Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen.

Transcriptie

1 Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van een netwerk voor je project kun je op twee verschillende manieren te werk gaan. Bij de ene manier geef je activiteiten weer door pijlen, bij de andere manier geef je activiteiten weer door knooppunten. In de praktijk verschilt het gebruik niet zoveel, maar omdat de opzet natuurlijk wel verschilt, behandel ik beide in een afzonderlijke notitie. Deze notitie gaat over de manier waarbij de activiteiten door de pijlen worden weergegeven. In een netwerkdiagram laat je de afhankelijkheden zien tussen de verschillende activiteiten in een project. Het samenstellen is niet erg moeilijk, maar je hebt er een paar handigheidjes bij nodig. Daarover gaat deze notitie. Je leert hoe je: een netwerkdiagram opstelt; het kritieke pad bepaalt; belangrijke kenmerken toevoegt aan de activiteitentabel; per activiteit de speling bepaalt. Een netwerkdiagram bestaat uit pijlen en knooppunten. De pijlen stellen activiteiten voor, de knooppunten zijn mijlpalen waarin een of meer activiteiten samenkomen. Vaste knooppunten in een netwerkdiagram zijn Start (voor het begin) en Finish (voor het eind). Ik zal activiteiten aanduiden met de letters A, B, C,... en de knooppunten nummeren. Er zijn bij een netwerk twee belangrijke begrippen: voorganger en opvolger. Als A een voorganger van B is, dan moet A afgerond zijn voordat je aan B kunt beginnen. B is dan de opvolger van A. Een voorganger heet ook wel directe voorganger of verplichte voorganger. Je hebt bepaald welke activiteiten moeten worden uitgevoerd in je project en hoeveel tijd ze vergen. Maak daar een tabel van en zet ze daarin in volgorde. In volgorde betekent hier dat je een activiteit die voorgangers heeft, in de tabel onder zijn voorgangers zet. Je ziet een voorbeeld in tabel 1. Activiteit Voorganger Tijdsduur (dagen) A - 6 B - 12 C A 5 D A 4 E B en C 8 F D 8 H E 9 Tabel 1 een eenvoudige activiteitentabel 1

2 Afhankelijkheden in kaart brengen. We gaan een netwerk tekenen met pijlen en knooppunten. Je geeft een activiteit weer met een pijl; bij die pijl zet je de naam van de activiteit. Meestal vermeld je ook de tijdsduur van die activiteit omdat die in een netwerkdiagram belangrijk is. Wanneer je een netwerkdiagram op deze manier opbouwt, zeggen we dat de activiteiten staan op de pijlen. Dat kan ook anders, zie daarvoor de notitie over PERT-diagrammen. De knooppunten dienen om activiteiten te verbinden en vormen een soort mijlpalen. We geven een knooppunt weer met een cirkel. Bij de knooppunten Start en Finish vermeld je de naam in de cirkel. Begin met het knooppunt Start te tekenen. Kijk daarna in de tabel welke activiteiten geen voorganger hebben. In tabel 1 zijn dat A en B. Activiteiten zonder voorganger beginnen in Start. Teken A en B als een pijl die in Start begint en zet aan het eind van elke activiteit een knooppunt. Zie figuur 1. Figure 1 Bij iedere activiteit zie je de naam en de tijdsduur. Dat kan wat onoverzichtelijk worden bij grote diagrammen, dan schrijf je ook wel A(6) en B(12). In het knooppun Start zie de naam, de andere knooppunten laten we nog even leeg. TIP: laat de tijd in je netwerk zoveel mogelijk van links naar rechts lopen. Zoek daarna de opvolgers van de activiteiten die in Start beginnen. Daarbij zijn er verschillende mogelijkheden. Voor ieder van die mogelijkheden is er een handige manier om ze in het diagram op te nemen. Ik zal de belangrijkste behandelen, ander mogelijkheden kun je dan zelf afleiden. De gemakkelijkste afhankelijkheid is het geval dat een activiteit precies één voorganger heeft. Begin altijd met zoveel mogelijk deze solo-voorgangers te verwerken. Voorbeeld uit tabel 1: activiteit C met voorganger A. Ook activiteit D heeft één voorganger (dat is A) evenals de activiteiten F (met voorganger D) en H (met voorganger E). Begin met een pijl te tekenen voor C. Die pijl begint in het knooppunt waarmee A eindigt. Teken een daarna een pijl voor D. Voor H kun je nog niks tekenen, want je hebt E nog niet getekend. Maar als je D hebt getekend, kun je ook een pijl voor F tekenen. Daar is iets bijzonders mee aan de hand. In de tabel kun je zien dat F geen opvolgers heeft. Dat betekent dat F eindigt in knooppunt Finish. Dat kun je nu aan het eind van F tekenen.. Zie figuur 2. 2

3 Figure 2 Een tweede vorm van afhankelijkheid is dat een activiteit twee of meer voorgangers heeft en de voorgangers komen alleen bij deze activiteit voor. Een voorbeeld is E met voorgangers B en C. De activiteiten B en C zijn nergens anders voorgangers. De pijl die E voorstelt, moet beginnen in het knooppunt aan het eind van B èn aan het eind van C. In zo n geval laat je de knooppunten aan de einden van B en C samenvallen. Dat wordt het startpunt van E. Zie figuur 3. Let er op dat we met de pijl van C moesten schuiven om hem bij B te krijgen. Dat had je ook kunnen doen door met B te schuiven. Figure 3 Als een combinatie van voorgangers (zoals B en C bij E) vaker voorkomt, kun je die andere activiteiten gewoon toevoegen. Zou er in tabel 1 ook een activiteit X zijn met voorgangers B en C, dan wordt het netwerk zoals in figuur 4. Figure 4 3

4 Nu even slim zijn: je hebt E getekend. Activiteit H hangt alleen van E af, dus nu kun je H tekenen. H heeft geen opvolger. Dat betekent per definitie dat H eindigt in het knooppunt Finish. Die verbinding kun je nu ook tekenen. Zie figuur 5. Daarmee heb je alle activiteiten en knooppunten in het diagram opgenomen. Figure 5 Het verbinden van activiteiten gaat niet altijd zo simpel. Vaak heb je te maken met meerdere voorgangers die meerdere opvolgers hebben in verschillende combinaties. Ik geef een paar voorbeelden met de oplossing hoe je dat in een diagram weergeeft. In tabel 2 zie je dat C afhankelijk is van A en dat D afhankelijk is van A en B Activiteit Directe voorganger A - B - C D A A en B Tabel 2 Dat kun je niet tekenen zoals in figuur 6, want dan heeft D alleen B als voorganger. Ook figuur 7 is niet goed, want daar heeft C ineens A èn B als voorgangers. Figure 6 dit is fout Figure 7 dit is fout 4

5 De oplossing is het gebruiken van een schijnactiviteit. Een schijnactiviteit (of dummy) geeft alleen een afhankelijkheid aan, maar kost geen tijd. Een dummy geef je aan met een gestippelde pijl met de letter S. In figuur 8 zie je het principe. Het schema geeft aan dat C alleen afhangt van A en dat D afhangt van B en via S ook van A. Bij een dummy activiteit vermeld je geen tijdsduur, want een dummy heeft per definitie een tijdsduur nul. Figure 8 1 Bij het richten van de pijl maak je gebruik van de Regel van Ferry. Die luidt (let op wat er staat in tabel 2): als een activiteit (zeg: A) bij een andere activiteit (zeg C) solo-voorganger is èn bij een andere activiteit (zeg D) voorganger is in combinatie met nog een andere activiteit (zeg B), dan loopt de dummypijl van het einde van A naar het einde van B. Dummies kun je ook schakelen. Bekijk tabel 3. Activiteit Directe voorgangers A - B - C - D E F A A en B A, B en C Tabel 3 De oplossing hier is het gebruik van twee schijnactiviteiten. De eerste gaat (denk aan de Regel van Ferry) van het eind van A naar het eind van B en de tweede schijnactiviteit gaat van het einde van B naar het einde van C. Door de eerste schijnactiviteit combineer je A en B en met de tweede combineer je de combinatie van A en B met C. Zie figuur 9. 1 Bedacht door Ferry Heitkönig 5

6 Figure 9 Een derde mogelijkheid is dat voorgangers een soort schaar vormen. Bekijk tabel 4 maar eens. Activiteit Directe voorgangers A - B - C D E A A en B B Tabel 4 Een oplossing zoals in figuur 10 is niet goed, want daar heeft E de activiteiten A èn B als voorgangers en dat moet alleen B zijn. Figure 10 dit is fout De oplossing hier is het gebruik van een dummy-knooppunt. Je maakt een directe verbinding tussen A en C en tussen E en B en maakt dan dummy-aftakkingen van A en B naar een dummyknoppunt dat het begin vormt van D. De Regel van Ferry zegt in dit geval dat het eind van A moet gaan naar het eind van B en tegelijkertijd dat het eind van B naar het eind van A moet gaan. Dat kan alleen met een extra dummy-knooppunt. Zie figuur 11. 6

7 Figure 11 TIP. Als je begint te tekenen bij Start, gebeurt het dat je verdwaalt in de onoverzichtelijkheid van pijlen en knooppunten. Dan wil het wel helpen om naar Finish te gaan en dan terug te werken. Je begint dan met te zoeken naar activiteiten die geen opvolger hebben. Die eindigen in Finish. Daarna zoek je naar activiteiten die voorganger zijn van de activiteiten die in Finish eindigen, enzovoorts. Sommigen vinden het gemakkelijker om direct vanuit Finish terug te werken, maar dat is een persoonlijke voorkeur. De tijd inbrengen. Tot nu toe hebben we alleen maar gekeken naar afhankelijkheden. Nu gaan we de tijd in het schema brengen. Dat doe je als volgt We gebruiken de knooppunten om er de tijd in aan te geven. Daartoe deel je de cirkel in tweeën met een verticale lijn. De rechterhelft deel je in tweeën met een horizontale lijn. Een knooppunt ziet er dan uit als in figuur 12. Figure 12 De afkortingen geven aan wat je in het betreffende vak vermeldt. NR: het volgnummer van het knooppunt; VA is de vroegst mogelijke afronding van het knooppunt; LA is de laatst mogelijke afronding van het knooppunt. Hieronder leg ik uit wat dat betekent en hoe je de verschillende waarden berekent. Begin met de knooppunten te nummeren ter identificatie. Je bent vrij om ze te nummeren zoals je wilt, maar het is gebruikelijk om dat min of meer van links naar rechts en van boven naar 7

8 beneden te doen. Bovendien geven we knooppunt Start altijd het nummer 1 en Finish krijgt het hoogste nummer. Zet het nummer van het knooppunt in de linkerhelft. Beschouw nu elk knooppunt als een mijlpaal. Ik zal die twee termen door elkaar gebruiken. Een mijlpaal is gehaald of afgerond wanneer alle activiteiten zijn afgerond die er in eindigen. Ga nu van Start naar Finish door je netwerk en bepaal bij ieder knooppunt wanneer de activiteiten die er eindigen op zijn vroegst zijn afgerond. Dat tijdstip noemen we de Vroegst Mogelijke Afronding (VA). Je zet dat getal rechtsboven in het knooppunt. Een voorbeeld. Stel je hebt drie activiteiten, A, B en C. Activiteit A is voorganger van B. A duurt 5 dagen en B duurt 8 dagen en C duurt 20 dagen. Het netwerk wordt dan zoals in figuur 13. A en C hebben geen voorgangers en beginnen dus in Start. A is voorganger van B en dus begint B waar A eindigt. B en C hebben geen opvolgers en eindigen dus in Finish. Trek je nog even niets aan van de getallen in de knooppunten. Figure 13 Eerst nummeren we de knooppunten. Je ziet de nummering in figuur 13. Dan bepalen we voor ieder knooppunt de Vroegst Mogelijke Afronding (VA). Knooppunt 1 is Start en knooppunt 3 is Finish. In knooppunt 1 (Start) is de VA per definitie nul. Je kunt je daarbij voorstellen dat je aan het begin van het project op tijdstip nul alles klaar moet hebben om op dag 1 te kunnen beginnen. Knooppunt 2 hangt alleen af van activiteit A. Activiteit A begint op de eerste dag en duurt 5 dagen. Dat betekent dat je mijlpaal 2 op zijn vroegst kunt afronden op dag 5. Dat getal zet je rechtsboven in knooppunt 2. Bij knooppunt 3 ligt het complexer. Die mijlpaal hangt af van B èn van C. Wat activiteit B betreft, die kun je niet eerder beginnen dan op dag 6, want mijlpaal 2 rond je op zijn vroegst af op dag 5. Begin je B op dag 6, dan rond je B af op dag 13. Het lijkt dus dat Mijlpaal 3 op zijn vroegst kan zijn afgerond op dag 13. Maar pas op! Knooppunt 3 hangt ook af van activiteit C. Die begin je op dag 1, die duurt 20 dagen en dus beëindig je C op dag 20. Mijlpaal 3 is daarom op zijn vroegst afgerond op dag 20 wanneer alle activiteiten zijn afgerond die naar dat knooppunt leiden. Daarom staat er 20" in knooppunt 3 in het vak rechtsboven. Omdat knooppunt 3 de Finish is, is dat dus tevens de kortste tijd die je project in beslag neemt. Korter dan 20 dagen kan het project niet duren. Samengevat: De Start (dat is de eerste mijlpaal) moet je ten laatste bereiken op dag nul. Activiteit A start dan op dag 1, neemt 5 dagen in beslag dus bereik je mijlpaal 2 op zijn vroegst op dag 5 (aan het eind van de middag). Dan kan B starten op dag 6 en bereik je mijlpaal 3 via A en B op 8

9 zijn vroegst aan het eind van dag 13. Dat zie je niet, want mijlpaal 3 hangt ook nog af van C. C start op dag 1 en dus is mijlpaal 3 op zijn vroegst bereikt op dag 20. Je hebt nu bij ieder knooppunt de VA ingevuld. Formeel bepaal je de VA als volgt. Kies een knooppunt. Bepaal voor alle activiteiten die er eindigen het tijdstip waarop ze op zijn vroegst klaar kunnen zijn. Kies uit de berekende tijdstippen het laatste tijdstip. Dat is de VA van het knooppunt. Met de Laatst Mogelijke Afronding (LA) geven we het uiterste tijdstip aan waarop een mijlpaal moet zijn gehaald om je project nog op tijd af te kunnen krijgen. Voor het berekenen van LA rekenen we vanaf Finish terug naar Start. Neem als voorbeeld weer de activiteiten A, B en C uit figuur 13. Je hebt berekend dat de VA van knooppunt Finish 20 is. Voor een project nemen we de VA van Finish ook als de LA van Finish. Want als je project na 20 dagen klaar kan zijn, is er geen enkele reden om langer de tijd te nemen. Dus voor het knooppunt Finish geldt dat je de Laatst Mogelijke Afronding gelijk stelt aan de Vroegst Mogelijke Afronding. Je vermeldt de LA in het vak rechtsonder. Nu ga je terug rekenen. Activiteit B vergt 8 dagen. Op zijn laatst moet B klaar zijn op dag 20 (dat is de LA van het knooppunt waar B eindigt). Dat betekent dat je B uiterlijk moet beginnen op dag 13, dan is B precies klaar op dag 20. Als B moet beginnen op dag 13, moet mijlpaal 2 uiterlijk zijn afgerond op dag 12. Dat is dus de Laatst Mogelijke Afronding (LA) van knooppunt 2. Met een LA bij knooppunt 2 van 12 kun je nu terug rekenen naar knooppunt 1. Activiteit A vergt 5 dagen, moet klaar zijn op dag 12, dus je moet A beginnen op dag 8. Dus knooppunt 1 moet (voor wat betreft activiteit A) zijn afgerond op de dag daarvoor, dat is dag 7. Maar pas op! Knooppunt 1 hangt bij terug rekenen ook af van activiteit C. C moet zijn afgerond op dag 20 (LA van knooppunt 3), C duurt 20 dagen, dus je moet C beginnen op dag 1. Dus voor wat betreft C moet knooppunt 1 zijn afgerond de dag daarvoor, dat is dag 0. Dat is dus de LA van Knooppunt 1 Nu heb je alle waarden bepaald die je nodig hebt om het hele netwerkdiagram te tekenen zoals in figuur 13 is gebeurd. Formeel bepaal je de LA als volgt. Kies een knooppunt. Bepaal voor alle activiteiten die er beginnen het tijdstip waarop ze op zijn laatst klaar moeten zijn. Kies uit de berekende tijdstippen het vroegste tijdstip. Dat is de LA van het knooppunt. Een paar opmerkingen nog. De Vroegst Mogelijke Afronding van een mijlpaal bepaalt het tijdstip waarop je de activiteiten kunt starten die uit dat knooppunt vertrekken. Daarom heet dat getal ook wel vroegste start (VS). Dat moet je interpreteren als het vroegst mogelijke tijdstip waarop activiteiten uit het knooppunt kunnen worden gestart. Het is dan een getal dat iets zegt over de er na volgende activiteiten. Houdt er rekening mee dat als een mijlpaal op dag n wordt afgerond, de volgende activiteiten pas kunnen beginnen op dag n+1. Pas bij het berekenen van VA ook op voor mijlpalen waar je langs twee of meer wegen binnenkomt (van de kant van Start). Zoals je hebt gezien, bepaal je in zo n geval de VA langs iedere weg en zet in de mijlpaal de laatste VA die je hebt gevonden. 9

10 Bij het bepalen van de LA moet je er op letten of er meerdere activiteiten starten vanuit een knooppunt. Pas ook hier op bij knooppunt van waaruit meerdere activiteiten vertrekken. In zo n geval bepaal je de LA voor ieder van de vertrekkende activiteiten en neemt dat de laagste LA (het vroegste tijdstip) als LA voor dat knooppunt. Het Kritieke Pad. In ieder knooppunt weet je nu op welk tijdstip je het op zijn vroegst kunt afronden (dat is de VA) en wanneer het uiterlijk moet zijn afgerond (dat is de LA). Het verschil tussen LA en VA is de speling die je bij die mijlpaal hebt. In een ingevuld netwerkdiagram kun je daarmee heel gemakkelijk het kritieke pad herkennen. Op het kritieke pad heb je geen speling. In een knooppunt zonder speling zijn VA en LA gelijk aan elkaar. Daarom wordt het kritieke pad gevormd door de lijn die alle knooppunten verbindt waar VA en LA gelijk zijn. In figuur 13 is bij de knooppunten 1 en 3 de VA gelijk aan de LA. Dat is dus het kritieke pad dat in dit geval bestaat uit één activiteit. En dat klopt wel, want langs knooppunt 2 heb je speling. Dat is dus geen kritiek pad. De knooppunten Start en Finish behoren altijd tot het kritieke pad, want daar zijn per definitie VA en LA aan elkaar gelijk. Houd er rekening mee dat een project meer dan één kritiek pad kan hebben. De uitgebreide activiteitentabel Als je het netwerkdiagram hebt uit gewerkt, kun je de uitgebreide activiteitentabel samenstellen. Dat is een tabel met voor iedere activiteit naast de naam, afhankelijkheden en tijdsduur kolommen voor nog vijf waarden. Het zijn: Vroegst Mogelijke Start (VS), het tijdstip waarop op zijn vroegst met de activiteit kan worden begonnen; Vroegst Mogelijke Einde (VE), het tijdstip waarop de activiteit op zijn vroegst kan worden afgerond; Laatst Mogelijke Start (LS), het uiterste tijdstip waarop de activiteit moet zijn begonnen; Laatst Mogelijke Einde (LE), het laatst mogelijk tijdstip waarop de activiteit moet zijn afgerond; Speling, de ruimte die er is tussen vroegst mogelijke start en laatst mogelijke start. De termen Vroegst Mogelijke Start, Laatst Mogelijke Start et cetera zijn nogal omslachtig. Vandaar dat ik liever Vroegste Start, Laatste Start enzovoorts gebruik. Dat is wat versluierend taalgebruik, want een activiteit hoeft natuurlijk niet te starten op het Vroegst Mogelijke tijdstip. Als voorbeeld om uit te werken nemen we de activiteiten uit tabel 5. 10

11 Activiteit Voorganger Tijdsduur(dagen) A - 6 B - 12 C A 5 D A 4 E B en C 8 F C 8 G F 7 H E en F 5 I E 9 J D 3 Tabel 5 De uitwerking in een netwerkdiagram zie je in figuur 14. Figure 14 Het kritieke pad loopt langs B - E - I. Dat zie je aan de knooppunten , waar telkens VA en LA gelijk zijn. Let ook eens op de knooppunten 2 en 3. Het verschil tussen VA en LA is daar slechts één dag. Dat betekent dat als B iets eerder klaar is dan gepland of als A of C iets langer duren dan gepland, het kritieke pad wel eens lang punt 3 kan gaan liggen. Reken maar eens na hoe het kritieke pad komt te liggen als de tijdsduur van B 10 dagen is. Let ook eens op de 11

12 knooppunten 3 en 5. Bij 3 heb je 1 dag speling, bij 5 ineens 3 dagen. Dat komt omdat de route F - G 15 dagen nodig heeft en de route E -I 17 dagen. Bij F - G win je dus twee dagen. Een netwerkdiagram kan je een hoop leren over waar je problemen kunt verwachten. Nog meer inzicht krijg je door een tabel samen te stellen waarin je per activiteit vermeldt wat de vroegste start en einde zijn en wat de laatste start en einde zijn, en wat dus de speling is. Die gegevens kun je niet altijd uit het diagram aflezen. Daarin staan vroegste en uiterste tijden voor de knooppunten. De waarden voor individuele activiteiten kunnen daar van afwijken. Wel gebruik je de data in de knooppunten om de waarden voor de activiteiten af te leiden. Daarbij gebruik je de volgende regels en formules. Een activiteit kan niet eerder starten dan dat het voorgaande knooppunt is afgerond. Dus de Vroegste Start (VS) sluit aan op de VA van het knooppunt. Hier kun je twee basismanieren volgen. Je kunt zeggen dat de VS van een activiteit gelijk is aan de VA van het knooppunt. Dan is de VS van activiteit A dus 0. Maar je kunt ook zeggen dat als een knooppunt op een bepaalde dag wordt afgerond, de activiteit pas de volgende dag kan beginnen. Voor beide manieren valt iets te zeggen, ik zal hier de tweede manier volgen. Activiteiten A en B hebben dan hun vroegste start op dag 1. Het vroegste eind bereken je met de formule VE = VS + tijdsduur - 1. Als een activiteit a dagen vereist, en je begint op dag n, dan ben je op zijn vroegst klaar op tijdstip n + a - 1. Als je de VS van een activiteit gelijk stelt aan de VA van het voorgaande knooppunt, dan wordt de formule VE = VS + tijdsduur. Bijvoorbeeld krijgt Activiteit A dan VS = 0. VE blijft 6. Het Laatste Einde (LE) van een activiteit hangt af van de Laatst Mogelijke Afronding (LA) van het knooppunt waarin de activiteit eindigt. De activiteit moet uiterlijk klaar zijn op de LA van het knooppunt. Neem als voorbeeld activiteit I in figuur 13. I eindigt in knooppunt 9 dat een LA = 29 heeft. Dat betekent dat activiteit I uiterlijk klaar moet zijn op dag 29. Voor activiteit I geldt dus LE = 29. Als je dat weet, dan kun je de LS van I bepalen met de formule LS = LE - tijdsduur - 1. Die formule ligt voor de hand: als I klaar moet zijn op dag 29 en I vergt 9 dagen, dan moet je uiterlijk beginnen op dag 21. Ook hier geldt weer dat als je de andere manier gebruikt, de formule wordt: LS = LE - tijdsduur. Dan zou je dus als Laatste Start voor I dag 20 krijgen. De speling bij een activiteit tenslotte is het verschil tussen VS en LS, of als je dat liever neemt, het verschil tussen VE en LE. Het resultaat van de berekeningen vind je in tabel 6. 12

13 Activiteit Voorganger Tijdsduur (dagen) Vroegste Start Vroegste Einde Laatste Start Laatste Einde Speling A B C A D A E B en C F C G F H E en F I E J D Tabel 6 Als je tabel zes en diagram 13 vergelijkt, merk dan het volgende op. Als er in een knooppunt één activiteit aankomt, dan is de VE van de activiteit gelijk aan de VA van het knooppunt (met afhankelijk van hoe je rekent, één dag verschil). Maar komen er meerdere activiteiten aan, dan wijken de VE s af van de VA van het knooppunt, op de hoogste VE na, want die is weer gelijk aan de VA van het knooppunt. Omgekeerd geldt, dat als er uit een knooppunt één activiteit vertrekt, de LS van die activiteit gelijk is aan de LA van het knooppunt (eventueel weer met één dag verschil). Vertrekken er meerdere activiteiten uit een knooppunt, dan zullen de meeste LS-en afwijken van de LA van het knooppunt. Dat is de meerwaarde van de uitgebreide activiteitentabel. Het geeft je inzicht in de speling per activiteit. Het netwerkdiagram geeft daarover minder detail. De uitgebreide activiteitentabel en het netwerkdiagram vullen elkaar goed aan en vormen een goede basis voor controle over en weer. Het is handig in de tabel het kritieke pad te markeren. Eventueel kun je activiteiten die weinig speling hebben ook markeren om aan te geven dat daar het gevaar loert dat ze op het kritieke pad komen te liggen. Variabele schattingen De schatting van een tijdsduur van een activiteit is altijd een schatting. Soms wordt daar wat meer de nadruk op gelegd door bij een geschatte tijdsduur drie waarden op te geven: een optimistische schatting (O), een meest waarschijnlijke schatting (M) en een pessimistische schatting (P). De Optimistische (O) is de kortst mogelijke tijd, de Meest Waarschijnlijke (M) is wat we denken dat het wordt en de Pessimistische (P) is de langste schatting. In plaats van de berekeningen te doen 13

14 met de gegeven tijdsduur, gebruik je hier uit van de verwachte tijdsduur. Natuurlijk mag je ook de drie schattingen gebruiken voor het maken van drie verschillende planningen: een optimistische, een meest waarschijnlijke en een pessimistische. De verwachte tijdsduur geef je aan met E(t) en de formule er voor luidt: De verwachte tijdsduur is dus een gewogen gemiddelde van de drie gegeven schattingen. De coëfficiënten bij O respectievelijk M respectievelijk P heten de gewichten. Als je zou willen, mag je de gewichten veranderen, bijvoorbeeld door de pessimistische schatting wat zwaarder te laten wegen. Houd er rekening mee dat de noemer in de formule de som van de gewichten moet zijn. Bij de verwachte tijdsduur hoort ook een variantie. Het symbool daarvoor is Var(t) en de formule luidt: De wortel uit de variantie is de standaarddeviatie (sigma). Voor geldt dus de formule: Met verwachte tijdsduur, variantie en standaarddeviatie kun je kansen toekennen aan de tijdsduur van je hele project. Maar dat gaat hier te ver. 14

15 Bijlage. Voorbeeld Hieronder volgt een tabel met activiteiten, afhankelijkheden en tijdsduren voor een project. Als oefening kun je de volgende opdrachten maken. Maak een netwerkdiagram voor dit project. Nummer de knooppunten en bepaal bij ieder de VA en de LA. Bepaal het kritieke pad en de minimale tijdsduur van het project. Vul daarna de kolommen vroegste start tot en met speling in. Controleer het diagram met de tabel. Ga na welke activiteiten weinig speling hebben en wat er gebeurt als zo n activiteit uitloopt in de tijd. Verandert dan het kritieke pad? Activiteit Hint directe voorganger(s) tijd in dagen vroegste start vroegste einde laatste start laatste einde speling A 1-8 B 2-4 C 3-12 D 4 A 7 E 5 A 5 F 8 B en C 3 G 9 B en C 4 H 7 B 5 I 11 F 8 J 13 F en G 5 K 12 G 7 L 10 H 7 M 14 H en I 8 N 15 H, I en J 9 O 16 H, I, J en K 6 P 6 D 3 Hint: In de kolom Hint staat de volgorde waarin ik het netwerk heb getekend. Je hoeft die volgorde niet aan te houden, het kan ook ietsje anders. De antwoorden staan op de volgende bladzijden. 15

16 Tabel met antwoorden Activiteit Hint directe voorganger(s) tijd in dagen vroegste start vroegste einde laatste start laatste einde speling A B C D 4 A E 5 A F 8 B en C G 9 B en C H 7 B I 11 F J 13 F en G K 12 G L 10 H M 14 H en I N 15 H, I en J O 16 H, I, J en K P 6 D Kritieke pad: C - F - I - N Lengte kritieke pad = = 32 dagen 16

17 Figure 15: Netwerkdiagram 17