Exponentiële functies

Transcriptie

1 Eponentiële functies In de vorige paragraaf hebben we alleen positieve getallen in de eponent gekozen. Nu laten we alle getallen als eponent toe. 1 Als je een fles melk uit de koelkast haalt, zal de temperatuur van de melk langzaam oplopen. De begintemperatuur is die van de koelkast, de eindtemperatuur is die van de omgeving waarin de fles terecht komt. Bij een zekere koelkasttemperatuur en een bepaalde omt gevingstemperatuur geldt de formule: T = ,7. Hierin is T de temperatuur in graden Celsius en t het aantal minuten dat is verstreken nadat de melk uit de koelkast is gehaald. a. Teken op de GR de grafiek van deze functie. Welk window lijkt jou geschikt? b. Onderzoek wat er gebeurt met de grafiek als t groot wordt. Verwoord je conclusie. c. Uit de formule kun je zowel de koelkasttemperatuur als de omgevingstemperatuur afleiden. Doe dat. Toelichten. d. Bepaal met je rekenmachine wanneer de temperatuur van de melk 15,5 C is. Afronden op een geheel aantal minuten. e. Bereken het differentiequotiënt T t gedurende de eerste minuut dat de melkfles uit de koelkast is. Eamen havo wiskunde B, 1996 tijdvak 1, gedeeltelijk Eponentiële functies 11

2 Blaasontsteking bij mensen wordt veroorzaakt door de colibacterie (Eschirichia Coli). Een kolonie van zulke bacteriën groeit snel: in 0 minuten tijd is hun aantal verdubbeld. Bij iemand bevonden zich op tijdstip t = 0 zo'n 1000 colibacteriën in de urinewegen. Het aantal bacteriën t uur later noemen we N(t). t a. Verklaar dat N(t) = b. Teken de bijbehorende grafiek op de GR. c. De infectie wordt pas door de drager opgemerkt als hij zo'n 10 bacteriën heeft. Wanneer is dat het geval? (GR) d. Bij het legen van een volle blaas wordt 90% van de 10 bacteriën uitgestoten. Hoeveel tijd heeft de kolonie daarna nodig om weer op het peil van 10 te komen? Omdat het moeilijk is om alleen door middel van drinken van een blaasontsteking af te komen, wordt meestal een medicijn gebruikt. Door gebruik van een zeker medicijn neemt het aantal bacteriën elk uur af met 65%. Het aantal bacteriën, t uur na het innemen van het medicijn noemen we M(t). M(0) = 10. t e. Verklaar de formule M(t) = 10 0,35. f. De bacterie is uitgeroeid als M(t) < 1. Na hoeveel uur is dat het geval? (GR) Afronden op een geheel aantal uren. 3 Bij de kernramp in Tsjernobyl in 196 kwamen vooral de radio-actieve elementen Jodium (131), Cesium (137) en Strontium (91) vrij. Radio-actieve stoffen zenden straling uit, die bij grote dosis erg schadelijk kan zijn voor de gezondheid. Maar gelukkig neemt de stralingsintensiteit af in de loop van de tijd. a. Van Jodium (131) neemt de stralingsintensiteit snel af, namelijk met,3 % per etmaal. Toon aan dat de straling na acht dagen gehalveerd is. De halfwaardetijd (of halveringstijd) van Jodium (131) is acht dagen. b. Hoe lang duurt het voordat de stralingsintensiteit tot een kwart is teruggegaan? c. Stel een formule op voor de stralingsintensiteit van Jodium (131) in %, als functie van de tijd in dagen. d. Teken de grafiek op de GR. Controleer daarmee je antwoorden op a en b. 1 Eponenten en Logaritmen

3 4 In 1960 telde de aarde circa 3,0 miljard mensen. In 1970 waren dat er 3,6 miljard. Stel dat de wereldbevolking eponentieel groeit. a. Hoeveel mensen waren dan op aarde in 190? En in 1990? En in 1950? We rekenen de tijd in decennia (tientallen jaren). t = 0 komt overeen met begin M(t) is het aantal mensen op tijdstip t. b. Stel een formule op voor M(t). c. Teken de bijbehorende grafiek op de GR. d. In het artikel hieronder van Wikipedia kun je lezen dat de 5 miljardste wereldbewoner werd geboren halverwege 197 en de 6 miljardste halverwege Controleer of dit in overeenstemming is met je formule uit b. e. In het artikel staat ook een voorspelling over de stand van de wereldbevolking in het jaar 050. Blijft volgens de VN de groeifactor in de komende eeuw hetzelfde, neemt hij toe, of neemt hij af? Bevolkingsgroei In 104 woonden er één miljard mensen op de wereld. In 197 waren dat twee miljard. Eind jaren '50 groeide de wereldbevolking tot drie miljard personen. Op 11 juli 197 werd het Kroatische jongetje Matej Gaspar symbolisch uitgeroepen tot vijfmiljardste wereldburger. Op 19 juli 1999 werd volgens de Verenigde Naties de zesmiljardste mens geboren. Een baby uit Sarajevo kreeg de eer. Dit was uiteraard een symbolische keuze, omdat niet was na te gaan wie daadwerkelijk de zesmiljardste wereldburger werd. De VN koos voor Sarajevo om te tonen dat de regio zich herstelde. De VN hanteert een scenario met betrekking tot bevolkingsgroei. In dat scenario, de "constant-fertility variant", wordt uitgegaan van een voortzetting van het huidige, hoge, geboortecijfer. In dat scenario zal de wereldbevolking in 050 de 1 miljard benaderen. Functies van de vorm y = A g zijn eponentiële functies. Het getal g heet de groeifactor. Eponentiële functies 13

4 * 5 We nemen in de algemene gedaante y = A g voor A het getal 1 en voor g de getallen 1,, 4, en. Hieronder staan de vijf grafieken. a. Geef op het werkblad met kleur aan hoe de grafieken precies lopen. b. De grafieken van y = (1 ) en y = ( ) lopen ergens tussen de vijf getekende grafieken door. Teken deze twee erbij op het werkblad. 6 a. De grafieken van de eponentiële functies y = g heb-ben een punt gemeenschappelijk. Welk punt? Kun je dat verklaren? b. Wat weet je van het grondtal g als de functie stijgend is? En wat als de functie dalend is? Blijft er één geval over. Welk? c. Hoe ziet de grafiek eruit van y = 0,99? En van y = 1,01? 7 Kun je van de volgende functies zeggen of ze stijgend of dalend zijn (zonder eerst de grafiek te tekenen): y = ( ), y =, y = ( ), y = 0,9? De grafiek van y = gaat aan de linkerkant steeds meer op de -as lijken. Preciezer gezegd: als je langs de grafiek van y = naar links gaat, kom je zo dicht bij de -as als je maar wilt. We zeggen dat de -as horizontale asymptoot is van de grafiek van y =. a. Ga na dat de -as horizontale asymptoot is van de grafiek van elke eponentiële functie (behalve als g = 1). b. Ken jij nog een andere functie waarvan de grafiek asymptoten heeft? 14 Eponenten en Logaritmen

5 9 Vergelijk de functies y = en y =. De formules lijken veel op elkaar. Maar het zijn toch heel verschillende functies. a. Noem eens wat opvallende verschillen, bijvoorbeeld wat de grafieken betreft. b. Teken beide grafieken in één figuur, voor -5 5.? c. Voor welke positieve getallen geldt: < We gaan het groeigedrag van y = en y = vergelijken. Daarvoor berekenen we de gemiddelde toename van beide functies op verschillende -intervallen van lengte 1. Voorbeeld We laten toenemen van tot 3. Dan neemt y = toe van 4 tot. Dus y = 4. Dan neemt y = toe van 4 tot 9. Dus y = a. Bereken y voor beide functies op de -intervallen in de tabel. b. Is de conclusie gerechtvaardigd dat voor grote waarden van de functie y = veel sneller groeit dan y =? We hebben in de vorige opgave gekeken naar de absolute toename van y. We kunnen ook kijken naar de relatieve toename van y: dat is hoeveel keer zo groot y wordt op een -interval van lengte 1. Voorbeeld We laten toenemen van tot 3. Dan neemt y = toe van 4 tot. y wordt dus groot. Dan neemt y = toe van 4 tot 9. y wordt dus zo groot. Eponentiële functies 4 = keer zo 9 4 =,5 keer 15

6 11 a. Bereken voor beide functies hoeveel keer zo groot y wordt op de -intervallen in de tabel. b. Wat valt je op? 1 a. We bekijken de functie y = 3. Hoeveel keer zo groot wordt y op een -interval van lengte 1? b. Dezelfde vraag voor de functie y = 7 ( ). Het orgel van de Nicolai kerk te Hamburg. Per octaaf worden de pijpen van een orgel half zo hoog. Zodoende brengt een orgel eponentiële groei fraai in beeld. 16 Eponenten en Logaritmen