Bijlage A Simplex-methode
|
|
- Elke Visser
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Dee bijlage hoort bij Beter beslissen, Bijlage A Simplex-methode Verreweg de meeste LP-problemen worden opgelost met behulp van het ogenoemde Simplex-algoritme, in ontwikkeld door G.B. Dantig. De meeste computerfirma s hebben wel een programmapakket ontwikkeld dat is gebaseerd op dee Simplex-methode. Daarmee kunnen ook de grootste LP-modellen worden opgelost. Een beetje LP-model voor een praktijkprobleem heeft al gauw enkele tientallen tot honderden variabelen en enkele honderden tot soms duienden restricties. Vooral de LP-modellen uit de olie-industrie ijn bekend om hun enorme grootte. Wij bespreken in dee bijlage aan de hand van eenvoudige voorbeelden eerst een elementaire vorm van het Simplex-algoritme, het ogenoemde standaard Simplexalgoritme. Hiermee kunnen maximaliseringsproblemen worden opgelost die uitsluitend kleiner/gelijk-restricties hebben met positieve rechterleden. Dit algoritme wordt behandeld in deel. In deel wordt de tweefasen-methode behandeld, waarmee ook de algemene LP-problemen kunnen worden opgelost. Ten slotte wordt in deel ingegaan op een meer wiskundige aanpak van de gevoeligheidsanalyse. Deel Standaard Simplex-algoritme Het Simplex-algoritme wordt uitgelegd aan de hand van een planningsprobleem, waar twee producten worden gemaakt onder drie beperkende voorwaarden. De bijdrage aan de winst moet worden gemaximaliseerd. Het bij dit probleem behorende wiskundige model is: Maximaliseer = x + x m.b.t. x + x [boren] x + x 6 [draaien] [I] x + x [freen] x, x De eerste stap is dat we de drie ongelijkheidsrestricties gaan schrijven als gelijkheden. We kunnen dit bereiken door aan elke restrictie een extra variabele toe te voegen. Dit LP-probleem kan dan op de volgende manier worden herschreven (waarbij ook de doelfunctie op nul is herleid): x x = x + x + x = [II] x + x + x = 6 x + x + x = De variabelen x, x en x worden spelingsvariabelen genoemd, in het Engels slack variables. Men ou e kunnen interpreteren als niet-gebruikte capaciteitseenheden van de diverse capaciteitssoorten. Ook aan dee spelingsvariabelen stellen we de eis dat e niet-negatief mogen ijn. Het stelsel [II] is een stelsel van vier lineaire vergelijkingen met es onbekenden, en daarmee dus onbepaald. Dat wil eggen dat er in principe oneindig veel oplossingen bestaan. Wij oeken nu díe oplossing waarvoor o groot mogelijk is. Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
2 Eén oplossing is vrij gemakkelijk te bepalen: stelt men x = x =, dan vinden we: x =, x = 6, x = en =. Zo n oplossing van het stelsel, die men vindt door de echte variabelen gelijk aan nul te kieen, heet een basisoplossing. We kunnen het stelsel [II] in een ogenoemd eerste Simplex-tableau schrijven, ie tabel. Tabel Eerste Simplex-tableau Basis x x x x x RL x x x * 6 De eerste kolom wordt de basis genoemd, hierin staan de basisvariabelen die geamenlijk de basisoplossing vormen. De meest rechtse kolom bevat de getalswaarden van die oplossing en wordt het rechterlid (RL) genoemd, in het Engels: right-hand-side. De variabelen die niet in de basis itten, ijn per definitie gelijk aan nul. In dit voorbeeld dus x en x. Een basisoplossing heeft altijd naast de variabele nog oveel variabelen ongelijk aan nul als er beperkingen ijn. De volgende stap is nu een andere basisoplossing te oeken die aan twee eisen moet voldoen: de nieuwe basisoplossing levert een -waarde die niet lager is dan de huidige; de nieuwe basisoplossing moet ook een toelaatbare oplossing ijn. Als we de -rij bekijken, ien we dat we de waarde van groter kunnen maken door óf x, óf x positief te maken. De grootste bijdrage levert natuurlijk x ; dat wil eggen dat we x in de basis ouden willen opnemen en dat dus een van de huidige basisvariabelen daaruit moet verdwijnen. Om een toelaatbare oplossing te handhaven en daarmee dus aan de tweede eis te voldoen, kunnen we x niet verder 6 verhogen dan het minimum van, en. Zie de x -kolom in het eerste Simplex-tableau. Dat wil dus eggen dat we x met eenheden kunnen vergroten en ook dat x uit de basis verdwijnt: in de x -rij vinden we immers dat minimum. Op dee manier vinden we op het kruispunt van de x -kolom en de x -rij een element dat we het pivot-element noemen. Het is in het eerste Simplex-tableau van een sterretje (*) voorien. Om een nieuwe basisoplossing te krijgen, met een hogere -waarde en waar x in de basis it ten koste van x, gaan we pivoten om het pivot-element heen. Dit komt erop neer dat we met behulp van de pivot-rij de pivot-kolom gaan schoonvegen, odanig dat het pivot-element de waarde krijgt en de overige kolom-elementen de waarde krijgen. De bewerkingen hiervoor ijn dan: Vermenigvuldig de x -rij met. Vermenigvuldig vervolgens de x -rij met en tel dee op bij de -rij. Vermenigvuldig de x -rij met en tel dee op bij de x -rij. Vermenigvuldig de x -rij met en tel dee op bij de x -rij. Na dit pivoten krijgen we een tweede Simplex-tableau, ie tabel. Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
3 Tabel Tweede Simplex-tableau Basis x x x x x RL x x x * We vragen ons nu af of we de optimale oplossing hebben gevonden of dat we de - waarde van nog verder kunnen verhogen. In de -rij ien we dat de -waarde nog verder kan worden verhoogd door x te verhogen. Om aan de eis van toelaatbaarheid van de oplossing te blijven voldoen, kan x niet verder verhoogd worden dan het minimum van, en, dus. Dat wil ook eggen dat x de basis dient te verlaten ten gunste van x. Pivoten betekent nu de volgende bewerkingen uitvoeren: Vermenigvuldig de x -rij met. Vermenigvuldig de x -rij met en tel dee op bij de -rij. Vermenigvuldig de x -rij met en tel dee op bij de x -rij. Vermenigvuldig de x -rij met en tel dee op bij de x -rij. Hierna ontstaat het derde Simplex-tableau, ie tabel. Tabel Derde Simplex-tableau Basis x x x x x RL x x x In de -rij ien we dat introductie van één van de niet-basisvariabelen, x of x, in de basis niet meer leidt tot een verdere verhoging van de -waarde, immers de getallen ijn niet meer negatief. Dat wil eggen dat de oplossing die we nu hebben verkregen de optimale oplossing is. Dee optimale oplossing is dus: x = en x =, met als -waarde: =. Verder geldt nog: x = x = en x =. Voor problemen in de standaardvorm, met positieve rechterleden, kan de Simplexmethode als volgt worden samengevat: Stap Maak van alle kleiner/gelijk-restricties gelijkheden door ogenoemde spelingsvariabelen toe te voegen. Stel daarna het eerste Simplex-tableau op. Stap Als alle elementen in de -rij niet-negatief ijn, dan is de basisoplossing die bij dit tableau hoort de optimale oplossing. Als één of meer elementen in de -rij negatief ijn, ga dan naar stap. Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
4 Stap Selectie van de variabele die in de basis gaat Kies die variabele waarvan de coëfficiënt in de -rij het meest negatief is. Stap Selectie van de variabele die uit de basis gaat Deel de elementen in het rechterlid door de overeenkomstige positieve elementen uit de kolom van de variabele die in de basis gaat. Kies de kleinste breuk. De noemer van dee kleinste breuk is het pivot-element. De basisvariabele in de rij waarin het pivot-element voorkomt, is de variabele die de basis verlaat. Stap Pivoten om het pivot-element Dat wil eggen de kolom van de variabele die in de basis gaat, schoonvegen met de rij van de variabele die uit de basis gaat. Ga terug naar stap. Een basisoplossing met alle variabelen positief heet niet-gedegenereerd. Een basisoplossing met één of meer variabelen gelijk aan nul heet gedegenereerd. In beide gevallen, eventueel door het aanbrengen van kleine wijigingen, leidt de Simplex-methode in een eindig aantal stappen tot de optimale oplossing. Het optimale Simplex-tableau kan als volgt worden geïnterpreteerd: a De bij de basisvariabelen behorende optimale oplossing staat in de meest rechtse kolom. b In de -rij ijn de coëfficiënten van de spelingsvariabelen tevens de schaduwprijen van de betreffende restricties. c In de kolommen van de niet-basisvariabelen staat het aantal eenheden dat men moet opofferen (van de basisvariabelen) om één eenheid van de betreffende niet-basisvariabele in de oplossing te kunnen introduceren. d De coëfficiënten van de spelingsvariabelen in de -rij ijn tevens de optimale waarden van het overeenkomstige duale probleem. We illustreren het voorgaande aan de hand van het volgende LP-model, waarin de winst van vier producten moet worden gemaximaliseerd onder drie beperkende voorwaarden. Maximaliseer = x + x + x + x m.b.t. x + x + x + x x + x + x + x x + x + x + x x, x, x, x Het overeenkomstige duale probleem is: Minimaliseer = y + y + y m.b.t. y + y + y y + y + y y + y + y y + y + y y, y, y Het bij het primale probleem behorende laatste en dus optimale Simplex-tableau is weergegeven in tabel. Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
5 Tabel Optimaal Simplex-tableau Basis x x x x x x 6 x RL x x x a De optimale oplossing is dus: x =, x =, x = en x =, met = 6. Verder is: x =, x 6 = en x =. In de optimale situatie worden dus de producten x en x niet gemaakt. b De schaduwprijen ijn: van de eerste restrictie (coëfficiënt van x in de - rij); van de tweede restrictie (coëfficiënt van x 6 in de -rij); van de derde restrictie (coëfficiënt van x in de -rij). c Als we toch één eenheid x willen maken, dan kost ons dat. We offeren dan op: eenheid x, eenheid x en 6 eenheid x 6, ie de x -kolom. Als we toch één eenheid x willen maken, dat wil dus eggen dat de beschikbaarheid in de derde restrictie geen is, maar, dan kost dat. We offeren dan op: eenheid x, eenheid x en eenheid x 6. d De coëfficiënten van de spelingsvariabelen in de -rij bepalen de optimale oplossing van het duale probleem, dus: y =, y = en y =. Dee oplossing voldoet inderdaad aan de beperkingen van het duale probleem: + + = + + = + + = = De waarde van de duale doelfunctie is deelfde als van de primale doelfunctie: + + = 6 Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
6 Deel Tweefasen-methode In deel is het Simplex-algoritme alleen toegepast op LP-problemen die kleiner/gelijk-restricties bevatten en waarvan de doelfunctie moest worden gemaximaliseerd. De LP-problemen die groter/gelijk-restricties bevatten of gelijkheidsrestricties, of die moeten worden geminimaliseerd, kunnen niet onder meer worden opgelost met het standaard Simplex-algoritme. We latenaan de hand van een drietal LP-problemen ien hoe, via de ogenoemde tweefasenmethode, het Simplex-algoritme als oplossingsmethode kan worden gebruikt. Eerst gaan we het op te lossen LP-probleem transformeren in een gelijkwaardig LPprobleem, als volgt: Restricties met negatief rechterlid vermenigvuldigen we met ; het teken keren we om. De groter/gelijk-restricties etten we om in gelijkheidsrestricties door ogenoemde surplus-variabelen, s j, af te trekken van het linkerlid. Voor vrije variabelen x j substitueren we x j = x + j x j, met x + j en x j. Als een variabele x j is, dan substitueren we x j = x ' ' j, met x j. We voeren weer een variabele in, waarvoor moet gelden: Σc j x j = als we maximaliseren; + Σc j x j = als we moeten minimaliseren. Het o ontstane LP-probleem heeft alleen kleiner/gelijk-restricties en gelijkheidsrestricties. Vervolgens voeren we voor de kleiner/gelijk-restricties spelingsvariabelen in, oals we dat al eerder hebben gedaan. Voor de gelijkheidsrestricties voeren we ogenoemde kunstmatige variabelen, k j, in (Engels: artificial variables), waarvoor eveneens geldt: k j. Dee kunstmatige variabelen moeten we weer ien kwijt te raken, en dat lukt via de ogenoemde tweefasenmethode. Ten slotte voeren we nog een -rij in van de vorm: + Σk j =. In de eerste fase creëren we een toelaatbare oplossing, waarin alle hulpvariabelen nul ijn. Dit doen we door (= Σk j ) te maximaliseren (natuurlijk rekening houdend met de restricties). Dee eerste fase eindigt als de hulpvariabelen uit de basis ijn vertrokken (dan ijn e immers nul!). Overigens, als dit niet lukt, heeft het oorspronkelijke LP-probleem geen oplossing. In de tweede fase optimaliseren we de oorspronkelijke doelfunctie, startend met de toelaatbare oplossing van de eerste fase. We verduidelijken de tweefasenmethode door een drietal LP-problemen op te lossen. Probleem Gegeven het volgende LP-probleem: Maximaliseer = x + x m.b.t. x x x x + x x, x Als we dit probleem volgens de genoemde regels ometten, krijgen we: + k = x x = x x + x = x + x = x + x s + k = 6 Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
7 Na eliminatie van de kunstmatige variabele k uit de -rij, krijgen we: x x + s = x x = x x + x = x + x = x + x s + k = Het eerste tableau (met * = pivot-element en weglating van de -kolom) wordt dan weergegeven door tabel. Tabel Eerste tableau Basis x x x x s k RL x x k * In de eerste fase gebruiken we de -rij om het pivot-element te bepalen (we maximaliseren dus inderdaad ). Elke keer als een kunstmatige variabele uit de basis gaat, mogen we de bijbehorende kolom weglaten. De eerste fase eindigt als alle kunstmatige variabelen uit de basis ijn vertrokken. Zo kan, met behulp van het pivot-element op de kruising van de x -kolom en de k-rij, het tweede tableau worden bepaald, ie tabel 6. Tabel 6 Tweede tableau (e versie) Basis x x x x s k RL x x x 6 De (enige) k-kolom mag nu worden weggelaten, want de kunstmatige variabele k is uit de basis vertrokken. Bovendien ijn er geen andere kunstmatige variabelen meer in de basis aanweig, dus is tevens de eerste fase beëindigd. De -rij mag ook worden geschrapt, want + k = betekent immers k =. Het tableau aan het begin van de tweede fase, een vereenvoudiging dus van het tweede tableau, wordt dan oals weergegeven in tabel. Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
8 Tabel Tweede tableau (tweede versie) Basis x x x x s RL 6 x x x * Als we de regels van het Simplex-algoritme op de gewone manier toepassen, krijgen we het derde tableau, ie tabel. Tabel Derde tableau Basis x x x x s RL x s x * En het vierde tableau, tevens eindtableau, iet er als volg uit, ie tabel. Tabel Vierde tableau (eindtableau) Basis x x x x s RL x s 6 x De oplossing is dus: x =, x =, met als maximum =. Probleem We beschouwen het volgende LP-probleem: Minimaliseer = x + x m.b.t. x + x x x 6 x, x Na herschrijven ontstaat het volgende stelsel vergelijkingen: + k = x x + s = + x + x = x + x s + k = x + x = x + x = 6 Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
9 Na eliminatie van k uit de -rij wordt het eerste tableau gegeven in tabel. Tabel Eerste tableau Basis x x x x s k RL k x x * 6 Verder toepassen van het Simplex-algoritme geeft het tweede tableau, ie tabel. Tabel Tweede tableau Basis x x x x s k RL k x x * 6 Vervolgens komt x in de basis ten koste van k. De kunstmatige variabele k gaat dus uit de basis, odat de k-kolom mag worden weggelaten. Het derde tableau wordt dan oals weergegeven in tabel. Tabel Derde tableau Basis x x x x s RL x x x De eerste fase is hiermee afgelopen, maar de tweede fase ook, want er ijn geen negatieve coëfficiënten in de -rij. Dit derde tableau is dus tevens het optimale tableau. De oplossing is dus: x =, x =, met als minimum =. Probleem Gevraagd wordt het volgende LP-probleem op te lossen: Minimaliseer = x + x + 6x + x m.b.t. x + x x + x + x + x x + x + x + x x + x + 6x + x x, x, x, x Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
10 Herschrijven geeft het volgende stelsel vergelijkingen: + k + k + k = + x + x + 6x + x = x + x + x + x s + k = x + x + x + x s + k = x + x + 6x + x s + k = Na eliminatie van de kunstmatige variabelen k, k en k uit de -rij kan het eerste tableau worden opgesteld, ie tabel. Tabel Eerste tableau Basis x x x x s s s k k k RL 6 k k k * 6 + Verder toepassen van het Simplex-algoritme geeft het tweede tot en met het vijfde tableau, ie de tabellen tot en met. Tabel Tweede tableau Basis x x x x s s s k k RL 6 k x k * Tabel Derde tableau Basis x x x x s s s k RL k x x Tabel 6 Vierde tableau * 6 6 Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
11 Basis x x x x s s s k RL k x x * Tabel Vijfde tableau Basis x x x x s s s RL s x x 6 6 * De eerste fase is hiermee beëindigd. De -rij kan worden weggelaten. Verdere toepassing van het Simplex-algoritme geeft het optimale tableau, ie tabel. Tabel Zesde (optimale) tableau Basis x x x x s s s RL s x x De optimale oplossing is dus: x =, x =, x =, x =, =. Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
12 Deel Gevoeligheidsanalyse met behulp van de Simplex-methode Als het aantal beslissingsvariabelen in een LP-probleem groter dan wordt, moet voor de gevoeligheidsanalyse een wiskundiger aanpak worden gekoen. Behalve de Simplex-methode speelt ook de duale vorm van LP-problemen een rol. Dee aanpak wordt besproken aan de hand van het volgende probleem. Een bedrijf maakt vier producten. De opbrengst per eenheid bedraagt respectievelijk,, en euro. Het capaciteitsbeslag per eenheid product is weergegeven in tabel. Tabel Capaciteitsbeslag Personeel Grondstof (kg) Grondstof (kg) A B C D Beschikbaar maximaal Gevraagd wordt een odanige productmix, dat de opbrengst o groot mogelijk is. Als beslissingsvariabelen definiëren we: x i = aantal producten te maken van product i, i =,,,. Het LP-model heeft dan de volgende vorm: Maximaliseer: = x + x + x + x m.b.t. x + x + x + x [personeelsrestrictie] x + x + x + x [grondstof--restrictie] x + x + x + x [grondstof--restrictie] x, x, x, x Het overeenkomstige duale probleem is, met y, y en y als beslissingsvariabelen: Mimimaliseer: = y + y + y met betrekking tot: m.b.t. y + y + y y + y + y y + y + y y + y + y y, y, y Het eerste tableau en het optimale eindtableau van het primale probleem worden weergegeven in tabel en. Tabel Eerste tableau Basis x x x x x x 6 x RL x x 6 x Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
13 Tabel Eindtableau (optimale tableau) Basis x x x x x x 6 x RL x x 6 6 x 6 6 De optimale oplossing is dus: x =, x =, x = x =, met = 6. De producten en worden dus niet gemaakt. Alle personeelsleden ijn ingeschakeld. Alle grondstof is opgebruikt. Van grondstof is nog kilogram over. We beginnen de gevoeligheidsanalyse weer met de coëfficiënten van de doelfunctie en maken daarbij onderscheid tussen niet-basisvariabelen en basisvariabelen. Niet-basisvariabelen x en x Het is intuïtief duidelijk dat als de opbrengst per eenheid van de producten en lager wordt, de huidige oplossing optimaal blijft. Verhogen we de opbrengst per eenheid echter, dan kan de huidige oplossing mogelijk worden verbeterd. De vraag is dan, hoe hoog de opbrengst per eenheid moet worden opdat de huidige oplossing niet meer optimaal is. Veronderstel dat we de opbrengst per eenheid van x verhogen tot c. Wil de huidige oplossing optimaal blijven, dan moeten ook de huidige duale beperkingen blijven gelden. Dus ook de tweede duale beperking moet blijven gelden. In dee beperking hebben we in het rechterlid de huidige waarde van vervangen door c : y + y + y c. Substitutie van de optimale duale oplossing geeft dan: + + c. Hieruit volgt: c We kunnen dus de opbrengst per eenheid voor product met maximaal = verhogen, onder dat de huidige oplossing verandert. We noemen het getal van de grenswaarde. Op deelfde manier kunnen we ook de grenswaarde berekenen voor de coëfficiënt van x. De vierde duale beperking moet blijven gelden, dus: y + y + y c. Na substitutie van de optimale duale oplossing, vinden we: c. De grenswaarde wordt dan: =. Dee grenswaarden van en vinden we terug in het optimale Simplex-tableau als de coëfficiënten van respectievelijk x en x in de -rij. Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
14 Algemeen geldt: De grenswaarden van de niet-basisvariabelen ijn gelijk aan de coëfficiënten van de niet-basisvariabelen in de -rij van het optimale tableau. Basis-variabelen x en x Het is aannemelijk dat als de opbrengst per eenheid van de producten en maar voldoende lager wordt, de huidige oplossing niet meer optimaal blijft. Minder duidelijk is dat als de opbrengst per eenheid groter wordt, de huidige oplossing ook niet optimaal hoeft te blijven. Binnen welke grenen kunnen we nu schuiven met de coëfficiënten van x en x onder dat de optimale oplossing verandert? We beantwoorden dee vraag voor de coëfficiënt van x. Veronderstel: de coëfficiënt van x is ( + p ) in plaats van, met p niet negatief. De -rij van het laatste Simplex-tableau wordt dan: 6 px + x + x + x + x = De oplossing kan nu nog worden verbeterd, want er is in de -rij nog een negatieve coëfficiënt, namelijk die van x. We gaan dus verder pivoten. Vermenigvuldig de tweede rij met p en tel dee rij op bij de -rij. Dee -rij wordt dan: p x + p x + + p x + p x = + p De oplossing is optimaal als alle coëfficiënten niet-negatief ijn. Voor p betekent dit: p. De huidige oplossing blijft dus optimaal voor voorgaande waarden van p. De opbrengst per eenheid van product kan dus variëren van, tot 6, onder dat de oplossing verandert. We kunnen ook een gevoeligheidsanalyse plegen op de rechterleden van de restricties. Het wijigen van de rechterleden van de restricties komt neer op het meer of minder ter beschikking hebben van personeel en/of grondstoffen. We merken eerst op dat als we een rechterlid wijigen en de basis blijft een toelaatbare oplossing, dee oplossing ook optimaal is, omdat de coëfficiënten in de -rij onveranderd ijn gebleven. Veronderstel dat we in de grondstof--restrictie in het eerste Simplex-tableau het rechterlid veranderen in + G. Voor dee rij hebben we x 6 als spelingsvariabele ingevoerd. Uit het laatste Simplex-tableau blijkt echter dat x 6 in de basis it, dus verandert de waarde van x 6 ook met G en wordt dus + G. De huidige oplossing blijft toelaatbaar olang G + is, odat moet gelden: G. Veronderstel nu dat we in de personeelsrestrictie het rechterlid in het eerste tableau vervangen door + P. Welke waarden kan P nu aannemen, odanig dat de oplossing toch toelaatbaar blijft? Om dee vraag te beantwoorden merken we op dat gedurende de Simplex-iteraties de manipulaties met dit rechterlid deelfde ijn als met de coëfficiënt van x in het rechterlid. Het laatste Simplex-tableau komt er dan dus uit te ien oals weergegeven in tabel. Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
15 Tabel Laatste tableau Basis x x x x x x 6 x RL x x 6 6 x P + P 6P P Voor een toelaatbare oplossing moet gelden dat de rechterleden allemaal nietnegatief ijn. Voor de waarde van P vinden we dan: P. 6 Als we dus met ons personeelsbestand tussen en blijven, dan produceren we in de optimale situatie toch alleen nog maar de producten en. Merk op dat als P =, de waarde van de doelfunctie met stijgt. We hebben dee waarde leren kennen als de schaduwprijs van de betreffende restrictie, hier in dit voorbeeld dus de schaduwprijs van de personeelsrestrictie. Ook de coëfficiënten van de restricties kunnen natuurlijk worden gevarieerd. Dee coëfficiënten eggen iets over de efficiency waarmee wordt geproduceerd. Gevoeligheidsanalyse op dee coëfficiënten is niet moeilijk, olang het maar nietbasisvariabelen betreft, in dit voorbeeld dus de variabelen x en x. Veronderstel dat we de coëfficiënt van x in de grondstof--restrictie veranderen van in + A, met A opnieuw niet-negatief. Dit betekent dus eigenlijk dat we veronderstellen meer grondstof nodig te hebben per eenheid x die we produceren. Wil de huidige oplossing optimaal blijven, dan moet ook de bijbehorende duale beperking geldig blijven, dus moet gelden: y + y + ( + A)y. Na substitutie van de optimale duale oplossing in voorgaande relatie vinden we dan: A. Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 3 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september 2016 1 / 36 LP: Lineair Programmeren min x 1 2
Nadere informatieTU/e 2DD50: Wiskunde 2
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Instructies (vandaag, 10:45 12:30) in vier zalen: Zaal Aud 10 Pav b2 Pav m23 Ipo 0.98 voor studenten met achternaam beginnend met letters A tot en met D met letters
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 3 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september 2016 1 / 36 LP: Lineair Programmeren min x 1 2
Nadere informatie1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord).
Tentamen Optimalisering (IN2805-I) Datum: 3 april 2008, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Naam: Studienummer: 1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist
Nadere informatieTaak 2: LP: simplex en sensitiviteitsanalyse Voorbeeld uitwerking
Taak 2: LP: simplex en sensitiviteitsanalyse Voorbeeld uitwerking. Sensitiviteitsanalyse (a) Als de prijs van legering 5 daalt, kan het voordeliger worden om gebruik te maken van deze legering. Als de
Nadere informatie1. Het aantal optimale oplossingen van een LP probleem is 0, 1, of oneindig. 2. De vereniging van twee konvexe verzamelingen is niet convex. 3.
1. Het aantal optimale oplossingen van een LP probleem is 0, 1, of oneindig. 2. De vereniging van twee konvexe verzamelingen is niet convex. 3. Een LP probleem heeft n>2 variabelen en n+2 constraints.
Nadere informatieTU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) Organisatorische informatie Wat Dag Tijd Zaal Docent College Tue 5+6 Aud 6+15 Gerhard Woeginger Thu 1+2 Aud 1+4 Gerhard Woeginger Clicker session Tue 7+8 Aud 6+15 Gerhard Woeginger
Nadere informatie3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?
In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.
Nadere informatieTie breaking in de simplex methode
Tie breaking in de simplex methode Tijdens de Simplexmethode kan op een aantal momenten onduidelijk zijn wat je moet doen: 1. Variabele die de basis in gaat: Zoek de grootste coëfficiënt in de doelfunctie.
Nadere informatieLineaire Optimilizatie Extra sessie. 19 augustus 2010
Lineaire Optimilizatie Extra sessie 19 augustus 2010 De leerstof Handboek: hoofdstuk 2 t.e.m. 8 (incl. errata) Slides (zie toledo) Extra opgaven (zie toledo) Computersessie: Lindo syntax en output Wat
Nadere informatieTentamen: Operationele Research 1D (4016)
UITWERKINGEN Tentamen: Operationele Research 1D (4016) Tentamendatum: 12-1-2010 Duur van het tentamen: 3 uur (maximaal) Opgave 1 (15 punten) Beschouw het volgende lineaire programmeringsprobleem P: max
Nadere informatieVoorbeeld simplexmethode. Max Z = 3x 1 + 2x 2 0.5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x 2 + x 3 10, 3x 1 + x 2-2x 3 8, en x 1, x 2, x 3 0.
Voorbeeld simplexmethode Max Z = 3x 1 + 2x 2 0.5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x 2 + x 3 10, 3x 1 + x 2-2x 3 8, en x 1, x 2, x 3 0. Voer slackvariabelen (x 4, x 5 ) in: Max Z = 3x 1 + 2x 2 0.5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x
Nadere informatiemax 5x 1 2x 2 s.t. 2x 1 x 2 10 (P) x 1 + 2x 2 2 x 1, x 2 0
Voorbeeldtentamen Deterministische Modellen in de OR (158075) Opmerking vooraf: Geef bij elke opgave een volledige en duidelijke uitwerking inclusief argumentatie! Gebruik van de rekenmachine is niet toegestaan.
Nadere informatieOptimalisering en Complexiteit, College 11. Complementaire speling; duale Simplex methode. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 11 Complementaire speling; duale Simplex methode Han Hoogeveen, Utrecht University Duale probleem (P) (D) min c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 max w 1 b 1 + w 2 b 2 +
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 2 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 14 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september 2016 1 / 30 Modelleren van LP en ILP problemen
Nadere informatieTU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 () Tussentoets 26 november, tijdens de instructies Zaal: paviljoen (study hub) Time: 90min Tentamenstof: colleges 4 (LP; Simplex; dualiteit; complementaire slackness) Oude tentamens:
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatieBasiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
Nadere informatieOefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.
4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen
Nadere informatieTentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, Docent: Dr. J.B.M. Melissen
Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Veel succes! 1 Deze opgave bestaat uit 15 tweekeuzevragen. Per goed antwoord krijg je 2 punten. a. Dynamisch
Nadere informatieLineair programmeren met de TI-84 CE-T
Lineair programmeren met de TI-84 CE-T Harmen Westerveld Oktober 2018 INHOUDSOPGAVE Lineair programmeren met TI-84 PLUS CE-T... 2 Introductie... 3 Voorbeeld 1: maximaliseringsprobleem... 4 De app Inequalz...
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 12 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober 2016 1 / 31 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft
Nadere informatie1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d.
1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d. een toewijzingsprobleem. 2. Het aantal toegelaten hoekpunten in een
Nadere informatieUniversiteit Utrecht Departement Informatica. Examen Optimalisering op dinsdag 29 januari 2019, uur.
Universiteit Utrecht Departement Informatica Examen Optimalisering op dinsdag 29 januari 2019, 17.00-20.00 uur. ˆ Mobieltjes UIT en diep weggestopt in je tas. Wanneer je naar de WC wil, dan moet je je
Nadere informatie3.2 Vectoren and matrices
we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,
Nadere informatieHet oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen
Nadere informatieOefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.
4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen
Nadere informatieRuimtewiskunde. college. Stelsels lineaire vergelijkingen. Vandaag UNIVERSITEIT TWENTE. Stelsels lineaire vergelijkingen.
college 4 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 16-17 4 29 maart 217 38 1 2 3.16-17[4] 1 vandaag Vectoren De notatie (x 1, x 2,..., x n ) wordt gebruikt voor het punt P met coördinaten (x 1,
Nadere informatieTU/e 2DD50: Wiskunde 2
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Tussentoets: 26 november, tijdens de instructies Tentamenstof: LP; Simplex; dualiteit (= colleges 1 4) Bij de tussentoets mag een eenvoudige (niet programmeerbare)
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 oktober 206 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 oktober 206 / 3 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een
Nadere informatiel e x e voor alle e E
Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met
Nadere informatieTie breaking in de simplex methode
Tie breaking in de simplex methode Tijdens de Simplexmethode kan op een aantal momenten onduidelijk zijn wat je moet doen: 1. Variabele die de basis in gaat: Zoek de grootste coëfficiënt in de doelfunctie.
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 2 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 9 september 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 9 september 2015 1 / 23 Huiswerk Huiswerk 1 is beschikbaar op
Nadere informatieUniversiteit Utrecht Departement Informatica
Universiteit Utrecht Departement Informatica Uitwerking Tussentoets Optimalisering 20 december 206 Opgave. Beschouw het volgende lineair programmeringsprobleem: (P) Minimaliseer z = x 2x 2 + x 3 2x 4 o.v.
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 10 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november 2016 1 / 40 Vraag Ik heb het deeltentamen niet
Nadere informatieLineaire programmering
Lineaire programmering Hans Maassen kort naar Inleiding Besliskunde van J. Potters [Pot]. en Methods of Mathematical Economics van J. Franklin [Fra]. Lineaire programmering is het bepalen van het maximum
Nadere informatieBESLISKUNDE 2 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN
BESLISKUNDE L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN Voorwoord Dit vak is een voortzetting van het tweedejaarscollege Besliskunde. Een aantal andere mathematische beslissingsproblemen komt aan de orde en
Nadere informatieDigitaal Proefstuderen Econometrie en Operationele Research Universiteit van Tilburg
Digitaal Proefstuderen Econometrie en Operationele Research Universiteit van Tilburg 1 Voorwoord Welkom bij de cursus Digitaal Proefstuderen van de opleiding Econometrie en Operationele Research aan de
Nadere informatievandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen
Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud
Nadere informatiel e x e voor alle e E
Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met
Nadere informatieMachten, exponenten en logaritmen
Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde
Nadere informatieLineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014
Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:
Nadere informatieUniversiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica. Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, uur.
Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, 9.00-12.00 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf
Nadere informatieModellen en Simulatie Speltheorie
Utrecht, 20 juni 2012 Modellen en Simulatie Speltheorie Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Program Optimaliseren Nul-som matrix spel Spel strategie Gemengde
Nadere informatieAppendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt
Bijlage bij Inversie Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt In dee paragraaf gaan we op een andere manier kijken naar inversie. We doen dat met behulp van de complexe getallen. We veronderstellen
Nadere informatieUitwerkingen bij 1_1 Lineaire vergelijkingen
Uitwerkingen bij 1_1 Lineaire vergelijkingen!! "#$ #!%!& " %'!& " #!' " # ( # )' * # ' #*" # + '!#*" ' ' + + ' '!, %' &% &%& % -&. = / +. = / + * 0 #!*" 0 $! 1 = ' + 1 = - 0 " "!$ *# 2 1 = # '2 = ' + 2
Nadere informatieVergelijkingen en hun oplossingen
Vergelijkingen en hun oplossingen + 3 = 5 is een voorbeeld van een wiskundige vergelijking: er komt een = teken in voor, en een onbekende of variabele: in dit geval de letter. Alleen als we voor de variabele
Nadere informatieStelsels lineaire vergelijkingen
Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix. 2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte
Nadere informatie1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]
1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatieHoofdstuk 6 Matrices toepassen
Hoofdstuk Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel Lesliematries ladijde a Van de dieren in de leeftijdsgroep van - jaar komen er, in de leeftijdsgroep - jaar Van de dieren in de leeftijdsgroep
Nadere informatieSamenvatting college 1-12
Samenvatting college 1-12 Probleemformulering Duidelijk definiëren van beslissingsvariabelen Zinvolle namen voor variabelen bv x ij voor ingrediënt i voor product j, niet x 1,..., x 20 Beschrijving van
Nadere informatieExamenvragen Hogere Wiskunde I
1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies
Nadere informatie3.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
3.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. y = -4x + 8 kan herschreven worden als y + 4x = 8 Dit is een lineaire vergelijking met twee variabelen. Als je
Nadere informatieK.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
K.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. y = -4x + 8 kan herschreven worden als y + 4x = 8 Dit is een lineaire vergelijking met twee variabelen. Als je
Nadere informatie1 Rekenen in eindige precisie
Rekenen in eindige precisie Een computer rekent per definitie met een eindige deelverzameling van getallen. In dit hoofdstuk bekijken we hoe dit binnen een computer is ingericht, en wat daarvan de gevolgen
Nadere informatieHoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen
Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen bladzijde a Twee ons bonbons kost, euro. Er blijft,, =, euro over. Doris kan daarvan, = ons drop kopen., b d is het aantal ons gemengde drop (, euro per
Nadere informatieSupplement Wiskunde 2017/2018. Inhoudsopgave
Inhoudsopgave Hoofdstuk 1: Missende stof in de verslagen... 2 Hoofdstuk 2: Overbodige stof in de verslagen... 7 Hoofdstuk 3: Fouten in de verslagen... 8 Tentamen halen? www.rekenmaarverslagen.nl 1 Hoofdstuk
Nadere informatieFaculteit der Economie en Bedrijfskunde
Faculteit der Economie en Bedrijfskunde Op dit voorblad vindt u belangrijke informatie omtrent het tentamen. Lees dit voorblad voordat u met het tentamen begint! Tentamen: Operational Research 1D (4016)
Nadere informatieLineaire Algebra (2DD12)
Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Nadere informatieOPERATIONS RESEARCH TECHNIEKEN L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN
OPERATIONS RESEARCH TECHNIEKEN L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN VOORJAAR 2003 Inhoudsopgave 1 Inleiding 1 1.1 Wat is Operations Research?.............................. 1 1.2 Overzicht van de te behandelen
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatiea) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.
. Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn
Nadere informatie3. Lineaire vergelijkingen
3. Lineaire vergelijkingen Lineaire vergelijkingen De vergelijking 2x = 3 noemen we een eerstegraads- of lineaire vergelijking. De onbekende x komt er namelijk tot de eerste macht in voor. Een eerstegraads
Nadere informatieBasiskennistoets wiskunde
Lkr.: R. De Wever Geen rekendoos toegelaten Basiskennistoets wiskunde Klas: 6 WEWI 1 september 015 0 Vraag 1: Een lokaal extremum (minimum of maximum) wordt bereikt door een functie wanneer de eerste afgeleide
Nadere informatieTransport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen
Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 28-03-2003 1 Docenten Onderdeel a Er zijn 6 vakken V 1, V 2,..., V 6. Vak V j heeft een vraag b j = 1, voor j = 1, 2,...,
Nadere informatieOPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN
OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal
Nadere informatieTentamen Inleiding Speltheorie 29-10-2003
entamen Inleiding Speltheorie 9-0-003 Dit tentamen telt 5 opgaven die in 3 uur moeten worden opgelost. Het maximaal te behalen punten is 0, uitgesplitst naar de verschillende opgaven. Voor het tentamencijfer
Nadere informatieTentamen Deterministische Modellen in de OR Dinsdag 17 augustus 2004, uur vakcode
Kenmerk: EWI04/T-DWMP//dh Tentamen Deterministische Modellen in de OR Dinsdag 7 augustus 004, 9.00.00 uur vakcode 58075 Opmerking vooraf: Geef bij elke opgave een volledige en duidelijke uitwerking inclusief
Nadere informatieFLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j
FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van
Nadere informatie1 Transportproblemen. 1.1 Het standaard transportprobleem
1 Transportproblemen 1.1 Het standaard transportprobleem Dit is het eenvoudigste logistieke model voor ruimtelijk gescheiden vraag en aanbod. Een goed is beschikbaar in gekende hoeveelheden op verscheidene
Nadere informatie= (antwoord )
Rekenkunde Nadruk verboden 1 Opgaven 1. 2. 3. 4. = (antwoord 10.) 10 10 10 = (antwoord: 10.) 10 10 = (antwoord: 10.).,,, = (antwoord 15. 10.),,, 5. 7 7 7 7 7 = (antwoord: 7.) 6. 10 10 10 10 10 10 = 7.
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieSommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk.
Netwerkanalyse (H3) Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk. Deze problemen kunnen vaak als continu LP probleem worden opgelost. Door de speciale structuur
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatieMengen van scheikundige stoffen en het oplossen van scheikundige reacties, een wiskundig model. Wiskens&co Yoeri Dijkstra en Loes Knoben
Mengen van scheikundige stoffen en het oplossen van scheikundige reacties, een wiskundig model Wiskens&co Yoeri Dijkstra en Loes Knoben oktober 9 Inleiding In dit rapport zal gekeken worden naar verschillende
Nadere informatieAfspraken hoofdrekenen eerste tot zesde leerjaar
24/04/2013 Afspraken hoofdrekenen eerste tot zesde leerjaar Sint-Ursula-Instituut Rekenprocedures eerste leerjaar Rekenen, hoe doe ik dat? 1. E + E = E 2 + 5 = 7 Ik heb er 2. Er komen er 5 bij. Dat is
Nadere informatieAlgebra, Les 18 Nadruk verboden 35
Algebra, Les 18 Nadruk verboden 35 18,1 Ingeklede vergelijkingen In de vorige lessen hebben we de vergelijkingen met één onbekende behandeld Deze vergelijkingen waren echter reeds opgesteld en behoefden
Nadere informatieOptimalisering en Complexiteit, College 10. Begrensde variabelen. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 10 Begrensde variabelen Han Hoogeveen, Utrecht University Begrensde variabelen (1) In veel toepassingen hebben variabelen zowel een ondergrens als een bovengrens:
Nadere informatieH. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie
H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische
Nadere informatieAANVULLINGEN WISKUNDE MET (BEDRIJFS)ECONOMISCHE TOEPASSINGEN: OEFENINGEN
AANVULLINGEN WISKUNDE MET (BEDRIJFS)ECONOMISCHE TOEPASSINGEN: OEFENINGEN Hieronder volgt een korte beschrijving van de vragen van het oefeningengedeelte met antwoord. We geven ook kort weer wat regelmatig
Nadere informatieBijzondere kettingbreuken
Hoofdstuk 15 Bijzondere kettingbreuken 15.1 Kwadratische getallen In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat 2 = 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,.... Men kan zich afvragen waarom we vanaf zeker moment alleen maar
Nadere informatieUITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,
UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015. dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatie3.2 Basiskennis. 3.2.1 De getallenlijn. 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen. 92 Algebra. Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: Het=teken. =staat.
92 Algebra 3.2 Basiskennis Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: 3.2.1 De getallenlijn... -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5... 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen Het=teken 5+2+3=10 = geeft aan dat wat links van = staat,
Nadere informatieProefToelatingstoets Wiskunde B
Uitwerking ProefToelatingstoets Wiskunde B Hulpmiddelen :tentamenpapier,kladpapier, een eenvoudige rekenmachine (dus geen grafische of programmeerbare rekenmachine) De te bepalen punten per opgave staan
Nadere informatieVrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie
Vrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie Tentamen: Convexe Analyse en Optimalisering Opleiding: Bacheloropleiding Econometrie Vakcode: 64200 Datum:
Nadere informatieVerbanden en functies
Verbanden en functies 0. voorkennis Stelsels vergelijkingen Je kunt een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen. De oplossing van het stelsel is het snijpunt van twee lijnen.
Nadere informatieWiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Dit is een greep (combinatie) van 3 uit 32. De volgorde is niet van belang omdat de drie
Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Op hoeveel verschillende manieren kun je drie zwarte pionnen verdelen over de 32 zwarte velden van een schaakbord? (Neem aan dat op elk veld hooguit één pion staat.)
Nadere informatieGetal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429)
Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429) - een lijst met operationele en concrete doelen van de lessenserie, indien mogelijk gerelateerd
Nadere informatieChemische reacties. Henk Jonker en Tom Sniekers
Chemische reacties Henk Jonker en Tom Sniekers 23 oktober 29 Inleiding Op 3 september hebben wij met u gesproken U heeft aan ons gevraagd om twee problemen op te lossen Het eerste probleem ging over het
Nadere informatieHints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde
Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints
Nadere informatieMengsel mix. Elieke van Sark en Liza Fredriks
Mengsel mix Elieke van Sark en Liza Fredriks 2 oktober 29 Inleiding Een chemisch bedrijf is naar ons toe gekomen met een aantal vragen over het reageren van stoffen tot andere stoffen Hierbij gaat het
Nadere informatie1. Orthogonale Hyperbolen
. Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies
Nadere informatieVergelijkingen met breuken
Vergelijkingen met breuken WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het doorwerken van begin tot einde met behulp van pen en papier. 1 Oplossen van gebroken vergelijkingen Kijk ook nog
Nadere informatieWiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4
Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen
Nadere informatieTransshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes. Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013
Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013 1 Inhoudsopgave 1 Transport problemen 3 2 Definities en stellingen
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 3 november 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 3 november 0 Normering voor pt vragen andere vragen naar rato): pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatie