Voorbeeld simplexmethode. Max Z = 3x 1 + 2x 2 0.5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x 2 + x 3 10, 3x 1 + x 2-2x 3 8, en x 1, x 2, x 3 0.

Transcriptie

1 Voorbeeld simplexmethode Max Z = 3x 1 + 2x 2 0.5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x 2 + x 3 10, 3x 1 + x 2-2x 3 8, en x 1, x 2, x 3 0. Voer slackvariabelen (x 4, x 5 ) in: Max Z = 3x 1 + 2x 2 0.5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x 2 + x 3 + x 4 = 10, 3x 1 + x 2-2x 3 + x 5 = 8, en x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0. Basisoplossing: x 1 = x 2 = x 3 = 0 x 4 = 10, x 5 = 8 Basisoplossing: (0, 0, 0, 10, 8) Doelwaarde: Z = 0 Basisvariabelen: x 4, x 5. Niet-basisvariabelen: x 1, x 2, x 3. Welke van x 1, x 2, x 3 positief maken? Sterkste stijging voor x 1 (coëfficiënt in Z). Hoe groot kan x 1 worden? x 2 = x 3 = 0 dus 4x 1 + x 4 = 10 4x 1 = 10 - x 4 10 x x 1 + x 5 = 8 3x 1 = 8 - x 5 8 x x 1 kan maximaal 2.5 worden als x 4 = 0. x 4 verlaat de basis, x 1 komt in de basis.

2 Basisoplossing: (2.5, 0, 0, 0, 0.5) Doelwaarde: Z = 7.5 Basisvariabelen: x 1, x 5. Niet-basisvariabelen: x 2, x 3, x 4. Max Z = 3x 1 + 2x 2 0.5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x 2 + x 3 + x 4 = 10 3x 1 + x 2-2x 3 + x 5 = 8 en x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 Nieuwe basisvorm: x 1 en x 5 mogen niet in de Z vergelijking en in de andere vergelijkingen met één 1, rest 0. Dit krijg je door vegen: Max Z = x x x z.d.d. x x x x 4 = x x x 4 + x 5 = 0.5 en x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 Basisoplossing: (2.5, 0, 0, 0, 0.5) Z = 7.5 Oplossing is al optimaal (want alle coëfficiënten in de Z vergelijking zijn negatief). Optimale oplossing: x 1 = 2.5, x 2 = 0, x 3 = 0, Z = 7.5.

3 Simplex methode in tabelvorm (Ch. 4.4)

4

5

6 Standaardvorm voor een LP probleem: Max Z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n z.d.d. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m en x 1, x 2, x n 0 Hierin zijn alle b j 0. Reden voor de standaardvorm: x 1 = x 2 = = x n = 0 is een toegelaten startoplossing, want een toegelaten hoekpunt. Wat doe je als een LP probleem niet in de standaardvorm staat?

7 Afwijkingen van de standaardvorm (Ch. 4.6): 1. Minimalisering: Min Z = (Max Z) 2. Geen niet-negativiteitseis voor x j (x j 0) 2a. x j 10. Ga over op x j = x j 10, dan is x j 0. 2b. x j -7. Ga over op x j = 7 x j, dan is x j 0. 2c. Geen ongelijkheid voor x j. Schrijf x j = x + j - x - j, dan is x + - j, x j Negatief rechterlid: 3x 2 7x 4 4 3x 2 + 7x i.p.v. in constraint: surplusvariabele, i.p.v. slackvariabele + behandelen als gelijkheid! 3x 2 + 7x 4 4 3x 2 + 7x 4 x 5 = 4 3x 2 + 7x 4 x 5 + x 6 = 4 (en x 5, x 6 0, extra term Mx 6 in doelfunctie) 5. = i.p.v. in constraint: Voer kunstmatige variabele + x in én extra term Mx in doelfunctie

8 Voorbeeld omzetten naar standaardvorm Max Z = x 1 + x 2 + x 4 z.d.d. x 1 + 2x 2 5 2x 1 x 2 + x 3 4 x 2 2x 3 + x 4 = 5 en x 1 0, x 2 5, x 3 0 x 2 5 klopt niet. Nieuwe variabele x 2 = 5 x 1 0. Vervang x 2 door x 2 : Max Z = x 1 x 2 + x z.d.d. x 1 2x 2 5 2x 1 + x 2 + x 3 1 x 2 2x 3 + x 4 = 2 en x 1 0, x 2 0, x 3 0 Geen constraint voor x 4. Vervang x 4 = x x 4 -, x 4 +, x 4-0: Max Z = x 1 x 2 + x + 4 x z.d.d. x 1-2x 2 5 2x 1 + x 2 + x 3 1 x 2 2x 3 + x x 4 = 2 en x 1 0, x 2 0, x 3 0, x + 4, x Vervang Z door Z = Z 5.

9 Max Z = x 1 x 2 + x x 4 z.d.d. x 1 2x 2 5 2x 1 + x 2 + x 3 1 x 2 2x 3 + x x 4 = 2 en x 1 0, x 2 0, x 3 0, x + 4, x Vervang x 1 2x 2 5 door x 1 + 2x 2 5 en x 2 2x 3 + x x 4 = 2 door x 2 + 2x 3 x x 4 = 2: Max Z = x 1 x 2 + x + 4 x - 4 Mx 6 z.d.d. x 1 + 2x 2 5 2x 1 + x 2 + x 3 + x 5 = 1 x 2 + 2x 3 x x 4 +x 6 = 2 en x 1 0, x 2 0, x 3 0, x + 4, x - 4, x 5, x 6 0 Voer variabelen in voor de eerste en derde constraint: Max Z = x 1 x 2 + x + 4 x - 4 Mx 6 Mx 8 z.d.d. x 1 + 2x 2 x 7 + x 8 = 5 2x 1 + x 2 + x 3 + x 5 = 1 x 2 + 2x 3 x x 4 +x 6 = 2 en x 1 0, x 2 0, x 3 0, x + 4, x - 4, x 5, x 6, x 7, x 8 0 Optimale oplossing: (x 1, 5-x 2, x 3, x + 4 x - 4 ) Optimale waarde: Z = Z + 5

10 Alternatieve aanpak voor de gelijkheid zou kunnen zijn: vervang dit door: Dit wordt: x 2 + 2x 3 x x 4 - = 2 x 2 + 2x 3 x x 4-2 x 2 + 2x 3 x x 4-2 x 2 + 2x 3 x x x 6 2 x 2 + 2x 3 x x x 9 + x 10 2 Dit geeft 3 extra variabelen in plaats van 1: Niet handig dus. x 2 + 2x 3 x x 4 - +x 6 = 2

11 Voorbeeld Big-M methode: Koop voor 1 M aandelen Vilyps, Dikstaal en Multilever fonds prijs/aandeel dividend/aandeel Vilyps 50 7 Dikstaal 20 6 Multilever 75 9 Minimaal 30% is in Vilyps belegd. Minstens driemaal zoveel geld in Multilever belegd als in Dikstaal. Maximaliseer de verwachte opbrengst. Formuleer eerst het LP model: Max Z = 7v + 6d + 9m z.d.d. 50v + 20d + 75m = v m 60d v, d, m 0 Vereenvoudig: Max Z = 7v + 6d + 9m z.d.d. 10v + 4d + 15m = v m 4d 0 v, d, m 0

12 Max Z = 7v + 6d + 9m z.d.d. 10v + 4d + 15m = v m 4d 0 v, d, m 0 Elimineer d door substitutie van de =-constraint : d = v 3.75m (normaal zou je dit niet doen) Max Z = v 13.5m z.d.d. v v + 20m ,5v 3,75m (komt van d 0) v, m 0 Vereenvoudig: Max Z = v 13.5m z.d.d. v + 2m v 3m v 6000, m 0 Vervang v = v 6000, ofwel v = v : Max Z = v 13.5m z.d.d. v + 2m v 3m v, m 0

13 Los op met de simplexmethode! Max Z = v 13.5m z.d.d. v + 2m v 3m v, m 0 Surplusvariabele n 1, slackvariabele n 2 : Max Z = v 13.5m z.d.d. v + 2m n 1 = v 3m + n 2 = v, m, n 1, n 2 0 Oorsprong is geen oplossing (n 1 = < 0)! Hulpvariabele p: Max Z = v 13.5m Mp z.d.d. v + 2m n 1 + p = v 3m + n 2 = v, m, n 1, n 2, p 0 Extra term Mp in doelfunctie zorgt dat (uiteindelijk) p = 0 wordt. (M is heel groot) Hoekpunt: v = m = n 1 = 0. Basisvariabelen: p, n 2

14 Max Z = v 13.5m Mp z.d.d. v + 2m n 1 + p = v 3m + n 2 = v, m, n 1, n 2, p 0 Elimineer eerst p uit Z: Max Z = M + (M-8)v + (2M-13.5)m Mn 1 z.d.d. v + 2m n 1 + p = v 3m + n 2 = v, m, n 1, n 2, p 0 Grootste stijging door m. Vergroot m, dan stijgt Z Vergroot m tot 7000, dan wordt p = 0. Vegen met m: Max Z = v 6.75n 1 (M 6.75)p z.d.d. 0.5v + m 0.5n p = v 1.5n 1 + n p = v, m, n 1, n 2, p 0 Geen verbetering mogelijk door vergroten van v, n 1 of p. Optimaal! v = n 1 = p = 0, m = 7000, n 2 = Oplossing: v = 6000, m = 7000, d = 8750, Z =

15 Voorbeeld: Mary s radiation therapy (Ch. 3.4) Mary heeft een tumor in haar blaas die bestraald moet worden. Dit gebeurt met bestraling in een bepaalde dosering vanuit twee richtingen. De effecten op gezond en schadelijk weefsel zijn bekend. Welke dosering moet worden gebruikt om in de tumor een bepaalde dosering te bereiken, terwijl het omringende weefsel zoveel mogelijk wordt gespaard?

16 LP model: Min Z = 0.4x x 2 z.d.d. 0.3x x 2 2.7, 0.5x x 2 = 6, 0.6x x 2 6, en x 1, x 2 0.

17 Oplossing m.b.v. de simplex methode (Ch. 4.6) Herschrijf het model met gelijkheden: Min Z = 0.4x x 2 + Mx 4 + Mx 6 z.d.d. 0.3x x 2 + x 3 = 2.7, 0.5x x 2 + x 4 = 6, 0.6x x 2 - x 5 + x 6 = 6, en x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 0. Let op: de coëfficiënten van x 4 en x 6 in de doelfunctie zijn +M, omdat we minimaliseren! In de maximaliseringsvorm: - Z + 0.4x x 2 + Mx 4 + Mx 6 = 0 0.3x x 2 + x 3 = x x 2 + x 4 = 6 0.6x x 2 - x 5 + x 6 = 6 De basisvariabelen zijn (x 3, x 4, x 6 ) en mogen niet in de doelfunctie voorkomen. Vegen levert: - Z + ( M)x 1 + ( M)x 2 + Mx 5 = -12M 0.3x x 2 + x 3 = x x 2 + x 4 = 6 0.6x x 2 - x 5 + x 6 = 6

18 - Z + ( M)x 1 + ( M)x 2 + Mx 5 = -12M 0.3x x 2 + x 3 = x x 2 + x 4 = 6 0.6x x 2 - x 5 + x 6 = 6 De simplex tableaus:

19 Het toegelaten gebied van het originele probleem (zwarte lijnstuk), en van het artificiële probleem (gearceerd). De simplex methode vindt de punten 0, 1, 2, 3. Vanaf punt 3 is de oplossing toegelaten voor het originele probleem. De oplossing is dan meteen ook optimaal (toevallig).

20 Twee-fasen methode (Ch. 4.6) De big-m methode kan i.h.a. niet worden geïmplementeerd met een expliciete, grote waarde van M, omdat die waarde probleem-afhankelijk is en aanleiding tot numerieke problemen (cancellation) kan geven. Andere aanpak: De doelwaarde van de big-m methode is: Min Z = 0.4x x 2 + Mx 4 + Mx 6 De simplexmethode zal eerst proberen de bijdrage van M te verwijderen om een oplossing te vinden die toegelaten is voor het originele probleem. Twee-fasen methode: Fase 1: Min Z = x 4 + x 6 Het resultaat is dat x 4 = x 6 = 0 (als er een toegelaten oplossing is). Start met deze toegelaten oplossing: Fase 2: Min Z = 0.4x x 2

21 Voorbeeld: Mary s radiation therapy Fase 1: - Z + x 4 + x 6 = 0 0.3x x 2 + x 3 = x x 2 + x 4 = 6 0.6x x 2 - x 5 + x 6 = 6 De basisvariabelen zijn (x 3, x 4, x 6 ) en mogen niet in de doelfunctie voorkomen. Vegen levert: - Z -1.1x 1-0.9x 2 + x 5 = x x 2 + x 3 = x x 2 + x 4 = 6 0.6x x 2 - x 5 + x 6 = 6

22 In het laatste tableau is de doelwaarde 0 geworden en dus x 4 = x 6 = 0. De oplossing (6, 6, 0.3, 0, 0, 0) is toegelaten voor het originele probleem (maar misschien nog niet optimaal. In fase 2 wordt Z = 0.4x x 2 geminimaliseerd. Vervang in het laatste tableau van fase 1 de doelfunctie en ga verder met de simplexmethode:

23 De optimale oplossing is dus (7.5, 4.5, 0, 0, 0.3), Z = 5.25

24 Let op: de weg die de twee-fasenmethode in dit geval aflegt is anders dan die van de big-m methode!

25 Wat gebeurt er als er geen toegelaten oplossing is? Min Z = 0.4x x 2 z.d.d. 0.3x x 2 2.7, 0.5x x 2 = 6, 0.6x x 2 6, en x 1, x 2 0. Vervang 0.3x x door 0.3x x Dit levert de volgende tableaus voor de big-m methode: De optimale doelwaarde bevat nog steeds M. Er is dus geen toegelaten oplossing! De twee-fasen methode zal na de eerste fase niet uitkomen op een doelwaarde die gelijk is aan 0.