8/2/2006 Examen Optimalisatietechnieken (6sp) 1

Transcriptie

1 8/2/2006 Examen Optimalisatietechnieken (6sp) 1 Gesloten boek: Maximaal 25 minuten Beantwoord alle vragen op het opgavenblad. Schrijf je naam op elk blad en schrijf leesbaar. Beantwoord de vraag op een beknopte manier. De meeste deelvragen kunnen in 1 of 2 zinnen worden beantwoord. Geef steeds een korte argumentatie (b.v. 1 of 2 zinnen) bij je antwoorden; antwoorden zonder argumentatie leveren nul punten op, zelfs als ze juist zijn. Geef steeds volledige antwoorden. Sla geen essentiële stappen in de argumentatie over. Indien je een algemene eigenschap als antwoord geeft, zeg dan wat die eigenschap met de vraag te maken heeft. Geef effectief een antwoord op de vraag. Het is niet voldoende iets neer te schrijven dat met de vraag te maken heeft. 1 Allerlei 1.a. Als alle takken van een graaf G een verschillende kost hebben dan is de optimale opspannende boom B uniek. Is deze uitspraak correct? Waarom wel of niet? 1.b. Men wenst te bepalen of een bepaalde graaf G al dan niet geconnecteerd is en uit hoeveel componententen de graaf bestaat. Welk van de algoritmen die in de les werden gezien zou u hiervoor gebruiken? (Indien er meerdere algoritmen gelijkwaardig zijn mag je er een kiezen). Geef een antwoord van de vorm we gebruiken het algoritme van meneer X dat een naald zoekt in een hooiberg; indien dit algoritme eindigt met een rode naald, dan is de graaf geconnecteerd. 1.c. Wanneer is een graaf bipartite (1 definitie volstaat). 1.d. Is de graaf in de onderstaande figuur bipartite? Leg uit waarom! 1

2 8/2/2006 Examen Optimalisatietechnieken (6sp) 2 2 Meerdimensionale methoden 2.a. Geef een eenvoudig voorbeeld van een functie van twee veranderlijken met een zadelpunt (geef zowel de functie als het zadelpunt); 2.b. Kan een functie een minimum vertonen in een zadelpunt? 2.c. Beschouw de functie f(x,y) = 3x 2 + y 2. Vertrekkend van een startpunt (x,y) = (a,b) minimaliseert men deze functie met de gradiëntmehode. Uiteraard zal het aantal stappen n dat men in deze methode nodig heeft afhangen van het startpunt (a,b). Geef een voorbeeld van een startpunt (a,b) (0,0) waarvoor de oplossing na precies 1 stap wordt bereikt; 2.d. Leg in woorden het verschil uit tussen de gradiëntmethode en de toegevoegde gradiëntmethode door enkele woorden in te vullen in onderstaande tekst. Geef geen formules; je mag wel symbolen gebruiken als je die ook in woorden uitlegt. Bij het minimaliseren van een functie f(x) zoeken de gradiëntmethode en de toegevoegde gradiëntmethode vanuit een punt x k een beter punt x k+1 van de vorm x k+1 = x + λp k. Bij de gradiëntmethode is p k gelijk aan...(2.d1)...; bij de toegevoegde gradiëntmethode kiest men p k als lineare combinatie van...(2.d2)... en...(2.d3)... 2.d.1. 2.d.2. 2.d.3. 2

3 8/2/2006 Examen Optimalisatietechnieken (6sp) 3 3 Duaal lineair programma Formuleer het duaal lineair programma van het volgende lineair programma. Wees nauwkeurig: zeg of er gemaximaliseerd op geminimaliseerd wordt, specificeer de winst/kostfunctie, geef alle beperkingen en zeg of de variabelen niet-negatief of niet-positief of vrij zijn. Maximaliseer x 1 x 2 mits x 1 0, x 2 0 en 2x 1 + x 2 4 (1) 2x 1 4x 2 8 (2) x 1 + 3x 2 7 (3) 3

4 8/2/2006 Examen Optimalisatietechnieken (6sp) 1 Open boek: Maximaal 1 uur en 45 minuten Toegelaten materiaal: afdrukken van de powerpoint-presentaties en van in de les behandelde oefeningen (met oplossing); lesnota s over het vak optimalisatietechnieken ; syllabus. Niet toegelaten materiaal: Al de rest, b.v.: boeken of copies van boeken of andere cursussen, niet in de les opgeloste oefeningen, draagbare computers, GSMs, voorgeprogrammeerde rekenmachines, Palmpilots,... Schrijf je naam op elk blad en schrijf leesbaar. Beantwoord de vraag op een volledige en toch beknopte manier. De meeste antwoorden zijn kort. Geef steeds een korte argumentatie (b.v. 1 of 2 zinnen) bij je antwoorden; dit kan je punten opleveren als het antwoord verkeerd is maar de argumentatie juist. Geef steeds volledige antwoorden. Sla geen essentiële stappen in de argumentatie over. Indien je een algemene eigenschap als antwoord geeft, zeg dan wat die eigenschap met de vraag te maken heeft. Geef effectief een antwoord op de vraag. Het is niet voldoende iets neer te schrijven dat met de vraag te maken heeft. Lees de vragen zeer aandachtig en let op de details. Zoniet loop je het risico de verkeerde vraag te beantwoorden of een onvolledig antwoord te geven. 1 Het reizende-handelsreizigerprobleem Men wenst op een printed circuit board (PCB) tien gaten te boren op de plaatsen aangegeven in bovenstaande figuur. Het verplaatsen van de boorkop van één gat i naar een ander gat j vraagt een tijd die evenredig is met de afstand d i,j tussen die gaten. Uiteraard wenst men elk gat maar éénmaal te boren. Men zoekt nu een route die vertrekt in gat 1, die alle gevraagde gaten precies éénmaal aandoet, en die eindigt boven gat 1, zodat de route gesloten is (de bovenstaande figuur geeft een voorbeeld van een geldige route). Bovendien wil men dat deze route zo kort mogelijk is. Dit probleem staat bekend als het probleem van de reizende handelsreiziger. Gevraagd: formuleer dit probleem als een lineair programma met binaire variabelen. Doe dit als volgt: 1.1. Voer binaire variabelen x i,j in met 1 i < j. Deze variabelen beschrijven het pad van de boor: x i,j = 1 als het pad een rechtstreekse verplaatsing omvat van gat i naar gat j of omgekeerd. In het voorbeeld is b.v. x 1,3 = 1 en x 2,3 = 0. Vraag: hoeveel variabelen zijn er nodig in dit voorbeeld? 1

5 8/2/2006 Examen Optimalisatietechnieken (6sp) Vraag: Geef een formule voor het kostcriterium dat men hier moet optimaliseren. Moet men minimaliseren of maximaliseren? 1.3. Een nodige voorwaarde voor een gesloten pad is dat de boor in elk gat exact één keer aankomt en exact één keer vertrekt. Vraag: Geef een formule die deze voorwaarde uitdrukt voor alle gaten en die bovendien kan optreden in een lineair programma Vraag: Waarom is de voorgaande voorwaarde niet voldoende? Geef m.a.w. een voorbeeld van een mogelijke oplossing die aan de voorgaande voorwaarde voldoet, maar die niet correspondeert met een gesloten pad. 2

6 8/2/2006 Examen Optimalisatietechnieken (6sp) 3 2 Waterstanden In een straat staan N identieke garages elk met oppervlakte 1. Omdat de straat licht helt, staan niet alle garages op de zelfde hoogte. In elke garage bevindt zich een rioolputje aangesloten op het zelfde riool. Op een bepaald moment kan de riool het hemelwater niet meer slikken waardoor een totale hoeveelheid water, n.l. 1 éénheid in de garages binnenloopt. Deze hoeveelheid wordt echter ongelijkmatig verspreid over de verschillende garages. Als we vloerhoogte van de i-de garage α i 0 noemen en de waterstand gemeten boven deze vloerhoogte x i, dan is het nuttig om de waterstanden x i te kunnen berekenen, vertrekkend van de vloerhoogtes α i. Men kan aantonen dat dit equivalent is met het oplossen van het volgende probleem: maximaliseer N f(x 1,...x N ) = ln(x i + α i ) naar x 1,...x N, mits x i 0 en i=1 N x i = 1. Hierbij zijn zoals reeds vermeld alle gegeven α i 0. Bovendien leggen we op dat x i 0, waarbij x i = 0 betekent dat er geen water staat in de betreffende garage. gevraagd: i= Schrijf de Lagrangiaan neer voor dit probleem, waarbij je alle beperkingen dualiseert. Noem de Lagrange-multiplicator die correspondeert met de gelijkheid µ en de andere multiplicatoren λ i Schrijf de Karush-Kuhn-Tucker voorwaarden neer voor dit probleem. Wees nauwkeurig en vergeet geen enkele voorwaarde. Zeg in het bijzonder voor elke voorkomende variabele of deze positief en/of negatief mag zijn. 3

7 8/2/2006 Examen Optimalisatietechnieken (6sp) Beschouw nu het geval N = 3, α 1 = 1/10, α 2 = 3/10, α 3 = 10/10. Los de KKT-voorwaarden op en bepaal hierdoor de optimale waarden van x 1, x 2, en x 3. Tip: het antwoord op vraag 2.4 kan je eventueel op het juiste spoor zetten. Ga als volgt te werk: Onderscheid verschillende intervallen voor µ. Zoek een interval I 1 van µ-waarden waarvoor complementary slackness impliceert dat x 1 = x 2 = x 3 = 0; en een interval I 2 van µ-waarden waarvoor gegarandeerd x 1 0 en x 2 = x 3 = 0; een interval I 3 waarvoor gegarandeerd x 1 0, en x 2 0 en x 3 = 0; een interval I 4 waarvoor gegarandeerd x 1 0, en x 2 0 en x 3 0. Hierbij mag je eventuele speciale gevallen die optreden aan de randen van een interval, b.v. a en b als I 1 = [a,b], onbehandeld laten. wat impliceert complementary slackness daarbij voor de Lagrange-vermenigvuldigers? Gevraagd: Beantwoord voor elk van de gevallen de volgende vragen: Wat is het interval? Wat impliceert complementary slackness dan voor de Lagrange-multiplicatoren? Leg uit waarom. i. Interval met x 1 = x 2 = x 3 = 0. ii. Interval met x 1 0 en x 2 = x 3 = 0. iii. Interval met x 1 0, en x 2 0 en x 3 = 0. iv. Interval met x 1 0, en x 2 0 en x

8 8/2/2006 Examen Optimalisatietechnieken (6sp) gevraagd: Bepaal de optimale waarden van x 1, x 2 en x 3 aan de hand van de KKTvoorwaarden Nog steeds voor het geval N = 3, α 1 = 1/10, α 2 = 3/10, α 3 = 10/10. Bepaal op fysische gronden (door gebruik van het principe van de communicerende vaten) de optimale oplossing. Tip: Deze vraag kan onafhankelijk van de vorige worden opgelost, met een klein beetje gezond verstand en zonder veel rekenwerk. 3 Lineair programmeren Transformeer volgend probleem in een equivalent lineair programma en los dan grafisch op. Vermeld duidelijk de optimale oplossing en de corresponderende kost. min 1/(e x + e y ) 0 x y 5