Getallensystemen, verzamelingen en relaties

Transcriptie

1 Hoofdstuk 1 Getallensystemen, verzamelingen en relaties 1.1 Getallensystemen De natuurlijke getallen N = {0, 1, 2, 3,...} N 0 = {1, 2, 3,...} De gehele getallen Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,...}. Z = {0, 1, 2, 3, 4,...} Z + = {0, 1, 2, 3, 4,...} = N Z + 0 = {1, 2, 3, 4,...} = N 0 Z 0 = { 1, 2, 3, 4,...}. 1

2 1.1.3 De rationale getallen Q = {a/b : a Z en b Z \ {0}} Q = {1/2, 1/2, 1/3, 1/3, 2/3, 2/3,...} - voorstelling van een rationaal getal is niet uniek: 5/10 = 1/2 - unieke voorstelling a/b als geëist wordt dat b > 0 en dat a en b geen factoren gemeen hebben De reële getallen - verzameling R van de reële getallen = verzameling alle decimale getallen zoals R bestaat uit de rationale en irrationale getallen - Voorbeeld van een irrationaal getal is x = 2 als oplossing van de vergelijking X 2 = De ordening van de gehele getallen (A1) a Z : a a. (reflexief). (A2) a, b Z : ((a b) (b a)) = a = b. (antisymmetrisch). (A3) a, b, c Z : ((a b) (b c)) = a c. (transitief). (A4) a, b, c Z : a b = a + c b + c. (A5) a, b Z c N : a b = ac bc. 2

3 1.2 Wiskundige inductie (1) 0 = kleinste van alle natuurlijke getallen. Elk natuurlijk getal n kan bekomen worden door precies n keer één op te tellen bij nul. (2) methode van de wiskundige inductie (n + 1 = opvolger van n). Als een eigenschap geldt voor het natuurlijk getal nul, en als elke opvolger van een natuurlijk getal dat die eigenschap bezit, ook de eigenschap bezit, dan is de eigenschap geldig voor alle natuurlijke getallen Voorbeeld Bewijs door inductie dat n = n(n + 1). 2 Bewijs: (1) Formule geldig voor n = 0? Als n = 0, dan 0 = 0. (2) Inductiestap. Als formule geldig voor n, dan ook geldig voor opvolger n + 1? 3

4 Dus Is nu n = n+(n+1) = n(n + 1). (1.1) 2 (n + 1)(n )? (1.2) 2 Vul (1.1) in het linkerlid van (1.2), dan linkerlid van (1.2) is n(n + 1)/2 + (n + 1) = (n + 1)(n + 2)/2, en dit is wat gevraagd werd te controleren. Formule geldt dus ook voor n + 1. Uit bewijs door inductie: formule geldig voor alle n Torens van Hanoi Figuur 1.1: De torens van Hanoi - Verplaats n schijfjes van A naar B - slechts één schijfje per keer verplaatsen 4

5 - nooit kleine schijf onder grotere schijf - a n = aantal verplaatsingen bij n schijfjes (Recursief) algoritme: - verplaats n 1 bovenste schijfjes van A naar C (in a n 1 stappen) - verplaats onderste schijf van A naar B - verplaats n 1 schijfjes van C naar B (in a n 1 stappen) Besluit: a n = 2 a n Met bewijs door inductie a n = 2 n 1 5

6 1.3 Algoritmes, programma s en correctheid van programma s Algoritmes algoritme = routine of mechanische procedure die een zekere verzameling inputs aanvaardt, waarvoor die routine of mechanische procedure dan een output geeft na een eindig aantal stappen. (1) eindige verzameling instructies. (2) algoritme altijd eindigt na een eindig aantal stappen Programma s (computer)programma = uitdrukking of eindige reeks uitdrukkingen in zekere programmeertaal. programma = concrete realisatie van een algoritme Correctheid van programma s Hoe kunnen we zeker zijn dat een algoritme, of zijn implementatie in een programma, de taak waarvoor het opgesteld is, op correcte wijze uitvoert? Voorbeeld: eerste lancering Ariane-5 raket (4 juni 1996) 6

7 - wiskundig bewijs: recursieve programma s via de methode van wiskundige inductie. - benadering of voorlopige versie van het algoritme - een feilloze methode? Er bestaat geen feilloze methode om de correctheid van alle computerprogramma s te verifiëren. - onvolledigheidsstellingen van Gödel - programma s die de correctheid van andere programma s verifiëren ingewikkelder Recursieve programma s - recursief programma = programma dat zichzelf oproept. PROCEDURE Hanoi(n, x, y, z); ALS n = 1 DAN verplaats de schijf van staafje x naar staafje y; ANDERS Hanoi(n 1, x, z, y) Hanoi(1, x, y, z) Hanoi(n 1, z, y, x) EINDE ALS EINDE PROCEDURE 7

8 1.4 Verzamelingen - verzameling A bestaat uit elementen a, b, c,...,x, y, z,...,x 1, x 2,..., - ledige verzameling =. - kardinaliteit A van A = aantal elementen van A Klassieke bewerkingen op verzamelingen (1) (deelverzameling) X Y (2) (doorsnede) X Y (3) (unie) X Y (4) (verschil) X \ Y (5) (machtsverzameling) De machtsverzameling P(X) van X is de verzameling van alle deelverzamelingen van X Voorbeeld X = {a, b, c}, dan P({a, b, c}) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. - verzameling met n elementen heeft precies 2 n deelverzamelingen. 8

9 1.5 Relaties Geordende paren en reeksen - geordend paar (x, y). - geordende drietallen, viertallen,..., n-tallen - n-tal = reeks of lijst - element meerdere keren in lijst mag voorkomen; - in verzameling komt element één keer voor Relaties - cartesiaans product A B van A en B = verzameling alle geordende paren (a, b), met a A en b B - binaire relatie = verzameling R van geordende paren. - binaire relatie op een verzameling A = deelverzameling van A A = A Voorbeeld - A = {2, 6, 12}, A 2 = {(2, 2), (2, 6), (2, 12), (6, 2), (6, 6), (6, 12), (12, 2), (12, 6), (12, 12)}. R = {(2, 2), (2, 6), (2, 12), (6, 6), (6, 12), (12, 12)}; R stelt voor op A Domein en codomein - domein van een relatie R = domr - codomein van een relatie R - inverse relatie R 1 = R 1 = {(y, x) : (x, y) R} 9

10 1.5.5 Opmerkingen (1) n-aire relatie op A = een deelverzameling van A n (2) cartesiaans product A 1 A n = verzameling alle geordende n-tallen (a 1,...,a n ), met a 1 A 1,...,a n A n Voorbeelden (1) (a, b, c) R als en slechts als a en b de ouders zijn van c. (2) op de verzameling natuurlijke getallen: (a, b, c) R als en slechts als a b c of c b a Samenstelling van twee relaties - S R van R en S (S na R) - R eerst toegepast, pas daarna S. x R S y z Figuur

11 1.6 Ordeningen Definities Een relatie R op een verzameling X is (1) reflexief als (x, x) R voor alle x in X; (2) anti-symmetrisch als er geldt dat als (x, y) R en (y, x) R, dan noodzakelijk x = y; (3) transitief als er geldt dat als (x, y) R en (y, z) R, dan ook (x, z) R. (4) totaal als er geldt dat (x, y) R of (y, x) R voor alle x en y in X. - (X, ) = partieel geordende verzameling als reflexief, anti-symmetrisch en transitief is. - ordening totaal, dan (X, ) = totaal geordende verzameling; Voorbeelden (1) (N, ), (Z, ), (Q, ) en (R, ) = totaal geordende verzamelingen. (2) Beschouw een verzameling X en zijn bijhorende machtsverzameling P(X). De machtsverzameling P(X) van een verzameling X, tesamen met de inclusie als orderelatie is een voorbeeld van een partieel geordende verzameling. Beschouw de verzameling X = {, {a}, {b}, {a, c}, {a, b}, {b, c}}. 11

12 Figuur Definities - x X maximaal als er geldt dat als x y, dan y = x - element x is het grootste element als y x voor alle y X. - x X is minimaal als er geldt dat als y x, dan y = x - element x is het kleinste element als x y voor alle y X Opmerking - grootste element van (X, ) groter dan of gelijk is aan elk element van X. - maximaal element groter dan of gelijk aan elk element van X waarmee het vergeleken kan worden binnen de ordening Definitie van strict partiële ordeningen - relatie R op een verzameling X asymmetrisch als (x, y) R en (y, x) R niet beide kunnen geldig zijn binnen de 12

13 relatie R. - strict partiële ordening = transitieve, asymmetrische relatie Kleinste bovengrens en grootste ondergrens - x en y van X. (1) Als er een element z X bestaat waarvoor 1. z x en z y; 2. voor elk element t X, als t x en t y, dan is t z, dan z de grootste ondergrens van x en y. (2) Als er een element z X bestaat waarvoor 1. x z en y z; 2. voor elk element t X, als x t en y t, dan is z t, dan z de kleinste bovengrens van x en y. Als de grootste ondergrens, kleinste bovengrens bestaat, dan uniek. - grootste ondergrens van x en y = x y - kleinste bovengrens van x en y = x y Voorbeeld Beschouw een verzameling X en haar machtsverzameling P(X). Beschouw P(X) en de partiële ordening bepaald door de inclusie. 13

14 Dan hebben elke twee elementen A en B van P(X) een grootste ondergrens: en een kleinste bovengrens A B = A B A B = A B 14

15 1.7 Functies Definitie van een functie - functie f: is een relatie en als x domf, dan is er een unieke y waarvoor (x, y) f, Opmerking - notatie: y = f(x) - f functie en deelverzameling van X Y, f : X Y f : X Y : x f(x). - Bijvoorbeeld f : N N : x x functies 1-1 functie f: verschillende elementen uit domein afgebeeld op verschillende elementen uit codomein Opmerking - inverse van een functie. f 1 = {(f(x), x) x domf}. - f 1 een functie is als en slechts als f een 1-1 functie is. 15

16 1.8 Opmerking - computerprogramma = een functie van de input naar de output. - welke functies berekenbaar: via een eindig algoritme geïmplementeerd op een computer? 16

17 1.9 Relationele databanken: een toepassing van relaties en functies relationele databank = gebaseerd op wiskunde van relaties en functies Voorbeeld naam adres telefoon bedrag datum A. Janssen Krijgslaan / juni Gent A. Janssen Krijgslaan / mei Gent A. Janssen Krijgslaan / juli Gent S. Vandamme Ganzendries 15 02/ mei Brussel S. Vandamme Ganzendries 15 02/ oktober Brussel Tabel 1.1: Een databank - kolom = een attribuut A i - gegeven = een rij - verband met relaties? - Stel gegeven bepaald door n attributen A 1,...,A n. - Stel X i = verzameling die correspondeert met het attribuut A i. - gegeven = n-tal (x 1,...,x n ) met x i X i. - Bijgevolg R X 1 X n. 17

18 1.9.2 Raadplegen van een relationele databank Selectie - selectie = alle gegevens halen aan gegeven eigenschappen voldoen. We zoeken de n-tallen {(x 1,...,x n ) R : x i = a i }. {(x 1,...,x n ) R : x i = a i, x j = a j en x k = a k } naam adres telefoon bedrag datum A. Janssen Krijgslaan / juni Gent A. Janssen Krijgslaan / mei Gent A. Janssen Krijgslaan / juli Gent Tabel 1.2 Projectie - projectie = aantal kolommen uit de databank halen Bijvoorbeeld, projectie op de attributen (naam, bedrag) geeft 18

19 naam bedrag A. Janssen A. Janssen 5000 A. Janssen 6000 S. Vandamme 3000 S. Vandamme 8000 Tabel 1.3 Wiskundig komt projectie neer op de volgende bewerking. S = {(x 1, x 4 ) : (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) R}. p : X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 1 X 4 : p(x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = (x 1, x 4 ), dan S = p(r), het beeld van R onder de projectie p. Opmerking gedetailleerder studie: zie cursus databanktechnologie. - functionele afhankelijkheid 19

20 1.10 Partiële functies - computerprogramma = functie van de input naar de output. Gegeven de input, dan wordt de input door het computerprogramma omgezet naar de output. - nodige voorzichtigheid - domein van een computerprogramma = verzameling inputs waar het programma in een eindig aantal stappen de output geeft - domein soms te ingewikkeld - halting (stop) probleem Partiële functies - partiële functie van X naar Y als domf X en codomeinf Y. - f : X Y is totaal als dom(f) = X. - f een partiële functie is van X naar Y en x X \ domf, dan f(x) niet gedefinieerd 20

21 Voorbeelden (1) read(n); while n > 1 do begin end; write(n); if n is even then n := n/2 else n := 2n als n = 0 f(n) = 1 als n een macht van 2 is niet gedefinieerd in de andere gevallen (2) read(n); while n > 1 do begin end; write(n); if n is even then n := n/2 else n := 3n

22 1.11 Equivalentierelaties - Equivalentierelaties = relaties die het meest gelijkheid tussen elementen benaderen; - Equivalentierelaties: steeds gedefinieerd op de elementen van één verzameling Definities Relatie R op een verzameling X. (1) reflexief: (x, x) R voor alle x X; (2) symmetrisch: als (x, y) R, dan ook (y, x) R; (3) transitief: als (x, y) R en (y, z) R, dan (x, z) R. - equivalentierelatie op X = reflexief, symmetrisch en transitief x y als (x, y) R. x y, dan gelijken x en y op elkaar volgens de relatie R Voorbeelden (1) De relatie = : een equivalentierelatie. 22

23 (2) op Z: a b als en slechts als a b even is. (3) Verzameling X van alle computerprogramma s Twee computerprogramma s P en Q. P Q als voor alle inputs I: (a) het programma P output geeft na een eindig aantal stappen als en slechts als het programma Q output geeft na een eindig aantal stappen, (b) als dit zo is, dan beide outputs gelijk is een equivalentierelatie op X Equivalentieklassen Equivalentierelatie R op X verdeelt de verzameling X in equivalentieklassen. Equivalentieklassen zijn: (1) niet-ledig; (2) twee verschillende equivalentieklassen: geen elementen gemeen; (3) unie alle equivalentieklassen = verzameling X. - elementen uit een equivalentieklasse op elkaar gelijken 23

24 voor deze equivalentierelatie Voorbeelden (1) op Z: a b als en slechts als a b even is verdeelt Z in twee equivalentieklassen Voorbeeld (3) Figuur 1.4 Voor deze computer zijn de programma s P en Q gelijk 24

25 1.12 Aftelbare en niet-aftelbare verzamelingen Oneindige kardinaalgetallen - twee eindige verzamelingen: wanneer dezelfde kardinaliteit? - tellen van het aantal elementen - oneindige verzamelingen? Hebben N = {0, 1, 2,...} en N \ {0} = {1, 2, 3, 4,...} hetzelfde aantal elementen? - twee eindige verzamelingen X en Y : X = Y als en slechts als er een 1-1 functie f is tussen X en Y. Uitbreiding tot twee oneindige verzamelingen X en Y. X = Y als en slechts als er een 1-1 functie f is tussen X en Y Voorbeelden (1) N en N \ {0} hebben evenveel elementen. Definieer (2) N en E = {0, 2, 4, 6,...} f : N N \ {0} : n n

26 f : N E : n 2n is een 1-1 functie tussen beide verzamelingen. (3) N, Z en Q dezelfde kardinaliteit Aftelbare verzamelingen Beschouw een oneindige verzameling X. - X een aftelbare verzameling als er een 1-1 functie is tussen N en X, - X een niet-aftelbare verzameling: geen dergelijke 1-1 functie Opmerking - eindige verzamelingen: eveneens aftelbare verzamelingen R is een niet-aftelbare verzameling Het interval [0, 1] van R is zelf al een niet-aftelbare verzameling Stel een 1-1 functie f van N naar het interval [0, 1], f(0) = 0, a 0 b 0 c 0 d 0... f(1) = 0, a 1 b 1 c 1 d

27 f(2) = 0, a 2 b 2 c 2 d 2... f(3) = 0, a 3 b 3 c 3 d a i, b i,... {0,...,9} Constructie van reëel getal x tussen 0 en 1 dat niet in de lijst kan voorkomen. waarbij x = 0, x 1 x 2 x 3 x 4... x 1 = x 2 = x 3 =. { a0 + 1 als a 0 7 { a 0 1 als a 0 8 b1 + 1 als b 1 7 { b 1 1 als b 1 8 c2 + 1 als c 2 7 c 2 1 als c 2 8. f(0) = 0, f(1) = 0, f(2) = 0, f(3) = 0, f(4) = 0, f(5) = 0, Voor n = 0, 1, 2,...: x verschilt met f(n) op de (n + 1)-ste plaats na de komma. Bijgevolg [0, 1] niet-aftelbaar. 27

28 Kardinaalgetallen N = ℵ 0 N = N 0 {0}, ℵ 0 = ℵ

29 1.13 Toepassing in de informatica - computerprogramma: input = één natuurlijk getal en output = één natuurlijk getal. - computerprogramma = functie van N naar N - Kan elke functie van N naar N geïmplementeerd worden in een eindig aantal instructies? - telling van aantal functies van N naar N en van het aantal programma s in een zekere programmeertaal Woorden over een alfabet - alfabet = eindige verzameling symbolen - alfabet = a,...,z - woord = een eindige reeks letters Stelling 1.1 Het aantal woorden over het alfabet {a,...,z} is aftelbaar Bewijs. - een 1-1 functie tussen N en de verzameling woorden - aan elk woord een nummer geven 29

30 - Rangschik de woorden alfabetisch en volgens stijgende lengte a, b, c,..., z aa, ab, ac,...,..., zz aaa, aab, aac,...,......, zzz.,,,,,, Elk woord heeft een nummer Zinnen over een alfabet - woorden over a,...,z - zin = eindige opeenvolging van woorden. Stelling 1.2 Het aantal zinnen over het alfabet {a,...,z} is aftelbaar Bewijs. zie oefeningenlessen Functies van N naar N - functie f van N naar N. 0 f(0) 1 f(1) 2 f(2)... 30

31 Stelling 1.3 De verzameling van alle functies van N naar N is niet-aftelbaar. Bewijs. zie oefeningenlessen Toepassing voor computerprogramma s - Programmeertaal gebruikt a,...,z, 0, 1,...,9, enkele andere symbolen zoals :, ;,, +, ( en ). - programma s met eindige lengte om functies van N naar N te programmeren. Stelling 1.4 Het aantal computerprogramma s dat kan geschreven worden in een programmeertaal met een eindig aantal symbolen is aftelbaar. Bewijs. zie oefeningenlessen. Gevolg 1 In een programmeertaal met een eindig alfabet kunnen niet alle functies van N naar N geprogrammeerd worden. Bewijs. - aftelbaar aantal computerprogramma s - niet-aftelbaar aantal functies Opmerkingen (1) - berekenbare functies = effectief berekend kunnen worden in een computerprogramma 31

32 - niet-berekenbare functies (2) Turing machines 32