1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d.

Transcriptie

1 1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d. een toewijzingsprobleem. 2. Het aantal toegelaten hoekpunten in een LP probleem in n dimensies kan zijn a. hoogstens n n. b. onbegrensd in n. c. zowel eindig als oneindig. d. geen van bovenstaande. 3. Als een LP probleem een leeg toelaatbaar gebied heeft, dan a. zijn alle getallen in de spilkolom negatief of nul. b. zijn alle rechterleden in het simplextableau negatief of nul. c. kan de simplex method niet starten. d. zal de BigM bijdrage in de Z vergelijking niet verdwijnen. 4. Een transportprobleem is een speciaal geval van a. een toewijzingsprobleem b. een minimale kostenstromingsprobleem c. een minimale opspannende boom probleem d. een LP probleem 5. Crashen van project activiteiten a. verkleint de duur van het project. b. brengt het project om zeep. c. verkleint de inzet van personeel. d. geen van bovenstaande. 6. Een toewijzingsprobleem kan worden opgelost met a. de Russische methode. b. de Hongaarse methode. c. de Franse slag. d. de simplex methode. 7. Een convexe verzameling in R 2 is a. de doorsnede van (mogelijk veel) halfvlakken. b. het complement van de vereniging van (mogelijk oneindig veel) halfvlakken. c. de vereniging of doorsnede van oneindig veel convexe verzamelingen. d. de vereniging of doorsnede van eindig veel maar minstens twee convexe verzamelingen.

2 1 a, b, c are true. A shortest path problem can be modelled as a minimum cost network flow problem, which can be modelled as a BIP problem, which is a special case of an IP problem. Because of the integer property of min cost flow problems the relaxation of the IP problem, solved with the simplex method provides the optimal integer solution. 2 b, the number of variables and constraints is always finite, and therefore also the number of corner points. The number of corner points can never be bounded by the dimension, because it also depends on the number of constraints and it is always possible to increase the number of corner points by introducing extra constraints. 3 d. Empty feasible region means that the origin (zero solution) is not feasible, so the bigm method (or two phases method) must be used. During the simplex process no feasible point can be found, so the M in the objective value will not disappear. 4 b en d. 5 d. Crashing kan de lengte van het project verkorten, maar alleen als activiteiten op het critieke pad gecrashed worden, kan het zijn dat de duur niet kleiner wordt. 6 b en c. 7 a, b, c en d.

3 Bekijk het volgende LP probleem: Max Z = x 1 + 2x 2 + 3x 3 4x 4 zodat x 1 + x 2 + x 3 + x 4 8 x 1 + x 4 8 x 2 2x 4 4 en x 1, x 2, x 3 0 a. Herschrijf dit LP probleem in de standaardvorm voor de simplexmethode. b. Los het probleem op met de simplexmethode (twee tableaus/iteraties is voldoende). a. Het probleem staat nog niet in de standaardvorm, want er is een ongelijkheid, en er is geen 0 ongelijkheid voor x 4. Na introduceren van extra variabelen wordt de standaardvorm: Max Z = x 1 + 2x 2 + 3x 3 4x x 4 Mx 7 zodat x 1 + x 2 + x 3 + x + 4 x 4 + x 5 = 8 x 1 + x + 4 x 4 x 6 + x 7 = 8 x 2 2x x x 8 = 4 en x 1, x 2, x 3, x + 4, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8 0 b. basis Z x 1 x 2 x 3 + x 4 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 RL M 0 0 x x x Omdat de vergelijking voor Z geen basisvariabelen mag bevatten, moet eerst de term M worden weggewerkt: basis Z x 1 x 2 x 3 + x 4 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 RL 1 M1 2 3 M+4 M4 0 M 0 0 8M x x x De meest negatieve coëfficiënt is M 1, de ratio s zijn beide 8. x 1 gaat in de basis, x 5 gaat eruit. basis Z x 1 x 2 x 3 + x 4 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 RL 1 0 M1 M2 5 5 M+1 M x x x

4 De meest negatieve coëfficiënt is 5. x 8 gaat uit de basis, x 4 gaat erin. basis Z x 1 x 2 x 3 + x 4 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 RL 1 0 M+3/2 M2 0 0 M+1 M 0 5/2 18 x / /2 10 x x / /2 2 Alle coëfficiënten zijn nietnegatief. Geen verbetering mogelijk. Optimale oplossing is: x 1 = 10, x 4 = 2, rest = 0, dus in het oorspronkelijke probleem: x 1 = 10, x 4 = 2, Z = 18. Dit probleem kan trouwens ook direct worden opgelost, want uit de eerste twee ongelijkheden volgt meteen dat x 2 = x 3 = 0 en x 1 + x 4 = 8. De derde ongelijkheid levert dat x 4 2, dus Z = x 1 4x 4 = x 1 + x 4 5x = 18, met gelijkheid als x 1 = 10, x 4 = 2, Z = 18.

5 Een emmer van 8 liter is gevuld met water. Verder zijn twee lege emmers gegeven, één van 5 liter en één van 3 liter. De 8 liter moet nu in twee gelijke porties van 4 liter worden verdeeld door het water een aantal keren heen en weer te gieter tussen de emmers. Je mag daarbij emmers alleen helemaal vol gieten, of alles wat je hebt erin gieten, geen andere maat mag worden gebruikt. De (eenvoudig te beantwoorden) vraag is hoe je dit met een minimaal aantal keren gieten voor elkaar kunt krijgen. Per keer wordt er van één emmer in een andere gegoten. a. (3 pt.) Formuleer dit probleem als een kortste pad probleem in een netwerk, waar de knopen overeenkomen met verschillende mogelijke vullingen van de drie emmers en de gerichte takken overgangen die door gieten kunnen worden bereikt, bijvoorbeeld (8, 0, 0) > (5, 0, 3). Het netwerk ziet er als volgt uit: De lengte van elke tak is 1. b. Los dit probleem op met het algoritme van Dijkstra.

6 (8,0,0) (3,5,0) 1 * 1 * 1 * 1 * 1 * 1 * 1 * (5,0,3) 1 * 1 * 1 * 1 * 1 * 1 * 1 * (0,5,3) 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * (3,2,3) 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * (5,3,0) 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * (6,2,0) 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * (2,3,3) 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * (6,0,2) 4 * 4 * 4 * 4 * (2,5,1) 4 * 4 * 4 * 4 * (1,5,2) 5 * 5 * 5 * (7,0,1) 5 * 5 * 5 * (1,4,3) 6 * 6 * (7,1,0) 6 * 6 * (4,1,3) 7 * (4,4,0) 7 * Het kortste pad gaat dus langs (8,0,0) (3,5,0) (3,2,3) (6,2,0) (6,0,2) (1,5,2) (1,4,3) (4,4,0) in 7 stappen. Een project bestaat uit 6 activiteiten. Het project kan worden voorgesteld als een netwerk met 6 knopen, waarin de activiteiten op de takken staan. Deze zijn: (1,2), (2,4), (4,6), (1,3), (3,5), (5,6). Er is een dummyactiviteit (2,3) ingevoerd. a. Teken het netwerk. Wat is de functie van de dummyactiviteit? De dummyactiviteit zorgt ervoor dat activiteit 35 na 12 plaatsvindt (en niet om de toegankelijkheid van het netwerk te vergroten of de doorstroming te verbeteren, of om het netwerk te ontlasten, o.i.d).

7 b. Teken dit project in een netwerk waarbij de activiteiten als knopen gedefinieerd zijn. c. De gegevens van de deelactiviteiten staan in de volgende tabel: Activiteit Normale Crashduur Normale Crashkosten duur kosten A: B: C: D: E: F: Bereken de minimale doorlooptijd van het project (zonder crashen) en het vroegste en laatste tijdstip waarop de activiteiten kunnen starten. Earliest start Earliest finish Latest start Latest finish A B C D E F End 20 Doorlooptijd is minimaal 20 weken. d. Formuleer een LP model waarmee het project op de goedkoopst mogelijke manier in uiterlijk 13 weken kan worden afgerond.

8 Activiteit Nor male duur Crash duur aantal weken korter Norma le kosten Crash kosten Marginale crash kosten A: B: C: D: E: F: Laat x S de starttijd van activiteit S (= A, B, C, D, E, F) zijn en y S het aantal weken waarmee de duur van activiteit S is verkort. Dan moet B B B B Min 1000y A y B yC y D y E + 800y F (kosten van crashen) z.d.d. 6 y A x C, (C begint na A) 2 y B xd, 6 y A x D, (D na B en D na A) x C + 4 y C + 7 y E 13, (E klaar binnen 13 weken) x D + 5 y D + 9 y F 13, (F klaar binnen 13 weken) y A 2, y B 1, yc 2, y D 2, y E 3, y F 3, (maximale crashduur) en x C, x D, y A, y B, yc, y D, y E, y F 0. (niet negatief crashen) (voor het gemak zijn een paar overbodige variabelen zoals x A weggelaten) Oplossing: A, D en E worden 2 weken verkort en F 3 weken. B en C worden niet ingekort. Totale kosten: 9000 euro.