen (19) Hoe vinden we duale probleem van willekeurig LP probleem? Welke regels gelden in het algemeen?
37 Duale van willekeurige LP problemen (20) Primale Duale maximaliseer Z minimaliseer W i-de functionele restrictie variabele y i 0 = vrij 0 variabele x j 0 j-de functionele restrictie vrij = 0
38 Duale van willekeurige LP problemen (21) Duale Primale maximaliseer Z minimaliseer W i-de functionele restrictie variabele x i 0 = vrij 0 variabele y j 0 j-de functionele restrictie vrij = 0
39 Duale van willekeurige LP problemen (22) Wat krijgen we als we het duale van het duale nemen? Duale probleem van duale probleem is weer primale LP probleem!
40 Samenvatting van vandaag Bepalen van bovengrenzen via zwakke dualiteit voor willekeurige LP problemen Volgende keer: sterke dualiteit
TU/e 2DD50: Wiskunde 2
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Instructies (vandaag, 10:45 12:30) in vier zalen: Zaal Aud 10 Pav b2 Pav m23 Ipo 0.98 voor studenten met achternaam beginnend met letters A tot en met D met letters
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 () Tussentoets 26 november, tijdens de instructies Zaal: paviljoen (study hub) Time: 90min Tentamenstof: colleges 4 (LP; Simplex; dualiteit; complementaire slackness) Oude tentamens:
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) Organisatorische informatie Wat Dag Tijd Zaal Docent College Tue 5+6 Aud 6+15 Gerhard Woeginger Thu 1+2 Aud 1+4 Gerhard Woeginger Clicker session Tue 7+8 Aud 6+15 Gerhard Woeginger
Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 23 september 2015
Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 september 2015 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 23 september 2015 1 / 19 Mededelingen Maandag 28 september: deadline huiswerk
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 12 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober 2016 1 / 31 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft
Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016
Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 september 2016 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september 2016 1 / 18 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een bijbehorend
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 oktober 206 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 oktober 206 / 3 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een
Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016
Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 september 2016 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september 2016 1 / 18 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een bijbehorend
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 2 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 14 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september 2016 1 / 30 Modelleren van LP en ILP problemen
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 10 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november 2016 1 / 40 Vraag Ik heb het deeltentamen niet
Optimalisering en Complexiteit, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 1 Han Hoogeveen, Utrecht University Gegevens Docent : Han Hoogeveen : j.a.hoogeveen@uu.nl Vak website : http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/ Student assistenten
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 3 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september 2016 1 / 36 LP: Lineair Programmeren min x 1 2
Optimalisering en Complexiteit, College 11. Complementaire speling; duale Simplex methode. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 11 Complementaire speling; duale Simplex methode Han Hoogeveen, Utrecht University Duale probleem (P) (D) min c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 max w 1 b 1 + w 2 b 2 +
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 2 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 9 september 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 9 september 2015 1 / 23 Huiswerk Huiswerk 1 is beschikbaar op
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 3 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september 2016 1 / 36 LP: Lineair Programmeren min x 1 2
Tie breaking in de simplex methode
Tie breaking in de simplex methode Tijdens de Simplexmethode kan op een aantal momenten onduidelijk zijn wat je moet doen: 1. Variabele die de basis in gaat: Zoek de grootste coëfficiënt in de doelfunctie.
Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica
Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica Tentamen Optimalisering (2DD15) Vrijdag 24 juni 2011, 9:00 12:00 uur Het tentamen bestaat uit zeven opgaven. Bij elke opgave staat het
Samenvatting college 1-12
Samenvatting college 1-12 Probleemformulering Duidelijk definiëren van beslissingsvariabelen Zinvolle namen voor variabelen bv x ij voor ingrediënt i voor product j, niet x 1,..., x 20 Beschrijving van
Basiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica. Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, uur.
Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, 9.00-12.00 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf
Optimalisering en Complexiteit, College 10. Begrensde variabelen. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 10 Begrensde variabelen Han Hoogeveen, Utrecht University Begrensde variabelen (1) In veel toepassingen hebben variabelen zowel een ondergrens als een bovengrens:
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 13 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 9 december 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 9 december 2015 1 / 13 Vraag Wat moet ik kennen en kunnen voor
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen
Tie breaking in de simplex methode
Tie breaking in de simplex methode Tijdens de Simplexmethode kan op een aantal momenten onduidelijk zijn wat je moet doen: 1. Variabele die de basis in gaat: Zoek de grootste coëfficiënt in de doelfunctie.
Branch-and-Bound en Cutting Planes
Branch-and-Bound en Cutting Planes Vandaag: Er is nog geen algoritme om ILP s in polynomiale tijd op te lossen. Twee opties: 1 Exponentiëel algoritme dat optimale oplossing geeft 2 Polynomiaal algoritme
Tentamen: Operationele Research 1D (4016)
UITWERKINGEN Tentamen: Operationele Research 1D (4016) Tentamendatum: 12-1-2010 Duur van het tentamen: 3 uur (maximaal) Opgave 1 (15 punten) Beschouw het volgende lineaire programmeringsprobleem P: max
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Optimalisering en Complexiteit, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 1 Han Hoogeveen, Utrecht University Gegevens Docent : Han Hoogeveen : j.a.hoogeveen@uu.nl Vak website : http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/ Student assistenten
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 11 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 25 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 25 november 2015 1 / 28 Vandaag Vraag Voor welke problemen
Lineaire programmering
Lineaire programmering Hans Maassen kort naar Inleiding Besliskunde van J. Potters [Pot]. en Methods of Mathematical Economics van J. Franklin [Fra]. Lineaire programmering is het bepalen van het maximum
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 16 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november 2016 1 / 28 Vandaag Integer Linear Programming (ILP)
Universiteit Utrecht Departement Informatica
Universiteit Utrecht Departement Informatica Uitwerking Tussentoets Optimalisering 20 december 206 Opgave. Beschouw het volgende lineair programmeringsprobleem: (P) Minimaliseer z = x 2x 2 + x 3 2x 4 o.v.
l e x e voor alle e E
Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met
Faculteit der Economie en Bedrijfskunde
Faculteit der Economie en Bedrijfskunde Op dit voorblad vindt u belangrijke informatie omtrent het tentamen. Lees dit voorblad voordat u met het tentamen begint! Tentamen: Operational Research 1D (4016)
Lineaire Algebra (2DD12)
Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Uitwerking Tweede Quiz Speltheorie,
Uitwerking Tweede Quiz Speltheorie, 28-11-2012 Attentie! Maak van de onderstaande drie opgaven er slechts twee naar eigen keuze! Opgave 1 [50 pt]. Van het tweepersoons nulsomspel met de 2 4-uitbetalingsmatrix
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
BESLISKUNDE 2 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN
BESLISKUNDE L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN Voorwoord Dit vak is een voortzetting van het tweedejaarscollege Besliskunde. Een aantal andere mathematische beslissingsproblemen komt aan de orde en
Bijlage A Simplex-methode
Dee bijlage hoort bij Beter beslissen, Bijlage A Simplex-methode Verreweg de meeste LP-problemen worden opgelost met behulp van het ogenoemde Simplex-algoritme, in ontwikkeld door G.B. Dantig. De meeste
Modellen en Simulatie Speltheorie
Utrecht, 20 juni 2012 Modellen en Simulatie Speltheorie Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Program Optimaliseren Nul-som matrix spel Spel strategie Gemengde
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 11 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 11 november 2015 1 / 22 Mededelingen Huiswerk 2 nagekeken Terug
Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen
Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 28-03-2003 1 Docenten Onderdeel a Er zijn 6 vakken V 1, V 2,..., V 6. Vak V j heeft een vraag b j = 1, voor j = 1, 2,...,
vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen
Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Examenvragen D0H45 (Lineaire optimalizatie)
Examenvragen D0H45 (Lineaire optimalizatie) Tijdstip: Vrijdag 3 februari 2012 vanaf 09.00 uur tot 12.00 uur Er zijn vier opgaven. Achter de opgaven zitten de bladzijden die u kunt gebruiken om uw antwoord
Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren
Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren Vandaag: Wat is Integer Lineair Programmeren (ILP)? Relatie tussen ILP en LP Voorbeeld 1: Minimum Spanning Tree (MST) Voorbeeld 2: Travelling Salesman Problem
Er zijn 4 opgaven, daarna volgen blanco bladzijden die u kan gebruiken om te antwoorden.
Examen DH45 Lineaire Optimalizatie (D. Goossens) Vrijdag 29 januari 2010, 9 12u Richtlijnen: Er zijn 4 opgaven, daarna volgen blanco bladzijden die u kan gebruiken om te antwoorden. Lees aandachtig de
Lineaire Optimilizatie Extra sessie. 19 augustus 2010
Lineaire Optimilizatie Extra sessie 19 augustus 2010 De leerstof Handboek: hoofdstuk 2 t.e.m. 8 (incl. errata) Slides (zie toledo) Extra opgaven (zie toledo) Computersessie: Lindo syntax en output Wat
max 5x 1 2x 2 s.t. 2x 1 x 2 10 (P) x 1 + 2x 2 2 x 1, x 2 0
Voorbeeldtentamen Deterministische Modellen in de OR (158075) Opmerking vooraf: Geef bij elke opgave een volledige en duidelijke uitwerking inclusief argumentatie! Gebruik van de rekenmachine is niet toegestaan.
3.2 Vectoren and matrices
we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,
Optimalisering en Complexiteit, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 1 Han Hoogeveen, Utrecht University Gegevens Docent : Han Hoogeveen : j.a.hoogeveen@uu.nl Vak website : http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/ Medewerkers : Ivor van
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 7 J.Keijsper
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)
Toewijzingsprobleem Bachelorscriptie
Radboud Universiteit Nijmegen Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Toewijzingsprobleem Bachelorscriptie Auteur: Veronique Rademaekers (s4155718) Begeleiders: Dr. W. Bosma en dr. H.
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper
Lineair Programmeren op het polytoop
Lineair Programmeren op het polytoop Paulien Neppelenbroek 12 juli 2017 Bachelorproject wiskunde Supervisor: dr. Jan Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen,
Functies van vectoren
Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.
Digitaal Proefstuderen Econometrie en Operationele Research Universiteit van Tilburg
Digitaal Proefstuderen Econometrie en Operationele Research Universiteit van Tilburg 1 Voorwoord Welkom bij de cursus Digitaal Proefstuderen van de opleiding Econometrie en Operationele Research aan de
Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014
Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:
1. Het aantal optimale oplossingen van een LP probleem is 0, 1, of oneindig. 2. De vereniging van twee konvexe verzamelingen is niet convex. 3.
1. Het aantal optimale oplossingen van een LP probleem is 0, 1, of oneindig. 2. De vereniging van twee konvexe verzamelingen is niet convex. 3. Een LP probleem heeft n>2 variabelen en n+2 constraints.
Taak 2: LP: simplex en sensitiviteitsanalyse Voorbeeld uitwerking
Taak 2: LP: simplex en sensitiviteitsanalyse Voorbeeld uitwerking. Sensitiviteitsanalyse (a) Als de prijs van legering 5 daalt, kan het voordeliger worden om gebruik te maken van deze legering. Als de
Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra 1, najaar y y = 2x. P x. L(P ) y = x. 2/3 1/3 en L wordt t.o.v de standaardbasis gegeven door
Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra, najaar 007. Gegeven is de lineaire afbeelding L : R R, die een punt P = (x, y) langs de lijn y = x projecteert op de lijn y = x: y y = x P x L(P ) y = x Bepaal
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte
CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1
CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 1 11 februari 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides
3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?
In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.
CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1
CTB100 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 5 5 februari 014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we hoofdstuk 1.7 en deel van 1.8 Voor de pauze: hoofdstuk 1.7 Na de pauze: hoofdstuk 1.8 Verschillende notaties
Een selectie algoritmen voor lineair programmeren (A selection of algorithms for linear programming)
Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Een selectie algoritmen voor lineair programmeren (A selection of algorithms for
UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,
UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht
Hoofdstuk 3 : Determinanten
(A5D) Hoofdstuk 3 : Determinanten Les : Determinanten Definitie 3. De determinant van de [2 x 2]-matrix A = ( a c det(a) = ad bc. b ) is een getal met waarde d a b Notatie : det(a) = = ad bc c d Voorbeeld
TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER
TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES
Lineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie
Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, Docent: Dr. J.B.M. Melissen
Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Veel succes! 1 Deze opgave bestaat uit 15 tweekeuzevragen. Per goed antwoord krijg je 2 punten. a. Dynamisch
Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk.
Netwerkanalyse (H3) Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk. Deze problemen kunnen vaak als continu LP probleem worden opgelost. Door de speciale structuur
l e x e voor alle e E
Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =
Hertentamen Biostatistiek 3 / Biomedische wiskunde
Hertentamen Biostatistiek 3 / Biomedische wiskunde 2 juni 2014; 18:30-20:30 NB. Geef een duidelijke toelichting bij de antwoorden. Na correctie liggen de tentamens ter inzage bij het onderwijsbureau. Het
Opgave 2: Simplex-algoritme - oplossing
Opgave 2: Simplex-algoritme - oplossing Oefening 1- a) Coefficient of x r in Current Row 0 = 0 b) Let x s be the variable entering the basis and x r the variable leaving the basis. Then (Coefficient of
(b) Formuleer het verband tussen f en U(P, f), en tussen f en L(P, f). Bewijs de eerste. (c) Geef de definitie van Riemann integreerbaarheid van f.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 2 juli 2015, 08:30 11:30 (12:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek Analysis
Leeswijzer bij het college Functies en Reeksen
Leeswijzer bij het college Functies en Reeksen Erik van den Ban Najaar 2012 Introductie eze leeswijzer bij het dictaat Functies en Reeksen (versie augustus 2011) heeft als doel een gewijzigde opbouw van
1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord).
Tentamen Optimalisering (IN2805-I) Datum: 3 april 2008, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Naam: Studienummer: 1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist
Stelsels lineaire vergelijkingen
Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix. 2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte
Uitwerkingen toets 12 juni 2010
Uitwerkingen toets 12 juni 2010 Opgave 1. Bekijk rijen a 1, a 2, a 3,... van positieve gehele getallen. Bepaal de kleinst mogelijke waarde van a 2010 als gegeven is: (i) a n < a n+1 voor alle n 1, (ii)
Determinanten. Definities en eigenschappen
Determinanten Definities en eigenschappen Definities (korte herhaling) Determinant van een 2x2-matrix: a b ad bc c d S. Mettepenningen Determinanten 2 Definities (korte herhaling) Determinant van een 3x3-matrix:
Toepassingen op matrices - Opgave
Toepassingen op matrices - Opgave Toepassing. Matrices en aantal verbindingen in grafen Op ontdekking. De onderstaande figuur is een voorbeeld van een graaf. Het toont het aantal dagelijkse internationale
HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Vrijdag juli 3. Tijd: 9.. uur. Plaats: AUD 5. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer
UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =
UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De
Complexe eigenwaarden
Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 93 email: JCMKeijsper@tuenl studiewijzer: http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 JKeijsper (TUE) Lineaire
G Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie. K Geologie, Informatica, Schakelprogramma s
Tussentijdse Toets Wiskunde I ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, Master Chemie donderdag 3 november 06, :00-3:00
VU University Amsterdam 2018, Maart 27
Department of Mathematics Exam: Voortgezette biostatistiek VU University Amsterdam 2018, Maart 27 c Dept. of Mathematics, VU University Amsterdam NB. Geef een duidelijke toelichting bij de antwoorden.
De dimensie van een deelruimte
De dimensie van een deelruimte Een deelruimte van R n is een deelverzameling die op zichzelf ook een vectorruimte is. Ter herinnering : Definitie. Een deelverzameling H van R n heet een deelruimte van
OPERATIONS RESEARCH TECHNIEKEN L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN
OPERATIONS RESEARCH TECHNIEKEN L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN VOORJAAR 2003 Inhoudsopgave 1 Inleiding 1 1.1 Wat is Operations Research?.............................. 1 1.2 Overzicht van de te behandelen
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 12 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 december 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december 2016 1 / 25 Volgende week: Study guide Vragenuurtje
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)
Examenvragen Hogere Wiskunde I
1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies
Wiskundige beweringen en hun bewijzen
Wiskundige beweringen en hun bewijzen Analyse (en feitelijk de gehele wiskunde) gaat over het bewijzen van beweringen (proposities), d.w.z. uitspraken waaraan de karakterisering waar of onwaar toegekend
Tentamen combinatorische optimalisatie Tijd:
Tentamen combinatorische optimalisatie 26-05-2014. Tijd: 9.00-11.30 Tentamen is met gesloten boek. Beschrijf bij elke opgave steeds het belangrijkste idee. Notatie en exacte formulering is van minder belang.