Mengsel mix. Elieke van Sark en Liza Fredriks

Transcriptie

1 Mengsel mix Elieke van Sark en Liza Fredriks 2 oktober 29

2 Inleiding Een chemisch bedrijf is naar ons toe gekomen met een aantal vragen over het reageren van stoffen tot andere stoffen Hierbij gaat het om de verhoudingen tussen de stoffen Zodra deze verhoudingen geheel zijn voor alle stoffen, verlopen de reactievergelijkingen We weten dat er bij reactievergelijkingen meerdere onbekende waarden zijn, dus om de verhoudingen tussen verschillende stoffen te berekenen zullen we gebruik maken van matrices In de omschrijving van het wiskundig model zullen we de verschillende reacties uitwerken in matrices In de uitwerkingingen van het wiskundig model zullen we deze matrices door middel van rijoperaties proberen op te lossen Bij de praktijkoplossing presenteren we deze antwoorden dan zo dat het voor de opdrachtgever ook makkelijk is om te lezen 2 Wat is het probleem Er zijn meerdere vragen gesteld door een chemisch bedrijf Ten eerste wil de chemicus weten hoe hij het goedkoopst aan een 5% zoutzuur oplossing komt Hij heeft hierbij de beschikking over oplossingen van 2, en 6% zoutzuur die respectievelijk 2,, 4,- en 9, kosten Zijn deze oplossingen te mengen tot een oplossing van 5% en is dit ook nuttig? Er is namelijk ook 5% zoutzuur in de winkel te koop voor 8, Verder vraagt de chemicus zich van een aantal stoffen af of die kunnen reageren tot gewenste eindproducten en in welke verhoudingen dat dan gaat Zo vraagt hij zich af of er hij met CaO, KNO en HNO de zuivere eindstoffen Ca(OH) 2 en KNO 2 kan verkrijgen Ook vraagt hij zich af of hij dezelfde eindstoffen met CaO, KNO en H 2 O als beginstoffen kan verkrijgen Daarnaast vraagt hij zich af of KCl, ClO 2 en H 2 O tot HCl en KClO kunnen reageren en in welke verhouding Cu 2 S, H +, NO kunnen reageren tot Cu2+, NO, S 8 en H 2 O Als laatste vraagt hij zich nog af in welke verhoudingen HCl en KClO tot KCl, Cl 2, ClO 2 en H 2 O kunnen reageren en op welke manier de opbrengst van Cl 2 en ClO 2 afhangt van het beginmengsel Omschrijven tot een wiskundig model Om de gepresenteerde problemen op te lossen moeten we een wiskundig model opstellen We hebben daarbij elke vraag apart behandeld en voor elke vraag een klein wiskundig model gemaakt HCl in verschillende concentraties We hebben beschikking over drie verschillende concentraties van zoutzuur (HCl) Deze concentraties zijn respectievelijk 2%, % en 6% HCl Met deze concentraties is het mogelijk om mengsels te maken van minimaal 2% tot maximaal 6% Een bepaalde concentratie is te verkrijgen door de onderstaande matrix op te lossen en daarbij een α te nemen van de gewenste concentratie HCL Hiervoor gebruik je de volgende aangevulde matrix, [ 2 6 α ] () De bovenste rij van de matrix bepaalt de verhoudingen in liters tussen mengsel, 2 en, respectievelijk 2%, % en 6% HCl De onderste rij bepaalt de concentratieverhoudingen van de mengsels De beschikbare mengsels van 2%, % en 6% HCl, kosten respectievelijk 2,, 4,-en 9, Om de totaalprijs van het mengsel te berekenen gebruiken we de formule P x (2)

3 2 Reacties tussen verschillende stoffen Bij een reactie zijn er in de beginproducten altijd dezelfde elementen aanwezig als in de eindproducten Tijdens de reactie gaan er geen elementen verloren Dit betekent dat elk element voor de reactie even vaak voorkomt als na de reactie Een reactie is als een vergelijking te schrijven waarbij de variabelen de verhoudingen aangeven tussen de verschillende stoffen Deze moeten altijd in een gehele getallen zijn Om de onbekende variabelen te bepalen is de reactie in een matrix te schrijven In de matrix stellen de rijen de afzonderlijke elementen voor en de kolommen de stoffen, met eerst de beginproducten en daarna de negatief geschreven eindproducten De eindproducten worden negatief geschreven, omdat de begin- en eindproducten aan elkaar gelijk worden gesteld Waarna wij de eindproducten van de beginproducten aftrekken, zodat de vergelijking gelijk wordt gesteld aan en daardoor mogelijk oplosbaar is We willen onderzoeken of bepaalde reacties kunnen plaatsvinden op basis van een gelijk aantal elementen voor en na de reactie We bestuderen als eerst de volgende reactie: (x )CaO + ( )KNO + ( )HNO > ( )Ca(OH) 2 + ( )KNO 2 Dit is om te schrijven als de volgende matrix, waarbij de bovenste rij staat voor het aantal elementen Ca, de tweede rij voor O, de derde rij voor K, de vierde rij voor N en de onderste rij voor het element H (x ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) Daarnaast vroegen we ons af of we de zelfde eindproducten kunnen verkrijgen als we gebruik maken van H 2 O in plaats van HNO De reactie die daarbij hoort is, (x )CaO + ( )KNO + ( )H 2 O > ( )Ca(OH) 2 + ( )KNO 2 Deze vergelijking is te schrijven als een matrix waarin de volgorde van elementen ten opzichte van de rijen gelijk blijft aan de volgorde van de vorige matrix (x ) + ( ) + ( ) 2 + ( ) + ( ) Nu kijken we naar een reactie met totaal andere begin- en eindproducten Deze reactie is (x )KCl + ( )ClO 2 + ( )H 2 O > ( )HCl + ( )KClO Ook deze reactie is om te schrijven tot een combinatie van vectoren In deze vectoren staat de bovenste rij voor het element K, de tweede rij voor Cl, de derde voor O en de laatste rij staat voor het element H 2

4 (x ) + ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) + ( ) De laatste vergelijking waar we naar gaan kijken is als volgt: (x )Cu 2 S + ( )H + + ( )NO > ()Cu 2+ + ( )NO + (x 6 )S 8 + (x 7 )H 2 O Hieronder is deze vergelijking te zien als samenstelling van vectoren Elke rij stelt een element voor De rijen tot en met 5 stellen respectievelijk de elementen Cu, S, H, N, O voor (x ) 2 + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + (x 6 ) 8 + (x 7 ) Reactie tussen HCl en KClO Door te kijken of een matix consistent is, kunnen we bepalen of de reactie mogelijk is Bij de volgende vergelijking willen we niet alleen weten of de reactie mogelijk is, maar ook weten in welke verhoudingen de beginstoffen moeten reageren om de gewenste eindstoffen te verkrijgen Deze begin en eindstoffen zijn in de volgende reactie weergegeven: (x )HCl + ( )KClO > ( )KCl + ( )Cl 2 + ( )ClO 2 + (x 6 )H 2 O De onderstaande matrix geeft deze vergelijking weer, waarin de rijen, 2, en 4 respectievelijk de elementen H, Cl, K en O weergeven (x ) +( ) +( ) +( ) +( ) +(x 6 ) Door deze lineaire vergelijking op te lossen, vinden we waarden voor x tot en met x 6 Deze waarden staan voor de verhouding waarin de stoffen reageren

5 We hebben nu alle modellen opgesteld Deze modellen werken we verder uit in de volgende alinea 4 Uitwerking wiskundig model In de voorgaande paragraaf hebben we voor elke afzonderlijke vraag, gesteld door de chemicus, een duidelijk wiskundig model opgesteld Deze modellen zijn vaak in de vorm van een matrix Nu gaan we door deze matrices uit te werken, proberen de vragen te beantwoorden 4 HCl in verschillende concentraties We hebben in de vorige paragraaf een matrix opgesteld, waarmee we de verhoudingen tussen stof, 2 en kunnen bepalen Hierin is α de concentratie die je wilt verkrijgen Om tot deze verhoudingen te komen moeten we door middel van rijoperaties de matrix oplossen We beschikken over een drietal oplossingen zoutzuur met concentraties van 2%, % en 6% HCl We kunnen dus voor α waarden nemen tussen de 2% en 6% van de hoeveelheid gewenste oplossing Door middel van rijoperaties aan matrix () tot de kanonieke rijvorm, kunnen we x tot en met bepalen Dit zie je hieronder x + α 4 + α Dit zijn de verhoudingen van de 2%, % en 6% HCL die worden gemengd tot de hoeveelheid α per liter Deze verhoudingen zijn te vinden door α in te vullen Uit de matrix komt naar voren dat een vrije variabele is Dit betekent in theorie dat je voor elke waarde mag invullen In de praktijk is het onmogelijk een negatieve hoeveelheid van een stof toe te voegen Hier moet je rekening mee houden bij het kiezen van In dit geval moeten wij een oplossing van HCL met een concentratie van 5% maken De α wordt nu dus 5% en dit noteren we als,5 Door deze waarde in te vullen in matrix () krijgen we: [ ] De oplossing van dit systeem is: x + 4 Een verhouding kan niet negatief zijn bij het mengen van stoffen De keuze van moet dus zo zijn dat x en niet kleiner zijn dan Bij x moet groter zijn dan 2 en bij moet kleiner zijn dan 4 De restricties zijn dus 8 2 < < 9 2 We willen de prijs gaan berekenen van een mengsel van 5% HCl Hiervoor maken we gebruik van formule (2) die te vinden is in het vorige hoofdstuk Deze hele prijsfunctie is uit te drukken in,aangezien we hiervoor hebben gezien dat x en afhankelijk zijn van Door deze waarden in te vullen in functie (2), krijgen we: 4

6 P () Deze functie is lineair Dit betekent dat de prijs evenredig verandert met tussen de waarden 8 2 en 9 2 Nu kunnen we de maximale en minimale waarde voor invullen Alle mogelijke prijzen liggen tussen deze twee waarden Dit is weer te geven in een grafiek Modelleren/grafiek kostenjpg C:/Users/Liza/Documents/Wiskundig Modelleren/grafiek kostenjpg De prijzen voor een mengsel van 5% HCl liggen tussen de 7,25 en 7, Dit is altijd minder dan 8,- die je in de winkel zou betalen voor een mengsel met dezelfde concentratie HCl 42 Reacties tussen verschillende stoffen In het vorige hoofdstuk hebben we elke stof van de reactievergelijkingen omgezet in vectoren Deze vectoren voegen we samen tot een matrix Om te weten of de reactie mogelijk is, hoeven we alleen te kijken of de matrix consistent en dus op te lossen is Als eerste willen we weten of de reactie (x )CaO + ( )KNO + ( )HNO > ( )Ca(OH) 2 + ( )KNO 2 5

7 verloopt De samengestelde matrix die bij deze vergelijking hoort is: Deze matrix lossen we hieronder op: x Je ziet dat er voor x tot en met x 6, uitkomt Dit betekent dat er dus geen beginstoffen en geen eindstoffen ontstaan Met andere woorden deze reactie is niet mogelijk Dan gaan we kijken of de tweede reactie waarbij H 2 O in plaats van HNO wordt gebruikt wel realiseerbaar is De vergelijking is: (x )CaO + ( )KNO + ( )H 2 O > ( )Ca(OH) 2 + ( )KNO 2 De bijbehorende samengestelde matrix is: 2 Deze brengen we in de kanonieke vorm doormiddel van rijoperaties waardoor we tot de volgende oplossing komen: x Deze oplossing is geen nulvergelijking, maar ook deze reactie is niet uit te voeren Volgens de oplossing is er namelijk geen KNO nodig als beginproduct en ontstaat er ook geen KNO 2 Dit is niet de bedoeling, want zo is de reactie niet compleet, maar gereduceert tot: (x )CaO + ( )H 2 O > ( )Ca(OH) 2 6

8 De derde reactievergelijking waarbij we naar de uitvoerbaarheid kijken is: (x )KCl + ( )ClO 2 + ( )H 2 O > ( )HCl + ( )KClO Deze vergelijking heeft geheel andere begin- en eindstoffen dan de vorige twee, dus wellicht dat deze wel kan verlopen De samengestelde matrix die hierbij hoort is: 2 2 Deze lossen we weer op dezelfde manier op als de voorgaande x 5/ 2 2 5/ Bij verhoudingen tussen stoffen in een reactievergelijking is het fijner om te werken met gehele getallen, vandaar dat we de oplossing in het geheel keer doen De oplossing die we dan krijgen is: x Deze reactievergelijking is dus mogelijk We hebben de verhoudingen waarmee de stoffen met elkaar reageren bepaald De ingevulde reactievergelijking wordt dus: 5KCl + 6ClO 2 + H 2 O > 6HCl + 5KClO De laatste reactievergelijking waarvan we gaan kijken of ze verloopt is: (x )Cu 2 S + ( )H + + ( )NO > ()Cu 2+ + ( )NO + (x 6 )S 8 + (x 7 )H 2 O, waarbij de volgende matrix hoort: 2 8 De oplossing van deze matrix is: 7

9 x x 6 x 7 8 x x 6 x 6 2 De matrix heeft een oplossing zonder nullen De reactievergelijking kan dus verlopen Echter zijn en x 6 wel vrije variabelen De verhoudingen van de stoffen in deze reactievergelijking zijn dus afhankelijk van de hoeveelheid en x 6 die staan voor de hoeveelheid NO en S 8 die je wilt verkrijgen als eindstoffen 4 Reactie tussen HCl en KClO We willen graag weten in welke verhoudingen HCl en KClO kunnen reageren tot KCl, Cl 2, ClO 2 en H 2 O Om hier achter te komen hebben we in het vorige hoofdstuk de vectoren van deze stoffen opgesteld Deze voegen we nu samen tot een matrix We willen weten hoe Cl 2 en ClO 2 afhangen van het beginmengsel Daarom willen we de eindproducten uitdrukken in de beginproducten x en Om dit voor elkaar te krijgen wisselen we de begin en eindproducten om (x )KCl + ( )Cl 2 + ( )ClO 2 + ( )H 2 O > ( )HCl + (x 6 )KClO Bij deze vergelijking hoort de volgende matrix: Deze matrix brengen we terug in de kanonieke rijvorm: 5/8 /4 /4 /2 /2 Nu kunnen we de eindstoffen, de kolommen tot en met 4, uitdrukken in de beginnenstoffen, de kolommen 5 en 6 8

10 x x x x 6 2 x 6 x 6 We willen weten hoe de stoffen HCl en ClO 2 afhangen van de beginstoffen Uit de matrix hierboven is te zien dat afhangt van 5 8 en van - 4 x 6 Deze variabelen stellen respectievelijk de stoffen Cl 2, HCl en KClO voor De variabele hangt af van 4 en 2 x 6 Dat betekent dus dat ClO 2 te verkrijgen is door 4 keer HCl en 2 keer KClO 5 Presentatie oplossing We hebben nu een oplossing gevonden op elke vraag die de chemicus stelde Deze oplossingen staan verspreid over de verschillende paragrafen Deze zullen we nu hier verduidelijken Als eerste hebben we gekeken naar mogelijkheid om verschillende concentraties van HCl te verkrijgen Hierbij hadden we beschikking over drie verschillende oplossingen Deze oplossingen hadden concentraties van 2, en 6% We hebben kunnen zien dat er oplossingen mogelijk zijn tussen 2 en 6% HCl Om een concentratie van 5% HCl te maken hebben we verschillende mogelijkheden De hoeveelheden van 2 en % oplossingen hangen af van de hoeveelheid gekozen 6% oplossing Wanneer je een bepaalde hoeveelheid van de 6% oplossing kiest, heb je -2 + keer die hoeveelheid, van de 2% oplossing nodig, en - 4 keer de hoeveelheid 6%, van de % oplossing nodig De hoeveelheid van de 6% oplossing is echter niet helemaar vrij te kiezen Deze moet namelijk tussen de 8 2 en de 9 2 zijn, omdat de hoeveelheden van 2 en % niet negatief kunnen zijn De oplossingen die we tot onze beschikking hadden hebben verschillende prijzen De oplossing van 2% kost 2,-, die van % kost 4,- en de derde oplossing van 6% kost 9,- De prijs van een mengsel van de 5% oplossing ligt tussen de 7,25 en de 7, De chemicus kan ook een 5% oplossing in de winkel kopen Deze kost daar 8,- Het is dus goedkoper om de oplossing zelf te mengen Dit waren de antwoorden van de eerste vraag Nu zullen we kijken naar de oplossingen van de tweede vraag De reactie van (x )CaO + ( )KNO + ( )HNO > ( )Ca(OH) 2 + ( )KNO 2, verloopt niet Omdat de enige oplossing een nulmatrix is en dat zou betekenen dat er geen stoffen worden gebruikt of ontstaan De volgende reactie waar we naar hebben gekeken is, (x )CaO + ( )KNO + ( )H 2 O > ( )Ca(OH) 2 + ( )KNO 2 Deze reactie verloopt ook niet Dit komt doordat er weer nulwaarden in de oplossingsmatrix voorkomen Dit betekend dat er bepaalde begin- en eindstoffen missen De derde reactie waarbij we hebben gekeken of deze zou kunnen verlopen was, (x )KCl + ( )ClO 2 + ( )H 2 O > ( )HCl + ( )KClO Deze reactie kan verlopen De verhoudingen van de stoffen waarin deze reactie zou kunnen verlopen, zijn te vinden in hoofdstuk 4 paragraaf 2 Er was nog een reactie waar we naar hebben gekeken Deze reactie was als volgt, (x )Cu 2 S + ( )H + + ( )NO > ()Cu 2+ + ( )NO + (x 6 )S 8 + (x 7 )H 2 O Deze reactie kan verlopen, waarbij de keuze van de hoeveelheid NO en S 8 bepalend is voor de waarde 9

11 van de andere stoffen Hiermee is de tweede vraag ook beantwoord Nu rest ons nog eéń vraag te beantwoorden De laatste reactie waar wij naar hebben gekeken, was de reactie (x )HCl + ( )KClO > ( )KCl + ( )Cl 2 + ( )ClO 2 + (x 6 )H 2 O We hebben kunnen zien dat deze reactie verloopt De vraag was alleen hoe de eindstoffen afhangen van de beginstoffen De stof Cl 2 is te verkrijgen door 4 keer de hoeveelheid HCl samen met 5 8 keer de hoeveelheid KClO ClO 2 is te verkrijgen door de samenstelling van 4 keer de hoeveelheid HCl en 2 keer de hoeveelheid KClO 6 Conclusie en discussie In het vorige hoofdstuk heeft u kunnen lezen dat het verstandiger is voor de chemicus om zelf een oplossing van 5% te mengen in plaats van het te kopen Verder kunnen de eerste en tweede reactie uit hoofdstuk 2 niet verlopen, maar de laaste twee wel De reactie uit de laatste vraag verliep ook De verhoudingen tussen de stoffen hing af van de beginstoffen In ons model zijn wij uit gegaan van de veronderstelling dat wanneer de verhoudingen tussen stoffen uit de reactie bestaan, de reactie zal verlopen Dit is echter in de praktijk niet het geval Er moet dan met meerdere factoren rekening worden gehouden Onze wiskundige modellen zijn dus sterk vereenvoudigd Bij verder onderzoek zal hier rekening mee gehouden moeten worden