Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 2 september, 2015
|
|
- Hanne de Wilde
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 2 september, 2015
2 Algemene informatie College: woensdag 13:45-15:30: Leiden C1 en C2: Gorlaeus gebouw Zaal DS: De Sitterzaal, Oort gebouw Werkcollege: vrijdag: Leiden en Delft Drie sets huiswerkopgaven Deeltentamen Tentamen Eindcijfer = max{tentamencijfer, 0.55 tentamencijfer deeltentamencijfer huiswerkcijfer} Onder de voorwaarde: tentamencijfer 5.5
3 Algemene informatie Informatie en documenten worden op mijn homepage bijgehouden: Het deeltentamen is op maandag 2 november 2015, 11:00 13:00 in Leiden en Delft. Inleverdata voor het huiswerk zijn: maandag 28 september maandag 26 oktober maandag 7 december
4 Wat is optimalisering? Bepaal de beste oplossing uit een gegeven verzameling oplossingen. Wat is hier moeilijk aan????
5 Voorbeeld: Je moet gaten boren voor componenten en bedrading van een printed circuit board (pcb). De boormachine moet zo snel mogelijk klaar zijn. Hoe kunnen we dit probleem wiskundig modelleren?
6 Een model gebaseerd op een graaf G: Een graaf bestaat uit punten en kanten (verbindingen) De punten representeren de gaten in het pcb. Alle verbindingen tussen punten zijn mogelijk. Als een verbinding wordt gebruikt betekent dit dat de twee verbonden punten (=gaten) achter elkaar worden geboord. Een graaf Een graaf waar we uit alle mogelijke verbindingen mogen kiezen
7 Hoe ziet er een toegelaten verzameling verbindingen uit? Ze vormen een route door de gaten. Elk gat wordt precies één keer geboord.
8 Nog een voorbeeld:
9 Een mogelijke route: Goede route?
10 Deze route is veel korter? Maar is het de beste? Hoeveel routes zijn er in een ongerichte graaf met n punten? Voor ons voorbeeldje: 19,958,400 routes Die zijn makkelijk te bepalen en te vergelijken. Maar dit was maar een klein voorbeeldje...
11 100 gaten: routes Ouch, we moeten iets slimmers bedenken
12 Terug naar ons echte voorbeeld:
13 3038 gaten Beste (=optimale) route:
14 Hoe pakken we dit aan? Formuleer een optimaliseringsprobleem gebaseerd op het grafen-model: Input (wat weten wij?): De graaf lengte van elke verbinding (kant). en de Stap 1: Definieer de beslissingsvariabelen (wat willen we eigenlijk weten?) Stap 2: Formuleer de doelfunctie (wat willen wij maximaliseren of minimaliseren?) Hier: minimaliseer de lengte van de route
15 Stap 3: Formuleer de voorwaarden (Als we niks doen krijgen alle variabelen waarde 0) (i) De boormachine gaat naar een te boren gat en gaat na het boren weer weg. Dat betekent dat elk punt precies twee verbindingen moet hebben (ii) Wij willen geen sub-routes Iets ingewikkelder te formuleren maar kan wel lineair!
16 (iii) Restricties op de variabelwaarden Oftewel,
17 Output: De variabelwaarden 0 of 1 voor elke variabele. De variabelen met waarde 1 behoren bij verbindingen die samen een route vormen! Om output te produceren, laten we een algoritme op het model los. Huidig wereldrecord : punten in een VLSI-toepassing, opgelost in 2006
18 Belangrijke vragen: Wat is een goed wiskundig model voor een gegeven probleem? Hoe ziet er een optimaliteitsbewijs eruit? Wat is een goed algoritme om het probleem, gegeven het model, op te lossen? Zijn er modellen waarvoor we geen efficiënte ( goede ) algoritmes kennen? Zo ja, hoe kunnen we dat verklaren? Het net beschreven probleem is een toepassing van het Handelsreizigersprobleem (Traveling Salesman Problem, TSP) Zie voor een boel info!
19 Wat is optimalisering? Bepaal de beste oplossing uit een gegeven verzameling oplossingen. Wat is hier moeilijk aan???? De oplossingen zijn impliciet gegeven als een verzameling vectoren die voldoen aan gegeven voorwaarden. Hoe kunnen we oplossingen karakteriseren? Oneindig veel oplossingen? Ook in gevallen waar wij de oplossingen expliciet zouden kunnen opschrijven en vergelijken, zou dit in de meeste gevallen veel te lang duren. WIJ HEBBEN WISKUNDE NODIG (algebra, discrete wiskunde, analyse, algoritmiek )!!!
20 OPTIMALISERING Algemene formulering: zijn functies van o.d.v. = onder de voorwaarden In het Engels: s.t. = subject to
21 Speciale gevallen: Zie appendix is convex, concaaf, lineair: convexe optimalisering, en lineair: lineaire optimalisering Als : lineaire geheeltallige optimalisering
22 Focus van dit vak LINEAIRE PROGRAMMERINGS- problemen: LP-problemen LINEAIRE GEHEELTALLIGE PROGRAMMERINGS-problemen: (Eng: INTEGER LINEAR PROGRAMMING): ILP- of IP-problemen Het gebied ontstond in de 1940-er jaren uit de behoefte om grote logistieke operaties te plannen ( programming ) ivm WW II. Toen kwam ook de eerste computers en kon er gerekend worden! Belangrijke artikelen: George B. Dantzig (1951): Maximization of a linear function of variables subject to linear inequalities. Ralph E. Gomory (1958): Outline of an algorithm for integer solutions to linear programs.
23 Voorbeeld Probleem: Facility Location Stel m winkels moeten regelmatig bevoorraad worden. Er zijn n locaties waar distributiecentra (dc) gevestigd kunnen worden. Selecteerd locaties voor distributiecentra zodanig dat de totale kosten zo klein mogelijk zijn. cc jj zijn de kosten om een distributiecentrum te openen op locatie j dd iiii zijn de kosten om winkel i vanuit locatie j te bevoorraden
24 Formuleren als een ILP-probleem (Integer Linear Programming) Stap 1: definieer de beslissingsvariabelen Hoe kun je een oplossing met variabelen beschrijven? Stap 2: formuleer de doelfunctie Wat willen we optimaliseren? Stap 3: formuleer de voorwaarden Zorg er voor dat de beslissingsvariabelen geldige oplossingen beschrijven
25 Facility Location formuleren met ILP Stap 1: definieer de beslissingsvariabelen xx iiii = 1 als klant i vanuit locatie j bevoorraad wordt en anders is xx iiii = 0 yy jj = 1 als op locatie j een distributiecentrum geopend wordt en anders is yy jj = 0 Stap 2: formuleer de doelfunctie min dd iiii xx iiii ii,jj + cc jj Stap 3: formuleer de voorwaarden O.d.v. jj xx iiii = 1 voor alle ii xx iiii yy jj voor alle ii, jj xx iiii, yy jj {0,1} voor alle ii, jj jj yy jj
26 NEIGHBORHOODS Gegeven een toegelaten oplossing van een bepaald probleem, de buurruimte (neighbourhood) van is de verzameling oplossingen die in een bepaalde opzicht dichtbij zijn. Voorbeeld: TSP, 2-exchange neighborhood verzameling oplossingen die kunnen worden verkregen door 2 kanten uit de tour te verwijderen en daarna 2 nieuwe kanten toe te voegen, zodanig dat een nieuwe tour wordt gecreёerd.
27 Een 2-exchange :
28 Een 2-exchange : Def. Een oplossing is een lokaal optimum m.b.t. als voor iedere Een oplossing is een globaal optimum als voor iedere
29 Def. Gegeven een optimaliseringsprobleem met verzameling toegelaten oplossingen en buurruimte. Als elke die locaal optimaal is m.b.t. ook globaal optimaal is, dan noemen we buurruimte exact. Voorbeeld: Voor TSP: is niet exact, maar wel.
30 Grafen Een graaf G is een paar, G=(V,E) V = verzameling knooppunten/knopen (nodes, vertices) E = verzameling kanten (edges); ongeordend paar punten Voorbeeld: vv 1 vv 2 vv 3 vv 4
31 Gerichte grafen Een gerichte graaf D is een paar D=(V,A) V = verzameling knooppunten/knopen (nodes, vertices) A = verzameling pijlen (arcs); geordende paren knopen Voorbeeld: DD = ( vv 1, vv 2, vv 3, vv 4, {[vv 1, vv 2 ], [vv 2, vv 3 ], [vv 4, vv 1 ], [vv 4, vv 3 ], [vv 1, vv 3 ]}) vv 1 vv 2 vv 3 vv 4
32 Een grafenprobleem formuleren met ILP (Integer Linear Programming) Probleem: Kortste Pad Gegeven: gerichte graaf D=(V,A) met lengte ll iiii voor elke pijl aa = [ii, jj] en twee speciale knopen s en t. Vind: een kortste pad van s naar t. ss tt
33 Een grafenprobleem formuleren met ILP (Integer Linear Programming) Probleem: Kortste Pad Gegeven: gerichte graaf D=(V,A) met lengte ll iiii voor elke pijl aa = [ii, jj] en twee speciale knopen s en t. Vind: een kortste pad van s naar t. ss Het kortste pad heeft lengte tt
34 Een grafenprobleem formuleren met ILP (Integer Linear Programming) Probleem: Kortste Pad Gegeven: gerichte graaf D=(V,A) met lengte ll iiii voor elke pijl aa = [ii, jj] en twee speciale knopen s en t. Vind: een kortste pad van s naar t. Formuleer als een ILP-probleem Stap 1: definieer de beslissingsvariabelen Hoe kun je een oplossing met variabelen beschrijven? Stap 2: formuleer de doelfuctie Wat willen we optimaliseren? Stap 3: formuleer de voorwaarden Zorg er voor dat de beslissingsvariabelen geldige oplossingen beschrijven
35 Kortste Pad Probleem formuleren met ILP Stap 1: definieer de beslissingsvariabelen xx iiii = 1 0 Als het pad pijl ii, jj gebruikt Anders Stap 2: formuleer de doelfunctie min ll iiii xx iiii [ii,jj] AA Stap 3: formuleer de voorwaarden O.d.v. jj xx iiii jj xx jjjj xx iiii {0,1} 1 voor ii = ss = 1 voor ii = tt 0 voor alle andere ii voor alle i,j
36 Boom en bos is samenhangend als er een pad bestaat tussen elk tweetal knopen. Een boom (tree) is een samenhangende graaf zonder circuits. Lemma: Zij een ongerichte graaf. De volgende beweringen zijn equivalent: is een boom is samenhangend en heeft kanten heeft geen circuits, maar als een kant aan wordt toegevoegd dan ontstaat er een uniek circuit. Een bos (forest) is een verzameling bomen.
37 Een deelgraaf van een samenhangende graaf is een opspannende boom in als een boom is en.. Probleem: Minimum Spanning Tree (MST) Gegeven: graaf G=(V,E) met lengte dd ii voor elke kant e i EE. Vind: een opspannende boom van G zodanig dat de som van de lengtes van de lijnen in de boom minimaal is. v u w x
38 Een deelgraaf van een samenhangende graaf is een opspannende boom in als een boom is en.. Probleem: Minimum Spanning Tree (MST) Gegeven: graaf G=(V,E) met lengte dd ii voor elke kant e i EE. Vind: een opspannende boom van G zodanig dat de som van de lengtes van de lijnen in de boom minimaal is. v u w x De minimum opspannende boom heeft lengte 6.
39 MST formuleren met LP: voorbeeld Beslissingsvariabelen: xx ii = 1 als lijn ee ii in de boom zit en anders is xx ii = 0 v ee 11 u ee 33 ee 22 w min dd 1 xx 1 + dd 2 xx 2 + dd 3 xx 3 o.d.v. xx 1 + xx 2 + xx 3 = 2 xx 1, xx 2, xx 3 0 xx 1, xx 2, xx 3, 1 (xx 1, xx 2, xx 3 geheeltallig)
40 MST formuleren met LP: voorbeeld u ee 11 ee 22 v ee 33 w Alle hoekpunten zijn geheeltallig, dus de geheeltalligheidseisen kunnen worden weggelaten! min dd 1 xx 1 + dd 2 xx 2 + dd 3 xx 3 o.d.v. xx 1 + xx 2 + xx 3 = 2 xx 1, xx 2, xx 3 0 xx 1, xx 2, xx 3, 1 (xx 1, xx 2, xx 3 geheeltallig)
41 Netwerk Een netwerk is een gerichte graaf samen met een startpunt (source) met in-graad 0, een eindpunt (terminal) met uit-graad 0, bovengrens (capaciteit) op de stroom op elke pijl. ss 7 12 Capaciteit tt
42 Een grafenprobleem formuleren met LP (Linear Programming) Probleem: Max Flow Gegeven: netwerk nn = (ss, tt, VV, AA, bb) Vind: een maximale stroom van s naar t In elke knoop behalve s en t is er behoud van stroom Op elke pijl [u,v] is de stroom maximaal b(u,v). ss 6 (7) 10 (12) Stroom Capaciteit 5 (7) 0(3) 4(4) 0(2) 3(4) 2 (2) 1(1) 5(5) 1 (3) 4(4) 9 (12) tt
43 Max Flow formuleren met LP Stap 1: definieer de beslissingsvariabelen xx iiii is de stroom over pijl [i,j] Stap 2: formuleer de doelfunctie max xx ssss [ss,jj] AA Stap 3: formuleer de voorwaarden O.d.v. jj xx iiii jj xx jjjj xx iiii bb ii, jj xx iiii 0 = 0 voor alle ii VV {ss, tt} voor alle ii, jj VV voor alle ii, jj VV
44 Trucs voor ILP formuleringen Laat xx ii, yy jj {0,1} binaire variabelen zijn als xx ii = 11 dan yy jj = 11 kan gemodelleerd worden als: yy jj xx ii als xx ii = 00 dan yy jj = 00 kan gemodelleerd worden als: yy jj xx ii
45 Trucs voor ILP formuleringen Laat zz {0,1} en xx R variabelen zijn en aa, bb R constantes. als zz = 00 dan aaaa bb kan gemodelleerd worden als: aaaa bb + MMMM oftewel aaaa MMMM bb als zz = 11 dan aaaa bb kan gemodelleerd worden als: aaaa bb + MM(11 zz) oftewel aaaa + MMMM bb + MM met M een heel groot getal.
46 Appendix:
47 CONVEXE FUNCTIES EN VERZAMELINGEN Def. Een convexe combinatie van twee gegeven punten is elk punt dat geschreven kan worden als dat wil zeggen, elk punt dat op het lijnsegment ligt tussen (en inclusief) de punten en. Def. Een verzameling is convex als die alle convexe combinaties bevat van paren punten. xx xx xx yy yy yy convex convex Niet convex
48 Lemma. De doorsnede van convexe verzamelingen convexe verzameling. is een Bewijs. Als en tot behoren, dan behoren ze tot elke deelverzameling. Iedere convexe combinatie van en behoren dan ook tot elke, en daardoor ook tot.
49 Def. Zij een convexe verzameling. De functie is convex in SS als voor ieder paar punten xx, yy SS geldt dat Als zeggen we dat convex is. Def. Een functie gedefinieerd in een convexe verzameling noemen we concaaf in SS als convex is in. Een lineaire functie is convex en concaaf! concaaf convex lineair
50 Begrippen m.b.t. optimaliseringsproblemen Def. Een instantie (geval) van een optimaliseringsprobleem is een paar waarbij is de verzameling toegelaten oplossingen en is de kostenfunctie (doelfunctie): We willen een oplossing bepalen zodanig dat voor iedere. Zo n oplossing noemen we (globaal) optimaal!
51 Def. Een probleem(type) is de verzameling van al zijn instanties. Voorbeelden: 1. Probleem: Het Handelsreizigersprobleem (Traveling Salesman Problem (TSP)) Gegeven zijn steden en een afstandenmatrix. Een tour (of route) is een gesloten pad dat elke stad precies één keer bezoekt. Bepaal de kortste tour. Een instantie wordt bepaald door een gegeven afstandenmatrix. en een specifieke
52 2. Probleemtype: Lineaire optimalisering, LP Gegeven een matrix, een -vector en een -vector, kunnen we een instantie van LP definiëren als: (toegelaten gebied ) (doelfunctie)
53 Begrippen m.b.t grafen Ongerichte grafen grenst aan (is adjacent to) als er een kant bestaat raakt (is incident to) en De graad (degree) dd(vv) van een knoop vv is het aantal kanten dat vv raakt vv 1 vv 2 Hier grenst vv 1 aan vv 2, vv 3 en vv 4. De graad van vv 1 is dus 3. vv 3 vv 4
54 Een wandeling w in G is een aaneenschakeling van knooppunten zodanig dat De wandeling is gesloten als en. v w u y [y,u,v,y,x,z] is een wandeling x z [y,u,v,y,x,z,w,y] is een gesloten wandeling
55 Een wandeling zonder repetities van knopen is een pad (path). v w u y [y,u,v,w,z] is een pad x z Een gesloten wandeling zonder repetities van knopen is een circuit of kring (cycle). v w u y [y,u,v,w,z,x,y] is een circuit x z
56 Gerichte grafen De in-graad (indegree) dd vv van knoop vv, is het aantal pijlen dat vv als eindpunt heeft. De uit-graad (outdegree) dd + vv van knoop vv, is het aantal pijlen dat vv als beginpunt heeft. vv 1 vv 2 dd vv 1 = 1 dd + vv 1 = 2 vv 3 vv 4 Analoog met het ongerichte geval hebben wij gerichte wandeling, gericht pad, gericht circuit
57 Bipartiete grafen Een graaf heet bipartiet als er een partitie van de knopen in en bestaat, zodanig dat elke kant één eindpunt in en één eindpunt in heeft. niet bipartiet bipartiet bipartiet
Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 6 september, 2012
Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 6 september, 2012 Algemene informatie College: donderdag 9:00-10:45: Gorlaeus C1/C2, Leiden vrijdag: werkcollege Leiden en Delft vragenuur Delft Vier verplichte huiswerkopgaven
Nadere informatieOptimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014
Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 3 september, 2014 Algemene informatie College: woensdag 9:00-10:45: Gorlaeus C1/C2, Leiden vrijdag: werkcollege Leiden en Delft Vier verplichte huiswerkopgaven Informatie
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 1 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september 2016 1 / 40 Opzet vak Woensdag: hoorcollege 13:45-15:30
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 11 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 11 november 2015 1 / 22 Mededelingen Huiswerk 2 nagekeken Terug
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 16 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november 2016 1 / 28 Vandaag Integer Linear Programming (ILP)
Nadere informatieHoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren
Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren Vandaag: Wat is Integer Lineair Programmeren (ILP)? Relatie tussen ILP en LP Voorbeeld 1: Minimum Spanning Tree (MST) Voorbeeld 2: Travelling Salesman Problem
Nadere informatiel e x e voor alle e E
Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 11 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 25 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 25 november 2015 1 / 28 Vandaag Vraag Voor welke problemen
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 28 oktober 2015 1 / 25 Definitie Een boom is een samenhangende
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november 2016 1 / 28 Minimum Opspannende Boom (Minimum Spanning
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 13 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 9 december 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 9 december 2015 1 / 13 Vraag Wat moet ik kennen en kunnen voor
Nadere informatieGrafen. Indien de uitgraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Indien de ingraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel.
Grafen Grafen Een graaf bestaat uit een verzameling punten (ook wel knopen, of in het engels vertices genoemd) en een verzameling kanten (edges) of pijlen (arcs), waarbij de kanten en pijlen tussen twee
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 oktober 2015 1 / 20 Deze week: algoritmes en complexiteit
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 12 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 december 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december 2016 1 / 25 Volgende week: Study guide Vragenuurtje
Nadere informatie2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TUE) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 3 en 6 februari 2014 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 2 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 14 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september 2016 1 / 30 Modelleren van LP en ILP problemen
Nadere informatieTentamen combinatorische optimalisatie Tijd:
Tentamen combinatorische optimalisatie 26-05-2014. Tijd: 9.00-11.30 Tentamen is met gesloten boek. Beschrijf bij elke opgave steeds het belangrijkste idee. Notatie en exacte formulering is van minder belang.
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 26 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober 2016 1 / 28 Deze week: analyseren van algoritmes Hoe
Nadere informatieDiscrete Wiskunde, College 12. Han Hoogeveen, Utrecht University
Discrete Wiskunde, College 12 Han Hoogeveen, Utrecht University Dynamische programmering Het basisidee is dat je het probleem stap voor stap oplost Het probleem moet voldoen aan het optimaliteitsprincipe
Nadere informatieBranch-and-Bound en Cutting Planes
Branch-and-Bound en Cutting Planes Vandaag: Er is nog geen algoritme om ILP s in polynomiale tijd op te lossen. Twee opties: 1 Exponentiëel algoritme dat optimale oplossing geeft 2 Polynomiaal algoritme
Nadere informatieOptimalisering en Complexiteit, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 1 Han Hoogeveen, Utrecht University Gegevens Docent : Han Hoogeveen : j.a.hoogeveen@uu.nl Vak website : http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/ Student assistenten
Nadere informatieOverzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search
Overzicht Inleiding Toepassingen Verwante problemen Modellering Exacte oplosmethode: B&B Insertie heuristieken Local Search Handelsreizigersprobleem 1 Cyclische permutatie van steden b 3 77 a 93 21 42
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 oktober 206 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 oktober 206 / 3 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 12 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober 2016 1 / 31 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft
Nadere informatieBomen. 8.8 ongerichte bomen 9.4 gerichte bomen ch 10. binaire bomen. deel 1. Negende college
10 Bomen deel 1 Negende college 8.8 ongerichte bomen 9.4 gerichte bomen ch 10. binaire bomen 1 typen bomen Er zijn drie verschillende typen bomen, die in Schaum over verschillende hoofdstukken verdeeld
Nadere informatiel e x e voor alle e E
Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met
Nadere informatieGrafen en netwerken I Datastructuren en doorzoeken. Algoritmiek
Grafen en netwerken I Datastructuren en doorzoeken Algoritmiek 1 Inleiding 2 Netwerken Veel toepassingen, bijvoorbeeld: Sociale netwerken, electrische netwerken, wegennetwerken, communicatie netwerken,
Nadere informatieOptimalisering en Complexiteit, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 1 Han Hoogeveen, Utrecht University Gegevens Docent : Han Hoogeveen : j.a.hoogeveen@uu.nl Vak website : http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/ Student assistenten
Nadere informatieTransshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes. Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013
Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013 1 Inhoudsopgave 1 Transport problemen 3 2 Definities en stellingen
Nadere informatie2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 27 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com
Nadere informatieOptimalisering en Complexiteit, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 1 Han Hoogeveen, Utrecht University Gegevens Docent : Han Hoogeveen : j.a.hoogeveen@uu.nl Vak website : http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/ Medewerkers : Ivor van
Nadere informatiedefinities recursieve datastructuren college 13 plaatjes soorten Graph = ( V, E ) V vertices, nodes, objecten, knopen, punten
recursieve datastructuren college graphs definities Graph = ( V, E ) V vertices, nodes, objecten, knopen, punten E edges, arcs, kanten, pijlen, lijnen verbinding tussen knopen Voorbeelden steden en verbindingswegen
Nadere informatieUniversiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica. Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, uur.
Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, 9.00-12.00 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf
Nadere informatie2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 maart 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com
Nadere informatieHoofdstuk 17: Approximation Algorithms
Hoofdstuk 17: Approximation Algorithms Overzicht: Vorige week: Π NP-volledig Π waarschijnlijk niet polynomiaal oplosbaar 2 opties: 1 Optimaal oplossen, niet in polynomiale tijd (B&B, Cutting planes) 2
Nadere informatieUniversiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, uur.
Universiteit Utrecht Betafaculteit Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, 13.30-16.30 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf op elk ingeleverd
Nadere informatieTU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) Organisatorische informatie Wat Dag Tijd Zaal Docent College Tue 5+6 Aud 6+15 Gerhard Woeginger Thu 1+2 Aud 1+4 Gerhard Woeginger Clicker session Tue 7+8 Aud 6+15 Gerhard Woeginger
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 10 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november 2016 1 / 40 Vraag Ik heb het deeltentamen niet
Nadere informatieGrafen deel 2 8/9. Zesde college
Grafen deel 2 8/9 Zesde college 1 Een Eulercircuit is een gesloten wandeling die elke lijn precies één keer bevat. traversable trail all edges distinct 8.5 rondwandeling zeven bruggenprobleem van Köningsbergen
Nadere informatiez x 1 x 2 x 3 x 4 s 1 s 2 s 3 rij rij rij rij
ENGLISH VERSION SEE PAGE 3 Tentamen Lineaire Optimalisering, 0 januari 0, tijdsduur 3 uur. Het gebruik van een eenvoudige rekenmachine is toegestaan. Geef bij elk antwoord een duidelijke toelichting. Als
Nadere informatieBenaderingsalgoritmen
Benaderingsalgoritmen Eerste hulp bij NP-moeilijkheid 1 Herhaling NP-volledigheid (1) NP: er is een polynomiaal certificaat voor jainstanties dat in polynomiale tijd te controleren is Een probleem A is
Nadere informatie1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord).
Tentamen Optimalisering (IN2805-I) Datum: 3 april 2008, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Naam: Studienummer: 1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist
Nadere informatieTwaalfde college algoritmiek. 12 mei Branch & Bound
Twaalfde college algoritmiek 12 mei 2016 Branch & Bound 1 Branch and bound -1- Branch & bound is alleen toepasbaar op optimalisatieproblemen genereert oplossingen stap voor stap en houdt de tot dusver
Nadere informatieHebzucht loont niet altijd
Thema Discrete wiskunde Hoe verbind je een stel steden met zo weinig mogelijk kilometers asfalt? Hoe maak je een optimaal computernetwerk met kabels die maar een beperkte capaciteit hebben? Veel van zulke
Nadere informatieTiende college algoritmiek. 4 mei Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra
Tiende college algoritmiek mei 018 Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra 1 Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten van d 1,d,...d m eurocent, en een te betalen bedrag van n (n 0) eurocent. Alle
Nadere informatieTiende college algoritmiek. 13/21 april Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra
Algoritmiek 017/Gretige Algoritmen Tiende college algoritmiek 13/1 april 017 Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra 1 Algoritmiek 017/Gretige Algoritmen Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten
Nadere informatie1 Complexiteit. of benadering en snel
1 Complexiteit Het college van vandaag gaat over complexiteit van algoritmes. In het boek hoort hier hoofdstuk 8.1-8.5 bij. Bij complexiteitstheorie is de belangrijkste kernvraag: Hoe goed is een algoritme?
Nadere informatieElfde college complexiteit. 23 april NP-volledigheid III
college 11 Elfde college complexiteit 23 april 2019 NP-volledigheid III 1 TSP Als voorbeeld bekijken we het Travelling Salesman/person Problem, ofwel het Handelsreizigersprobleem TSP. Hiervoor geldt: TSP
Nadere informatieTU/e 2DD50: Wiskunde 2
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Instructies (vandaag, 10:45 12:30) in vier zalen: Zaal Aud 10 Pav b2 Pav m23 Ipo 0.98 voor studenten met achternaam beginnend met letters A tot en met D met letters
Nadere informatieNetwerkstroming. Algoritmiek
Netwerkstroming Vandaag Netwerkstroming: definitie en toepassing Het rest-netwerk Verbeterende paden Ford-Fulkerson algoritme Minimum Snede Maximum Stroming Stelling Variant: Edmonds-Karp Toepassing: koppelingen
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 6 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 19 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 19 oktober 2016 1 / 20 Deze week Primal-Dual algoritmes voor:
Nadere informatiemax 5x 1 2x 2 s.t. 2x 1 x 2 10 (P) x 1 + 2x 2 2 x 1, x 2 0
Voorbeeldtentamen Deterministische Modellen in de OR (158075) Opmerking vooraf: Geef bij elke opgave een volledige en duidelijke uitwerking inclusief argumentatie! Gebruik van de rekenmachine is niet toegestaan.
Nadere informatieOefententamen in2505-i Algoritmiek
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Oefententamen in2505-i Algoritmiek Maart 2007 Het gebruik van boek of aantekeningen tijdens dit tentamen is niet toegestaan.
Nadere informatieUniversiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde op donderdag 13 april 2017, uur.
Universiteit Utrecht Betafaculteit Examen Discrete Wiskunde op donderdag 13 april 2017, 14.30-17.30 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf op elk ingeleverd
Nadere informatieModeluitwerking Tentamen Computationele Intelligentie Universiteit Leiden Informatica Vrijdag 11 Januari 2013
Modeluitwerking Tentamen Computationele Intelligentie Universiteit Leiden Informatica Vrijdag Januari 20 Opgave. Python Gegeven is de volgende (slechte) Python code:. def t(x): 2. def p(y):. return x*y
Nadere informatieTransport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen
Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 28-03-2003 1 Docenten Onderdeel a Er zijn 6 vakken V 1, V 2,..., V 6. Vak V j heeft een vraag b j = 1, voor j = 1, 2,...,
Nadere informatie5 Automatische partitionering van softwaresystemen
26 Proceedings of the 52 nd European Study Group with Industry 5 Automatische partitionering van softwaresystemen Rob Bisseling, Jarosław Byrka, Selin Cerav-Erbas, Nebojša Gvozdenović, Mathias Lorenz,
Nadere informatieSommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk.
Netwerkanalyse (H3) Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk. Deze problemen kunnen vaak als continu LP probleem worden opgelost. Door de speciale structuur
Nadere informatieTentamen Deterministische Modellen in de OR Dinsdag 17 augustus 2004, uur vakcode
Kenmerk: EWI04/T-DWMP//dh Tentamen Deterministische Modellen in de OR Dinsdag 7 augustus 004, 9.00.00 uur vakcode 58075 Opmerking vooraf: Geef bij elke opgave een volledige en duidelijke uitwerking inclusief
Nadere informatieV = {a, b, c, d, e} Computernetwerken: de knopen zijn machines in het netwerk, de kanten zijn communicatiekanalen.
WIS14 1 14 Grafen 14.1 Grafen Gerichte grafen Voor een verzameling V is een binaire relatie op V een verzameling geordende paren van elementen van V. Voorbeeld: een binaire relatie op N is de relatie KleinerDan,
Nadere informatieToewijzingsprobleem Bachelorscriptie
Radboud Universiteit Nijmegen Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Toewijzingsprobleem Bachelorscriptie Auteur: Veronique Rademaekers (s4155718) Begeleiders: Dr. W. Bosma en dr. H.
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 3 maart 2008 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren
Nadere informatieSamenvatting college 1-12
Samenvatting college 1-12 Probleemformulering Duidelijk definiëren van beslissingsvariabelen Zinvolle namen voor variabelen bv x ij voor ingrediënt i voor product j, niet x 1,..., x 20 Beschrijving van
Nadere informatieA.1 Grafentheorie 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A.1. GRAFENTHEORIE 65. dan heeft deze kring in ieder knooppunt een even aantal takken).
64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A. Grafentheorie Vraag. Neem drie knooppunten i, j en k. d(i, k) = het minimum aantal takken in een keten tussen i en k Vraag.2 het minimum aantal takken in een keten
Nadere informatieTiende college algoritmiek. 2 mei Gretige algoritmen, Dijkstra
College 10 Tiende college algoritmiek mei 013 Gretige algoritmen, Dijkstra 1 Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten van d 1,d,...d m eurocent, en een te betalen bedrag van n (n 0) eurocent. Alle
Nadere informatieGrafen deel 2 8/9. Zevende college
Grafen deel 2 8/9 Zevende college 1 H8: ongerichte graaf Een graaf G = G(V,E) = (V,E) bestaat uit twee (eindige) verzamelingen: V knopen (punten; vertices,nodes,points) E lijnen (takken,zijden,kanten,bogen;edges)
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 23 februari 2009 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren Week 3 en 4:
Nadere informatieHeuristieken en benaderingsalgoritmen. Algoritmiek
Heuristieken en benaderingsalgoritmen Wat te doen met `moeilijke optimaliseringsproblemen? Voor veel problemen, o.a. optimaliseringsproblemen is geen algoritme bekend dat het probleem voor alle inputs
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 2 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 9 september 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 9 september 2015 1 / 23 Huiswerk Huiswerk 1 is beschikbaar op
Nadere informatieGeheeltallige programmering
Geheeltallige programmering In een LP probleem zijn alle variabelen reëel. In een geheeltallig probleem blijven doelfunctie en constraints lineair, maar zijn de variabelen geheeltallig. LP: IP: BIP: MIP:
Nadere informatieTweede college algoritmiek. 12 februari Grafen en bomen
College 2 Tweede college algoritmiek 12 februari 2016 Grafen en bomen 1 Grafen (herhaling) Een graaf G wordt gedefinieerd als een paar (V,E), waarbij V een eindige verzameling is van knopen (vertices)
Nadere informatieTentamen Discrete Wiskunde
Discrete Wiskunde (WB011C) 22 januari 2016 Tentamen Discrete Wiskunde Schrijf op ieder ingeleverd blad duidelijk leesbaar je naam en studentnummer. De opgaven 1 t/m 6 tellen alle even zwaar. Je hoeft slechts
Nadere informatieNP-Volledigheid. Wil zo snel mogelijke algoritmes om problemen op te lossen. De looptijd is polynomiaal: O n k - dat is heel erg mooi
NP-Volledigheid Wil zo snel mogelijke algoritmes om problemen op te lossen Gezien: selectie [O(n)], DFS [O(n + m)], MaxFlow [O nm n + m ], MST [O(n + m)], etc De looptijd is polynomiaal: O n k - dat is
Nadere informatieTentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, Docent: Dr. J.B.M. Melissen
Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Veel succes! 1 Deze opgave bestaat uit 15 tweekeuzevragen. Per goed antwoord krijg je 2 punten. a. Dynamisch
Nadere informatie1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d.
1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d. een toewijzingsprobleem. 2. Het aantal toegelaten hoekpunten in een
Nadere informatie1 Vervangingsstrategie auto
Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 28-03-2002 1 Vervangingsstrategie auto Onderdeel a Zij V = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, waarbij knoop i staat voor het einde
Nadere informatieDiscrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 2 Gröbnerbases 1. Vragen We hebben gezien dat de studie van stelsels polynoomvergelijkingen in meerdere variabelen op natuurlijke manier leidt
Nadere informatieFundamentele Informatica
Fundamentele Informatica (IN3120 en IN3005 DOI nwe stijl) 20 augustus 2004, 9.00 11.00 uur Het tentamen IN3120 bestaat uit 10 meerkeuzevragen en 2 open vragen. Voor de meerkeuzevragen kunt u maximaal 65
Nadere informatieAlgoritmiek. 15 februari Grafen en bomen
Algoritmiek 15 februari 2019 Grafen en bomen 1 Grafen (herhaling) Een graaf G wordt gedefinieerd als een paar (V,E), waarbij V een eindige verzameling is van knopen (vertices) en E een verzameling van
Nadere informatieNetwerkstroming. Algoritmiek
Netwerkstroming Netwerkstroming Toepassingen in Logistiek Video-streaming Subroutine in algoritmen 2 Vandaag Netwerkstroming: wat was dat ook alweer? Minimum Snede Maximum Stroming Stelling Variant: Edmonds-Karp
Nadere informatieDoorzoeken van grafen. Algoritmiek
Doorzoeken van grafen Algoritmiek Vandaag Methoden om door grafen te wandelen Depth First Search Breadth First Search Gerichte Acyclische Grafen en topologische sorteringen 2 Doolhof start eind 3 Depth
Nadere informatieHet Chinese Postbode Probleem. Marene Dimmendaal s
Het Chinese Postbode Probleem Marene Dimmendaal s4419553 Nijmegen 2018 Het Chinese Postbode Probleem Marene Dimmendaal s4419553 Bachelorscriptie Wiskunde aan de Radboud Universiteit te Nijmegen Geschreven
Nadere informatie8/2/2006 Examen Optimalisatietechnieken (6sp) 1
8/2/2006 Examen Optimalisatietechnieken 2005-2006 (6sp) 1 Gesloten boek: Maximaal 25 minuten Beantwoord alle vragen op het opgavenblad. Schrijf je naam op elk blad en schrijf leesbaar. Beantwoord de vraag
Nadere informatieTentamen: Operationele Research 1D (4016)
UITWERKINGEN Tentamen: Operationele Research 1D (4016) Tentamendatum: 12-1-2010 Duur van het tentamen: 3 uur (maximaal) Opgave 1 (15 punten) Beschouw het volgende lineaire programmeringsprobleem P: max
Nadere informatieActiviteit 9. Modderstad Minimaal Opspannende Bomen. Samenvatting. Kerndoelen. Leeftijd. Vaardigheden. Materialen
Activiteit 9 Modderstad Minimaal Opspannende Bomen Samenvatting Onze maatschappij is verbonden middels heel veel netwerken: telefoonnet, elektriciteitsnet, de riolering, computernetwerk, en het wegennet.
Nadere informatieTwaalfde college algoritmiek. 17 mei Branch & Bound
Twaalfde college algoritmiek 17 mei 2019 Branch & Bound 1 Backtracking Backtracking - bouwt een oplossing component voor component op - kijkt tijdens de stap-voor-stap constructie of de deeloplossing die
Nadere informatieTie breaking in de simplex methode
Tie breaking in de simplex methode Tijdens de Simplexmethode kan op een aantal momenten onduidelijk zijn wat je moet doen: 1. Variabele die de basis in gaat: Zoek de grootste coëfficiënt in de doelfunctie.
Nadere informatieIn dit gedeelte worden drie problemen genoemd die kunnen voorkomen in netwerken.
Aantekening Wiskunde Steiner Aantekening door D. 2086 woorden 25 mei 2016 2,1 1 keer beoordeeld Vak Wiskunde Resultaten Vragen bij het wetenschappelijk materiaal 9.1 Prototype example, p. 374-376 In dit
Nadere informatieTransport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005
Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 08-04-2005 1 Transportprobleem Onderdeel a Fabriek 1 kan 120 ton staal fabriceren in 40 uur. Voor fabriek 2 is dit 150
Nadere informatieAfdeling Kwantitatieve Economie
Afdeling Kwantitatieve Economie Wiskunde AEO V Uitwerking tentamen 1 november 2005 1. De tekenschema s in opgave 1a 1e zijn de voortekens van vermenigvuldigers en de laatste leidende hoofdminoren in een
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 15 februari 2009 RELATIES & GRAFEN Discrete Structuren Week 2: Relaties en Grafen
Nadere informatieOptimalisering en Complexiteit, College 14. Geheeltallige LPs en Planning bij Grolsch. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 14 Geheeltallige LPs en Planning bij Grolsch Han Hoogeveen, Utrecht University Branch-and-bound voor algemene ILPs (1) Neem even aan dat je een minimaliseringsprobleem
Nadere informatieMinimum Opspannende Bomen. Algoritmiek
Minimum Opspannende Bomen Inhoud Het minimum opspannende bomen probleem Een principe om een minimum opspannende boom te laten groeien Twee greedy algoritmen + tijd en datastructuren: Het algoritme van
Nadere informatieMinimum Spanning Tree
Minimum Spanning Tree Wat is MST? Minimum spanning tree De meest efficiënte manier vinden om een verbonden netwerk op te bouwen Wat is een tree/boom? Graaf G: een verzameling knopen (vertices): V een verzameling
Nadere informatieTwaalfde college algoritmiek. 11/12 mei Branch & Bound
Twaalfde college algoritmiek 11/12 mei 2017 Branch & Bound 1 Backtracking Backtracking - bouwt een oplossing component voor component op - kijkt tijdens de stap-voor-stap constructie of de deeloplossing
Nadere informatieUitwerking tentamen Analyse van Algoritmen, 29 januari
Uitwerking tentamen Analyse van Algoritmen, 29 januari 2007. (a) De buitenste for-lus kent N = 5 iteraties. Na iedere iteratie ziet de rij getallen er als volgt uit: i rij na i e iteratie 2 5 4 6 2 2 4
Nadere informatie3. Elke lijn van een graaf draagt twee bij tot de som van alle graden.
Antwoorden Doeboek 4 Grafen.. De middelste en de rechtergraaf.. Een onsamenhangende graaf met vijf punten en vijf lijnen: Teken een vierhoek met één diagonaal. Het vijfde punt is niet verbonden met een
Nadere informatieBomen. 8.8 ongerichte bomen 9.4 gerichte bomen ch 10. binaire bomen
10 Bomen 8.8 ongerichte bomen 9.4 gerichte bomen ch 10. binaire bomen 1 Baarn Hilversum Soestdijk Den Dolder voorbeelden route boom beslisboom Amersfoort Soestduinen + 5 * + 5.1 5.2 5.3 5.4 2 3 * * 2 5.3.1
Nadere informatieWeek 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren.
Combinatorische Optimalisatie, 2013 Week 1 20-02-2013 Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Opgave 1.16 Bewijs dat elke graaf een even aantal punten
Nadere informatieHertentamen Optimalisering (Delft) en Besliskunde 1 (Leiden) 15 april 2014, uur
Hertentamen Optimalisering (Delft) en Besliskunde 1 (Leiden) 15 april 2014, 14.00-17.00 uur Het tentamen bestaat uit 6 opgaven. Motiveer je antwoorden duidelijk. De normering van de opgaves staat steeds
Nadere informatie