6 Modellen in de scheikunde

Transcriptie

1 In dit hoofdstuk komen modellen aan de orde die de vorming of verspreiding van chemische stoffen beschrijven. In "reactievergelijkingen" wordt een model opgesteld voor de vorming van stoffen bij een gegeven reactievergelijking. Ook in paragraaf 6. 2 "verspreidingsmodellen" gaat het over chemische stoffen. In die paragraaf vraag je je af hoe de stof zich over verschillende delen van een systeem, bijvoorbeeld het menselijk lichaam, verspreidt. Inhoud van dit Hoofdstuk 6.1 Reactievergelijkingen 6.2 Verspreidingsmodellen 6.3 Opdrachten 6.1 Reactievergelijkingen In de scheikunde spelen reactievergelijkingen een belangrijke rol. Stel dat je twee vloeistoffen A en B tot je beschikking hebt en dat uit de reactie van A met B stof X ontstaat volgens de reactievergelijking A + B X. Deze reactievergelijking houdt in dat 1 molecuul van stof A reageert met 1 molecuul van stof B, en dat daardoor 1 molecuul van stof X gevormd wordt. Je kunt ook zeggen dat je voor de vorming van x eenheden van stof X, x eenheden van stof A en x eenheden van stof B nodig hebt. Als eenheid wordt in de scheikunde overigens meestal de mol genomen. Als je op t = 0, a moleculen van stof A bij b moleculen van stof B voegt ontstaat er stof X. Dit proces houdt op als stof A of B op is. De vraag die men nu kan stellen is: hoe neemt de hoeveelheid stof X in de tijd gezien toe? Als we de hoeveelheid stof C met de functie x (t beschrijven volgt uit de gegevens dat x ( 0 = 0. Je kunt ook wel de eindhoeveelheid voorspellen. Je moet dan wel twee gevallen onderscheiden. Als a groter is dan b dan is stof B als eerste op en geldt x b. Als b groter is dan a dan is stof A als eind = eerste op en geldt x = eind a. Maar wat kun je over de hoeveelheden op de tussenliggende tijdstippen zeggen? Als je op tijdstip t = 0 de stoffen A en B bij elkaar voegt is er relatief veel stof A en B. Deze stoffen kunnen dan (na roeren gemakkelijk met elkaar in contact komen: de moleculen van stof A "vinden gemakkelijk" moleculen van stof B om samen tot stof X te reageren. Na enige tijd zijn de hoeveelheden van A en B afgenomen.

2 6.2 In het mengsel bevindt zich nu ook stof X. De moleculen van stof A en stof B kunnen elkaar nu "minder snel vinden": er zijn per tijdseenheid minder ontmoetingen tussen A en B. Het lijkt niet onredelijk om aan te nemen dat het aantal moleculen van stof X dat in een korte tijdsperiode ontstaat evenredig is met het totaal aantal mogelijke ontmoetingen tussen de moleculen van stof A en B in die tijdsperiode. Een rekenvoorbeeld bij dit model: als tijdseenheid nemen we een minuut. Stel dat er op t = 0, 100 moleculen van stof A en 300 moleculen van stof B aanwezig zijn en dat de evenredigheidsconstante 1/2000 = 0,0005 per minuut is. In de eerste minuut zijn er dan mogelijke "ontmoetingen" tussen de moleculen van stof A en stof B. Dit houdt in dat er naar verwachting 0, = 15 moleculen van stof X gevormd worden. Aan het einde van minuut 1 zijn er dus 85 moleculen A, 285 moleculen B en 15 moleculen X. In de volgende minuut zijn er dan mogelijke ontmoetingen, hetgeen weer 0, moleculen X oplevert. Dus in totaal zijn er dan = 27 moleculen van stof X etc. Bij deze berekening doe je alsof er tijdens elke minuut geen moleculen omgezet worden. Het aantal mogelijke ontmoetingen is in werkelijkheid kleiner. De beschouwde tijdsperiode is te groot. Noem de tijdsperiode t. In de eerste tijdsperiode zijn er dan mogelijke "ontmoetingen" en worden er 0, t = 15 t moleculen van X gemaakt. Na t minuten zijn er dan t moleculen van A en t moleculen van B etc. Nog algemener: als het aantal moleculen op een bepaald tijdstip x (t is, dan zijn er 100 t moleculen van stof A en moleculen van stof B. In t minuten zijn er dan ( 100 ( 300 t mogelijke ontmoetingen en worden er 0,0005 ( 100 ( 300 t moleculen van stof X gevormd. Dit aantal moet je optellen bij x(t om het aantal moleculen op t + t te vinden. Dat levert de differentievergelijking: x( t ( 100 ( 300 t t + t = x( t + 0,0005 De differentiaalvergelijking wordt: x' ( t = 0,0005 ( 100 ( 300 Dit is een eerste orde differentiaalvergelijking. In de scheikunde noemt men een proces dat zich zo gedraagt een tweede-orde proces (vanwege de term x². Een beetje verwarrend met het wiskundige begrip orde van een differentiaalvergelijking.

3 6.3 De oplossing zie je in de grafiek hieronder. De hoeveelheid x stijgt naar de horizontale asymptoot x = A + B -> C 240 stof A stof C stof B tijd In de grafiek zie je ook de afname van de stoffen A en B. Die hoeveelheden zijn bekend als x bekend is. Elk geproduceerd molecuul van stof X kost immers een molecuul van stof A en een molecuul van stof B. Als je die hoeveelheden resp. aangeeft met a (t en b( dan geldt dus: a( = 300 b( = 100 Als je in het voorafgaande verhaal respectievelijk de beginhoeveelheden 100, 300 en de evenredigheidsconstante 0,0005 vervangt door a (0, b(0 en k, dan wordt het reactieproces beschreven door: x '( t = k a( = a(0 t b( = b(0 ( a(0 ( b(0 De evenredigheidsconstante k is afhankelijk van de stoffen die je bij elkaar voegt en allerlei externe omstandigheden zoals de druk en de temperatuur. Als je aan beide kanten in de twee onderste vergelijkingen differentieert dan krijg je differentiaalvergelijkingen voor de afname van stof A en van stof B. Je beschrijft het proces dan met een stelsel differentiaalvergelijkingen. x '( t a '( b '( = k = x '( = x '( ( a(0 ( b(0 = k a( b( t = k a( b( = k a( b(

4 6.4 Als de reactievergelijking verandert dan verandert ook de differentiaalvergelijking. Bekijk bijvoorbeeld het reactieproces met de reactievergelijking A + 2B X Dit keer reageert 1 molecuul met 2 moleculen. Stof B wordt twee keer zo snel opgebruikt. Als er nu x(t moleculen van stof X gevormd zijn dan zijn er nog a( = a(0 moleculen van stof A en nog maar b( = b(0 moleculen van stof B. Het product van de aanwezige hoeveelheden van stof A en B op tijdstip t is nu dus a( b( t = ( a(0 ( b(0. Als je dezelfde modelaannamen maakt dan wordt deze reactie beschreven door de differentiaalvergelijking: x' ( t = k ( a(0 ( b(0 Hieronder zie je de oplossing voor a ( 0 = 100, b ( 0 = 300 en k = 1/2000. Als je de grafiek vergelijkt met de vorige grafiek dan zie je dat de hoeveelheid stof C minder snel stijgt. 300 A + 2B -> C stof B stof C stof A tijd Ook nu kun je het proces met een stelsel van drie differentiaalvergelijkingen beschrijven. In werkelijkheid zijn de meeste chemische processen veel ingewikkelder. Een reactie leidt vaak tot producten die onmiddellijk weer in een andere reactie betrokken raken. Bijvoorbeeld: A + 2B X X + A Y Ook is in het voorafgaande verhaal steeds van een aflopende reactie uitgegaan. Het is ook mogelijk dat de ontstane stof weer uiteenvalt in de oorspronkelijke stoffen. Het tempo waarin dat gebeurt hoeft niet gelijk te zijn aan het tempo waarin de stof gevormd wordt.

5 6.5 Dat wordt in het onderstaande voorbeeld aangegeven door de verschillende getallen k1 en k2. k 1 A + B X k 2 En ook is het mogelijk dat een stof zichzelf produceert. Een voorbeeld daarvan is de reactie. A + X 3X Zo'n proces heet autokatalyse. In alle gevallen moet het model aangepast worden. In de opgaven kom je deze voorbeelden weer tegen 6.2 Verspreidingsmodellen Lood is een gevaarlijke stof die in het menselijke lichaam terecht kan komen via vergiftigd voedsel en water. Ook in uitlaatgassen en in verflucht kan lood zitten. Als het lood eenmaal in de bloedsomloop terecht gekomen is, dan wordt het verder getransporteerd en komt het terecht in allerlei weefsels en in de botten. Via de nagels, de haren en via transpiratie wordt een bepaald percentage lood weer door het lichaam uitgestoten. En gelukkig breken de nieren ook een bepaalde hoeveelheid lood uit de bloedsomloop af. Dat lood komt dus weer in de buitenwereld terecht. Vanuit de weefsels en de botten wordt overigens ook een bepaald percentage lood weer terug in de bloedsomloop gebracht. In het onderstaande schema zie je wat er met het lood gebeurt. Voor de eenvoud worden de diverse onderdelen beschouwd als afgesloten eenheid. Zo'n eenheid noemt men een compartment. weefsel bloed botten In dit verspreidingsmodel zijn er drie compartments: het bloed, het weefsel en de botten. De horizontale pijlen in het schema geven aan dat er tussen die onderdelen uitwisseling kan plaatsvinden. De verticale pijlen geven de stromen in en uit het lichaam aan.