TW2020 Optimalisering
|
|
|
- Oscar Bauwens
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 TW2020 Optimalisering Hoorcollege 10 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
2 Vraag Ik heb het deeltentamen niet gehaald. Heeft het nog zin om het tentamen te maken? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
3 Vraag Ik heb het deeltentamen niet gehaald. Heeft het nog zin om het tentamen te maken? Vraag Ik heb het deeltentamen niet gehaald. Moet ik nu harder gaan werken om het vak te halen? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
4 Vandaag Oplossen van ILP problemen: Branch & Bound Cutting Planes Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
5 Branch & Bound Stel we willen het volgende ILP probleem oplossen. z IP = min 4 x 1 + x 2 o.d.v. 7 x 1 2 x 2 14 (1) x 2 3 (2) 2 x 1 2 x 2 3 (3) x 1, x 2 0 x 1, x 2 Z Hoe kunnen we dat aanpakken? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
6 Los eerste de LP-relaxatie op. z LP = min 4 x 1 + x 2 o.d.v. 7 x 1 2 x 2 14 (1) x 2 3 (2) 2 x 1 2 x 2 3 (3) x 1, x 2 0 Dit kan met de Simplex methode. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
7 (2) x z 2 (1) min 4 x 1 + x 2 o.d.v. 7 x 1 2 x 2 14 (1) x 2 3 (2) 2 x 1 2 x 2 3 (3) x 1, x 2 0 x 1, x 2 Z (3) x 1 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
8 x z 2 (1) min 4 x 1 + x 2 o.d.v. 7 x 1 2 x 2 14 (1) x 2 3 (2) 2 x 1 2 x 2 3 (3) x 1, x 2 0 x 1, x 2 Z (2) X LP =(20/7,3) (3) x 1 z LP = Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
9 x z 2 (1) min 4 x 1 + x 2 o.d.v. 7 x 1 2 x 2 14 (1) x 2 3 (2) 2 x 1 2 x 2 3 (3) x 1, x 2 0 x 1, x 2 Z (2) X LP =(20/7,3) (3) x 1 z LP = dus z IP Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
10 x z 2 (1) min 4 x 1 + x 2 o.d.v. 7 x 1 2 x 2 14 (1) x 2 3 (2) 2 x 1 2 x 2 3 (3) x 1, x 2 0 x 1, x 2 Z (2) X LP =(20/7,3) (3) x 1 z LP = dus z IP en alle coëfficiënten geheeltallig, dus z IP 8 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
11 We hebben dus de ondergrens (lower bound) z IP 8 = z. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
12 We hebben dus de ondergrens (lower bound) z IP 8 = z. Nu is het tijd om te branchen (vertakken). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
13 We hebben dus de ondergrens (lower bound) z IP 8 = z. Nu is het tijd om te branchen (vertakken). In de oplossing van de LP-relaxatie is x 1 = 20 7 = Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
14 We hebben dus de ondergrens (lower bound) z IP 8 = z. Nu is het tijd om te branchen (vertakken). In de oplossing van de LP-relaxatie is x 1 = 20 7 = Maar in de ILP moet x 1 geheeltallig zijn, dus x 1 2 of x 1 3. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
15 We hebben dus de ondergrens (lower bound) z IP 8 = z. Nu is het tijd om te branchen (vertakken). In de oplossing van de LP-relaxatie is x 1 = 20 7 = Maar in de ILP moet x 1 geheeltallig zijn, dus x 1 2 of x 1 3. Dus we branchen in twee deelproblemen: x z = -8 x 1 3 z = 1 2 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
16 Los de LP-relaxatie op voor elk deelprobleem: x z = -8 x 1 3 z = 1 2 z 1 LP = min 4 x 1 + x 2 o.d.v. 7 x 1 2 x 2 14 x x 1 2 x 2 3 x 1 2 x 1, x 2 0 z 2 LP = min 4 x 1 + x 2 o.d.v. 7 x 1 2 x 2 14 x x 1 2 x 2 3 x 1 3 x 1, x 2 0 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
17 Deelprobleem 1: x 2 x 1 2 z min 4 x 1 + x 2 o.d.v. 7 x 1 2 x 2 14 x x 1 2 x 2 3 x 1 2 x 1, x 2 0 X 1 LP= (2,1/2) x 1 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
18 Deelprobleem 1: x 2 x 1 2 z min 4 x 1 + x 2 o.d.v. 7 x 1 2 x 2 14 x x 1 2 x 2 3 x 1 2 x 1, x 2 0 X 1 LP= (2,1/2) x 1 [ ] 2 xlp 1 = 1/2 z 1 LP = Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
19 Deelprobleem 2: x 2 x 1 3 min 4 x 1 + x 2 o.d.v. 7 x 1 2 x 2 14 x x 1 2 x 2 3 x 1 3 x 1, x 2 0 x 1 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
20 Deelprobleem 2: x 2 x 1 3 min 4 x 1 + x 2 o.d.v. 7 x 1 2 x 2 14 x x 1 2 x 2 3 x 1 3 x 1, x 2 0 x 1 Geen toegelaten oplossing Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
21 x z = -8 x 1 3 z = 1 2 [ ] 2 xlp 1 = 1/2 z 1 LP = Niet toegelaten Snoeien (Prune) Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
22 x z = -8 x 1 3 z = 1 2 [ ] 2 xlp 1 = 1/2 z 1 LP = Niet toegelaten Snoeien (Prune) z 1 = 7 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
23 x z = -8 x 1 3 z = 1 2 [ ] 2 xlp 1 = 1/2 z 1 LP = Niet toegelaten Snoeien (Prune) z 1 = 7 z i is de ondergrens in knoop i. Deze geldt voor de deelboom onder deze knoop. z is de bovengrens. Deze is geldig voor de hele boom. Snoeien (pruning) betekent dat we de knoop niet verder hoeven op te splitsen. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
24 In deelprobleem 1 is x 2 = 1 2. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
25 In deelprobleem 1 is x 2 = 1 2. Splits deelprobleem 1 verder op in twee nieuwe deelproblemen: z 1 = -7 x z = -8 x 1 2 x x z = niet toegelaten snoeien Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
26 Deelprobleem 4: x 2 z min 4 x 1 + x 2 o.d.v. 7 x 1 2 x 2 14 x x 1 2 x 2 3 x 1 2 x 2 1 x 1, x 2 0 x 4 LP= (2,1) x 2 1 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
27 Deelprobleem 4: x 2 z min 4 x 1 + x 2 o.d.v. 7 x 1 2 x 2 14 x x 1 2 x 2 3 x 1 2 x 2 1 x 1, x 2 0 x 4 LP= (2,1) x 2 1 x 4 LP = [ 2 1 ] z 4 LP = z4 IP = 7 Geheeltallige oplossing Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
28 Deelprobleem 4: x 2 z min 4 x 1 + x 2 o.d.v. 7 x 1 2 x 2 14 x x 1 2 x 2 3 x 1 2 x 2 1 x 1, x 2 0 x 4 LP= (2,1) x 2 1 x 4 LP = [ 2 1 ] z 4 LP = z4 IP = 7 Geheeltallige oplossing Dus z = 7 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
29 0 x 1 2 x 1 3 z = -8 z = -7 z 1 = -7 x x 2 1 niet toegelaten snoeien 3 4 ] x 4 LP = [ 2 1 z 4 LP = z4 IP = 7 geheeltallige oplossing Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
30 Nu kunnen we knoop 3 snoeien want z 3 z 1 = 7 = z. z 1 = -7 x x 1 2 x x 2 1 z = -8 z = -7 niet toegelaten snoeien 3 4 ] z 3 7 = z x 4 LP = [ 2 1 snoeien z 4 LP = z4 IP = 7 geheeltallige oplossing snoeien Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
31 We hebben alle takken van de boom gesnoeid. De beste gevonden geheeltallige oplossing is dus optimaal. De optimale oplossing is x 1 = 2, x 2 = 1 met waarde z IP = 7. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
32 We hebben alle takken van de boom gesnoeid. De beste gevonden geheeltallige oplossing is dus optimaal. De optimale oplossing is x 1 = 2, x 2 = 1 met waarde z IP = 7. x z 2 (1) (2) (3) X IP =(2,1) x 1 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
33 Samenvatting Branch & Bound methode (voor een min-probleem): Los steeds de LP-relaxaties van deelproblemen op. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
34 Samenvatting Branch & Bound methode (voor een min-probleem): Los steeds de LP-relaxaties van deelproblemen op. De optimale waarde van de LP-relaxatie is een ondergrens (lower bound) op de optimale waarde van het deelprobleem. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
35 Samenvatting Branch & Bound methode (voor een min-probleem): Los steeds de LP-relaxaties van deelproblemen op. De optimale waarde van de LP-relaxatie is een ondergrens (lower bound) op de optimale waarde van het deelprobleem. Als de optimale oplossing geheetallig is dan is de optimale waarde een bovengrens (upper bound) op de optimale waarde van het originele ILP probleem. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
36 Samenvatting Branch & Bound methode (voor een min-probleem): Los steeds de LP-relaxaties van deelproblemen op. De optimale waarde van de LP-relaxatie is een ondergrens (lower bound) op de optimale waarde van het deelprobleem. Als de optimale oplossing geheetallig is dan is de optimale waarde een bovengrens (upper bound) op de optimale waarde van het originele ILP probleem. Als we een deelprobleem niet kunnen snoeien, vertak (branch) over een niet-geheeltallige variabele. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
37 Samenvatting Branch & Bound methode (voor een min-probleem): Los steeds de LP-relaxaties van deelproblemen op. De optimale waarde van de LP-relaxatie is een ondergrens (lower bound) op de optimale waarde van het deelprobleem. Als de optimale oplossing geheetallig is dan is de optimale waarde een bovengrens (upper bound) op de optimale waarde van het originele ILP probleem. Als we een deelprobleem niet kunnen snoeien, vertak (branch) over een niet-geheeltallige variabele. Voor max-problemen gaat het op dezelfde manier maar worden bovengrenzen ondergrenzen en vice versa. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
38 Wanneer kunnen we een knoop snoeien (in een min-probleem)? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
39 Wanneer kunnen we een knoop snoeien (in een min-probleem)? 1 De LP-relaxatie heeft geen toegelaten oplossing. Prune by infeasibility. (Zie knoop 2) Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
40 Wanneer kunnen we een knoop snoeien (in een min-probleem)? 1 De LP-relaxatie heeft geen toegelaten oplossing. Prune by infeasibility. (Zie knoop 2) 2 De gevonden optimale oplossing van de LP-relaxatie is geheeltallig. Prune by optimality. (Zie knoop 4). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
41 Wanneer kunnen we een knoop snoeien (in een min-probleem)? 1 De LP-relaxatie heeft geen toegelaten oplossing. Prune by infeasibility. (Zie knoop 2) 2 De gevonden optimale oplossing van de LP-relaxatie is geheeltallig. Prune by optimality. (Zie knoop 4). Als de waarde van de gevonden geheeltallige oplossing kleiner is dan z, pas dan de bovengrens z aan. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
42 Wanneer kunnen we een knoop snoeien (in een min-probleem)? 1 De LP-relaxatie heeft geen toegelaten oplossing. Prune by infeasibility. (Zie knoop 2) 2 De gevonden optimale oplossing van de LP-relaxatie is geheeltallig. Prune by optimality. (Zie knoop 4). Als de waarde van de gevonden geheeltallige oplossing kleiner is dan z, pas dan de bovengrens z aan. 3 De gevonden ondergrens z k is groter of gelijk aan de huidige bovengrens z. Prune by bound. (Zie knoop 3). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
43 Wanneer kunnen we een knoop snoeien (in een min-probleem)? 1 De LP-relaxatie heeft geen toegelaten oplossing. Prune by infeasibility. (Zie knoop 2) 2 De gevonden optimale oplossing van de LP-relaxatie is geheeltallig. Prune by optimality. (Zie knoop 4). Als de waarde van de gevonden geheeltallige oplossing kleiner is dan z, pas dan de bovengrens z aan. 3 De gevonden ondergrens z k is groter of gelijk aan de huidige bovengrens z. Prune by bound. (Zie knoop 3). De ondergrens z k is gelijk aan de optimale waarde van de LP-relaxatie. Indien alle doelstellingscoëfficiën geheeltallig zijn, kan z k naar boven afgerond worden. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
44 Implementatieaspecten Op welke variabele branchen we? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
45 Implementatieaspecten Op welke variabele branchen we? Typische regel: kies variabele met fractionele deel het dichtst bij 1 2. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
46 Implementatieaspecten Op welke variabele branchen we? Typische regel: kies variabele met fractionele deel het dichtst bij 1 2. Welke niet-gesnoeide knoop gaan we verder vertakken? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
47 Implementatieaspecten Op welke variabele branchen we? Typische regel: kies variabele met fractionele deel het dichtst bij 1 2. Welke niet-gesnoeide knoop gaan we verder vertakken? (a) Depth-first search: ga zo snel mogelijk naar beneden in de boom in de hoop dat er snel een goede toegelaten oplossing gevonden wordt. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
48 Implementatieaspecten Op welke variabele branchen we? Typische regel: kies variabele met fractionele deel het dichtst bij 1 2. Welke niet-gesnoeide knoop gaan we verder vertakken? (a) Depth-first search: ga zo snel mogelijk naar beneden in de boom in de hoop dat er snel een goede toegelaten oplossing gevonden wordt. (b) Best-node-first: kies een knoop met beste waarde van de LP-relaxatie. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
49 Implementatieaspecten Op welke variabele branchen we? Typische regel: kies variabele met fractionele deel het dichtst bij 1 2. Welke niet-gesnoeide knoop gaan we verder vertakken? (a) Depth-first search: ga zo snel mogelijk naar beneden in de boom in de hoop dat er snel een goede toegelaten oplossing gevonden wordt. (b) Best-node-first: kies een knoop met beste waarde van de LP-relaxatie. (c) Gebruik (a) totdat een geheeltallige oplossing gevonden is en daarna (b). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
50 Implementatieaspecten Op welke variabele branchen we? Typische regel: kies variabele met fractionele deel het dichtst bij 1 2. Welke niet-gesnoeide knoop gaan we verder vertakken? (a) Depth-first search: ga zo snel mogelijk naar beneden in de boom in de hoop dat er snel een goede toegelaten oplossing gevonden wordt. (b) Best-node-first: kies een knoop met beste waarde van de LP-relaxatie. (c) Gebruik (a) totdat een geheeltallige oplossing gevonden is en daarna (b). Vraag Wat is de looptijd van het Branch & Bound algoritme? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
51 CUTTING PLANES Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
52 Cutting Planes Cutting planes of geldige ongelijkheden zijn restricties die aan de ILP formulering kunnen worden toegevoegd zonder geheeltallige punten weg te snijden. Cutting planes worden vaak in combinatie met Branch & Bound gebruikt om de kwaliteit van de LP-relaxatie te verbeteren. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
53 Beschouw een ILP probleem: z IP = min c T x o.d.v. Ax b x 0 x Z n Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
54 Beschouw een ILP probleem: z IP = min c T x o.d.v. Ax b x 0 x Z n De optimale waarde van de LP-relaxatie geeft een ondergrens op de optimale waarde van het ILP probleem. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
55 Beschouw een ILP probleem: z IP = min c T x o.d.v. Ax b x 0 x Z n De optimale waarde van de LP-relaxatie geeft een ondergrens op de optimale waarde van het ILP probleem. Door cutting planes aan het ILP toe te voegen kunnen we proberen deze ondergrens te verbeteren. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
56 P = {x R n Ax b, x 0} is het bijbehorende polyeder en S = P Z n de verzameling toegelaten oplossingen van het ILP. P Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
57 P = {x R n Ax b, x 0} is het bijbehorende polyeder en S = P Z n de verzameling toegelaten oplossingen van het ILP. P Definitie Een polyeder Q is een formulering voor S als Q Z n = S. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
58 P = {x R n Ax b, x 0} is het bijbehorende polyeder en S = P Z n de verzameling toegelaten oplossingen van het ILP. P Definitie Een polyeder Q is een formulering voor S als Q Z n = S. Dus P is een formulering voor S. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
59 P = {x R n Ax b, x 0} is het bijbehorende polyeder en S = P Z n de verzameling toegelaten oplossingen van het ILP. P Definitie Een polyeder Q is een formulering voor S als Q Z n = S. Dus P is een formulering voor S. Maar er bestaan oneindig veel formuleringen voor S. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
60 Definitie Een ongelijkheid a T x b is geldig voor S als a T x b voor alle x S. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
61 Definitie Een ongelijkheid a T x b is geldig voor S als a T x b voor alle x S. P a T x b Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
62 Definitie Een ongelijkheid a T x b is geldig voor S als a T x b voor alle x S. P a T x b Ongelijkheid a T x b toevoegen aan P geeft een formulering P van S die minstens zo sterk is, d.w.z. P P. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
63 Definitie Een ongelijkheid a T x b is geldig voor S als a T x b voor alle x S. P' a T x b Ongelijkheid a T x b toevoegen aan P geeft een formulering P van S die minstens zo sterk is, d.w.z. P P. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
64 Definitie Een ongelijkheid a T x b is geldig voor S als a T x b voor alle x S. P' a T x b Ongelijkheid a T x b toevoegen aan P geeft een formulering P van S die minstens zo sterk is, d.w.z. P P. Vraag Wat is de sterkst mogelijke formulering van S? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
65 Vraag Wat is de sterkst mogelijke formulering van S? Het convex omhulsel (convex hull) van S: de kleinste convexe verzameling die alle punten in S bevat. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
66 Vraag Wat is de sterkst mogelijke formulering van S? Het convex omhulsel (convex hull) van S: de kleinste convexe verzameling die alle punten in S bevat. We kunnen het convex omhulsel van S niet vinden in polynomiale tijd, dus proberen we het zo goed mogelijk te benaderen. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
67 Gomory s Cutting Planes Beschouw weer hetzelfde ILP probleem. z IP = min 4 x 1 + x 2 o.d.v. 7 x 1 2 x 2 14 (1) x 2 3 (2) 2 x 1 2 x 2 3 (3) x 1, x 2 0 x 1, x 2 Z Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
68 Gomory s Cutting Planes Beschouw weer hetzelfde ILP probleem. z IP = min 4 x 1 + x 2 o.d.v. 7 x 1 2 x 2 14 (1) x 2 3 (2) 2 x 1 2 x 2 3 (3) x 1, x 2 0 x 1, x 2 Z Het optimale tableaux van de LP-relaxatie: basis b x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 x 1 20/ /7 2/7 0 x s 3 23/ /7 10/7 1 z 59/ /7 1/7 0 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
69 Definitie Laat a R. Dan is a het grootste gehele getal n Z met n a. We noemen a het geheeltallige deel van a en a a het fractionele deel van a. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
70 Definitie Laat a R. Dan is a het grootste gehele getal n Z met n a. We noemen a het geheeltallige deel van a en a a het fractionele deel van a. Merk op dat voor het fractionele deel van een getal a geldt dat 0 a a < 1. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
71 Neem bijvoorbeeld de eerste rij van het Simplex tableaux: x s s 2 = Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
72 Neem bijvoorbeeld de eerste rij van het Simplex tableaux: x s s 2 = Splits elke coëfficiënt a in het geheeltallige deel a en het fractionele deel a a. 1x 1 + ( )s 1 + ( )s 2 = Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
73 Neem bijvoorbeeld de eerste rij van het Simplex tableaux: x s s 2 = Splits elke coëfficiënt a in het geheeltallige deel a en het fractionele deel a a. 1x 1 + ( )s 1 + ( )s 2 = Herschrijf zodanig dat de geheeltallige delen links en de fractionele delen rechts staan. x 1 2 = s s 2 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
74 Neem bijvoorbeeld de eerste rij van het Simplex tableaux: x s s 2 = Splits elke coëfficiënt a in het geheeltallige deel a en het fractionele deel a a. 1x 1 + ( )s 1 + ( )s 2 = Herschrijf zodanig dat de geheeltallige delen links en de fractionele delen rechts staan. x 1 2 = s s 2 Omdat de linkerzijde geheeltallig is, moet de rechterzijde ook geheeltallig zijn. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
75 De rechterzijde s s 2 moet geheeltallig zijn. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
76 De rechterzijde s s 2 moet geheeltallig zijn. Omdat 6 7 < 1 en s 1, s 2 0, zijn de enige mogelijke geheeltallige waardes voor de rechterzijde 0, 1, 2,... Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
77 De rechterzijde s s 2 moet geheeltallig zijn. Omdat 6 7 < 1 en s 1, s 2 0, zijn de enige mogelijke geheeltallige waardes voor de rechterzijde 0, 1, 2,..., dus: s s 2 0 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
78 De rechterzijde s s 2 moet geheeltallig zijn. Omdat 6 7 < 1 en s 1, s 2 0, zijn de enige mogelijke geheeltallige waardes voor de rechterzijde 0, 1, 2,..., dus: s s s s Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
79 De rechterzijde s s 2 moet geheeltallig zijn. Omdat 6 7 < 1 en s 1, s 2 0, zijn de enige mogelijke geheeltallige waardes voor de rechterzijde 0, 1, 2,..., dus: s s s s s 1 2s 2 6 Dit is een Gomory snede (Gomory cutting plane). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
80 De Gomory snede, in de originele variabelen, is: x 1 2: x x (1) (2) (3) x 1 Het gele deel van het polyeder is weggesneden. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
81 Om de nieuwe LP-relaxatie op te lossen, breng de Gomory snede, uitgedrukt in de basisvariabelen, in standaard vorm: s 1 2s 2 + s 4 = 6 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
82 Om de nieuwe LP-relaxatie op te lossen, breng de Gomory snede, uitgedrukt in de basisvariabelen, in standaard vorm: s 1 2s 2 + s 4 = 6 en voeg toe aan het huidige Simplex tableaux van de LP relaxatie: basis b x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 x 1 20/ /7 2/7 0 0 x s 3 23/ /7 10/7 1 0 s z 59/ /7 1/7 0 0 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
83 Om de nieuwe LP-relaxatie op te lossen, breng de Gomory snede, uitgedrukt in de basisvariabelen, in standaard vorm: s 1 2s 2 + s 4 = 6 en voeg toe aan het huidige Simplex tableaux van de LP relaxatie: basis b x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 x 1 20/ /7 2/7 0 0 x s 3 23/ /7 10/7 1 0 s z 59/ /7 1/7 0 0 De oplossing blijft duaal toegelaten maar is niet meer primaal toegelaten. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
84 Om de nieuwe LP-relaxatie op te lossen, breng de Gomory snede, uitgedrukt in de basisvariabelen, in standaard vorm: s 1 2s 2 + s 4 = 6 en voeg toe aan het huidige Simplex tableaux van de LP relaxatie: basis b x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 x 1 20/ /7 2/7 0 0 x s 3 23/ /7 10/7 1 0 s z 59/ /7 1/7 0 0 De oplossing blijft duaal toegelaten maar is niet meer primaal toegelaten. Pas de duale Simplex methode toe. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
85 Herhaling: Duale Simplex Methode voor minimaliseringsproblemen: 1 Initialisatie: vind een (primale) basisoplossing, niet noodzakelijk toegelaten, met c j 0 voor alle j. 2 Als b i 0 voor alle i dan is de huidige basisoplossing toegelaten en optimaal. Stop! 3 Kies uittredende basisvariabele behorende bij rij i met b i < 0. 4 Als ā i j 0 voor alle j dan heeft het probleem geen toegelaten oplossing. Stop! 5 Kies intredende variabele x j waarvoor c j ā i j { cj = max j ā i j } ā i j < 0. 6 Pas elementaire rijoperaties toe zodanig dat kolom j een 1 krijgt in rij i en verder alleen 0 en. Ga naar (2). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
86 basis b x1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 x 1 20/ /7 2/7 0 0 x s 3 23/ /7 10/7 1 0 s z 59/ /7 1/7 0 0 max{ 4/7 1, 1/7 2 } = 1/7 2 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
87 basis b x1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 x 1 20/ /7 2/7 0 0 x s 3 23/ /7 10/7 1 0 s z 59/ /7 1/7 0 0 max{ 4/7 1, 1/7 2 } = 1/7 2 Dus s 2 komt de basis in voor s 4. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
88 Pas rijoperaties toe: basis b x1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 x x / /2 s s / /2 z / /2 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
89 Nieuwe duale pivot: basis b x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 x x / /2 s s / /2 z / /2 Nu komt s 1 de basis in voor s 3. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
90 basis b x1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 x x 2 1/ /2 1 s s 2 5/ /2-1 z 15/ /2 3 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
91 De huidige oplossing, x LP = optimaal. basis b x1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 x x 2 1/ /2 1 s s 2 5/ /2-1 z 15/ /2 3 [ ] 2, is duaal en primaal toegelaten, en dus 1/2 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
92 De optimale oplossing van de LP-relaxatie na toevoegen van de eerste Gomory snede. x 2 (1) (2) z (3) X LP =(2,1/2) x 1 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
93 Laatste opmerkingen Voor elke rij van het Simplex tableaux, inclusief de doelfunctierij, kan een Gomory snede geformuleerd worden. Deze kunnen allemaal tegelijk aan de LP-relaxatie worden toegevoegd. Niet elke snede zal een deel van het polyeder wegsnijden. Ook in de Branch & Bound methode wordt steeds een restrictie aan de LP-relaxatie toegevoegd. Hier kan ook goed de Duale Simplex methode gebruikt worden om het nieuwe deelprobleem op te lossen. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40
Branch-and-Bound en Cutting Planes
Branch-and-Bound en Cutting Planes Vandaag: Er is nog geen algoritme om ILP s in polynomiale tijd op te lossen. Twee opties: 1 Exponentiëel algoritme dat optimale oplossing geeft 2 Polynomiaal algoritme
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 12 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober 2016 1 / 31 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 oktober 206 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 oktober 206 / 3 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 3 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september 2016 1 / 36 LP: Lineair Programmeren min x 1 2
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 13 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 9 december 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 9 december 2015 1 / 13 Vraag Wat moet ik kennen en kunnen voor
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 16 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november 2016 1 / 28 Vandaag Integer Linear Programming (ILP)
Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016
Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 september 2016 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september 2016 1 / 18 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een bijbehorend
Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 23 september 2015
Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 september 2015 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 23 september 2015 1 / 19 Mededelingen Maandag 28 september: deadline huiswerk
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 12 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 december 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december 2016 1 / 25 Volgende week: Study guide Vragenuurtje
Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren
Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren Vandaag: Wat is Integer Lineair Programmeren (ILP)? Relatie tussen ILP en LP Voorbeeld 1: Minimum Spanning Tree (MST) Voorbeeld 2: Travelling Salesman Problem
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 11 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 25 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 25 november 2015 1 / 28 Vandaag Vraag Voor welke problemen
Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica. Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, uur.
Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, 9.00-12.00 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf
Tentamen: Operationele Research 1D (4016)
UITWERKINGEN Tentamen: Operationele Research 1D (4016) Tentamendatum: 12-1-2010 Duur van het tentamen: 3 uur (maximaal) Opgave 1 (15 punten) Beschouw het volgende lineaire programmeringsprobleem P: max
TU/e 2DD50: Wiskunde 2
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Instructies (vandaag, 10:45 12:30) in vier zalen: Zaal Aud 10 Pav b2 Pav m23 Ipo 0.98 voor studenten met achternaam beginnend met letters A tot en met D met letters
TU/e 2DD50: Wiskunde 2
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Tussentoets: 26 november, tijdens de instructies Tentamenstof: LP; Simplex; dualiteit (= colleges 1 4) Bij de tussentoets mag een eenvoudige (niet programmeerbare)
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) Organisatorische informatie Wat Dag Tijd Zaal Docent College Tue 5+6 Aud 6+15 Gerhard Woeginger Thu 1+2 Aud 1+4 Gerhard Woeginger Clicker session Tue 7+8 Aud 6+15 Gerhard Woeginger
Optimalisering en Complexiteit, College 11. Complementaire speling; duale Simplex methode. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 11 Complementaire speling; duale Simplex methode Han Hoogeveen, Utrecht University Duale probleem (P) (D) min c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 max w 1 b 1 + w 2 b 2 +
1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord).
Tentamen Optimalisering (IN2805-I) Datum: 3 april 2008, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Naam: Studienummer: 1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist
Geheeltallige programmering
Geheeltallige programmering In een LP probleem zijn alle variabelen reëel. In een geheeltallig probleem blijven doelfunctie en constraints lineair, maar zijn de variabelen geheeltallig. LP: IP: BIP: MIP:
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 1 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september 2016 1 / 40 Opzet vak Woensdag: hoorcollege 13:45-15:30
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 oktober 2015 1 / 20 Deze week: algoritmes en complexiteit
Optimalisering en Complexiteit, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 1 Han Hoogeveen, Utrecht University Gegevens Docent : Han Hoogeveen : [email protected] Vak website : http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/ Student assistenten
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november 2016 1 / 28 Minimum Opspannende Boom (Minimum Spanning
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 28 oktober 2015 1 / 25 Definitie Een boom is een samenhangende
BESLISKUNDE 2 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN
BESLISKUNDE L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN Voorwoord Dit vak is een voortzetting van het tweedejaarscollege Besliskunde. Een aantal andere mathematische beslissingsproblemen komt aan de orde en
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 26 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober 2016 1 / 28 Deze week: analyseren van algoritmes Hoe
Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk.
Netwerkanalyse (H3) Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk. Deze problemen kunnen vaak als continu LP probleem worden opgelost. Door de speciale structuur
Optimalisering en Complexiteit, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 1 Han Hoogeveen, Utrecht University Gegevens Docent : Han Hoogeveen : [email protected] Vak website : http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/ Student assistenten
Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, Docent: Dr. J.B.M. Melissen
Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Veel succes! 1 Deze opgave bestaat uit 15 tweekeuzevragen. Per goed antwoord krijg je 2 punten. a. Dynamisch
Tie breaking in de simplex methode
Tie breaking in de simplex methode Tijdens de Simplexmethode kan op een aantal momenten onduidelijk zijn wat je moet doen: 1. Variabele die de basis in gaat: Zoek de grootste coëfficiënt in de doelfunctie.
1. Het aantal optimale oplossingen van een LP probleem is 0, 1, of oneindig. 2. De vereniging van twee konvexe verzamelingen is niet convex. 3.
1. Het aantal optimale oplossingen van een LP probleem is 0, 1, of oneindig. 2. De vereniging van twee konvexe verzamelingen is niet convex. 3. Een LP probleem heeft n>2 variabelen en n+2 constraints.
Universiteit Utrecht Departement Informatica
Universiteit Utrecht Departement Informatica Uitwerking Tussentoets Optimalisering 20 december 206 Opgave. Beschouw het volgende lineair programmeringsprobleem: (P) Minimaliseer z = x 2x 2 + x 3 2x 4 o.v.
Overzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search
Overzicht Inleiding Toepassingen Verwante problemen Modellering Exacte oplosmethode: B&B Insertie heuristieken Local Search Handelsreizigersprobleem 1 Cyclische permutatie van steden b 3 77 a 93 21 42
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 () Tussentoets 26 november, tijdens de instructies Zaal: paviljoen (study hub) Time: 90min Tentamenstof: colleges 4 (LP; Simplex; dualiteit; complementaire slackness) Oude tentamens:
Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005
Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 08-04-2005 1 Transportprobleem Onderdeel a Fabriek 1 kan 120 ton staal fabriceren in 40 uur. Voor fabriek 2 is dit 150
Tentamen combinatorische optimalisatie Tijd:
Tentamen combinatorische optimalisatie 26-05-2014. Tijd: 9.00-11.30 Tentamen is met gesloten boek. Beschrijf bij elke opgave steeds het belangrijkste idee. Notatie en exacte formulering is van minder belang.
Elfde college algoritmiek. 21 april Dijkstra en Branch & Bound
Algoritmiek 011/11 College 11 Elfde college algoritmiek 1 april 011 Dijkstra en Branch & Bound 1 Algoritmiek 011/11 Kortste paden Gegeven een graaf G met gewichten op de takken, en een beginknoop s. We
Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014
Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 3 september, 2014 Algemene informatie College: woensdag 9:00-10:45: Gorlaeus C1/C2, Leiden vrijdag: werkcollege Leiden en Delft Vier verplichte huiswerkopgaven Informatie
Divide & Conquer: Verdeel en Heers vervolg. Algoritmiek
Divide & Conquer: Verdeel en Heers vervolg Algoritmiek Algoritmische technieken Vorige keer: Divide and conquer techniek Aantal toepassingen van de techniek Analyse met Master theorem en substitutie Vandaag:
l e x e voor alle e E
Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met
Tie breaking in de simplex methode
Tie breaking in de simplex methode Tijdens de Simplexmethode kan op een aantal momenten onduidelijk zijn wat je moet doen: 1. Variabele die de basis in gaat: Zoek de grootste coëfficiënt in de doelfunctie.
Stelsels lineaire vergelijkingen
Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix. 2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte
Voorbeeld simplexmethode. Max Z = 3x 1 + 2x 2 0.5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x 2 + x 3 10, 3x 1 + x 2-2x 3 8, en x 1, x 2, x 3 0.
Voorbeeld simplexmethode Max Z = 3x 1 + 2x 2 0.5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x 2 + x 3 10, 3x 1 + x 2-2x 3 8, en x 1, x 2, x 3 0. Voer slackvariabelen (x 4, x 5 ) in: Max Z = 3x 1 + 2x 2 0.5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x
Optimalisering en Complexiteit, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 1 Han Hoogeveen, Utrecht University Gegevens Docent : Han Hoogeveen : [email protected] Vak website : http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/ Medewerkers : Ivor van
A.1 Grafentheorie 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A.1. GRAFENTHEORIE 65. dan heeft deze kring in ieder knooppunt een even aantal takken).
64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A. Grafentheorie Vraag. Neem drie knooppunten i, j en k. d(i, k) = het minimum aantal takken in een keten tussen i en k Vraag.2 het minimum aantal takken in een keten
1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d.
1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d. een toewijzingsprobleem. 2. Het aantal toegelaten hoekpunten in een
Taak 2: LP: simplex en sensitiviteitsanalyse Voorbeeld uitwerking
Taak 2: LP: simplex en sensitiviteitsanalyse Voorbeeld uitwerking. Sensitiviteitsanalyse (a) Als de prijs van legering 5 daalt, kan het voordeliger worden om gebruik te maken van deze legering. Als de
2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 27 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ [email protected]
Kortste Paden. Algoritmiek
Kortste Paden Toepassingen Kevin Bacon getal Six degrees of separation Heeft een netwerk de small-world eigenschap? TomTom / Google Maps 2 Kortste paden Gerichte graaf G=(N,A), en een lengte L(v,w) voor
Uitwerking tentamen Algoritmiek 9 juli :00 13:00
Uitwerking tentamen Algoritmiek 9 juli 0 0:00 :00. (N,M)-game a. Toestanden: Een geheel getal g, waarvoor geldt g N én wie er aan de beurt is (Tristan of Isolde) b. c. Acties: Het noemen van een geheel
Benaderingsalgoritmen
Benaderingsalgoritmen Eerste hulp bij NP-moeilijkheid 1 Herhaling NP-volledigheid (1) NP: er is een polynomiaal certificaat voor jainstanties dat in polynomiale tijd te controleren is Een probleem A is
Uitwerking tentamen Algoritmiek 10 juni :00 13:00
Uitwerking tentamen Algoritmiek 10 juni 2014 10:00 13:00 1. Dominono s a. Toestanden: n x n bord met in elk hokje een O, een X of een -. Hierbij is het aantal X gelijk aan het aantal O of hooguit één hoger.
Bijlage A Simplex-methode
Dee bijlage hoort bij Beter beslissen, Bijlage A Simplex-methode Verreweg de meeste LP-problemen worden opgelost met behulp van het ogenoemde Simplex-algoritme, in ontwikkeld door G.B. Dantig. De meeste
Lineaire Algebra (2DD12)
Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: [email protected] studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes. Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013
Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013 1 Inhoudsopgave 1 Transport problemen 3 2 Definities en stellingen
Opgave 2: Simplex-algoritme - oplossing
Opgave 2: Simplex-algoritme - oplossing Oefening 1- a) Coefficient of x r in Current Row 0 = 0 b) Let x s be the variable entering the basis and x r the variable leaving the basis. Then (Coefficient of
Heuristieken en benaderingsalgoritmen. Algoritmiek
Heuristieken en benaderingsalgoritmen Wat te doen met `moeilijke optimaliseringsproblemen? Voor veel problemen, o.a. optimaliseringsproblemen is geen algoritme bekend dat het probleem voor alle inputs
De Branch-and-Bound methode
De Branch-and-Bound methode Een eigenschap van het ILP probleem is dat er meestal maar een eindig aantal mogelijke oplossingen toegelaten zijn, of op zijn slechtst zijn de oplossingen aftelbaar (eventueel
Toewijzingsprobleem Bachelorscriptie
Radboud Universiteit Nijmegen Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Toewijzingsprobleem Bachelorscriptie Auteur: Veronique Rademaekers (s4155718) Begeleiders: Dr. W. Bosma en dr. H.
Examen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede kandidatuur Informatica Academiejaar 2004 2005, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. 1. Binomiale
Lineaire programmering
Lineaire programmering Hans Maassen kort naar Inleiding Besliskunde van J. Potters [Pot]. en Methods of Mathematical Economics van J. Franklin [Fra]. Lineaire programmering is het bepalen van het maximum
Het Queens n 2 graafkleuring probleem
Het Queens n 2 graafkleuring probleem Wouter de Zwijger Leiden Institute of Advanced Computer Science Universiteit Leiden Niels Bohrweg 1 2333 CA Leiden The Netherlands Samenvatting In dit artikel behandelen
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: [email protected] studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Uitgebreide uitwerking tentamen Algoritmiek Dinsdag 2 juni 2009, uur
Uitgebreide uitwerking tentamen Algoritmiek Dinsdag 2 juni 2009, 10.00 13.00 uur Opgave 1. a. Een toestand wordt bepaald door: het aantal lucifers op tafel, het aantal lucifers in het bezit van Romeo,
Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen
Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 28-03-2003 1 Docenten Onderdeel a Er zijn 6 vakken V 1, V 2,..., V 6. Vak V j heeft een vraag b j = 1, voor j = 1, 2,...,
Doorzoeken van grafen. Algoritmiek
Doorzoeken van grafen Algoritmiek Vandaag Methoden om door grafen te wandelen Depth First Search Breadth First Search Gerichte Acyclische Grafen en topologische sorteringen 2 Doolhof start eind 3 Depth
Ruimtewiskunde. college. Stelsels lineaire vergelijkingen. Vandaag UNIVERSITEIT TWENTE. Stelsels lineaire vergelijkingen.
college 4 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 16-17 4 29 maart 217 38 1 2 3.16-17[4] 1 vandaag Vectoren De notatie (x 1, x 2,..., x n ) wordt gebruikt voor het punt P met coördinaten (x 1,
Vierde college complexiteit. 26 februari Beslissingsbomen en selectie Toernooimethode Adversary argument
Complexiteit 2019/04 College 4 Vierde college complexiteit 26 februari 2019 Beslissingsbomen en selectie Toernooimethode Adversary argument 1 Complexiteit 2019/04 Zoeken: samengevat Ongeordend lineair
Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 2 september, 2015
Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 2 september, 2015 Algemene informatie College: woensdag 13:45-15:30: Leiden C1 en C2: Gorlaeus gebouw Zaal DS: De Sitterzaal, Oort gebouw Werkcollege: vrijdag: Leiden
Basiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014
Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : [email protected] homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: [email protected] studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Enkele basismodellen uit operationeel onderzoek
Enkele baimodellen uit operationeel onderzoek Roel Leu [email protected] Studiedag Wikunde e graad ASO 6 mei Inleiding Operationeel onderzoek (O.O.) = het gebruik van wikundige technieken voor
1 Transportproblemen. 1.1 Het standaard transportprobleem
1 Transportproblemen 1.1 Het standaard transportprobleem Dit is het eenvoudigste logistieke model voor ruimtelijk gescheiden vraag en aanbod. Een goed is beschikbaar in gekende hoeveelheden op verscheidene