Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk.

Transcriptie

1 Netwerkanalyse (H3) Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk. Deze problemen kunnen vaak als continu LP probleem worden opgelost. Door de speciale structuur zijn er vaak snellere algoritmen mogelijk.

2 Kortste pad probleem (3.1) Gericht netwerk met niet-negatieve afstanden (kosten) LP formulering: x ij = 0/1 het pad maakt niet/wel gebruik van tak i j. Min 7x x x x x x x x x x x x x x 67 z.d.d. x 12 + x 13 + x 14 = 1 (N1) x 26 x 12 x 32 = 0 (N2) x 32 + x 35 + x 36 x 13 x 43 = 0 (N3) x 43 + x 45 + x 47 x 14 = 0 (N4) x 56 + x 57 x 35 x 45 = 0 (N5) x 67 x 26 x 36 x 56 = 0 (N6) x 47 x 57 x 67 = 1 (N7) en x ij 0

3 Coëfficiëntmatrix x 12 x 13 x 14 x 26 x 32 x 35 x 36 x 43 x 45 x 47 x 56 x 57 x Eigenschappen: a. Elk element is 1, 0 of 1 b. Elke kolom bevat één 1 en één 1. Een matrix met de eigenschappen a. Elk element is 1, 0 of 1 b. Elke kolom heeft hoogstens twee elementen 0 c. De rijen kunnen worden verdeeld in twee verzamelingen zodat: 1. twee elementen met gelijk teken in één kolom, dan de bijbehorende rijen in verschillende verzameling 2. twee elementen met verschillend teken in één kolom, dan de bijbehorende rijen in dezelfde verzameling heet unimodulair

4 Voorbeeld: x 12 x 13 x 14 x 26 x 32 x 35 x 36 x 43 x 45 x 47 x 56 x 57 x Voorbeeld: Unimodulair Niet unimodulair

5 Geheeltalligheidseigenschap: Voor een IP probleem met unimodulaire coëfficiëntmatrix en niet-negatieve gehele rechterleden, is een optimale basisoplossing van de LP relaxatie geheeltallig. Voor zo n probleem kan dus de (continue) simplex methode worden gebruikt. Deze geeft automatische een geheeltallige optimale oplossing! Let op: Het (gerelaxeerde) LP probleem kan ook nietgehele oplossingen hebben! LP oplossing voor het kortste pad probleem: x 14 = x 45 = x 57 = 1, rest = 0. Kortste pad

6 Algoritme van Dijkstra (p. 146) Edsger Dijkstra ( )

7 Vindt iteratief het kortste pad vanuit startpunt naar het dichtstbijzijnde punt, het één-na dichtstbijzijnde punt, etc. Per knoop een label met bovengrens afstand en voorganger. Een label is tijdelijk of permanent. Permanent label geeft kortste afstand tot startpunt, tijdelijk label geeft bovengrens. Per iteratie wordt één label permanent Voorwaarde: alle kosten zijn niet-negatief!

8 Complexiteit van het algoritme van Dijkstra Worst case: alle knopen zijn met elkaar verbonden. (complete graaf, aantal takken = n(n-1)) In de k-de iteratie: n-k optellingen 2(n-k) minimum van 2 getallen n k = 1 ( n k) = 1 2 n ( n 1) Rekentijd is dus O(n 2 ) (n )

9 Toepassing: Meest betrouwbare pad (p. 150) Per tak is p ij de faalkans. Kans dat geen fout optreedt langs pad P is ( i, j ) (1 P p ij ) Niet-lineair! Neem logaritme: log (1 p ) ( i, j ) P ( i, j ) ij = P log(1 p ij ) Neem dus als afstand op de takken: log( 1 p ) > ij 0

10 Minimum cost flow problemen (H3.5) Gegeven is een netwerk C ij zijn kosten per eenheid over tak i j l ij is maximale hoeveelheid over tak i j u ij is minimale hoeveelheid over tak i j b i is voorraad (b i > 0) vraag (b i <0) in knoop i. Variabele x ij is de hoeveelheid die stroomt (flow) van i naar j. Het min-cost flow probleem is nu als volgt: Min i, j c ij x ij z.d.d. x ik - x ki = b i voor elke knoop i k l ij x ij u ij k De gelijkheden zorgen dat per knoop geen stroomverlies optreedt. Geheeltalligheidseigenschap: Als alle l ij, u ij en b i geheel zijn, dan vindt de simplexmethode een gehele optimale oplossing.

11 Transportprobleem (3.5.1) Een transportprobleem is een speciaal geval van een min cost-flowprobleem: Er is een set invoerknopen (leveranciers, b i >0) en een set uitvoerknopen (afnemers, b i <0). Elke leverancier is met elke afnemer verbonden. Er zijn dus geen doorvoerknopen (b i = 0). Ondergrens l ij = 0, bovengrens u ij =. Bij een transportprobleem hoort een tabel: magazijn fabriek Output c ij toewijzing Min i, j c ij x ij z.d.d. x ik = s i (aanbod fabriek i) k k x kj = d j (vraag klant j) De totale productie is gelijk aan de totale vraag: i s i = x ij = d j i, j j Geheeltalligheid: als alle s i en d j geheeltallig, dan geeft de simplexmethode een geheeltallige opl.

12 Voorbeeld: Northern Airlines moet in vier maanden resp. 10, 14, 25 en 20 vliegtuigen leveren. Maximale productie in die maanden is 25, 35, 30, 10 vliegtuigen. De productie en opslagkosten zijn: Maand aantal vliegtuig. leveren max. productie kosten per vliegtuig opslag kosten /vliegtuig Formuleren als transportprobleem: Bron i = productie in maand I Doel j = leveren in maand j leveren maken D leveren M M M M M M vraag In de productiekosten is opslag meegenomen. Dummy afnemer neemt de overcapaciteit op met kosten 0. Big-M zorgt dat levering niet voor productie kan komen.